مجموعة بوريل

في الرياضيات ، تُعدّ مجموعات بوريل للفضاء الطوبولوجي فئةً خاصةً من المجموعات الجزئية "المُنتظمة" في ذلك الفضاء. فعلى سبيل المثال، بينما قد لا تكون أي مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية قابلةً للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ ، فإن كل مجموعة بوريل من الأعداد الحقيقية قابلة للقياس عالميًا . ويمكن تحديد المجموعات التي تُصنّف كمجموعات بوريل بعدة طرق متكافئة. سُمّيت مجموعات بوريل نسبةً إلى إميل بوريل .

يتم تعريفها الأكثر شيوعًا من خلال مفهوم الجبر سيجما ، وهو عبارة عن مجموعة من المجموعات الفرعية لفضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$التي تحتوي على كل من المجموعة الفارغة والمجموعة الكاملة${\displaystyle X}$، ومغلقة تحت الاتحاد المعدود والمكمل.

ثم يمكننا تعريف جبر بوريل سيجما على${\displaystyle X}$أن تكون أصغر جبر سيجما يحتوي على جميع المجموعات المفتوحة من${\displaystyle X}$. ^{[ أ ]} مجموعة فرعية من بوريل من${\displaystyle X}$إذن فهو ببساطة عنصر من عناصر جبر سيجما هذا .

تُعدّ مجموعات بوريل مهمة في نظرية القياس ، إذ يجب أن يكون أي قياس مُعرّف على المجموعات المفتوحة أو المغلقة في فضاء ما مُعرّفًا أيضًا على جميع مجموعات بوريل في ذلك الفضاء. ويُطلق على أي قياس مُعرّف على مجموعات بوريل اسم قياس بوريل . كما تلعب مجموعات بوريل والتسلسل الهرمي المرتبط بها دورًا أساسيًا في نظرية المجموعات الوصفية .

في بعض السياقات، تُعرَّف مجموعات بوريل بأنها مُولَّدة بواسطة المجموعات المدمجة للفضاء الطوبولوجي، بدلاً من المجموعات المفتوحة. يتطابق التعريفان في العديد من الفضاءات ذات السلوك الجيد ، بما في ذلك جميع فضاءات هاوسدورف المدمجة من نوع سيجما ، ولكنهما قد يختلفان في الفضاءات الأكثر شذوذًا .

في حالة أن${\displaystyle X}$إذا كان فضاءً متريًا ، فيمكن وصف جبر بوريل بالمعنى الأول بشكل توليدي على النحو التالي.

لمجموعة${\displaystyle T}$من مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$(أي، لأي مجموعة فرعية من مجموعة القوى)${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle (X)}$ل${\displaystyle X}$)، يترك

• ${\displaystyle T_{\sigma }}$لتكن جميعها اتحادات قابلة للعد لعناصر من${\displaystyle T}$
• ${\displaystyle T_{\delta }}$لتكن جميعها تقاطعات قابلة للعد لعناصر من${\displaystyle T}$
• ${\displaystyle T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }.}$

الآن عرّف بالاستقراء المتسامي متتالية${\displaystyle G^{m}}$، أين${\displaystyle m}$هو عدد ترتيبي ، على النحو التالي:

• بالنسبة للحالة الأساسية للتعريف، دع${\displaystyle G^{0}}$لتكن مجموعة المجموعات الفرعية المفتوحة من${\displaystyle X}$.
• لو${\displaystyle i}$إذا لم يكن عددًا ترتيبيًا حديًا ،${\displaystyle i}$له ترتيب سابق مباشرة${\displaystyle i-1}$. يترك$${\displaystyle G^{i}=[G^{i-1}]_{\delta \sigma }.}$$
• لو${\displaystyle i}$هو عدد ترتيبي حدي، مجموعة$${\displaystyle G^{i}=\bigcup _{j<i}G^{j}.}$$

الادعاء هو أن جبر بوريل هو${\displaystyle G^{\أوميغا _{1}}}$، أين${\displaystyle {\omega _{1}}}$هو أول عدد ترتيبي غير قابل للعد . أي أنه يمكن توليد جبر بوريل من فئة المجموعات المفتوحة عن طريق تكرار العملية $${\displaystyle G\mapsto G_{\delta \sigma }}$$ إلى أول عدد ترتيبي غير معدود.

لإثبات هذه الفرضية، فإن أي مجموعة مفتوحة في فضاء متري هي اتحاد متتالية متزايدة من المجموعات المغلقة. وعلى وجه الخصوص، فإن مكمل المجموعات يُطبِّق${\displaystyle G^{m}}$إلى نفسها لأي حد ترتيبي${\displaystyle m}$علاوة على ذلك إذا${\displaystyle m}$هو عدد ترتيبي حدي غير معدود،${\displaystyle G^{m}}$مغلق في ظل النقابات القابلة للعد.

لكل مجموعة بوريل${\displaystyle B}$يوجد عدد ترتيبي قابل للعد${\displaystyle \alpha _{B}}$بحيث${\displaystyle B}$يمكن الحصول على ذلك من خلال تكرار العملية على${\displaystyle \alpha _{B}}$ومع ذلك، كما${\displaystyle B}$يختلف ذلك باختلاف جميع مجموعات بوريل،${\displaystyle \alpha _{B}}$سيختلف ذلك عبر جميع الأعداد الترتيبية القابلة للعد، وبالتالي فإن أول عدد ترتيبي يتم عنده الحصول على جميع مجموعات بوريل هو${\displaystyle \omega _{1}}$، أول عدد ترتيبي غير معدود.

يُطلق على التسلسل الناتج للمجموعات اسم التسلسل الهرمي لبوريل .

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاءً طوبولوجيًا. فضاء بوريل المرتبط بـ${\displaystyle X}$هل الزوج${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$، أين${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هي الجبر سيجما لمجموعات بوريل من${\displaystyle X}$.

عرّف جورج ماكي فضاء بوريل تعريفًا مختلفًا بعض الشيء، فكتب أنه "مجموعةٌ مُرفقةٌ بحقل سيجما مميز من المجموعات الجزئية يُسمى مجموعات بوريل". ^{[ 1 ]} مع ذلك، يُطلق على الجبر الجزئي المميز في الاستخدام الحديث اسم المجموعات القابلة للقياس ، وتُسمى هذه الفضاءات بالفضاءات القابلة للقياس . ويعود سبب هذا التمييز إلى أن مجموعات بوريل هي جبر سيجما المُوَلَّد بواسطة المجموعات المفتوحة (لفضاء طوبولوجي)، بينما يشير تعريف ماكي إلى مجموعة مُجهزة بجبر سيجما عشوائي . توجد فضاءات قابلة للقياس ليست فضاءات بوريل، وذلك لأي اختيار للطوبولوجيا على الفضاء الأساسي. ^{[ 2 ]}

تشكل الفضاءات القابلة للقياس فئةً تكون فيها التشكلات دوالًا قابلة للقياس بين فضاءات قابلة للقياس. دالة${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$تكون قابلة للقياس إذا كانت تسحب مجموعات قابلة للقياس، أي لجميع المجموعات القابلة للقياس${\displaystyle B}$في${\displaystyle Y}$، المجموعة${\displaystyle f^{-1}(B)}$يمكن قياسه في${\displaystyle X}$.

نظرية . ليكن${\displaystyle X}$ليكن فضاءً بولندياً ، أي فضاءً طوبولوجياً بحيث يوجد مقياس${\displaystyle d}$على${\displaystyle X}$ذلك الذي يحدد بنية${\displaystyle X}$وهذا يجعل${\displaystyle X}$فضاء متري كامل قابل للفصل . ثم${\displaystyle X}$لأن فضاء بوريل متماثل مع أحد

1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$،
2. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$،
3. مساحة محدودة.

(هذه النتيجة تذكرنا بنظرية ماهارام .)

باعتبارها مساحات بوريل، الخط الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} }$اتحاد​${\displaystyle \mathbb {R} }$مع مجموعة قابلة للعد، و${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$متماثلة الشكل.

الفضاء البوريلي القياسي هو الفضاء البوريلي المرتبط بالفضاء البولندي . يتميز الفضاء البوريلي القياسي، حتى التشاكل، بعدد عناصره، ^{[ 3 ]} وأي فضاء بوريلي قياسي غير قابل للعد له عدد عناصر المتصل.

بالنسبة للمجموعات الجزئية من الفضاءات البولندية، يمكن تعريف مجموعات بوريل بأنها تلك المجموعات التي تمثل نطاقات الدوال المستمرة أحادية التباين المعرفة على الفضاءات البولندية. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن نطاق الدالة المستمرة غير أحادية التباين قد لا يكون مجموعة بوريل. انظر المجموعة التحليلية .

كل مقياس احتمالي على فضاء بوريل القياسي يحوله إلى فضاء احتمالي قياسي .

يُشرح أدناه مثالٌ لمجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية غير بوريلية، وذلك بفضل لوسين [ ^{4 ]} . في المقابل، لا يمكن إثبات وجود مجموعة غير قابلة للقياس ، على الرغم من ^أن وجود مثل هذه المجموعة مُستنتجٌ ضمنيًا، على سبيل المثال، من بديهية الاختيار .

لكل عدد غير نسبي تمثيل فريد بواسطة كسر مستمر بسيط لانهائي

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}$

أين${\displaystyle a_{0}}$هو عدد صحيح وجميع الأرقام الأخرى${\displaystyle a_{k}}$هي أعداد صحيحة موجبة . ليكن${\displaystyle A}$لتكن مجموعة جميع الأعداد غير النسبية التي تتوافق مع المتتاليات${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots )}$مع الخاصية التالية: توجد متتالية جزئية لا نهائية${\displaystyle (a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )}$بحيث يكون كل عنصر قاسمًا للعنصر التالي. هذه المجموعة${\displaystyle A}$ليست مجموعة بوريل. ومع ذلك، فهي تحليلية (جميع مجموعات بوريل تحليلية أيضًا)، وكاملة في فئة المجموعات التحليلية. ^{[ 5 ]}

من المهم ملاحظة أنه في حين أن بديهيات زيرميلو-فرانكل (ZF) كافية لإضفاء الطابع الرسمي على بناء${\displaystyle A}$لا يمكن إثبات ذلك في ZF وحدها${\displaystyle A}$ليس من نوع بوريل. في الواقع، يتوافق ذلك مع شركة ZF.${\displaystyle \mathbb {R} }$هي اتحاد قابل للعد لمجموعات قابلة للعد، ^{[ 6 ]} بحيث تكون أي مجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} }$هي مجموعة بوريل.

مجموعة أخرى غير بوريل هي الصورة العكسية${\displaystyle f^{-1}[0]}$دالة التكافؤ اللانهائية${\displaystyle f\colon \{0,1\}^{\omega }\to \{0,1\}}$ومع ذلك، فإن هذا دليل على الوجود (عبر بديهية الاختيار)، وليس مثالاً صريحاً.

وفقًا لبول هالموس ، ^{[ 7 ]} تسمى مجموعة فرعية من فضاء طوبولوجي هاوسدورف مضغوط محليًا مجموعة بوريل إذا كانت تنتمي إلى أصغر حلقة سيجما تحتوي على جميع المجموعات المضغوطة.

أعاد نوربيرغ وفيرفات ^{[ 8 ]} تعريف جبر بوريل للفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X}$كما هو الحال${\displaystyle \sigma }$الجبر - المُوَلَّد بواسطة مجموعاته المفتوحة ومجموعاته المشبعة المدمجة . هذا التعريف مناسب تمامًا للتطبيقات في الحالة التي${\displaystyle X}$ليس هاوسدورف. يتطابق مع التعريف المعتاد إذا${\displaystyle X}$تكون المجموعة الثانية قابلة للعد ، أو إذا كانت كل مجموعة فرعية مشبعة مضغوطة مغلقة (وهو الحال على وجه الخصوص إذا${\displaystyle X}$(هاوسدورف).

• التسلسل الهرمي لبوريل – التسلسل الهرمي للمنطق الرياضي 
• التماثل البوريلي
• طقم بير
• الجبر سيجما الأسطواني
• نظرية المجموعات الوصفية – فرع من فروع المنطق الرياضي 
• الفضاء البولندي - مفهوم في علم الطوبولوجيا 

• ويليام أرفيسون ، مدخل إلى جبر C* ، سبرينغر-فيرلاغ، 1981. (انظر الفصل 3 للاطلاع على عرض ممتاز للطوبولوجيا البولندية )
• ريتشارد دادلي ، التحليل الحقيقي والاحتمالات . وادزورث، بروكس وكول، 1989
• هالموس، بول ر. (1950). نظرية القياس . شركة دي فان نوستراند انظر على وجه الخصوص القسم 51 "مجموعات بوريل ومجموعات باير".
• هالسي رويدن ، التحليل الحقيقي ، برنتيس هول، 1988
• ألكسندر س. كيكريس ، نظرية المجموعات الوصفية الكلاسيكية ، سبرينغر-فيرلاغ، 1995 (نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 156)

• "مجموعة بوريل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• التعريف الرسمي لمجموعات بوريل في نظام ميزر ، وقائمة النظريات المؤرشفة بتاريخ 2020-06-01 في Wayback Machine والتي تم إثباتها رسميًا بشأنها.
• وايسشتاين، إريك دبليو. "مجموعة بوريل" . عالم الرياضيات .