Lerch transcendent

In mathematics, the Lerch transcendent, is a special function that generalizes the Hurwitz zeta function and the polylogarithm. It is named after Czech mathematician Mathias Lerch, who published a paper about a similar function in 1887.^[1] The Lerch transcendent, is given by:

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}}$.

It only converges for any real number ${\displaystyle \alpha >0}$, where ${\displaystyle |z|<1}$, or ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)>1}$, and ${\displaystyle |z|=1}$.^[2]

The Lerch transcendent is related to and generalizes various special functions.

The Lerch zeta function is given by:

${\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {e^{2\pi i\lambda n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\Phi (e^{2\pi i\lambda },s,\alpha )}$

The Hurwitz zeta function is the special case^[3]

${\displaystyle \zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}=\Phi (1,s,\alpha )}$

The polylogarithm is another special case:^[3]

${\displaystyle {\textrm {Li}}_{s}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}}=z\Phi (z,s,1)}$

The Riemann zeta function is a special case of both of the above:^[3]

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\Phi (1,s,1)}$

The Dirichlet eta function:^[3]

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=\Phi (-1,s,1)}$

The Dirichlet beta function:^[3]

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{s}}}=2^{-s}\Phi (-1,s,{\tfrac {1}{2}})}$

The Dirichlet lambda function:^[4]

${\displaystyle \lambda (s)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{s}}}=2^{-s}\Phi (1,s,{\tfrac {1}{2}})}$

The Legendre chi function:^[3]

${\displaystyle \chi _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{s}}}={\frac {z}{2^{s}}}\Phi (z^{2},s,{\tfrac {1}{2}})}$

The inverse tangent integral:^[5]

$//$

The polygamma functions for positive integers n:^[6][7]

${\displaystyle \psi ^{(n)}(\alpha )=(-1)^{n+1}n!\Phi (1,n+1,\alpha )}$

The Clausen function:^[8]

${\displaystyle {\text{Cl}}_{2}(z)={\frac {ie^{-iz}}{2}}\Phi (e^{-iz},2,1)-{\frac {ie^{iz}}{2}}\Phi (e^{iz},2,1)}$

The Lerch transcendent has an integral representation:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

The proof is based on using the integral definition of the gamma function to write

${\displaystyle \Phi (z,s,a)\Gamma (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+a)^{s}}}\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-x}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }t^{s}z^{n}e^{-(n+a)t}{\frac {dt}{t}}}$

and then interchanging the sum and integral. The resulting integral representation converges for ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus [1,\infty ),}$ Re(s) > 0, and Re(a) > 0. This analytically continues${\displaystyle \Phi (z,s,a)}$ to z outside the unit disk. The integral formula also holds if z = 1, Re(s) > 1, and Re(a) > 0; see Hurwitz zeta function.^[9][10]

A contour integral representation is given by

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {(-t)^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

where C is a Hankel contour counterclockwise around the positive real axis, not enclosing any of the points ${\displaystyle t=\log(z)+2k\pi i}$(لعدد صحيح k ) وهي أقطاب الدالة المراد تكاملها. يفترض التكامل أن Re( a ) > 0. ^{[ 11 ]}

بالنسبة للعدد النسبي λ، يكون الحد المجموع جذرًا للوحدة ، وبالتالي ${\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )}$يمكن التعبير عنها كمجموع محدود على دالة زيتا لهورويتز. لنفترض${\textstyle \lambda ={\frac {p}{q}}}$مع${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$و${\displaystyle q>0}$. ثم${\displaystyle z=\omega =e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}$و${\displaystyle \omega ^{q}=1}$.

${\displaystyle \Phi (\omega ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{qn+m}}{(qn+m+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\omega ^{m}q^{-s}\zeta \left(s,{\frac {m+\alpha }{q}}\right)}$

تشمل الهويات المختلفة ما يلي:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{n}\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}}$

و

${\displaystyle \Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)}$

و

${\displaystyle \Phi (z,s+1,a)=-{\frac {1}{s}}{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a).}$

يُعطى تمثيل متسلسل للدالة المتسامية ليرش بواسطة

${\displaystyle \Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(q+k)^{-s}.}$

(لاحظ أن${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$( معامل ذو حدين .)

