خريطة متعددة الخطوط

في الجبر الخطي ، الدالة متعددة الخطية هي دالة لعدة متغيرات تكون خطية بشكل منفصل في كل متغير. بتعبير أدق، الدالة متعددة الخطية هي دالة

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

أين${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$(${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$) و${\displaystyle W}$هي فضاءات متجهة (أو وحدات فوق حلقة تبديلية )، ولها الخاصية التالية: لكل${\displaystyle i}$، إذا كانت جميع المتغيرات باستثناء${\displaystyle v_{i}}$إذا تم تثبيتها، فعندئذ${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})}$هي دالة خطية لـ${\displaystyle v_{i}}$[ ^{1 ]} إحدى طرق تصور ذلك هي تخيل متجهين متعامدين ؛ إذا تم تكبير أحد هذين المتجهين بمعامل 2 بينما بقي الآخر دون تغيير، فإن ^حاصل الضرب الاتجاهي يكبر أيضًا بمعامل 2. وإذا تم تكبير كليهما بمعامل 2، فإن حاصل الضرب الاتجاهي يكبر بمعامل 2.${\displaystyle 2^{2}}$.

الدالة متعددة الخطية لمتغير واحد هي دالة خطية ، ولمتغيرين هي دالة ثنائية الخطية . وبشكل أعم، لأي عدد صحيح غير سالب${\displaystyle k}$يُطلق على التطبيق متعدد الخطية ذي k متغير اسم تطبيق k- خطي . وإذا كان المجال المقابل للتطبيق متعدد الخطية هو حقل الأعداد القياسية ، فإنه يُسمى شكلًا متعدد الخطية . تُعدّ التطبيقات متعددة الخطية والأشكال متعددة الخطية من المواضيع الأساسية للدراسة في الجبر متعدد الخطية .

إذا كانت جميع المتغيرات تنتمي إلى نفس الفضاء، فيمكن النظر في الخرائط المتناظرة ، والخرائط غير المتناظرة ، والخرائط الخطية المتناوبة من الرتبة k . تتطابق الخريطتان الأخيرتان إذا كانت الحلقة (أو الحقل ) الأساسية لها خاصية مختلفة عن اثنين، وإلا فإن الخريطتين الأوليين تتطابقان.

• أي دالة ثنائية الخطية هي دالة متعددة الخطية. على سبيل المثال، أي جداء داخلي على${\displaystyle \mathbb {R} }$الفضاء المتجهي هو تطبيق متعدد الخطية، وكذلك الضرب الاتجاهي للمتجهات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.
• محدد المصفوفة المربعة هو دالة متعددة الخطية للأعمدة (أو الصفوف)؛ وهو أيضًا دالة متناوبة للأعمدة (أو الصفوف) .
• لو${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$إذا كانت دالة من النوع C ^k ، فإن${\displaystyle k}$المشتقة من${\displaystyle F}$عند كل نقطة${\displaystyle p}$يمكن اعتبار نطاقها متناظرًا${\displaystyle k}$دالة خطية${\displaystyle D^{k}\!F\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$.

يترك

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

لتكن دالة متعددة الخطية بين فضاءات متجهة ذات أبعاد محدودة ، حيث${\displaystyle V_{i}\!}$له أبعاد${\displaystyle d_{i}\!}$، و${\displaystyle W\!}$له أبعاد${\displaystyle d\!}$إذا اخترنا أساسًا${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}}$لكل${\displaystyle V_{i}\!}$وأساس${\displaystyle \{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}}$ل${\displaystyle W\!}$(باستخدام الخط الغامق للمتجهات)، ثم يمكننا تعريف مجموعة من القيم العددية.${\displaystyle A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}}$بواسطة

$// ي_ {ن}}^ {د}\، {\textbf {ب}} _ {د}.}$

ثم الكميات القياسية${\displaystyle \{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}}$تحديد الدالة متعددة الخطوط بشكل كامل${\displaystyle f\!}$وخاصة إذا

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!}$

ل${\displaystyle 1\leq i\leq n\!}$، ثم

$// ي_ {ن}}^ {ك} v_ {1j_ {1}} \ cdots v_ {nj_ {n}} {\ textbf {b}} _ {ك}.}$

لنأخذ دالة ثلاثية الخطوط

${\displaystyle g\colon R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,}$

حيث V _i = R ² ، d _i = 2 ، i = 1،2،3 ، و W = R ، d = 1 .

أساس كل V _i هو${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.}$يترك

$$$

أين${\displaystyle i,j,k\in \{1,2\}}$بمعنى آخر، الثابت${\displaystyle A_{ijk}}$هي قيمة دالة عند واحدة من الثلاثيات الثمانية الممكنة لمتجهات الأساس (حيث يوجد خياران لكل من الثلاثة).${\displaystyle V_{i}}$)، أي:

${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.}$

كل متجه${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}}$يمكن التعبير عنها كمزيج خطي من متجهات الأساس

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).}$

قيمة الدالة عند مجموعة عشوائية من ثلاثة متجهات${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in R^{2}}$يمكن التعبير عنها على النحو التالي

${\displaystyle g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k},}$

أو بصيغة موسعة كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2})+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}}$

توجد علاقة تناظرية طبيعية بين الخرائط متعددة الخطوط

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

والخرائط الخطية

${\displaystyle F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}}$

أين${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!}$يرمز إلى حاصل الضرب الموتري لـ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$العلاقة بين الوظائف${\displaystyle f}$و${\displaystyle F}$يتم تحديده بالصيغة

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}).}$

يمكن اعتبار الدوال متعددة الخطية، على مصفوفة من الرتبة n × n فوق حلقة تبديلية K ذات عنصر محايد، كدالة لصفوف (أو أعمدة) المصفوفة. لنفترض أن A هي مصفوفة من هذا النوع، و aᵢ ، حيث 1 ≤ i ≤ n ، هي صفوف A. عندئذٍ _، يمكن كتابة الدالة متعددة الخطية D على النحو التالي:

${\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),}$

مُرضٍ

${\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).}$

إذا سمحنا${\displaystyle {\hat {e}}_{j}}$لتمثيل الصف j من مصفوفة الوحدة ، يمكننا التعبير عن كل صف a _i كمجموع

${\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.}$

باستخدام خاصية التعدد الخطي لـ D ، نعيد كتابة D ( A ) على النحو التالي:

${\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).}$

بمواصلة هذا الاستبدال لكل a _i نحصل على، بالنسبة لـ 1 ≤ i ≤ n ،

${\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}).}$

لذلك، فإن D ( A ) تتحدد بشكل فريد من خلال كيفية عمل D على${\displaystyle {\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}}$.

في حالة المصفوفات 2 × 2، نحصل على

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{1,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2}),\,}$

أين${\displaystyle {\hat {e}}_{1}=[1,0]}$و${\displaystyle {\hat {e}}_{2}=[0,1]}$إذا قمنا بتقييد${\displaystyle D}$لتكون دالة متناوبة، إذن${\displaystyle D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0}$و${\displaystyle D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)}$تأجير${\displaystyle D(I)=1}$، نحصل على دالة المحدد على المصفوفات 2 × 2:

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}.}$

• تكون قيمة الدالة متعددة الخطوط صفرًا عندما تكون إحدى وسائطها صفرًا.

• الشكل الجبري
• الشكل متعدد الخطية
• متعددة الحدود المتجانسة
• وظيفة متجانسة
• الموترات