قانون التراكم الكلي

في حالة n = 2 أو 3 فقط، يكون العزم التراكمي النوني هو نفسه العزم المركزي النوني . الحالة n = 2 معروفة جيدًا (انظر قانون التباين الكلي ). فيما يلي الحالة n = 3. يرمز μ ₃ إلى العزم المركزي الثالث.    

${\displaystyle \mu _{3}(X)=\operatorname {E} (\mu _{3}(X\mid Y))+\mu _{3}(\operatorname {E} (X\mid Y))+3\operatorname {cov} (\operatorname {E} (X\mid Y)،\operatorname {var} (X\mid Y)).}$

بالنسبة للمُعاملات التراكمية العامة من الرتبة الرابعة، تعطي القاعدة مجموع 15 حدًا، كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\kappa (X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})\\[5pt]={}&\kappa (\kappa (X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\mid Y))\\[5pt]&\left.{\begin{matrix}&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{2},X_{3}\mid Y),\kappa (X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{2},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{3}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{3},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{2},X_{3},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{1}\mid Y))\end{matrix}}\right\}({\text{partitions of the }}3+1{\text{ form}})\\[5pt]&\left.{\begin{matrix}&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{2}\mid Y),\kappa (X_{3},X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{3}\mid Y),\kappa (X_{2},X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{2},X_{3}\mid Y))\end{matrix}}\right\}({\text{partitions of the }}2+2{\text{ form}})\\[5pt]&\left.{\begin{matrix}&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{2}\mid Y),\kappa (X_{3}\mid Y),\kappa (X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{3}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y),\kappa (X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y),\kappa (X_{3}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{2},X_{3}\mid Y),\kappa (X_{1}\mid Y),\kappa (X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{2},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{1}\mid Y),\kappa (X_{3}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{3},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{1}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y))\end{matrix}}\right\}({\text{partitions of the }}2+1+1{\text{ form}})\\[5pt]&{\begin{matrix}{}+\kappa (\kappa (X_{1}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y),\kappa (X_{3}\mid Y),\kappa (X_{4}\mid Y)).\end{matrix}}\end{aligned}}}$

لنفترض أن Y له توزيع بواسون بقيمة متوقعة λ ، وأن X هو مجموع Y نسخ من W مستقلة عن بعضها البعض وعن Y.  

${\displaystyle X=\sum _{y=1}^{Y}W_{y}.}$

جميع العزوم التراكمية لتوزيع بواسون متساوية فيما بينها، وبالتالي فهي تساوي λ في هذه الحالة . تذكر أيضًا أنه إذا كانت المتغيرات العشوائية _W1 ، _... ، Wm مستقلة ، فإن العزم التراكمي رقم n يكون جمعيًا. 

${\displaystyle \kappa _{n}(W_{1}+\cdots +W_{m})=\kappa _{n}(W_{1})+\cdots +\kappa _{n}(W_{m}).}$

سنجد العزم التراكمي الرابع لـ X. لدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{4}(X)={}&\kappa (X,X,X,X)\\[8pt]={}&\kappa _{1}(\kappa _{4}(X\mid Y))+4\kappa (\kappa _{3}(X\mid Y),\kappa _{1}(X\mid Y))+3\kappa _{2}(\kappa _{2}(X\mid Y))\\&{}+6\kappa (\kappa _{2}(X\mid Y),\kappa _{1}(X\mid Y),\kappa _{1}(X\mid Y))+\kappa _{4}(\kappa _{1}(X\mid Y))\\[8pt]={}&\kappa _{1}(Y\kappa _{4}(W))+4\kappa (Y\kappa _{3}(W),Y\kappa _{1}(W))+3\kappa _{2}(Y\kappa _{2}(W))\\&{}+6\kappa (Y\kappa _{2}(W),Y\kappa _{1}(W),Y\kappa _{1}(W))+\kappa _{4}(Y\kappa _{1}(W))\\[8pt]={}&\kappa _{4}(W)\kappa _{1}(Y)+4\kappa _{3}(W)\kappa _{1}(W)\kappa _{2}(Y)+3\kappa _{2}(W)^{2}\kappa _{2}(Y)\\&{}+6\kappa _{2}(W)\kappa _{1}(W)^{2}\kappa _{3}(Y)+\kappa _{1}(W)^{4}\kappa _{4}(Y)\\[8pt]={}&\kappa _{4}(W)\lambda +4\kappa _{3}(W)\kappa _{1}(W)\lambda +3\kappa _{2}(W)^{2}+6\kappa _{2}(W)\kappa _{1}(W)^{2}\lambda +\kappa _{1}(W)^{4}\lambda \\[8pt]={}&\lambda \operatorname {E} (W^{4})\qquad {\text{(the punch line -- see the explanation below).}}\end{aligned}}}$

نُدرك أن المجموع الأخير هو مجموع حاصل ضرب جميع كتل التقسيم في جميع أجزاء المجموعة {1، 2، 3، 4}، لعزوم W التراكمية من رتبة تساوي حجم الكتلة. وهذا هو تحديدًا العزم الخام الرابع لـ W (انظر العزم التراكمي لمزيد من التفصيل حول هذه الحقيقة). ومن ثم، فإن عزوم X التراكمية هي عزوم W مضروبة في λ . 

وبهذه الطريقة نرى أن كل سلسلة لحظات هي أيضًا سلسلة تراكمية (لا يمكن أن يكون العكس صحيحًا، لأن التراكمات ذات الرتبة الزوجية ≥  4 تكون في بعض الحالات سالبة، وأيضًا لأن سلسلة التراكمات للتوزيع الطبيعي ليست سلسلة لحظات لأي توزيع احتمالي ).

لنفترض أن Y  =  1 باحتمال p و Y = 0 باحتمال q = 1 − p . ولنفترض أن التوزيع الاحتمالي الشرطي لـ X بشرط Y هو F إذا كان Y = 1 و G إذا كان Y = 0. عندئذٍ لدينا            

${\displaystyle \kappa _{n}(X)=p\kappa _{n}(F)+q\kappa _{n}(G)+\sum _{\pi <{\widehat {1}}}\kappa _{\left|\pi \right|}(Y)\prod _{B\in \pi }(\kappa _{\left|B\right|}(F)-\kappa _{\left|B\right|}(G))}$

أين${\displaystyle \pi <{\widehat {1}}}$يعني ذلك أن π هو تجزئة للمجموعة {  1،  ...، n } أدق من التجزئة الأوسع – أي أن المجموع يشمل جميع التجزئات باستثناء تلك التجزئة. على سبيل المثال، إذا كان n = 3، فسنحصل على    

${\displaystyle \kappa _{3}(X)=p\kappa _{3}(F)+q\kappa _{3}(G)+3pq(\kappa _{2}(F)-\kappa _{2}(G))(\kappa _{1}(F)-\kappa _{1}(G))+pq(q-p)(\kappa _{1}(F)-\kappa _{1}(G))^{3}.}$