تكون المتسلسلة صالحة لجميع قيم s ، ولعدد z المركب حيث Re( z ) < 1/2. لاحظ وجود تشابه عام مع تمثيل متسلسل مماثل لدالة زيتا لهورويتز. ^{[ 12 ]}

قدّم آرثر إرديلي متسلسلة تايلور في المعامل الأول . ويمكن كتابتها على النحو التالي، وهي صالحة لـ ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \left|\log(z)\right|<2\pi ;s\neq 1,2,3,\dots ;a\neq 0,-1,-2,\dots }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\left[\Gamma (1-s)\left(-\log(z)\right)^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }\zeta (s-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}\right]}$

إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا، فإن

${\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}+\left[\psi (n)-\psi (a)-\log(-\log(z))\right]{\frac {\log ^{n-1}(z)}{(n-1)!}}\right\},}$

أين${\displaystyle \psi (n)}$هي دالة ديغاما .

تُعطى متسلسلة تايلور في المتغير الثالث بالصيغة التالية :

${\displaystyle \Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s)_{k}{\frac {(-x)^{k}}{k!}};|x|<\Re (a),}$

أين${\displaystyle (s)_{k}}$هو رمز بوتشامر .

تُعطى المتسلسلة عند a = − n بالصيغة التالية:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}};\ a\rightarrow -n}$

توجد حالة خاصة عندما n = 0، وهي المتسلسلة التالية

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}};|a|<1,}$

أين${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$هو متعدد اللوغاريتمات .

متسلسلة تقارب لـ${\displaystyle s\rightarrow -\infty }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[2k\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{2k\pi ai}}$

ل${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (-\infty ,0)}$ و

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[(2k+1)\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{(2k+1)\pi ai}}$

ل${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (0,\infty ).}$

متسلسلة تقاربية في دالة غاما غير الكاملة

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi i(k-1)a}\Gamma (1-s,a(-2\pi i(k-1)-\log(z)))}{(-2\pi i(k-1)-\log(z))^{1-s}}}+{\frac {e^{2\pi ika}\Gamma (1-s,a(2\pi ik-\log(z)))}{(2\pi ik-\log(z))^{1-s}}}}$

ل${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0.}$

التمثيل كدالة فوق هندسية معممة هو ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )={\frac {1}{\alpha ^{s}}}{}_{s+1}F_{s}\left({\begin{array}{c}1,\alpha ,\alpha ,\alpha ,\cdots \\1+\alpha ,1+\alpha ,1+\alpha ,\cdots \\\end{array}}\mid z\right).}$

دالة اللوغاريتم المتعدد${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \mathrm {Li} _{0}(z)={\frac {z}{1-z}},\qquad \mathrm {Li} _{-n}(z)=z{\frac {d}{dz}}\mathrm {Li} _{1-n}(z).}$

يترك

${\displaystyle \Omega _{a}\equiv {\begin{cases}\mathbb {C} \setminus [1,\infty )&{\text{if }}\Re a>0,\\{z\in \mathbb {C} ,|z|<1}&{\text{if }}\Re a\leq 0.\end{cases}}}$

ل${\displaystyle |\mathrm {Arg} (a)|<\pi ,s\in \mathbb {C} }$و${\displaystyle z\in \Omega _{a}}$، وهو توسع تقاربي لـ${\displaystyle \Phi (z,s,a)}$للكبير${\displaystyle a}$وتم إصلاحه${\displaystyle s}$و${\displaystyle z}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{1-z}}{\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {(-1)^{n}\mathrm {Li} _{-n}(z)}{n!}}{\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O(a^{-N-s})}$

ل${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$، أين${\displaystyle (s)_{n}=s(s+1)\cdots (s+n-1)}$هو رمز Pochhammer . ^{[ 15 ]}

يترك

${\displaystyle f(z,x,a)\equiv {\frac {1-(ze^{-x})^{1-a}}{1-ze^{-x}}}.}$

يترك${\displaystyle C_{n}(z,a)}$لتكن معاملات تايلور الخاصة بها عند${\displaystyle x=0}$ثم بالنسبة للثابت${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,\Re a>1}$و${\displaystyle \Re s>0}$،

${\displaystyle \Phi (z,s,a)-{\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z^{a}}}=\sum _{n=0}^{N-1}C_{n}(z,a){\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O\left((\Re a)^{1-N-s}+az^{-\Re a}\right),}$

مثل${\displaystyle \Re a\to \infty }$[ ^{16 ]​}

يتم تنفيذ المتسامي لـ Lerch باسم LerchPhi في Maple و Mathematica ، وباسم lerchphi في mpmath و SymPy .

