الالتفاف (الرياضيات)

في حساب المتجهات ، يُعرف الدوران ، أو الدوّار ، بأنه مؤثر متجهي يصف الدوران المتناهي الصغر لحقل متجهي في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد . يُمثَّل الدوران عند نقطة في الحقل بمتجه يُشير طوله واتجاهه إلى مقدار ومحور الدوران الأقصى ^{[ 1 ]} على التوالي. يُعرَّف دوران الحقل رسميًا بأنه كثافة الدوران عند كل نقطة من نقاط الحقل.

يُطلق على حقل المتجهات الذي يساوي دورانه صفرًا اسم حقل متجهات غير دوراني . يُعدّ الدوران شكلًا من أشكال التفاضل لحقول المتجهات. والصيغة المقابلة لنظرية التفاضل والتكامل الأساسية هي نظرية ستوكس ، التي تربط التكامل السطحي لدوران حقل متجهات بالتكامل الخطي لحقل المتجهات حول منحنى الحدود.

يُعدّ الرمز curl F أكثر شيوعًا في البلدان الناطقة باللغة الإنجليزية. أما في بقية أنحاء العالم، ولا سيما في الأدبيات العلمية للقرن العشرين، فيُستخدم الرمز rot F تقليديًا، وهو مشتق من "معدل الدوران" الذي يُمثله. ولتجنب الالتباس، يميل المؤلفون المعاصرون إلى استخدام رمز الضرب الاتجاهي مع عامل الطرح (نابلا)، كما في${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$[ ^{2 ] والذي يكشف أيضًا عن} العلاقة بين عامل الدوران (الدوار)، والتباعد ، والتدرج .

على عكس التدرج والتباعد ، فإنّ الدوران، كما هو مُصاغ في حساب المتجهات ، لا يُعمّم ببساطة إلى أبعاد أخرى؛ فبعض التعميمات ممكنة، ولكن فقط في ثلاثة أبعاد يكون الدوران المُعرّف هندسيًا لحقل متجه حقل متجه هو حقل متجه. هذا القصور هو نتيجة مباشرة لقيود حساب المتجهات؛ من ناحية أخرى، عندما يُعبّر عنه كحقل موتر مضاد للتناظر عبر مُؤثر الوتد في حساب الهندسة ، فإنّ الدوران يُعمّم إلى جميع الأبعاد. هذا الوضع مشابه لما يحدث مع الضرب الاتجاهي ثلاثي الأبعاد ، وبالفعل ينعكس هذا الارتباط في الترميز.${\displaystyle \nabla \times }$للحصول على التجعيدة.

اقترح جيمس كليرك ماكسويل اسم "curl" لأول مرة في عام 1871 ^{[ 3 ]} ولكن يبدو أن المفهوم قد استخدم لأول مرة في بناء نظرية المجال البصري بواسطة جيمس ماكولاج في عام 1839. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

مركبات F عند الموضع r ، العمودية والمماسية لمنحنى مغلق C في مستوى، يحيط بمنطقة متجهة مستوية${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$.

قاعدة اليد اليمنى

اتفاقية توجيه متجه التكامل الخطي

يشير الإبهام في اتجاه${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$وتلتف الأصابع على طول اتجاه حرف C

التفاف حقل متجهي F ، ويرمز له بـ curl F ، أو${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$، أو rot F ، هو مؤثر يحول الدوال من C ^k في R ³ إلى الدوال من C ^{k −1} في R ³ ، وعلى وجه الخصوص، يحول الدوال القابلة للتفاضل باستمرار R ³ → R ³ إلى الدوال المتصلة R ³ → R ^3. ويمكن تعريفه بعدة طرق، سنذكرها فيما يلي:

إحدى طرق تعريف التفاف حقل متجه عند نقطة ما هي ضمنيًا من خلال مركباته على طول محاور مختلفة تمر عبر تلك النقطة: إذا${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$أي متجه وحدة، مركبة دوران F على طول الاتجاه${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$يمكن تعريفها بأنها القيمة الحدية لتكامل خطي مغلق في مستوى عمودي على${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$مقسومة على المساحة المحصورة، حيث أن مسار التكامل يتقلص إلى ما لا نهاية حول النقطة.

وبشكل أكثر تحديدًا، يتم تعريف الدوران عند نقطة p على النحو التالي ^{[ 6 ] [ 7 ]}$$// {د} \mathbf {ص} }$$ حيث يتم حساب التكامل الخطي على طول حدود المنطقة A التي تحتوي على النقطة p، حيث | A | هي مقدار المنطقة. تحدد هذه المعادلة مركبة دوران F على طول الاتجاه${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$الأسطح المتناهية الصغر المحصورة بواسطة C لها${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$كما هو معتاد . يتم توجيه C باستخدام قاعدة اليد اليمنى .

تعني الصيغة المذكورة أعلاه أن مركبة دوران حقل متجهي على طول محور معين هي الكثافة المساحية المتناهية الصغر لدوران الحقل في مستوى عمودي على ذلك المحور. ولا تُعرّف هذه الصيغة مسبقًا حقلًا متجهيًا صحيحًا ، إذ لا يشترط أن ترتبط كثافات الدوران الفردية بالنسبة للمحاور المختلفة ببعضها البعض بنفس طريقة ارتباط مركبات المتجه؛ ويجب إثبات ارتباطها ببعضها البعض بهذه الطريقة تحديدًا بشكل منفصل .

يتناسب تعريف كيلفن-ستوكس بشكل طبيعي مع هذا التعريف ، باعتباره صيغة شاملة تتوافق معه. فهو يُساوي التكامل السطحي لدوران حقل متجه بالتكامل الخطي المذكور أعلاه حول حدود السطح.

هناك طريقة أخرى يمكن من خلالها تعريف متجه الدوران لدالة F عند نقطة ما، وهي بشكل صريح القيمة الحدية لتكامل سطحي ذي قيم متجهة حول غلاف يحيط بـ p مقسومًا على الحجم المحاط، حيث ينكمش الغلاف إلى ما لا نهاية حول p .

وبشكل أكثر تحديدًا، يمكن تعريف الدوران بواسطة صيغة المتجه $$//$$ حيث يتم حساب التكامل السطحي على طول الحد S للحجم V ، و | V | هو مقدار الحجم، و${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$يشير إلى الخارج من السطح S بشكل عمودي عند كل نقطة في S.

في هذه الصيغة، يقيس الضرب الاتجاهي في الدالة التكاملية المركبة المماسية للمجال F عند كل نقطة على السطح S ، ويشير إلى الاتجاهات على طول السطح بزاوية قائمة على الإسقاط المماسي للمجال F. وينتج عن تكامل هذا الضرب الاتجاهي على كامل السطح متجهٌ يقيس مقداره الدوران الكلي للمجال F حول S ، ويكون اتجاهه عموديًا على هذا الدوران. وتوضح الصيغة أعلاه أن التفاف حقل متجه عند نقطة ما هو الكثافة الحجمية المتناهية الصغر لهذا "المتجه الدوراني" حول تلك النقطة.

يتناسب مع هذا التعريف بشكل طبيعي صيغة عالمية أخرى (مشابهة لنظرية كلفن-ستوكس) والتي تساوي التكامل الحجمي لدوران حقل متجه مع التكامل السطحي المذكور أعلاه المأخوذ على حدود الحجم.

ثمة طريقة ثالثة لتعريف الدوران تؤكد على تفسيره على أنه ضعف متجه دوران حجم كروي متناهي الصغر من المجال. ويمكن إثبات أن الدوران يحقق $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (O)=\lim _{\varepsilon \to 0}{3 \over {\text{Vol}}(B_{\varepsilon })}\int _{B_{\epsilon }}{\frac {\mathbf {r} \times (\mathbf {F} (P)-\mathbf {F} (O))}{r^{2}}}\,dV,}$$ أين${\displaystyle P}$و${\displaystyle O}$هي نقاط في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$، ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {P} -\mathbf {O} }$، و${\displaystyle B_{\varepsilon }}$يرمز إلى الكرة ذات نصف القطر${\displaystyle \varepsilon }$مركزها في${\displaystyle O}$.

من ناحية أخرى، متجه الدوران اللحظي${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}$لجسم صلب ذي مجال حركة${\displaystyle \mathbf {v} }$يتم تحديد ذلك لكل كرة${\displaystyle B_{\varepsilon }}$، باستخدام صيغة المتوسط ​​التكاملي $$// (O))}{r^{2}}}\,dV}$$ (هكذا${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} (O).}$نلاحظ أن الدوران يظهر على أنه ضعف متجه الدوران لحجم كروي متناهي الصغر من المجال${\displaystyle \mathbf {F} }$، يُنظر إليه (حتى الرتبة الثالثة) كجسم صلب ذي مجال حركة يساوي${\displaystyle \mathbf {F} }$.

بينما تُعتبر التعريفات الثلاثة المذكورة أعلاه للدوران مستقلة عن الإحداثيات، يوجد تعريف آخر "يسهل حفظه" للدوران في الإحداثيات المتعامدة المنحنية ، على سبيل المثال في الإحداثيات الديكارتية ، أو الكروية ، أو الأسطوانية ، أو حتى الإهليلجية أو القطع المكافئ :$$\displaystyle \begin{aligned}&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{1}={\frac {1}{h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial u_{2}}}-{\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial u_{3}}}\right),\\[5pt]&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{2}={\frac {1}{h_{3}h_{1}}}\left({\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial u_{3}}}-{\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial \right)\[5pt]&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{3}={\frac {1}{h_{1}h_{2}}}\left({\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial u_{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

يمكن الحصول على معادلة كل مكون (curl F ) _k عن طريق استبدال كل ظهور للرمز السفلي 1، 2، 3 في التبديل الدوري: 1  →  2، 2  →  3، و  3  →  1 (حيث تمثل الرموز السفلية المؤشرات ذات الصلة).

إذا _كانت ( x1 , x2 _, x3 ) هي الإحداثيات الديكارتية و ( u1 , u2 _{, u3 )} هي الإحداثيات _{المتعامدة} ، فإن$${\displaystyle h_{i}={\sqrt {\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x_{2}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}}}}$$ يمثل طول متجه الإحداثيات المقابل لـ u _i . أما المكونان المتبقيان من الدوران فينتجان عن التبديل الدوري للمؤشرات : 3،1،2 → 1،2،3 → 2،3،1.    

من الناحية العملية، نادراً ما يتم استخدام التعريفين الخاليين من الإحداثيات المذكورين أعلاه لأنه في جميع الحالات تقريبًا، يمكن تطبيق عامل الدوران باستخدام مجموعة من الإحداثيات المنحنية ، والتي تم اشتقاق تمثيلات أبسط لها.

الترميز${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$يعود أصل هذا المصطلح إلى أوجه التشابه مع الضرب الاتجاهي ثلاثي الأبعاد ، وهو مفيد كأداة تذكيرية في الإحداثيات الديكارتية إذا${\displaystyle \nabla }$يُعتبر عامل تفاضلي متجهي del . هذا النوع من الترميز الذي يتضمن عوامل شائع في الفيزياء والجبر .

تم توسيعها في إحداثيات ديكارتية ثلاثية الأبعاد (انظر Del في الإحداثيات الأسطوانية والكروية لتمثيلات الإحداثيات الكروية والأسطوانية )،${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$هو، من أجل${\displaystyle \mathbf {F} }$يتألف من${\displaystyle [F_{x},F_{y},F_{z}]}$(حيث تشير الأرقام السفلية إلى مكونات المتجه، وليس المشتقات الجزئية): $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {\hat {\imath }}}&{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}&{\boldsymbol {\hat {k}}}\\[5mu]{\dfrac {\partial }{\partial x}}&{\dfrac {\partial }{\partial y}}&{\dfrac {\partial }{\partial z}}\\[5mu]F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$$ حيث تمثل i و j و k متجهات الوحدة للمحاور x و y و z على التوالي. ويتوسع هذا على النحو التالي: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\boldsymbol {\hat {k}}}}$$

على الرغم من التعبير عنها بدلالة الإحداثيات، إلا أن النتيجة تظل ثابتة تحت الدوران المناسب لمحاور الإحداثيات، لكن النتيجة تنعكس تحت الانعكاس.

في نظام إحداثيات عام، يتم إعطاء الدوران بواسطة ^{[ 1 ]}$${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )^{k}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\varepsilon ^{k\ell m}\nabla _{\ell }F_{m}}$$ حيث يرمز ε إلى موتر ليفي-سيفيتا ، و∇ إلى المشتق المتغير ،${\displaystyle g}$يمثل محدد موتر القياس ، ويشير اصطلاح جمع أينشتاين إلى أنه يتم جمع المؤشرات المتكررة. وبسبب تناظر رموز كريستوفيل المشاركة في المشتقة المتغيرة، فإن هذا التعبير يختزل إلى المشتقة الجزئية : $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )={\frac {1}{\sqrt {g}}}\mathbf {R} _{k}\varepsilon ^{k\ell m}\partial _{\ell }F_{m}}$$ حيث تمثل R _k متجهات الأساس المحلية. وبصورة مكافئة، باستخدام المشتقة الخارجية ، يمكن التعبير عن الدوران على النحو التالي: $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left(\star {\big (}{\mathrm {d} }(\mathbf {F} ^{\flat }){\big )}\right)^{\sharp }}$$

هنا ، ♭ و♯ هما التشاكلان الموسيقيان ، و ★ هو مؤثر نجمة هودج . توضح هذه الصيغة كيفية حساب التفاف F في أي نظام إحداثيات، وكيفية تعميم هذا الالتفاف على أي مشعب ريماني ثلاثي الأبعاد موجه . ولأن هذا يعتمد على اختيار التوجيه، فإن الالتفاف عملية كيرالية . بمعنى آخر، إذا عُكس التوجيه، فإن اتجاه الالتفاف ينعكس أيضًا.

في هذا القسم، يُفترض أن جميع الحقول العددية والمتجهة سلسة ، أي قابلة للتفاضل بشكل مستمر من رتب كافية لكي تكون الهوية منطقية.

التفاف حاصل الضرب الاتجاهي لحقول المتجهات v و ​​F هو $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v\times F} \right)={\Big (}\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } {\Big )}\mathbf {v} -{\Big (}\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } {\Big )}\mathbf {F} \ .}$$

عن طريق تبديل حقل المتجهات v ومؤثر ∇ ، نصل إلى الضرب الاتجاهي لحقل متجه مع التفاف حقل متجه: $${\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{\mathbf {F} }\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\left(\mathbf {v\cdot \nabla } \right)\mathbf {F} \ ,}$$ حيث ∇ _F هو رمز فاينمان السفلي، الذي يأخذ في الاعتبار فقط التغير الناتج عن حقل المتجهات F (أي في هذه الحالة، يتم التعامل مع v على أنه ثابت في الفضاء).

مثال آخر هو التفاف التفاف حقل متجه. يمكن إثبات أنه في الإحداثيات العامة $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} \ ,}$$ وهذه الهوية تحدد لابلاس المتجه لـ F ، ويرمز له بـ ∇ ² F.

يكون التفاف التدرج دائمًا هو حقل المتجهات الصفري$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )={\boldsymbol {0}}}$$ وهذا يتبع من عدم التناظر في تعريف الدوران، وتناظر المشتقات الثانية .

تباعد التفاف أي حقل متجه يساوي صفرًا: $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$$

إذا كانت φ دالة عددية و F حقل متجهي، فإن $${\displaystyle \nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=\nabla \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \nabla \times \mathbf {F} }$$

تُعمَّم عمليات حساب المتجهات، مثل التدرج والالتفاف والتباعد، بسهولة أكبر في سياق الأشكال التفاضلية، وهو ما يتضمن عدة خطوات. باختصار، تُقابل هذه العمليات مشتقات الأشكال الصفرية والأولية والثنائية على التوالي. أما التفسير الهندسي للالتفاف كدوران فيُقابله تعريف المتجهات الثنائية (المتجهات ثنائية الأبعاد) في ثلاثة أبعاد باستخدام جبر لي المتعامد الخاص.${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$من الدورانات المتناهية الصغر (في الإحداثيات، مصفوفات متماثلة معكوسة 3  ×  3)، بينما تمثيل الدورانات بواسطة المتجهات يتوافق مع تحديد متجهات أحادية البعد (أو متجهات ثنائية البعد) و${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$، وكلها فضاءات ثلاثية الأبعاد.

في حالة انعدام تباعد حقل متجهي V ، يوجد حقل متجهي W بحيث يكون V = curl( W ) . ولهذا السبب، يمكن التعبير عن الحقل المغناطيسي ، الذي يتميز بانعدام التباعد، على أنه التفاف كمون متجهي مغناطيسي .

إذا كان W حقلًا متجهيًا بحيث يكون التفافه (curl( W ) = V) ، فإن إضافة أي حقل متجهي للتدرج grad( f ) إلى W سينتج عنه حقل متجهي آخر W + grad( f ) بحيث يكون التفافه (curl( W + grad( f )) = V أيضًا. ويمكن تلخيص ذلك بالقول إن معكوس التفاف حقل متجهي ثلاثي الأبعاد يمكن الحصول عليه، حتى حقل غير دوراني مجهول، باستخدام قانون بيو-سافار .

• تحلل هيلمهولتز
• مُهيئ هيبتمير-شو
• دل في الإحداثيات الأسطوانية والكروية
• الدوامة

• كورن، غرانينو آرثر وتيريزا م. كورن (يناير 2000). دليل الرياضيات للعلماء والمهندسين: تعريفات ونظريات وصيغ للرجوع إليها ومراجعتها . نيويورك: منشورات دوفر. الصفحات 157-160 . ISBN  0-486-41147-8.
• شاي، إتش إم (1997). التباعد، والتدرج، والالتفاف، وكل ما يتعلق بذلك: نص غير رسمي في حساب المتجهات . نيويورك: نورتون. ISBN 0-393-96997-5.

• "Curl" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• "حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات" . mathinsight.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 فبراير 2022 .
• "التباعد والالتفاف: لغة معادلات ماكسويل، وتدفق الموائع، والمزيد" . 21 يونيو 2018. مؤرشف من الأصل في 24 نوفمبر 2021 - عبر يوتيوب .