حصرية متبادلة

في المنطق ونظرية الاحتمالات ، يكون حدثان (أو قضيتان) متنافيين أو منفصلين إذا لم يكن بالإمكان وقوعهما معًا في الوقت نفسه. ومن الأمثلة الواضحة على ذلك مجموعة نتائج رمية عملة معدنية واحدة، والتي يمكن أن تُسفر إما عن صورة أو كتابة، ولكن ليس كليهما.

في مثال رمي العملة، يُعتبر كلا النتيجتين، نظريًا، شاملتين لجميع الاحتمالات، ما يعني أنه يجب أن تحدث إحدى النتيجتين على الأقل، وبالتالي فإن هاتين الاحتمالين معًا يستنفدان جميع الاحتمالات. ^{[ 1 ]} مع ذلك، ليست كل الأحداث المتنافية شاملة لجميع الاحتمالات. على سبيل المثال، النتيجتان 1 و4 عند رمي نرد سداسي الأوجه هما متنافيتان (لا يمكن أن تحدثا معًا) ولكنهما ليستا شاملتين لجميع الاحتمالات (توجد نتائج أخرى محتملة؛ 2، 3، 5، 6).

في المنطق ، قضيتان${\displaystyle \phi }$و${\displaystyle \psi }$تكون هذه الصفات متنافية إذا لم يكن من الممكن منطقياً أن تكون صحيحة في الوقت نفسه؛ أي${\displaystyle \lnot (\phi \land \psi )}$هذا تحصيل حاصل. القول بأن أكثر من قضيتين متنافيتان، بحسب السياق، يعني إما 1. "${\displaystyle \lnot (\phi _{1}\land \phi _{2})\land \lnot (\phi _{1}\land \phi _{3})\land \lnot (\phi _{2}\land \phi _{3})}$1. "هو تحصيل حاصل" (ليس من الممكن منطقياً أن تكون أكثر من قضية واحدة صحيحة) أو 2. "${\displaystyle \lnot (\phi _{1}\land \phi _{2}\land \phi _{3})}$"هو تحصيل حاصل" (ليس من الممكن منطقيًا أن تكون جميع القضايا صحيحة في الوقت نفسه). مصطلح " متنافيان متبادلان" يعني دائمًا الحالة الأولى.

في نظرية الاحتمالات ، يُقال إن الأحداث E1 _، E2 _، ...، _En متنافية إذا كان وقوع أي منها يستلزم عدم وقوع الأحداث المتبقية n - 1. لذلك، لا يمكن أن يقع حدثان متنافيان معًا. بعبارة أخرى ،  ${\displaystyle X}$هي مجموعة من الأحداث المتنافية المتبادلة إذا وفقط إذا تم إعطاء أي${\displaystyle E_{i},E_{j}\in X}$، لو${\displaystyle E_{i}\neq E_{j}}$ثم${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing }$ونتيجة لذلك، فإن الأحداث المتنافية لها الخاصية التالية:${\displaystyle P(A\cap B)=0}$[ ^{2 ]​}

على سبيل المثال، في مجموعة أوراق لعب قياسية مكونة من 52 ورقة بلونين، يستحيل سحب ورقة حمراء وأخرى من فئة النادي، لأن أوراق النادي تكون سوداء دائمًا. إذا سُحبت ورقة واحدة فقط من المجموعة، فستكون إما حمراء (قلب أو ماس) أو سوداء (نادي أو بستوني). عندما يكون الحدثان A و B متنافيين، فإن P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) . ^{[ 3 ]} لإيجاد احتمال سحب ورقة حمراء أو ورقة من فئة النادي، على سبيل المثال، نجمع احتمال سحب ورقة حمراء مع احتمال سحب ورقة من فئة النادي. في مجموعة أوراق لعب قياسية مكونة من 52 ورقة، يوجد 26 ورقة حمراء و13 ورقة من فئة النادي: 26/52 + 13/52 = 39/52 أو 3/4.

يجب سحب ورقتين على الأقل للحصول على كلٍّ من الورقة الحمراء وورقة النادي. يعتمد احتمال حدوث ذلك في سحبتين على ما إذا كانت الورقة الأولى المسحوبة قد أُعيدت قبل السحبة الثانية، لأنه في حال عدم الإعادة، يقل عدد الأوراق المسحوبة بواحدة بعد سحب الورقة الأولى. تُضرب احتمالات كل حدث على حدة (الحمراء وورقة النادي) بدلاً من جمعها. بالتالي، فإن احتمال سحب ورقة حمراء وورقة نادي في سحبتين بدون إرجاع هو 26/52 × 13/51 × 2 = 676/2652 ، أو 13/51. أما مع الإرجاع، فيصبح الاحتمال 26/52 × 13/52 × 2 = 676/2704 ، أو 13/52.

في نظرية الاحتمالات، تسمح كلمة " أو" بإمكانية وقوع كلا الحدثين. يُرمز لاحتمالية وقوع أحد الحدثين أو كليهما بـ P( A ∪ B )، وهي تساوي عمومًا P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ). ^{[ 3 ]} لذا، في حالة سحب بطاقة حمراء أو ملك، يُعتبر سحب أيٍّ من الملك الأحمر، أو بطاقة حمراء غير ملك، أو الملك الأسود، نجاحًا. في مجموعة أوراق اللعب القياسية المكونة من 52 بطاقة، يوجد 26 بطاقة حمراء و4 ملوك، اثنان منهم أحمران، وبالتالي فإن احتمالية سحب بطاقة حمراء أو ملك هي 26/52 + 4/52 – 2/52 = 28/52.

