في النهاية (الرياضيات)

في مجالي نظرية الأعداد والتحليل الرياضي ، يُقال إن متتالية أو دالة لانهائية تمتلك خاصية معينة في النهاية ، إذا لم تكن تمتلك هذه الخاصية في جميع عناصرها المرتبة، ولكنها ستمتلكها بعد مرور عدد معين من العناصر. ويمكن إعادة صياغة استخدام مصطلح "في النهاية" غالبًا على أنه "لأعداد كبيرة بما فيه الكفاية" ^{[ 1 ]} ، ويمكن أيضًا توسيعه ليشمل فئة الخصائص التي تنطبق على عناصر أي مجموعة مرتبة (مثل المتتاليات والمجموعات الجزئية من${\displaystyle \mathbb {R} }$).

يظهر الشكل العام الذي توجد فيه عبارة " في النهاية" (أو " كبيرة بما فيه الكفاية ") على النحو التالي:

${\displaystyle P}$هذا صحيح في النهاية لـ${\displaystyle x}$(${\displaystyle P}$ينطبق هذا على الأحجام الكبيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle x}$)

أين${\displaystyle \forall }$و${\displaystyle \exists }$هي أدوات التحديد الكمي الشاملة والوجودية ، وهي في الواقع اختصار لما يلي:

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} }$بحيث${\displaystyle P}$صحيح${\displaystyle \forall x\geq a}$

أو بشكل أكثر رسمية إلى حد ما:

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R}$ :\forall x\in \mathbb {R} :x\geq a\Rightarrow P(x)}

هذا لا يعني بالضرورة أن أي قيمة معينة لـ${\displaystyle a}$معروف، ولكن فقط أن مثل هذا${\displaystyle a}$يوجد. يجب عدم الخلط بين عبارة "كبير بما فيه الكفاية" وعبارتي " كبير بشكل تعسفي " أو " كبير بلا حدود ". للمزيد، انظر: كبير بشكل تعسفي#كبير بشكل تعسفي مقابل كبير بما فيه الكفاية مقابل كبير بلا حدود .

بالنسبة للمتتالية اللانهائية، غالباً ما يكون الاهتمام منصباً على سلوكياتها على المدى البعيد أكثر من سلوكياتها في بدايتها. وفي هذه الحالة، تتمثل إحدى طرق التعبير عن هذا المفهوم بشكل رسمي في القول بأن المتتالية تمتلك خاصية معينة في النهاية ، أو بصورة مكافئة، أن هذه الخاصية تتحقق في إحدى متتالياتها الفرعية.${\displaystyle (a_{n})_{n\geq N}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$[ ^{2 ]​}

على سبيل المثال، تعريف متتالية الأعداد الحقيقية${\displaystyle (a_{n})}$يتقارب إلى حد معين${\displaystyle a}$يكون:

لكل عدد موجب${\displaystyle \varepsilon }$يوجد عدد طبيعي${\displaystyle N}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle n>N}$،${\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$.

عندما يُستخدم مصطلح "في النهاية " كاختصار لعبارة "يوجد عدد طبيعي"${\displaystyle N}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle n>N}$ويمكن إعادة صياغة تعريف التقارب بشكل أبسط على النحو التالي:

لكل عدد موجب${\displaystyle \varepsilon >0}$، مؤخراً${\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$.

لاحظ هنا أن مجموعة الأعداد الطبيعية التي لا تحقق هذه الخاصية هي مجموعة منتهية؛ أي أن المجموعة إما فارغة أو تحتوي على عنصر أقصى. ونتيجة لذلك، فإن استخدام كلمة "في النهاية" في هذه الحالة مرادف لعبارة "لكل الحدود باستثناء عدد محدود منها" - وهي حالة خاصة من عبارة "لجميع الحدود تقريبًا " (مع العلم أنه يمكن استخدام عبارة "جميع الحدود تقريبًا" للسماح بعدد لا نهائي من الاستثناءات أيضًا).

على المستوى الأساسي، يمكن اعتبار المتتالية دالة ذات نطاق الأعداد الطبيعية ، وينطبق مفهوم "في النهاية" على الدوال الموجودة على مجموعات أكثر عمومية أيضًا - وخاصة تلك التي لها ترتيب بدون عنصر أكبر .

وبشكل أكثر تحديدا، إذا${\displaystyle S}$هي مجموعة من هذا القبيل ويوجد عنصر${\displaystyle s}$في${\displaystyle S}$بحيث تكون الدالة${\displaystyle f}$يتم تعريفها لجميع العناصر الأكبر من${\displaystyle s}$، ثم${\displaystyle f}$يقال إن له بعض الخصائص في نهاية المطاف إذا كان هناك عنصر${\displaystyle x_{0}}$بحيث كلما${\displaystyle x>x_{0}}$،${\displaystyle f(x)}$يمتلك الخاصية المذكورة. يُستخدم هذا المفهوم، على سبيل المثال، في دراسة حقول هاردي ، وهي حقول تتكون من دوال حقيقية، لكل منها خصائص معينة في النهاية.

• "جميع الأعداد الأولية الأكبر من 2 هي أعداد فردية " تعني "في النهاية، جميع الأعداد الأولية ستكون أعدادًا فردية".
• في النهاية، جميع الأعداد الأولية متطابقة مع ±1 modulo 6.
• مربع العدد الأولي يكون في النهاية متطابقًا مع 1 mod 24 (على وجه التحديد، هذا صحيح لجميع الأعداد الأولية الأكبر من 3).
• مضروب العدد الطبيعي ينتهي في النهاية بالرقم 0 (على وجه التحديد، هذا صحيح لجميع الأعداد الطبيعية الأكبر من 4).

• يُقال عن فضاء ثلاثي الأبعاد أنه كبير بما فيه الكفاية إذا احتوى على سطح غير قابل للانضغاط ثنائي الجوانب مُضمّن بشكل صحيح . هذه الخاصية هي الشرط الأساسي لتسمية فضاء ثلاثي الأبعاد بفضاء هاكن .
• يقدم المنطق الزمني عاملًا يمكن استخدامه للتعبير عن عبارات قابلة للتفسير على النحو التالي: ستتحقق خاصية معينة في النهاية في لحظة مستقبلية في الزمن.

• جميعهم تقريباً
• تدوين كبير
• المصطلحات الرياضية
• نظرية الأعداد