إسقاط ليري

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 36 صور
الموسوعة الحرة

إسقاط ليري ، المعروف أيضًا بإسقاط هيلمهولتز-ليري ، هو أداة رياضية تُستخدم لوصف حركة الموائع كالهواء والماء. يأخذ هذا الإسقاط حقلًا متجهيًا - وهو وصف لكيفية حركة جسم ما عند كل نقطة في الفضاء - ويستخلص الجزء الذي يُمثل التدفق غير القابل للانضغاط ( الخالي من التباعد ). يُعد هذا مفيدًا بشكل خاص في دراسة ديناميكا الموائع ، كما هو الحال في معادلات نافيير-ستوكس التي تصف كيفية حركة الموائع.

وقد سميت على اسم جان ليريه .

تعريف

تتلخص الفكرة الأساسية لإسقاط ليري في أن أي حقل متجهي في ثلاثة أبعاد يقبل التفكيك إلى جزء خالٍ من الدوران ، وجزء خالٍ من التباعد . يُعرف هذا بتفكيك هيلمهولتز . (بشكل أعم، ينطبق تفكيك هودج في الأبعاد الأعلى: انظر على سبيل المثال معادلات أويلر-أرنولد ).

عن طريق تحليل هيلمهولتز-ليري

المصدر: [ 1 ]

يمكن للمرء أن يثبت أن حقل متجه معينu{\displaystyle \mathbf {u} }علىR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}يمكن تحليلها إلى

u=∇q+v،مع∇⋅v=0.{\displaystyle \mathbf {u} =\nabla q+\mathbf {v} ,\quad {\text{مع}}\quad \nabla \cdot \mathbf {v} =0.}

يختلف تحليل هيلمهولتز-ليري عن تحليل هيلمهولتز المعتاد .u{\displaystyle \mathbf {u} }فريد (حتى ثابت إضافي لـq{\displaystyle q}ثم يمكننا تعريفP(u){\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {u} )}مثل

P(u)=v.{\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {v} .}

يُعرَّف مُسقط ليري بشكل مماثل على فضاءات الدوال الأخرى غير فضاء شوارتز، وعلى نطاقات مختلفة ذات شروط حدودية مختلفة. وستظل الخصائص الأربع المذكورة أدناه سارية في تلك الحالات.

باستخدام أسلوب التفاضل الزائف

المصدر: [ 2 ]

بالنسبة للحقول المتجهةu{\displaystyle \mathbf {u} }(في أي بُعد)ن≥2{\displaystyle n\geq 2})، إسقاط ليريP{\displaystyle \mathbb {P} }يتم تعريفها بواسطة

P(u)=u-∇Δ-1(∇⋅u).{\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {u} -\nabla \Delta ^{-1}(\nabla \cdot \mathbf {u} ).}

يجب فهم هذا التعريف في سياق المؤثرات التفاضلية الزائفة : مضاعف فورييه ذو القيم المصفوفيةم(ξ){\displaystyle m(\xi )}يُعطى بواسطة

م(ξ)كج=دلتاكج-ξكξج|ξ|2،1≤ك،ج≤ن.{\displaystyle m(\xi )_{kj}=\delta _{kj}-{\frac {\xi _{k}\xi _{j}}{\vert \xi \vert ^{2}}},\quad 1\leq k,j\leq n.}

هنا،دلتا{\displaystyle \delta }هي دالة كرونكر دلتا . وبصورة رسمية، هذا يعني أنه بالنسبة لجميعu∈S(Rن)ن{\displaystyle \mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}}، لدى المرء

P(u)ك(x)=1(2π)ن/2∫Rن(دلتاكج-ξكξج|ξ|2)u^ج(ξ)هـأناξ⋅xدξ،1≤ك≤ن{\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {u} )_{k}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\delta _{kj}-{\frac {\xi _{k}\xi _{j}}{\vert \xi \vert ^{2}}}\right){\widehat {\mathbf {u} }}_{j}(\xi )\,e^{i\xi \cdot x}\,\mathrm {d} \xi ,\quad 1\leq k\leq n}

أينS(Rن){\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}هي فضاء شوارتز . نستخدم هنا ترميز أينشتاين للجمع.