• أبوستول، تي إم (2010)، "متسامي ليرش" ، في أولفر، فرانك دبليو جيه ؛ لوزير، دانيال إم؛ بويسفيرت، رونالد إف؛ كلارك، تشارلز دبليو (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ . .
• باتمان، هـ .؛ إرديلي، أ. (1953)، الدوال المتسامية العليا، المجلد الأول (ملف PDF) ، نيويورك: ماكجرو هيل(انظر § 1.11، "الدالة Ψ( z , s , v )"، ص  27)
• Gradshteyn, إزرائيل سولومونوفيتش ; ريجيك، يوسف مويسيفيتش ; جيرونيموس، يوري فينيامينوفيتش ؛ تسيتلين, ميخائيل يوليفيتش ; جيفري آلان (2015) [أكتوبر 2014]. "9.55". في زويلينجر، دانيال؛ مول ، فيكتور هوغو (محرران). جدول التكاملات والمتسلسلات والمنتجات . تمت الترجمة بواسطة Scripta Technica، Inc. (8  ed.). الصحافة الأكاديمية. رقم ISBN 978-0-12-384933-5. إل سي سي إن 2014010276 . 
• غييرا، خيسوس؛ سوندو، جوناثان (2008)، "التكاملات المزدوجة والمنتجات اللانهائية لبعض الثوابت الكلاسيكية عبر الاستمرارات التحليلية لدالة ليرش المتسامية"، مجلة رامانوجان ، 16 (3): 247-270 ، arXiv : math.NT/0506319 ، doi : 10.1007/s11139-007-9102-0 ، MR 2429900 ، S2CID 119131640  (يتضمن مقدمة تتضمن العديد من الهويات الأساسية.)
• جاكسون، م . (1950)، "حول متسامي ليرش والمتسلسلة الهندسية الفائقة الثنائية الأساسية _{2ψ² "} ، مجلة جمعية لندن الرياضية ، 25 (3): 189-196 ، doi : 10.1112/jlms/s1-25.3.189 ، MR 0036882 .
• يوهانسون، ف.؛ بلاغوشين، يا. (2019)، "حساب ثوابت ستيلتجس باستخدام التكامل المركب"، رياضيات الحساب ، 88 (318): 1829-1850 ، arXiv : 1804.01679 ، doi : 10.1090/mcom/3401 ، MR 3925487 ، S2CID 4619883  .
• لورينشيكاس، أنتاناس؛ Garunkštis، Ramūnas (2002)، وظيفة زيتا ليرش ، Dordrecht: Kluwer Academic Publishers، ISBN 978-1-4020-1014-9، MR 1979048 .

• أكسينوف، سيرجي V.؛ Jentschura, Ulrich D. (2002)، برامج C وMathematica لحساب متعالي ليرش.
• راموناس غارونكستيس، الصفحة الرئيسية (2005) (يوفر العديد من المراجع والمطبوعات الأولية.)
• غارونكستيس، راموناس (2004). "تقريب دالة زيتا ليرش" (ملف PDF) . المجلة الرياضية الليتوانية . 44 (2): 140-144 . doi : 10.1023/B:LIMA.0000033779.41365.a5 . S2CID 123059665 . 
• كانيميتسو، S .؛ تانيجاوا، Y.؛ تسوكادا، هـ. (2015). "تعميم صيغة بوشنر" .كانيميتسو، س.؛ تانيغاوا، ي.؛ تسوكادا، هـ. (2004). " تعميم لصيغة بوخنر" . مجلة هاردي-رامانوجان . 27. doi : 10.46298/hrj.2004.150 .
• وايسستين، إريك دبليو. “Lerch Transcendent” . عالم الرياضيات .
• أولفر، فرانك دبليو جيه ؛ لوزير، دانيال إم؛ بويسفيرت، رونالد إف؛ كلارك، تشارلز دبليو، محرران (2010)، "متسامي ليرش" ، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ .