خريطة متعددة الخطوط متناوبة

في الرياضيات ، وتحديدًا في الجبر متعدد الخطوط ، يُعرف التطبيق متعدد الخطوط المتناوب بأنه تطبيق متعدد الخطوط تنتمي جميع وسائطه إلى نفس الفضاء المتجهي (على سبيل المثال، الصيغة الثنائية الخطية أو الصيغة متعددة الخطوط ) ويكون مساويًا للصفر عندما يتساوى أي زوج من وسائطه. ويمكن تعميم هذا المفهوم مباشرةً إلى وحدة نمطية على حلقة تبديلية .

يُستخدم مفهوم التناوب (أو التناوب ) لاستخلاص خريطة متعددة الخطوط متناوبة من أي خريطة متعددة الخطوط تنتمي جميع وسائطها إلى نفس الفضاء.

يترك${\displaystyle R}$ليكن حلقة تبديلية و${\displaystyle V}$،${\displaystyle W}$كن وحدات على${\displaystyle R}$خريطة متعددة الخطوط على الشكل${\displaystyle f:V^{n}\to W}$يُقال إنها متناوبة إذا استوفت الشروط المكافئة التالية:

1. كلما وُجد${\textstyle 1\leq i\leq n-1}$بحيث${\displaystyle x_{i}=x_{i+1}}$ثم${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}
2. كلما وُجد${\textstyle 1\leq i\neq j\leq n}$بحيث${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ثم${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$[ ^{1 ] [ 3 ]​}

يترك${\displaystyle V,W}$لتكن فضاءات متجهة على نفس الحقل. عندئذٍ، يكون التطبيق متعدد الخطية على الشكل التالي:${\displaystyle f:V^{n}\to W}$يكون متناوبًا إذا استوفى الشرط التالي:

• لو${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$إذا كانت مرتبطة خطيًا${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$.

في جبر لي ، يمثل قوس لي تطبيقًا ثنائي الخطية متناوبًا. أما محدد المصفوفة فهو تطبيق متعدد الخطية متناوب لصفوف أو أعمدة المصفوفة.

إذا كان أي مكون${\displaystyle x_{i}}$يتم استبدال خريطة متعددة الخطوط متناوبة بـ${\displaystyle x_{i}+cx_{j}}$لأي${\displaystyle j\neq i}$و${\displaystyle c}$في الحلقة الأساسية${\displaystyle R}$إذاً، فإن قيمة تلك الخريطة لا تتغير. ^{[ 3 ]}

كل خريطة متعددة الخطوط متناوبة هي متناظرة عكسيًا ، ^{[ 4 ]} مما يعني أن ^{[ 1 ]}$${\displaystyle f(\dots ,x_{i},x_{i+1},\dots )=-f(\dots ,x_{i+1},x_{i},\dots )\quad {\text{ for any }}1\leq i\leq n-1,}$$ أو ما يعادل ذلك، $${\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=(\operatorname {sgn} \sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{ for any }}\sigma \in \mathrm {S} _{n},}$$ أين${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$يرمز إلى مجموعة التبديلات من الدرجة${\displaystyle n}$و${\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma }$علامة على​${\displaystyle \sigma }$[ ^{5 ]} إذا^​${\displaystyle n!}$هي وحدة في الحلقة الأساسية${\displaystyle R}$ثم كل متناظر مضاد${\displaystyle n}$- الصيغة متعددة الخطوط متناوبة.

بالنظر إلى دالة متعددة الخطية من الشكل${\displaystyle f:V^{n}\to W,}$الخريطة متعددة الخطوط المتناوبة${\displaystyle g:V^{n}\to W}$محدد بواسطة $${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})\mathrel {:=} \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}$$ ويُقال إنها عملية تناوب لـ${\displaystyle f}$.

ملكيات

• التناوب بين${\displaystyle n}$الخريطة المتناوبة متعددة الخطوط هي${\displaystyle n!}$مرات عديدة.
• التناوب في الخريطة المتناظرة يساوي صفرًا.
• إنّ تناوب الخريطة الثنائية الخطية هو تناوب ثنائي الخطية. والأهم من ذلك، أن تناوب أي دورة مشتركة هو تناوب ثنائي الخطية. تلعب هذه الحقيقة دورًا حاسمًا في تحديد مجموعة التماثل الثانية للشبكة مع مجموعة الأشكال الثنائية الخطية المتناوبة على الشبكة.

• الجبر المتناوب
• خريطة ثنائية الخطوط
• الجبر الخارجي §  الأشكال الخطية المتعددة المتناوبة
• خريطة (رياضيات)
• الجبر متعدد الخطوط
• خريطة متعددة الخطوط
• الشكل متعدد الخطية
• التناظر

• بورباكي، ن. (2007). عناصر الرياضيات . المجلد.  الجبر الفصول 1 إلى 3 (  طبعة جديدة). سبرينغر.
• دوميت، ديفيد س.؛ فوت، ريتشارد م. (2004). الجبر المجرد (  الطبعة الثالثة). وايلي.
• لانغ، سيرج (2002). الجبر . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  211 (  الطبعة الثالثة المنقحة). سبرينغر. ISBN 978-0-387-95385-4. OCLC 48176673 . 
• روتمان، جوزيف ج. (1995). مدخل إلى نظرية الزمر . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  148 (  الطبعة الرابعة). سبرينغر. ISBN 0-387-94285-8. OCLC 30028913 . 
• تو، لورينغ دبليو. (2011). مقدمة في المتشعبات . سبرينغر-فيرلاغ نيويورك. ISBN 978-1-4419-7400-6.