الحد الرئيسي

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 1 صور
الموسوعة الحرة

الحدود ذات الرتبة الرئيسية (أو تصحيحات الرتبة الرئيسية ) في المعادلة الرياضية أو التعبير أو النموذج هي الحدود ذات أكبر رتبة مقدارية . [ 1 ] [ 2 ] تتغير أحجام الحدود المختلفة في المعادلة (المعادلات) بتغير المتغيرات ، وبالتالي، قد تتغير الحدود ذات الرتبة الرئيسية أيضًا.

من الطرق الشائعة والفعّالة لتبسيط وفهم مجموعة واسعة من النماذج الرياضية المعقدة، دراسةُ الحدود الأكبر (وبالتالي الأكثر أهمية) لأحجام محددة من المتغيرات والمعاملات، وتحليل السلوك الناتج عن هذه الحدود فقط (مع إهمال الحدود الأصغر الأخرى). [ 3 ] [ 4 ] وهذا يُعطي السلوك الرئيسي ، بينما لا يختلف السلوك الحقيقي عنه إلا قليلاً.

قد يُعبّر عن السلوك الرئيسي بشكلٍ كافٍ باستخدام الحدود الرئيسية فقط، أو قد يُقرر تضمين حدود أصغر قليلاً. في هذه الحالة، يُمكن استخدام عبارة "الحدود الرئيسية" بشكلٍ غير رسمي للإشارة إلى هذه المجموعة الكاملة من الحدود. يُطلق على السلوك الناتج عن مجموعة الحدود الرئيسية فقط اسم سلوك النموذج الرئيسي .

مثال أساسي

أحجام الحدود الفردية في المعادلة y = x³ +  5x + 0.1 . ( الحدود ذات الرتبة الرئيسية مميزة باللون الوردي.)     
x0.0010.10.5210
3x​0.0000000010.0010.12581000
5 ×0.0050.52.51050
0.10.10.10.10.10.1
y0.1050000010.6012.72518.11050.1

لنفترض المعادلة y  = x³ + 5x + 0.1. يوضح الجدول، لخمس قيم مختلفة لـ x، أحجام الحدود الأربعة في هذه المعادلة، والحدود ذات الرتبة الرئيسية. مع ازدياد قيمة x ، تبقى الحدود ذات الرتبة الرئيسية x³ و y ، ولكن مع انخفاض قيمة x ثم ازدياد قيمها السالبة، تتغير الحدود ذات الرتبة الرئيسية مرة أخرى.     

لا يوجد حد فاصل دقيق لتحديد متى يُعتبر حدّان متقاربين في الرتبة أو الحجم. إحدى القواعد العامة الممكنة هي اعتبار حدّين متقاربين في الرتبة ضمن عامل 10 (رتبة واحدة)، بينما يُعتبر حدّان متقاربين في الرتبة خارج عامل 100 (رتبتين). مع ذلك، توجد منطقة رمادية بينهما، فلا توجد حدود ثابتة لتحديد ما إذا كان الحدّان متقاربين في الرتبة أم لا. بل تتداخل الحدود وتتلاشى مع تغير المتغيرات. غالبًا ما يكون تحديد ما إذا كانت الحدود في النموذج متقاربة في الرتبة (أو متقاربة فيها)، وإن لم تكن كذلك، ما إذا كانت صغيرة بما يكفي لتُهمل (وهما سؤالان مختلفان)، مسألة بحث وتقدير، وتعتمد على السياق.

سلوك الترتيب الرائد

المعادلات التي تحتوي على حد رئيسي واحد فقط ممكنة، ولكنها نادرة. على سبيل المثال، المعادلة 100 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 (حيث يتكون الطرف الأيمن من مئة 1). لأي توليفة معينة من قيم المتغيرات والمعاملات، تحتوي المعادلة عادةً على حدين رئيسيين على الأقل، بالإضافة إلى حدود أخرى من رتب أدنى . في هذه الحالة، بافتراض أن الحدود من الرتب الأدنى، وأجزاء الحدود الرئيسية التي لها نفس حجم الحدود من الرتب الأدنى (ربما الرقم المعنوي الثاني أو الثالث فصاعدًا)، مهملة، يمكن تكوين معادلة جديدة بحذف جميع هذه الحدود من الرتب الأدنى وأجزاء الحدود الرئيسية. تُشكل الحدود المتبقية معادلة الرتبة الرئيسية ، أو معادلة توازن الرتبة الرئيسية ، [ 5 ] أو معادلة التوازن المهيمن ، [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] ، ويُعرف إنشاء معادلة جديدة تتضمن هذه الحدود فقط بتحويل المعادلة إلى معادلة الرتبة الرئيسية . تُسمى حلول هذه المعادلة الجديدة بالحلول الرئيسية [ 9 ] [ 10 ] للمعادلة الأصلية. ويُعطي تحليل السلوك الناتج عن هذه المعادلة الجديدة السلوك الرئيسي [ 11 ] [ 12 ] للنموذج لهذه القيم من المتغيرات والمعاملات. وعادةً ما يكون حجم الخطأ في هذا التقريب مساويًا تقريبًا لحجم أكبر حد مُهمل.

رسم بياني للدالة y  = x³ + 5x + 0.1 . السلوك الرئيسي عند x = 0.001 هو أن y ثابتة، وعند x = 10 هو أن y تزداد تكعيبياً مع x .         

لنفترض أننا نريد فهم سلوك الرتبة الرئيسية للمثال أعلاه.

  • عندما تكون قيمة x  تساوي  0.001، يمكن إهمال الحدين x و 3 و 5 ، وحذفهما، بالإضافة إلى أي قيم تبدأ من ثلاثة أرقام عشرية فصاعدًا في الحدين المتبقيين. وهذا يُعطي التوازن الرئيسي y = 0.1. وبالتالي، فإن سلوك المعادلة الرئيسي عند x = 0.001 هو أن y ثابتة.  
  • وبالمثل، عندما x  =  10، يمكن إهمال الحدين 5x و0.1، وحذفهما، بالإضافة إلى أي قيم تبدأ من الرقم المعنوي الثالث في الحدين المتبقيين. وهذا يعطينا معادلة التوازن الرئيسية y  = x³ . وبالتالي، فإن سلوك المعادلة الرئيسية عند x = 10 هو أن y تزداد تكعيبياً مع x . 

وبالتالي، يمكن دراسة السلوك الرئيسي لـ y عند أي قيمة لـ x . يصبح سلوك الرتبة الأولى أكثر تعقيدًا عندما يكون عدد الحدود من الرتبة الأولى أكبر. عند x=2، يوجد توازن في الرتبة الأولى بين الاعتماد التكعيبي والخطي لـ y على x .

لاحظ أن هذا الوصف لإيجاد التوازنات والسلوكيات من الدرجة الأولى لا يقدم سوى وصف موجز للعملية - فهو ليس دقيقًا من الناحية الرياضية.

ثاني أعلى مرتبة

بالطبع، لا تكون قيمة y ثابتة تمامًا عند x = 0.001، فهذا مجرد سلوكها الرئيسي في جوار هذه النقطة. قد يكون الاحتفاظ فقط بالحدود ذات الرتبة الرئيسية (أو ما يقاربها) وإهمال جميع الحدود الأصغر الأخرى غير كافٍ (عند استخدام النموذج للتنبؤات المستقبلية، على سبيل المثال)، ولذا قد يكون من الضروري أيضًا الاحتفاظ بمجموعة الحدود الأكبر التالية. يمكن تسمية هذه الحدود بحدود الرتبة التالية للرتبة الرئيسية (NLO) أو التصحيحات. [ 13 ] [ 14 ] ويمكن تسمية مجموعة الحدود التالية لها بحدود الرتبة التالية للرتبة التالية للرتبة الرئيسية (NNLO) أو التصحيحات. [ 15 ]  

الاستخدام

توسعات تقاربية متطابقة

تُستخدم تقنيات التبسيط من الرتبة الأولى بالتزامن مع طريقة التوسعات التقاربية المتطابقة ، عندما يكون الحل التقريبي الدقيق في كل مجال فرعي هو الحل من الرتبة الأولى. [ 3 ] [ 16 ] [ 17 ]

تبسيط معادلات نافيير-ستوكس

في سيناريوهات تدفق الموائع المحددة، يمكن تبسيط معادلات نافيير-ستوكس (العامة جدًا) بشكل كبير من خلال النظر فقط في المكونات الرئيسية. على سبيل المثال، معادلات تدفق ستوكس . [ 18 ] وكذلك معادلات الأغشية الرقيقة لنظرية التزييت .

تبسيط المعادلات التفاضلية باستخدام التعلم الآلي

يمكن تبسيط العديد من المعادلات التفاضلية محليًا من خلال النظر فقط في المكونات الرئيسية. تستطيع خوارزميات التعلم الآلي تقسيم بيانات المحاكاة أو الرصد إلى أقسام محلية ذات حدود معادلة رئيسية لتطبيقات الديناميكا الهوائية ، وديناميكا المحيطات ، وتكوين الأوعية الدموية الناجم عن الأورام ، والبيانات الاصطناعية . [ 19 ]

انظر أيضاً

  • التقييم ، وهو تعميم جبري لمصطلح "الرتبة الرائدة".

مراجع

  1. ↑ جيه كيه هانتر، التحليل التقاربي ونظرية الاضطراب المفرد ، 2004. http://www.math.ucdavis.edu/~hunter/notes/asy.pdf
  2. ↑ ملاحظات دورة جامعة نيويورك
  3. 1 2 ميتشل، إم جيه؛ وآخرون  (2010). "نموذج لذوبان ثاني أكسيد الكربون وحركية تكربن المعادن" . وقائع الجمعية الملكية أ . 466 (2117): 1265-1290 . Bibcode : 2010RSPSA.466.1265M . doi : 10.1098/rspa.2009.0349 .
  4. ↑ وولارد، إتش إف؛ وآخرون (2008). "نموذج متعدد المقاييس لانتقال المذاب في قناة ذات جدران متموجة" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات الهندسية . 64 (1): 25-48 . Bibcode : 2009JEnMa..64...25W . doi : 10.1007/s10665-008-9239-x . 
  5. ↑ ستيرنبرغ، ب.؛ بيرنوف، أ. ج. (1998). "بداية الموصلية الفائقة في المجالات المتناقصة للمجالات العامة" . مجلة الفيزياء الرياضية . 39 (3): 1272-1284 . Bibcode : 1998JMP....39.1272B . doi : 10.1063/1.532379 .
  6. ↑ سالامون، تي آر؛ وآخرون (1995). "دور التوتر السطحي في التوازن السائد في تفرد انتفاخ القالب" . فيزياء الموائع . 7 (10): 2328-2344 . Bibcode : 1995PhFl....7.2328S . doi : 10.1063/1.868746 . مؤرشف من الأصل في 2013-07-08. 
  7. ↑ غورشكوف، أ. ف. وآخرون (2008). "التحكم البصري الكمي المتماسك بدقة دون الطول الموجي". رسائل المراجعة الفيزيائية . 100 (9) 93005. arXiv : 0706.3879 . Bibcode : 2008PhRvL.100i3005G . doi : 10.1103 / PhysRevLett.100.093005 . PMID 18352706. S2CID 3789664 .   
  8. ↑ ليندنبرغ، ك .؛ وآخرون (1994). "التفاعلات الثنائية المحدودة بالانتشار: تسلسل الأنظمة غير الكلاسيكية للشروط الأولية المترابطة" (ملف PDF) . مجلة الكيمياء الفيزيائية . 98 (13): 3389-3397 . doi : 10.1021/j100064a020 . 
  9. ↑ زينتشيكوفسكي، ب. (1988). "مصفوفة كوباياشي-ماسكاوا من الحل الرئيسي لنموذج فريتش من الجيل n ". مجلة Physical Review D. 38 ( 1): 332-336 . Bibcode : 1988PhRvD..38..332Z . doi : 10.1103/PhysRevD.38.332 . PMID 9959017 . 
  10. ↑ هورويتز، جي تي؛ تسيتلين، إيه إيه (1994). "الثقوب السوداء المتطرفة كحلول دقيقة لنظرية الأوتار". رسائل المراجعة الفيزيائية . 73 (25): 3351-3354 . arXiv : hep-th/9408040 . Bibcode : 1994PhRvL..73.3351H . doi : 10.1103 /PhysRevLett.73.3351 . PMID 10057359. S2CID 43551044 .  
  11. ↑ حسين، أ. (1980). "السلوك الرئيسي لسعات تشتت الفوتونين في الديناميكا اللونية الكمومية". الفيزياء النووية ب . 163 : 453-460 . Bibcode : 1980NuPhB.163..453A . doi : 10.1016/0550-3213(80)90411-3 .
  12. ↑ كروتشينسكي، م.؛ أوكسمان، ل. إي.؛ زالدارياغا، م. (1999). "سلوك الانضغاط الكبير لتوليد الإنتروبيا الكونية". الجاذبية الكلاسيكية والكمية . 11 (9): 2317-2329 . arXiv : gr-qc/9403024 . Bibcode : 1994CQGra..11.2317K . doi : 10.1088/0264-9381/11/9/013 . S2CID 13979794 . 
  13. ↑ كامبل، ج.؛ إليس، ر. ك. (2002). "تصحيحات الرتبة التالية للرتبة الرائدة لإنتاج نفاثات W + 2 و Z + 2 في مصادمات الهادرونات". مجلة Physical Review D. 65 ( 11) 113007. arXiv : hep-ph/0202176 . Bibcode : 2002PhRvD..65k3007C . doi : 10.1103/PhysRevD.65.113007 . S2CID 119355645 . 
  14. ↑ كاتاني، س.؛ سيمور، م. هـ. (1996). "صيغة ثنائي القطب لحساب مقاطع عرضية لنفثات الكروموديناميكا الكمية عند الرتبة التالية للرتبة الرائدة". رسائل الفيزياء ب . 378 (1): 287-301 . arXiv : hep-ph/9602277 . Bibcode : 1996PhLB..378..287C . doi : 10.1016/0370-2693(96)00425-X . S2CID 15422325 . 
  15. ↑ كيدوناكيس، ن.؛ فوغت، ر. (2003). "تصحيحات الغلوون الناعم من الرتبة التالية للرتبة التالية للرتبة الرائدة في إنتاج الهادرونات بواسطة الكوارك العلوي". مجلة Physical Review D. 68 ( 11) 114014. arXiv : hep-ph/0308222 . Bibcode : 2003PhRvD..68k4014K . doi : 10.1103/PhysRevD.68.114014 . S2CID 5943465 . 
  16. ↑ روبنشتاين، بي واي؛ بيسمان، إل إم (1994). "حركة الدوامات في نموذج جينزبورغ-لانداو المحافظ غير المتجانس مكانيًا" (ملف PDF) . فيزيكا د: الظواهر غير الخطية . 78 (1): 1-10 . رمز Bibcode : 1994PhyD...78....1R . doi : 10.1016/0167-2789(94)00119-7 .
  17. ↑ كيفشار، واي إس؛ وآخرون (1998). "ديناميكيات السوليتونات الدوامية البصرية" (ملف PDF) . اتصالات البصريات . 152 (1): 198-206 . رمز Bibcode : 1998OptCo.152..198K . doi : 10.1016/S0030-4018(98)00149-7 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 21 أبريل 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 31 أكتوبر 2012 . 
  18. ↑ " موقع kirbyresearch.com معروض للبيع" . www.kirbyresearch.com
  19. ↑ كايزر، برايان إي.؛ ساينز، خوان أ.؛ سونوالد، مايك؛ ليفيسكو، دانيال (2022). "التعرف الآلي على العمليات الفيزيائية السائدة" . تطبيقات الهندسة للذكاء الاصطناعي . 116 105496. doi : 10.1016/j.engappai.2022.105496 . S2CID 252957864 .