تُعتبر الأحداث شاملةً إذا استُنفدت جميع احتمالات النتائج من خلال تلك الأحداث الممكنة، وبالتالي يجب أن تحدث نتيجة واحدة على الأقل من تلك النتائج. احتمال حدوث حدث واحد على الأقل يساوي واحدًا. ^{[ 4 ]} على سبيل المثال، نظريًا، لا يوجد سوى احتمالين لرمي قطعة نقدية. رمي صورة ورمي كتابة هما حدثان شاملان، واحتمال حدوث أي منهما يساوي واحدًا. يمكن أن تكون الأحداث متنافية وشاملة في الوقت نفسه. ^{[ 4 ]} في حالة رمي قطعة نقدية، فإن رمي صورة ورمي كتابة هما أيضًا حدثان متنافيان. لا يمكن أن تحدث كلتا النتيجتين في محاولة واحدة (أي عند رمي قطعة نقدية مرة واحدة فقط). يمكن جمع احتمال رمي صورة واحتمال رمي كتابة للحصول على احتمال يساوي 1: 1/2 + 1/2 = 1. ^{[ 5 ]}

في الإحصاء وتحليل الانحدار ، يُطلق على المتغير المستقل الذي لا يأخذ إلا قيمتين محتملتين اسم المتغير الوهمي . على سبيل المثال، قد يأخذ القيمة 0 إذا كانت الملاحظة تخص شخصًا أبيض البشرة، أو القيمة 1 إذا كانت الملاحظة تخص شخصًا أسود البشرة. الفئتان المحتملتان المرتبطتان بالقيمتين المحتملتين متنافيتان، بحيث لا تقع أي ملاحظة في أكثر من فئة واحدة، والفئات شاملة، بحيث تقع كل ملاحظة في إحدى الفئات. في بعض الأحيان، توجد ثلاث فئات محتملة أو أكثر، وهي متنافية ثنائياً وشاملة مجتمعة - على سبيل المثال، أقل من 18 عامًا، ومن 18 إلى 64 عامًا، و65 عامًا فأكثر. في هذه الحالة، يتم إنشاء مجموعة من المتغيرات الوهمية، لكل متغير وهمي فئتان متنافيتان وشاملتان مجتمعتين - في هذا المثال، أحد المتغيرات الوهمية (يُسمى D1 ₎ يساوي 1 إذا كان العمر أقل من 18 عامًا، ويساوي 0 فيما عدا ذلك . يُساوي المتغير الوهمي الثاني (يُسمى D2 ₎ القيمة 1 إذا كان العمر ضمن النطاق 18-64، والقيمة 0 فيما عدا ذلك. في هذا السياق، يمكن أن تأخذ أزواج المتغيرات الوهمية (D1 _، D2 ₎ القيم (1، 0) (أقل من 18 عامًا)، أو (0، 1) (بين 18 و64 عامًا)، أو (0، 0) (65 عامًا فأكثر) (ولكن ليس (1، 1)، لأن ذلك سيُشير بشكل غير منطقي إلى أن الشخص المُلاحَظ هو في الوقت نفسه أقل من 18 عامًا وبين 18 و64 عامًا). بعد ذلك، يمكن تضمين المتغيرات الوهمية كمتغيرات مستقلة (تفسيرية) في نموذج الانحدار. دائمًا ما يكون عدد المتغيرات الوهمية أقل بواحد من عدد الفئات: ففي فئتي الأسود والأبيض، يوجد متغير وهمي واحد للتمييز بينهما، بينما في فئات العمر الثلاث، يلزم متغيران وهميان للتمييز بينها.

يمكن استخدام هذه البيانات النوعية أيضًا كمتغيرات تابعة . على سبيل المثال، قد يرغب باحث في التنبؤ بما إذا كان شخص ما سيُقبض عليه أم لا، باستخدام دخل الأسرة أو العرق كمتغيرات تفسيرية. في هذه الحالة، يكون المتغير المراد تفسيره متغيرًا ثنائيًا يساوي صفرًا إذا لم يُقبض على الشخص، ويساوي واحدًا إذا قُبض عليه. في مثل هذه الحالة، يُعتبر أسلوب المربعات الصغرى العادية (أسلوب الانحدار الأساسي) غير كافٍ على نطاق واسع؛ ويُستخدم بدلاً منه انحدار بروبيت أو الانحدار اللوجستي . علاوة على ذلك، قد يكون هناك أحيانًا ثلاث فئات أو أكثر للمتغير التابع - على سبيل المثال، عدم توجيه تهم، توجيه تهم، وأحكام بالإعدام. في هذه الحالة، يُستخدم أسلوب بروبيت متعدد الحدود أو أسلوب لوجيت متعدد الحدود .

• التناقض
• ثنائية
• المجموعات المنفصلة
• ربط مزدوج
• هيكل الأحداث
• مفارقة
• التزامن
• مبدأ MECE (الاستبعاد المتبادل والشمول الجماعي)

• ويتلوك، مايكل سي؛ شلوتر، دولف (2008). تحليل البيانات البيولوجية . روبرتس وشركاه. ISBN 978-0-9815194-0-1.
• ليند، دوغلاس أ.؛ مارشال، ويليام ج.؛ واثين، صموئيل أ. (2003). الإحصاءات الأساسية للأعمال والاقتصاد (الطبعة الرابعة  ). بوسطن: ماكجرو هيل. ISBN 0-07-247104-2.