كثيرات حدود برنولي

في الرياضيات ، تجمع كثيرات حدود برنولي ، نسبةً إلى جاكوب برنولي ، بين أعداد برنولي ومعاملات ذات الحدين . وتُستخدم هذه الكثيرات في توسيع الدوال باستخدام المتسلسلات ، ومع صيغة أويلر-ماكلورين .

تظهر هذه كثيرات الحدود في دراسة العديد من الدوال الخاصة ، ولا سيما دالة زيتا لريمان ودالة زيتا لهرويتز . وهي تُشكل متتالية أبيل (أي متتالية شيفر لمؤثر الاشتقاق العادي ). بالنسبة لكثيرات حدود برنولي، لا يزداد عدد نقاط تقاطع المحور السيني في الفترة [ 0,1] مع ازدياد درجة الدالة . وفي حالة الدرجات الكبيرة، تقترب هذه كثيرات الحدود، عند تعديلها بشكل مناسب، من دالتي الجيب وجيب التمام .

مجموعة مماثلة من كثيرات الحدود، تعتمد على دالة مولدة، هي عائلة كثيرات حدود أويلر .

يمكن تعريف كثيرات حدود برنولي B _n بواسطة دالة مولدة . كما أنها تقبل مجموعة متنوعة من التمثيلات المشتقة.

باستخدام التمثيل التكاملي المذكور أعلاه لـ${\displaystyle x^{n}}$أو الهوية${\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}}$لدينا $${\displaystyle \sum _{k=0}^{x}k^{p}=\int _{0}^{x+1}B_{p}(t)\,dt={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}}{p+1}}}$$ (بافتراض أن 0 ⁰  =  1).

أولى كثيرات حدود برنولي هي: $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,&B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\[4mu]B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&B_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{6}}x,\\[4mu]B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},&B_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+{\tfrac {5}{2}}x^{4}-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{42}},\\[-2mu]B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x{\vphantom {\Big |}},\qquad &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}}$$

أولى كثيرات حدود أويلر هي: $$\displaystyle \begin{aligned}E_{0}(x)&=1,&E_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x,\\[4mu]E_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&E_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}},\\[4mu]E_{2}(x)&=x^{2}-x,&E_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x,\\[-1mu]E_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{4}},\qquad \ \ &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}}$$

عند قيم n الأعلى، يكون مقدار التباين في${\displaystyle B_{n}(x)}$بين${\displaystyle x=0}$و${\displaystyle x=1}$يكبر حجمه. على سبيل المثال،${\displaystyle B_{16}(0)=B_{16}(1)={}}$${\displaystyle -{\tfrac {3617}{510}}\approx -7.09,}$لكن${\displaystyle B_{16}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={}}$${\displaystyle {\tfrac {118518239}{3342336}}\approx 7.09.}$أظهر ليمر (1940) ^{[ 3 ]} أن القيمة القصوى ( Mn ₎ لـ${\displaystyle B_{n}(x)}$ يخضع ما بين 0 و 1$${\displaystyle M_{n}<{\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}}$$ إلا إذا كان n يساوي 2 بتردد 4 ، وفي هذه الحالة $${\displaystyle M_{n}={\frac {2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}}$$ (أين${\displaystyle \zeta (x)}$دالة زيتا لريمان هي ، بينما الحد الأدنى ( mn ₎ يخضع $${\displaystyle m_{n}>{\frac {-2n!}{(2\pi )^{n}}}}$$ إلا إذا كان n = 0 modulo 4 ، وفي هذه الحالة $${\displaystyle m_{n}={\frac {-2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}.}$$

هذه الحدود قريبة جدًا من الحد الأقصى والحد الأدنى الفعليين، كما أن ليمر يعطي حدودًا أكثر دقة أيضًا.

تخضع كثيرات حدود برنولي وأويلر للعديد من العلاقات من حساب التفاضل والتكامل الظلي : $${\displaystyle {\begin{align}\Delta B_{n}(x)&=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1},\\[3mu]\Delta E_ {n}(x)&=E_{n}(x+1)-E_{n}(x)=2(x^{n}-E_{n}(x)).\end{محاذاة}}}$$ ( Δ هو عامل الفرق الأمامي ). أيضًا، $${\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.}$$ هذه المتتابعات متعددة الحدود هي متتابعات أبيل : $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}'(x)&=nB_{n-1}(x),\\[3mu]E_{n}'(x)&=nE_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

تُعتبر متسلسلة فورييه لكثيرات حدود برنولي أيضًا متسلسلة ديريشليه ، والتي تُعطى بالتوسيع التالي: $${\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.}$$ لاحظ الحد البسيط لقيمة n الكبيرة للدوال المثلثية ذات المقياس المناسب.

هذه حالة خاصة من الشكل المماثل لدالة زيتا لهورويتز$${\displaystyle B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.}$$

هذا التوسع صالح فقط لـ 0 ≤ x ≤ 1 عندما n ≥ 2 وهو صالح لـ 0 < x < 1 عندما n = 1 .

يمكن أيضًا حساب متسلسلة فورييه لكثيرات حدود أويلر. بتعريف الدوال $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\\[3mu]S_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\end{aligned}}}$$ ل${\displaystyle \nu >1}$، تمتلك متعددة حدود أويلر متسلسلة فورييه $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{2n}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)\\[1ex]S_{2n+1}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x).\end{aligned}}}$$ لاحظ أن${\displaystyle C_{\nu }}$و${\displaystyle S_{\nu }}$فردي وزوجي على التوالي:$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=-C_{\nu }(1-x)\\S_{\nu }(x)&=S_{\nu }(1-x).\end{aligned}}}$$

وهي مرتبطة بدالة ليجندر كاي${\displaystyle \chi _{\nu }}$مثل $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\operatorname {Re} \chi _{\nu }(e^{ix})\\S_{\nu }(x)&=\operatorname {Im} \chi _{\nu }(e^{ix}).\end{aligned}}}$$

يمكن عكس كثيرات حدود برنولي وأويلر للتعبير عن الحد الأحادي بدلالة كثيرات الحدود.

وبالتحديد، يتضح من القسم السابق حول المؤثرات التكاملية أن $${\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)}$$ و $${\displaystyle x^{n}=E_{n}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}E_{k}(x).}$$

يمكن توسيع كثيرات حدود برنولي بدلالة المضروب المتناقص${\displaystyle (x)_{k}}$مثل $${\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1}}$$ أين${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}$و $${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)}$$ يرمز إلى عدد ستيرلينغ من النوع الثاني . يمكن عكس ما سبق للتعبير عن المضروب المتناقص بدلالة كثيرات حدود برنولي: $${\displaystyle (x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)}$$ أين $${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)}$$ يشير إلى عدد ستيرلينغ من النوع الأول .

تم تقديم نظريات الضرب بواسطة جوزيف لودفيج رابي في عام 1851:

بالنسبة لعدد طبيعي m ≥ 1 ، $${\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}(mx)&=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}E_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for odd }}m\\[1ex]E_{n}(mx)&={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}B_{n+1}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for even }}m\end{aligned}}}$$

التكاملان المحددان اللذان يربطان كثيرات حدود برنولي وأويلر بأعداد برنولي وأويلر هما: ^{[ 5 ]}

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!\,n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\text{for }}m,n\geq 1}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!\,n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}}$

تنص صيغة تكاملية أخرى على ^{[ 6 ]}

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}\left(x+y\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=n!\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{k-1}}{\pi ^{2k}}}\left(2-2^{-2k}\right)\zeta (2k+1){\frac {y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}}}$

مع الحالة الخاصة لـ${\displaystyle y=0}$

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}(2n-1)!}{\pi ^{2n}}}\left(2-2^{-2n}\right)\zeta (2n+1)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}}{\pi ^{2n}}}{\frac {2^{2n-2}}{(2n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(2^{2k+1}-1)\zeta (2k+1)\zeta (2n-2k)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=\int _{0}^{1}B_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=0}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}{{{B}_{2n-1}}\left(x\right)\cot \left(\pi x\right)dx}={\frac {2\left(2n-1\right)!}{{{\left(-1\right)}^{n-1}}{{\left(2\pi \right)}^{2n-1}}}}\zeta \left(2n-1\right)}$

تُعرَّف متعددة حدود برنولي الدورية P _{_n} ( x ) بأنها متعددة حدود برنولي مُقَيَّمة عند الجزء الكسري من المتغير x . تُستخدم هذه الدوال لتوفير حد الباقي في صيغة أويلر-ماكلورين التي تربط المجاميع بالتكاملات. متعددة الحدود الأولى هي دالة سن المنشار .

من الناحية الدقيقة، هذه الدوال ليست كثيرات حدود على الإطلاق، ومن الأنسب تسميتها دوال برنولي الدورية.

الخصائص التالية ذات أهمية، وهي صالحة للجميع${\displaystyle x}$:

• ${\displaystyle P_{k}(x)}$متصلة لجميع${\displaystyle k>1}$
• ${\displaystyle P_{k}'(x)}$موجود ومستمر لـ${\displaystyle k>2}$
• ${\displaystyle P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x)}$ل${\displaystyle k>2}$

• أرقام برنولي
• كثيرات حدود برنولي من النوع الثاني
• متعددة حدود ستيرلينغ
• كثيرات الحدود التي تحسب مجموع قوى المتتابعات الحسابية

• قائمة بالمتطابقات التكاملية التي تتضمن كثيرات حدود برنولي من المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST).