سلسلة ديريشلي

في الرياضيات ، متسلسلة ديريشليه هي أي متسلسلة على الشكل التالي: $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$$ حيث s عدد مركب ، و${\displaystyle a_{n}}$هي متتالية معقدة . وهي حالة خاصة من متسلسلة ديريشليه العامة .

تؤدي متسلسلات ديريشليه أدوارًا مهمة ومتنوعة في نظرية الأعداد التحليلية . يُعد تعريف دالة زيتا لريمان الأكثر شيوعًا هو متسلسلة ديريشليه، وكذلك دوال ديريشليه L. تحديدًا، دالة زيتا لريمان ζ ( s ) هي متسلسلة ديريشليه للدالة الثابتة u ( n )، وهي:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {u(n)}{n^{s}}}=D(u,s),}$

حيث يرمز D ( u , s ) إلى متسلسلة ديريشليه لـ u ( n ). ويُفترض أن فئة سيلبرغ من المتسلسلات تخضع لفرضية ريمان المعممة . سُميت هذه المتسلسلة تكريمًا لبيتر غوستاف ليجون ديريشليه .

يمكن استخدام متسلسلة ديريشليه كمتسلسلة مولدة لحساب مجموعات العناصر الموزونة بالنسبة لوزن يتم دمجه ضربيًا عند أخذ الضرب الديكارتي.

لنفترض أن A مجموعةٌ تحتوي على دالة w  : A → N تُسند وزنًا لكل عنصر من عناصر A ، ولنفترض أيضًا أن الألياف فوق أي عدد طبيعي تحت هذا الوزن هي مجموعة منتهية. (نُطلق على هذا الترتيب ( A , w ) اسم المجموعة الموزونة). ولنفترض كذلك أن a _{_n} هو عدد عناصر A التي وزنها n . عندئذٍ، نُعرّف متسلسلة ديريشليه المولدة الرسمية لـ A بالنسبة إلى w كما يلي:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)=\sum _{a\in A}{\frac {1}{w(a)^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

لاحظ أنه إذا كانت A و B مجموعتين جزئيتين منفصلتين من مجموعة موزونة ( U , w ) ، فإن متسلسلة ديريشلي لاتحادهما (المنفصل) تساوي مجموع متسلسلات ديريشلي الخاصة بهما:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\uplus B}(s)={\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)+{\mathfrak {D}}_{w}^{B}(s).}$

علاوة على ذلك، إذا كانت ( A , u ) و( B , v ) مجموعتين موزونتين، وعرفنا دالة الوزن w : A × B → N كما يلي:

${\displaystyle w(a,b)=u(a)v(b),}$

لكل a في A و b في B ، لدينا التفكيك التالي لسلسلة ديريشليه للضرب الديكارتي:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\times B}(s)={\mathfrak {D}}_{u}^{A}(s)\cdot {\mathfrak {D}}_{v}^{B}(s).}$

وينتج هذا في نهاية المطاف عن حقيقة بسيطة مفادها أن${\displaystyle n^{-s}\cdot m^{-s}=(nm)^{-s}}$⁠ .

أشهر مثال على متسلسلة ديريشليه هو

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$

استمراره التحليلي لـ${\displaystyle \mathbb {C} }$(باستثناء عمود بسيط في${\displaystyle s=1}$) هي دالة زيتا لريمان .

بشرط أن تكون الدالة f ذات قيم حقيقية عند جميع الأعداد الطبيعية n ، فإن الأجزاء الحقيقية والخيالية لمتسلسلة ديريشليه F لها صيغ معروفة حيث نكتب${\displaystyle s\equiv \sigma +it}$:

$\begin{aligned}\Re[F(s)]&=\sum_{n\geq 1}{\frac{~f(n)\,\cos(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\\\Im[F(s)]&=-\sum_{n\geq 1}{\frac{~f(n)\,\sin(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\,.\end{aligned}}}$

وباعتبار هذه متسلسلات ديريشليه رسمية في الوقت الحالي لكي نتمكن من تجاهل مسائل التقارب، لاحظ أن لدينا:

$\begin{aligned}\zeta (s)&=\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\mathbb {N} }(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}:n\in \mathbb {N} \}}(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}\}}(s)\\&=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{(p^{n})^{s}}}=\prod _{p{\text{ \sum_{n\in \mathbb{N}}\left(\frac{1}{p^{s}}}\right)^{n}=\prod_{p\text{prime}}}{\frac{1}{1-p^{-s}}}\end{aligned}}}$

بما أن لكل عدد طبيعي تحليل ضربي فريد إلى قوى الأعداد الأولية، فإن هذا الجانب من التوافقية هو الذي ألهم صيغة أويلر للضرب .

