قانون الاحتمال الكلي

في نظرية الاحتمالات ، يُعد قانون (أو صيغة ) الاحتمال الكلي قاعدة أساسية تربط الاحتمالات الهامشية بالاحتمالات الشرطية . وهو يعبر عن الاحتمال الكلي لنتيجة يمكن تحقيقها عبر عدة أحداث متميزة ، ومن هنا جاءت التسمية.

قانون الاحتمال الكلي هو ^{[ 1 ]} نظرية تنص، في حالتها المنفصلة، ​​على ما يلي: إذا${\displaystyle \left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}}$إذا كانت مجموعة منتهية أو غير منتهية قابلة للعد من الأحداث المتنافية المتبادلة والشاملة بشكل جماعي ، فإنه لأي حدث${\displaystyle A}$

$${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})}$$

أو بدلاً من ذلك، ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}),}$$

حيث، لأي${\displaystyle n}$، لو${\displaystyle P(B_{n})=0}$ثم يتم حذف هذه الحدود ببساطة من المجموع لأن${\displaystyle P(A\mid B_{n})}$محدود.

يمكن تفسير المجموع على أنه متوسط ​​مرجح ، وبالتالي الاحتمال الهامشي.${\displaystyle P(A)}$يُطلق عليه أحيانًا اسم "الاحتمال المتوسط"؛ ^{[ 2 ]} ويُستخدم مصطلح "الاحتمال الكلي" أحيانًا في الكتابات الأقل رسمية. ^{[ 3 ]}

يمكن أيضاً صياغة قانون الاحتمال الكلي للاحتمالات الشرطية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}P({A\mid C})&={\frac {P({A,C})}{P(C)}}={\frac {\sum \limits _{n}{P({A,{B_{n}},C})}}{P(C)}}\\[2ex]&={\frac {\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})P(C)}{P(C)}}\\[2ex]&=\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})\end{aligned}}}$$

أخذ${\displaystyle B_{n}}$كما سبق، وبافتراض${\displaystyle C}$هو حدث مستقل عن أي من${\displaystyle B_{n}}$:

$${\displaystyle P(A\mid C)=\sum _{n}P(A\mid C,B_{n})P(B_{n})}$$

يمتد قانون الاحتمال الكلي إلى حالة التكييف على الأحداث الناتجة عن متغيرات عشوائية مستمرة. ليكن${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ليكن فضاء احتمالي .${\displaystyle X}$هو متغير عشوائي ذو دالة توزيع${\displaystyle F_{X}}$، و${\displaystyle A}$حدث في${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ثم ينص قانون الاحتمال الكلي على

$${\displaystyle P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)dF_{X}(x).}$$

لو${\displaystyle X}$تقبل دالة كثافة${\displaystyle f_{X}}$إذن، النتيجة هي

$${\displaystyle P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)f_{X}(x)dx.}$$

علاوة على ذلك، بالنسبة للحالة المحددة حيث${\displaystyle A=\{Y\in B\}}$، أين${\displaystyle B}$إذا كانت مجموعة بوريل ، فإن هذا ينتج

$${\displaystyle P(Y\in B)=\int _{-\infty }^{\infty }P(Y\in B|X=x)f_{X}(x)dx.}$$

لنفترض أن مصنعين يزودان السوق بالمصابيح الكهربائية . تعمل مصابيح المصنع X لأكثر من 5000 ساعة في 99% من الحالات، بينما تعمل مصابيح المصنع Y لأكثر من 5000 ساعة في 95% من الحالات. من المعروف أن المصنع X يزود 60% من إجمالي المصابيح المتوفرة، بينما يزود المصنع Y 40% منها. ما احتمال أن يعمل المصباح المشتَرى لأكثر من 5000 ساعة؟

بتطبيق قانون الاحتمال الكلي، نحصل على:

$${\displaystyle {\begin{aligned}P(A)&=P(A\mid B_{X})\cdot P(B_{X})+P(A\mid B_{Y})\cdot P(B_{Y})\\[4pt]&={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={{594+380} \over 1000}={974 \over 1000}\end{aligned}}}$$

أين

• ${\displaystyle P(B_{X})={6 \over 10}}$هل احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع X ؟
• ${\displaystyle P(B_{Y})={4 \over 10}}$هل احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع Y ؟
• ${\displaystyle P(A\mid B_{X})={99 \over 100}}$ما هو احتمال أن يعمل المصباح المصنّع من قبل شركة X لأكثر من 5000 ساعة؟
• ${\displaystyle P(A\mid B_{Y})={95 \over 100}}$ما هو احتمال أن يعمل المصباح المصنّع من قبل شركة Y لأكثر من 5000 ساعة؟

وبالتالي فإن كل مصباح كهربائي يتم شراؤه لديه فرصة بنسبة 97.4٪ للعمل لأكثر من 5000 ساعة.

يُستخدم مصطلح "قانون الاحتمال الكلي" أحيانًا بمعنى " قانون البدائل" ، وهو حالة خاصة من قانون الاحتمال الكلي تنطبق على المتغيرات العشوائية المنفصلة . يستخدم أحد المؤلفين مصطلح "قاعدة متوسط ​​الاحتمالات الشرطية" ^{[ 4 ]} ، بينما يشير إليه آخر باسم "قانون البدائل المتصل" في الحالة المتصلة ^{[ 5 ]} . وقد قدم غريمت وويلش ^{[ 6 ]} هذه النتيجة على أنها نظرية التقسيم ، وهو الاسم الذي أطلقوه أيضًا على قانون التوقع الكلي ذي الصلة .

• قانون الأعداد الكبيرة
• قانون التوقع الكلي
• قانون التباين الكلي
• قانون التغاير الكلي
• قانون التراكم الكلي
• التوزيع الهامشي