دالة ليجاندر كاي

في الرياضيات ، دالة ليجندر χ (نسبةً إلى أدريان ماري ليجندر ) هي دالة خاصة، ومتسلسلة تايلور الخاصة بها هي أيضًا متسلسلة ديريشليه ، معطاة بالصيغة التالية: $${\displaystyle \chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.}$$

وبذلك، فهي تشبه متسلسلة ديريشليه للوغاريتم المتعدد ، ويمكن التعبير عنها بسهولة كجزء فردي من اللوغاريتم المتعدد. $${\displaystyle \chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right].}$$

تظهر دالة ليجندر كاي على أنها تحويل فورييه المنفصل ، بالنسبة للرتبة ν ، لدالة هورويتز زيتا ، وكذلك لكثيرات حدود أويلر ، مع العلاقات الصريحة الواردة في تلك المقالات.

دالة ليجندر χ هي حالة خاصة من دالة ليرش المتسامية ، ويتم إعطاؤها بواسطة $${\displaystyle \chi _{\nu }(z)=2^{-\nu }z\,\Phi (z^{2},\nu ,1/2).}$$

$${\displaystyle \chi _{-1}\left(x\right)={\frac {x\left(1+x^{2}\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}}}$$$${\displaystyle \chi _{0}\left(x\right)={\frac {x}{1-x^{2}}}}$$$${\displaystyle \chi _{1}(x)=\operatorname {arctanh} (x)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$$$${\displaystyle \chi _{2}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {arctanh} (t)}{t}}\mathrm {d} t}$$$${\displaystyle \chi _{\infty }(x)=x}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\chi _ {\nu }(x)={\frac {\chi _{\nu -1}(x)}{x}}}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\chi _{2}(x)={\frac {\operatorname {arctanh} (x)}{x}}}$$$${\displaystyle \chi _{2}(x)+\chi _{2}(1/x)={\frac {\pi ^{2}}{4}}-{\frac {i\pi }{2}}\ln |x|}$$$${\displaystyle \chi _{2}(x)+\chi _{2}\left({\frac {1-x}{1+x}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{8}}+\ln(x)\operatorname {arctanh} (x),\quad x\in (0,1)}$$

يأخذ القيم الخاصة:

$${\displaystyle \chi _{2}(1)={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$$$${\displaystyle \chi _{2}(-1)=-{\frac {\pi ^{2}}{8}}}$$$${\displaystyle \chi _{2}({\sqrt {2}}-1)={\frac {\pi ^{2}}{16}}-{\frac {1}{4}}\ln ^{2}({\sqrt {2}}+1)}$$$${\displaystyle \chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{12}}-{\frac {3}{4}}\ln ^{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)}$$$${\displaystyle \chi _{2}({\sqrt {5}}-2)={\frac {\pi ^{2}}{24}}-{\frac {3}{4}}\ln ^{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)}$$$${\displaystyle \chi _{2}(i)=iK,}$$

أين$i$هي الوحدة التخيلية و K هو ثابت كاتالان . ^{[ 1 ]} تشمل القيم الخاصة الأخرى ما يلي:

$${\displaystyle \chi _{n}(1)=\lambda (n)}$$$${\displaystyle \chi _{n}(i)=i\beta (n),}$$

أين$\lambda (n)$هي دالة لامدا ديريشليه و$\beta (n)$هي دالة بيتا ديريشليه . ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arcsin(r\sin \theta )\,\mathrm {d} \theta =\chi _{2}(r),\qquad \int _{0}^{\pi /2}\arccos(r\cos \theta )\,\mathrm {d} \theta =\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}-\chi _{2}(r)\qquad {\rm {if}}~~|r|\leq 1}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(r\sin \theta )\,\mathrm {d} \theta =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {r\theta \cos \theta }{1+r^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta =2\chi _{2}\!\!\left({\frac {{\sqrt {1+r^{2}}}-1}{r}}\right)}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(p\sin \theta )\arctan(q\sin \theta )\,\mathrm {d} \theta =\pi \chi _{2}\!\!\left({\frac {{\sqrt {1+p^{2}}}-1}{p}}\cdot {\frac {{\sqrt {1+q^{2}}}-1}{q}}\right)}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{\beta }{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}{1-x^{2}y^{2}}}=\chi _{2}(\alpha \beta )\qquad {\rm {if}}~~|\alpha \beta |\leq 1}$$

• وايسستين، إريك دبليو. “وظيفة الطاقة الأسطورية” . عالم الرياضيات .
• ديوردجي سفيجوفيتش، جاك كلينوفسكي (1999). "قيم دالتي ليجندر χ وهورويتز زيتا عند الوسائط النسبية" . رياضيات الحساب . 68 (228): 1623-1630 . doi : 10.1090/S0025-5718-99-01091-1 .
• دجوردجي سفيوفيتش (2007). "التمثيلات التكاملية لدالة ليجندر كاي". مجلة التحليل الرياضي وتطبيقاته . 332 (2): 1056-1062 . arXiv : 0911.4731 . doi : 10.1016/j.jmaa.2006.10.083 . S2CID 115155704 .