ومنها أيضاً:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

حيث μ ( n ) هي دالة موبيوس . يمكن الحصول على هذه المتسلسلات والعديد من المتسلسلات التالية بتطبيق معكوس موبيوس والالتفاف الديريشليهي على متسلسلات معروفة. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا دالة ديريشليه χ ( n )، فإن

${\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}}$

حيث L ( χ , s ) هي دالة ديريشليه L.

إذا كانت الدالة الحسابية f تمتلك دالة عكسية من نوع ديريشليه${\displaystyle f^{-1}(n)}$أي، إذا وُجدت دالة عكسية بحيث ينتج عن التفاف ديريشليه للدالة f مع معكوسها العنصر المحايد الضربي ${\textstyle \sum _{d|n}f(d)f^{-1}(n/d)=\delta _{n,1}}$، عندئذٍ يتم إعطاء دالة توليد العزوم للدالة العكسية عن طريق مقلوب F :

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f^{-1}(n)}{n^{s}}}=\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)^{-1}.}$

تشمل الهويات الأخرى

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}$

أين${\displaystyle \varphi (n)}$هي دالة التد ،

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}}$

حيث J _k هي دالة جوردان ، و

${\displaystyle {\begin{aligned}&\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-2a)}{\zeta (2s-2a)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}\end{aligned}}}$

حيث σa ₍ n ) هي دالة القاسم . وبتخصيصها لدالة القاسم d  = σ0 ، نحصل _على 

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{2}(s)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.\end{aligned}}}$

يُعطى لوغاريتم دالة زيتا بالصيغة التالية

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}{\frac {1}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1}$

حيث Λ( n ) هي دالة فون مانغولد . وبالمثل، لدينا أن

${\displaystyle -\zeta '(s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\log(n)}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1.}$

المشتق اللوغاريتمي لدالة زيتا هو

${\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

هذه الحالات الثلاث الأخيرة هي حالات خاصة لعلاقة أكثر عمومية لمشتقات سلسلة ديريشليه، كما هو موضح أدناه.

بفرض دالة ليوفيل λ ( n )، يكون لدينا

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

وثمة مثال آخر يتعلق بمجموع رامانوجان :

${\displaystyle {\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}.}$

يتضمن زوج آخر من الأمثلة دالة موبيوس ودالة أوميغا الأولية : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu ^{2}(n)}{n^{s}}}.}$

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}.}$

لدينا أن متسلسلة ديريشليه لدالة زيتا الأولية ، وهي نظيرة لدالة زيتا لريمان التي يتم جمعها فقط على المؤشرات n الأولية، تُعطى بواسطة مجموع على دالة موبيوس ولوغاريتمات دالة زيتا:

${\displaystyle P(s):=\sum _{p{\text{ prime}}}p^{-s}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns).}$

يمكن العثور هنا على قائمة كبيرة من الجداول تضم أمثلة أخرى للمجاميع المقابلة لتمثيلات سلسلة ديريشليه المعروفة .

تُقدَّم هنا أمثلة على دوال ديريشليه المتسلسلة DGFs التي تُقابل الدوال f الجمعية (بدلاً من الضربية) للدوال أوميغا الأولية${\displaystyle \omega (n)}$و${\displaystyle \Omega (n)}$والتي تحسب على التوالي عدد العوامل الأولية المختلفة للعدد n (مع أو بدون تعدد). على سبيل المثال، يتم التعبير عن دالة توليد الفروق للدالة الأولى كحاصل ضرب دالة زيتا لريمان ودالة زيتا الأولية لأي عدد مركب s .${\displaystyle \Re (s)>1}$:

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\cdot P(s),\Re (s)>1.}$

إذا كانت f دالة ضربية بحيث تكون دالة توليد العزوم التفاضلية F الخاصة بها متقاربة تقاربًا مطلقًا لجميع${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{a,f}}$وإذا كان p أي عدد أولي ، فإننا نحصل على ذلك

${\displaystyle \left(1+f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)}{n^{s}}}=\left(1-f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)\mu (\gcd(p,n))}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f},}$

أين${\displaystyle \mu (n)}$هي دالة موبيوس . وهناك متطابقة فريدة أخرى من متسلسلات ديريشليه تُولّد الدالة التجميعية لبعض العمليات الحسابية f المحسوبة عند مدخلات القاسم المشترك الأكبر المعطاة بواسطة

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}f(\gcd(k,n))\right){\frac {1}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f}+1.}$

لدينا أيضًا صيغة تربط بين دوال توليد التفاضل لدالتين حسابيتين f و g مرتبطتين بانعكاس موبيوس . على وجه الخصوص، إذا ⁠${\displaystyle g(n)=(f\ast 1)(n)}$ثم باستخدام انعكاس موبيوس ، نحصل على ذلك${\displaystyle f(n)=(g\ast \mu )(n)}$وبالتالي ، إذا كانت F و G هما دالتا توليد العزوم التفاضلية لـ f و g على التوالي ، فيمكننا ربط هاتين الدالتين بالصيغ التالية:

${\displaystyle F(s)={\frac {G(s)}{\zeta (s)}},\Re (s)>\max(\sigma _{a,f},\sigma _{a,g}).}$

توجد صيغة معروفة للدالة الأسية لمتسلسلة ديريشليه. إذا${\displaystyle F(s)=\exp(G(s))}$هي دالة توليد العزوم التفاضلية لبعض العمليات الحسابية f مع${\displaystyle f(1)\neq 0}$ثم يتم التعبير عن DGF G بالمجموع

${\displaystyle G(s)=\log(f(1))+\sum _{n\geq 2}{\frac {(f^{\prime }\ast f^{-1})(n)}{\log(n)\cdot n^{s}}},}$

أين${\displaystyle f^{-1}(n)}$هي معكوس ديريشليه للدالة f ، حيث تُعطى المشتقة الحسابية للدالة f بالصيغة التالية:${\displaystyle f^{\prime }(n)=\log(n)\cdot f(n)}$لجميع الأعداد الطبيعية${\displaystyle n\geq 2}$.

بالنظر إلى متتالية${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$من الأعداد المركبة نحاول أن نأخذ في الاعتبار قيمة

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

كدالة للمتغير المركب s . ولكي يكون هذا منطقياً، نحتاج إلى مراعاة خصائص تقارب المتسلسلة اللانهائية المذكورة أعلاه:

لو${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$إذا كانت متتالية محدودة من الأعداد المركبة، فإن متسلسلة ديريشليه المقابلة f تتقارب تقاربًا مطلقًا على نصف المستوى المفتوح Re( s ) > 1. وبشكل عام، إذا كان a _{_n} ⁼ O( nk ) ، فإن المتسلسلة تتقارب تقاربًا مطلقًا في نصف المستوى Re( s ) > k + 1 .

إذا كانت مجموعة المجاميع

${\displaystyle a_{n}+a_{n+1}+\cdots +a_{n+k}}$

إذا كانت محدودة لـ n و k ≥ 0، فإن السلسلة اللانهائية المذكورة أعلاه تتقارب على نصف المستوى المفتوح لـ s بحيث يكون Re( s ) > 0 .

في كلتا الحالتين، f هي دالة تحليلية على نصف المستوى المفتوح المقابل.

على العموم${\displaystyle \sigma }$يمثل فاصل تقارب متسلسلة ديريشليه إذا كانت تتقارب لـ${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$ويختلف لـ${\displaystyle \Re (s)<\sigma .}$هذا هو نظير نصف قطر التقارب لمتسلسلات القوى في متسلسلات ديريشليه . إلا أن حالة متسلسلات ديريشليه أكثر تعقيداً: فقد يحدث التقارب المطلق والتقارب المنتظم في أنصاف مستويات مختلفة.

في كثير من الحالات، يكون للدالة التحليلية المرتبطة بسلسلة ديريشليه امتداد تحليلي إلى مجال أكبر.

ترتبط متسلسلة ديريشليه الرسمية على حلقة R بدالة a من الأعداد الصحيحة الموجبة إلى R

${\displaystyle D(a,s)=\sum _{n=1}^{\infty }a(n)n^{-s}\ }$

مع تعريف الجمع والضرب بواسطة

${\displaystyle D(a,s)+D(b,s)=\sum _{n=1}^{\infty }(a+b)(n)n^{-s}\ }$

${\displaystyle D(a,s)\cdot D(b,s)=\sum _{n=1}^{\infty }(a*b)(n)n^{-s}\ }$

أين

${\displaystyle (a+b)(n)=a(n)+b(n)\ }$

هو المجموع النقطي و

${\displaystyle (a*b)(n)=\sum _{k\mid n}a(k)b(n/k)\ }$

هو التفاف ديريشليه لـ a و b .

تُشكّل متسلسلات ديريشليه الرسمية حلقةً Ω، بل جبرًا على R ، حيث الدالة الصفرية هي العنصر الصفري الجمعي، والدالة δ المعرفة بـ δ (1) = 1 و δ ( n ) = 0 لـ n > 1 هي العنصر المحايد الضربي. يكون عنصر هذه الحلقة قابلاً للعكس إذا كان a (1) قابلاً للعكس في R. إذا كانت R تبديلية، فإن Ω كذلك؛ وإذا كانت R مجالًا تكامليًا ، فإن Ω كذلك. تُشكّل الدوال الضربية غير الصفرية زمرةً جزئيةً من زمرة الوحدات في Ω.

إن حلقة متسلسلات ديريشليه الرسمية على C متماثلة مع حلقة متسلسلات القوى الرسمية في عدد قابل للعد من المتغيرات. ^{[ 3 ]}

منح

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

من الممكن إثبات ذلك

${\displaystyle F'(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\log(n)}{n^{s}}}}$

بافتراض تقارب الطرف الأيمن. بالنسبة لدالة ضربية تمامًا f ( n )، وبافتراض تقارب المتسلسلة عندما يكون Re( s ) > σ0 _، فإنه يكون لدينا ما يلي:

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

يتقارب من أجل Re( s )  > σ ₀ . حيث Λ( n ) هي دالة von Mangoldt . 

يفترض

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

و

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.}$

إذا كانت كل من F ( s ) و G ( s ) متقاربتين تقاربًا مطلقًا لـ s > a و s > b، فإننا نحصل على

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

إذا كان a = b و f ( n ) = g ( n ) ، فإننا نحصل على

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|F(a+it)|^{2}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle x\geq 1}$، الدالة f عند x ،${\displaystyle f(x)}$يمكن استخلاص ، من دالة توليد ديريشليه (DGF) F للدالة f (أو متسلسلة ديريشليه على f ) باستخدام الصيغة التكاملية التالية كلما${\displaystyle \sigma >\sigma _{a,f}}$، فاصلة التقارب المطلق لـ DGF F ^{[ 4 ]}

${\displaystyle f(x)=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x^{\sigma +it}F(\sigma +it)dt.}$

من الممكن أيضًا عكس تحويل ميلين للدالة التجميعية للدالة f التي تُعرّف دالة توليد العزوم F للدالة f، وذلك للحصول على معاملات متسلسلة ديريشليه (انظر القسم أدناه). في هذه الحالة، نصل إلى صيغة تكاملية معقدة مرتبطة بنظرية بيرون . عمليًا، تتغير معدلات تقارب الصيغة المذكورة أعلاه كدالة لـ T ، وإذا كانت متسلسلة ديريشليه F حساسة لتغيرات الإشارة كمتسلسلة بطيئة التقارب، فقد يتطلب الأمر قيمًا كبيرة جدًا لـ T لتقريب معاملات F باستخدام هذه الصيغة دون الحاجة إلى حساب النهاية الرسمية.

يُقدّم شكلٌ آخر من الصيغة السابقة المذكورة في كتاب أبوستول صيغةً تكامليةً لمجموعٍ بديلٍ بالشكل التالي لـ${\displaystyle c,x>0}$وأي شيء حقيقي${\displaystyle \Re (s)\equiv \sigma >\sigma _{a,f}-c}$حيث نشير${\displaystyle \Re (s):=\sigma }$:

${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}^{\prime }{\frac {f(n)}{n^{s}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }D_{f}(s+z){\frac {x^{z}}{z}}dz.}$

يُعطى التحويل العكسي لملين لمتسلسلة ديريشليه، مقسومًا على s، بصيغة بيرون . بالإضافة إلى ذلك، إذا${\textstyle F(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}}$هي الدالة المولدة العادية (الرسمية) لمتتالية${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}$ثم تمثيل تكاملي لسلسلة ديريشليه لمتتالية الدوال المولدة،${\displaystyle \{f_{n}z^{n}\}_{n\geq 0}}$، يتم تحديده بواسطة ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}z^{n}}{(n+1)^{s}}}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)\,dt,\ s\geq 1.}$

تم تعريف فئة أخرى من تحويلات الدوال المولدة القائمة على المشتقات والمتسلسلات على الدالة المولدة العادية للمتتالية والتي تنتج فعليًا توسيع الجانب الأيسر في المعادلة السابقة على التوالي في ^{[ 6 ] [ 7 ] .}

المتتالية a _n الناتجة عن دالة توليد متسلسلة ديريشليه المقابلة لما يلي:

${\displaystyle \zeta (s)^{m}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

حيث أن ζ ( s ) هي دالة زيتا لريمان ، ولها دالة التوليد العادية:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}=x+{m \choose 1}\sum _{a=2}^{\infty }x^{a}+{m \choose 2}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }x^{ab}+{m \choose 3}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }x^{abc}+{m \choose 4}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }x^{abcd}+\cdots }$

إذا كانت f دالة حسابية ذات دالة توليد أرقام متناظرة F ، فإن دالة الجمع لـ f تُعرَّف بواسطة

${\displaystyle S_{f}(x):={\begin{cases}\sum _{n\leq x}f(n),&x\geq 1;\\0,&0<x<1,\end{cases}}}$

عندئذٍ يمكننا التعبير عن F بتحويل ميلين للدالة التجميعية عند${\displaystyle -s}$أي أننا نمتلك ذلك

${\displaystyle F(s)=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {S_{f}(x)}{x^{s+1}}}dx,\Re (s)>\sigma _{a,f}.}$

ل${\displaystyle \sigma$ :=\Re (s)>0} وأي أعداد طبيعية${\displaystyle N\geq 1}$لدينا أيضًا تقريب لدالة توليد العزوم التفاضلية F للدالة f، معطى بواسطة

${\displaystyle F(s)=\sum _{n\leq N}f(n)n^{-s}-{\frac {S_{f}(N)}{N^{s}}}+s\cdot \int _{N}^{\infty }{\frac {S_{f}(y)}{y^{s+1}}}dy.}$

• تحويل Z
• سلسلة الجنرال ديريشليه
• تنظيم دالة زيتا
• منتج أويلر
• التفاف ديريشلي

• أبوستول، توم م. (1976)، مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90163-3، MR 0434929 ، Zbl 0335.10001  
• هاردي، جي إتش ؛ ريز، مارسيل (1915). النظرية العامة لمتسلسلة ديريشليه . سلسلة كامبريدج في الرياضيات. المجلد  18. مطبعة جامعة كامبريدج.
• النظرية العامة لمتسلسلة ديريشليه، بقلم جي إتش هاردي. سلسلة دراسات الرياضيات التاريخية، مكتبة جامعة كورنيل. {أُعيد طبعه بواسطة} مجموعات مكتبة جامعة كورنيل الرقمية.
• جولد، هنري دبليو؛ شونيهوا، تيمبا (2008). "فهرس لمتسلسلات ديريشليه المثيرة للاهتمام" . مجلة ميسيسيبي للعلوم الرياضية 20 ( 1). مؤرشف من الأصل بتاريخ 2011-10-02.
• ماثار، ريتشارد ج. (2011). "مسح لمتسلسلات ديريشليه للدوال الحسابية الضربية". arXiv : 1106.4038 [ math.NT ].
• تيننباوم، جيرالد (1995). مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية والاحتمالية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  46. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001 . 
• "متسلسلة ديريشليه" . بلانيت ماث .