ملكيات

يتمتع إسقاط ليري بالخصائص التالية:

  1. إسقاط ليري هو إسقاط : P[P(u)]=P(u){\displaystyle \mathbb {P} [\mathbb {P} (\mathbf {u} )]=\mathbb {P} (\mathbf {u} )}للجميعu∈S(Rن)ن{\displaystyle \mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}}.
  2. إسقاط ليري هو عامل خالٍ من التباعد:∇⋅[P(u)]=0{\displaystyle \nabla \cdot [\mathbb {P} (\mathbf {u} )]=0}للجميعu∈S(Rن)ن{\displaystyle \mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}}.
  3. إن إسقاط ليري هو ببساطة متطابق لحقول المتجهات الخالية من التباعد: P(u)=u{\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {u} }للجميعu∈S(Rن)ن{\displaystyle \mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}}بحيث∇⋅u=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}.
  4. يختفي إسقاط ليري بالنسبة لحقول المتجهات القادمة من جهد كامن : P(∇ϕ)=0{\displaystyle \mathbb {P} (\nabla \phi )=0}للجميعϕ∈S(Rن){\displaystyle \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}.

تطبيق على معادلات نافيير-ستوكس

معادلات نافيير-ستوكس غير القابلة للانضغاط هي المعادلات التفاضلية الجزئية المعطاة بواسطة

∂u∂ت-νΔu+(u⋅∇)u+∇ص=و{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\nu \,\Delta \mathbf {u} +(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nabla p=\mathbf {f} }
∇⋅u=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}

أينu{\displaystyle \mathbf {u} }هي سرعة السائل،ص{\displaystyle p}الضغط،ν>0{\displaystyle \nu >0}اللزوجة و​و{\displaystyle \mathbf {f} }القوة الحجمية الخارجية.

بتطبيق إسقاط ليري على المعادلة الأولى، يمكننا إعادة كتابة معادلات نافيير-ستوكس كمعادلة تفاضلية مجردة على فضاء طور لا نهائي الأبعاد ، مثل:ج0(0،تي؛ل2(Ω)){\displaystyle C^{0}\left(0,T;L^{2}(\Omega )\right)}، فضاء الدوال المتصلة من[0،تي]{\displaystyle [0,T]}لل2(Ω){\displaystyle L^{2}(\أوميغا )}أينتي>0{\displaystyle T>0}ول2(Ω){\displaystyle L^{2}(\أوميغا )}هو فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي على المجال الفيزيائيΩأوميغا: [ 3 ]

دuدت+νأu+ب(u،u)=P(و){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} }{\mathrm {d} t}}+\nu \,A\mathbf {u} +B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=\mathbb {P} (\mathbf {f} )}

حيث قمنا بتعريف عامل ستوكسأ{\displaystyle A}والشكل الثنائي الخطيب{\displaystyle B}بواسطة [ 1 ]

أu=-P(Δu)ب(u،v)=P[(u⋅∇)v].{\displaystyle A\mathbf {u} =-\mathbb {P} (\Delta \mathbf {u} )\qquad B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbb {P} [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} .}

يتم "إسقاط" الضغط وشرط انعدام التباعد. بشكل عام، نفترض للتبسيط أنو{\displaystyle \mathbf {f} }خالٍ من التباعد، بحيثP(و)=و{\displaystyle {\mathbb {P} }({\mathbf {f} })={\mathbf {f} }}ويمكن القيام بذلك دائمًا، عن طريق إضافة المصطلحو-P(و){\displaystyle \mathbf {f} -\mathbb {P} (\mathbf {f} )}للضغط.

مراجع

  1. 1 2 فوياس، سيبريان؛ مانلي، أوسكار؛ روزا، ريكاردو؛ تيمام، روجر (2001). معادلات نافيير-ستوكس والاضطراب . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 37-38 ، 49. ISBN  0-511-03936-0. OCLC 56416088 . 
  2. ↑ تيمام، روجر (2001). معادلات نافيير-ستوكس : النظرية والتحليل العددي . بروفيدنس، رود آيلاند: منشورات تشيلسي التابعة للجمعية الرياضية الأمريكية. رقم ISBN  978-0-8218-2737-6. OCLC 45505937 . 
  3. ↑ كونستانتين، بيتر؛ فوياس، سيبريان (1988). معادلات نافيير-ستوكس . شيكاغو. ISBN 0-226-11548-8. OCLC 18290660 . {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )