التحديد الكمي الشامل

في المنطق الرمزي ، رمز الكمية الشاملة${\displaystyle \forall }$يُستخدم الحرف  " A " المقلوب ( بخط sans-serif ، Unicode U+2200) للدلالة على التحديد الكمي العالمي. وقد استُخدم لأول مرة بهذه الطريقة من قِبل جيرهارد جنتزن عام 1935، قياسًا على جوزيبي بيانو . ${\displaystyle \exists }$(تحول إلى E) تدوين للكمية الوجودية والاستخدام اللاحق لتدوين بيانو من قبل برتراند راسل . ^{[ 1 ]}

على سبيل المثال، إذا كانت P ( n ) هي المسند "2 × n > 2 + n " و N هي مجموعة الأعداد الطبيعية، فإن

${\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;P(n)}$

العبارة (الخاطئة)

"لكل الأعداد الطبيعية n ، يكون لدينا 2· n > 2 + n ".

وبالمثل، إذا كانت Q ( n ) هي المسند " n مركب"، فإن

${\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;{\bigl (}Q(n)\rightarrow P(n){\bigr )}}$

العبارة (الصحيحة)

"لكل الأعداد الطبيعية n ، إذا كان n عددًا مركبًا، فإن 2· n > 2 + n ".

يمكن العثور على العديد من الاختلافات في تدوين التحديد الكمي (والتي تنطبق على جميع الأشكال) في مقالة التحديد الكمي .

يتم الحصول على نفي دالة كمية شاملة عن طريق تغيير المُكمِّم الشامل إلى مُكمِّم وجودي ونفي الصيغة الكمية. أي،

${\displaystyle \lnot \forall x\;P(x)\quad {\text{is equivalent to}}\quad \exists x\;\lnot P(x)}$

أين${\displaystyle \lnot }$يدل على النفي .

على سبيل المثال، إذا كانت P ( x ) هي الدالة الافتراضية " x متزوج"، فإن التكميم الشامل لمجموعة X التي تضم جميع البشر الأحياء

إذا افترضنا وجود أي شخص حي x ، فإن هذا الشخص متزوج

مكتوب

${\displaystyle \forall x\in X\,P(x)}$

هذا الكلام خاطئ. في الحقيقة، يُقال أن

ليس صحيحاً أنه إذا عُلم أي شخص حيّ س ، فإن هذا الشخص يكون متزوجاً.

أو بشكل رمزي:

${\displaystyle \lnot \ \forall x\in X\,P(x)}$.

إذا لم تكن الدالة P ( x ) صحيحة لكل عنصر من عناصر X ، فلا بد من وجود عنصر واحد على الأقل تكون فيه العبارة خاطئة. أي أن نفي${\displaystyle \forall x\in X\,P(x)}$وهو مكافئ منطقياً لعبارة "يوجد شخص حي س غير متزوج"، أو:

${\displaystyle \exists x\in X\,\lnot P(x)}$

من الخطأ الخلط بين عبارة "ليس كل الأشخاص متزوجين" (أي "لا يوجد شخص متزوج") وعبارة "ليس كل الأشخاص متزوجين" (أي "يوجد شخص غير متزوج").

${\displaystyle \lnot \ \exists x\in X\,P(x)\equiv \ \forall x\in X\,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall x\in X\,P(x)\equiv \ \exists x\in X\,\lnot P(x)}$

يتحرك المُكمِّم الكلي (والوجودي) دون تغيير عبر الروابط المنطقية ∧ و ∨ و → و ↚ ، طالما أن المعامل الآخر لا يتأثر؛ ^{[ 2 ]} أي:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\land (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y))\\P(x)\lor (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\to (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nleftarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y))\\P(x)\land (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\lor (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y))\\P(x)\to (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y))\\P(x)\nleftarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \end{aligned}}}$

وعلى العكس من ذلك، بالنسبة للروابط المنطقية ↑ و ↓ و ↛ و ← ، تنعكس الكميات:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\uparrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y))\\P(x)\downarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nrightarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\gets (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y))\\P(x)\uparrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\downarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y))\\P(x)\nrightarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y))\\P(x)\gets (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\\end{aligned}}}$

قاعدة الاستدلال هي قاعدة تبرر خطوة منطقية من الفرضية إلى النتيجة. وهناك العديد من قواعد الاستدلال التي تستخدم المُكمِّم الكلي.

يستنتج مبدأ التجسيد الكلي أنه إذا عُرف أن الدالة القضوية صحيحة كليًا، فلا بد أن تكون صحيحة لأي عنصر عشوائي في مجال الخطاب. ويُعبَّر عن ذلك رمزيًا على النحو التالي:

${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to P(c)}$

حيث يمثل c عنصرًا عشوائيًا تمامًا في عالم الخطاب.

يستنتج التعميم الشامل أن الدالة الافتراضية يجب أن تكون صحيحة بشكل شامل إذا كانت صحيحة لأي عنصر عشوائي من عالم الخطاب. رمزياً، بالنسبة لـ c عشوائي ،

${\displaystyle P(c)\to \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x).}$

يجب أن يكون العنصر c عشوائيًا تمامًا؛ وإلا فإن المنطق لا يتبع: إذا لم يكن c عشوائيًا، وكان بدلاً من ذلك عنصرًا محددًا من عالم الخطاب، فإن P( c ) لا يعني سوى التحديد الكمي الوجودي للوظيفة الافتراضية. 

بحسب الاصطلاح، الصيغة${\displaystyle \forall {x}{\in }\emptyset \,P(x)}$صحيح دائمًا، بغض النظر عن الصيغة P ( x )؛ انظر الحقيقة الفارغة .