الاحتمالية النسبية

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 7 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، عند اختيار نموذج إحصائي لبيانات معينة، فإن الاحتمالية النسبية تقارن بين المعقولية النسبية لنماذج مرشحة مختلفة أو لقيم مختلفة لمعلمة نموذج واحد.

الاحتمالية النسبية لقيم المعلمات

لنفترض أن لدينا بيانات x لدينا نموذج إحصائي لها بمعامل θ . ولنفترض أن تقدير الاحتمال الأقصى لـ θ هوθ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}يمكن إيجاد احتمالات نسبية لقيم θ الأخرى من خلال مقارنة احتمالات تلك القيم الأخرى باحتماليةθ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}يتم تعريف الاحتمالية النسبية لـ θ على أنها [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] L(θ|x)  L(θ^|x) ،{\displaystyle {\frac {~{\mathcal {L}}(\theta \mid x)~}{~{\mathcal {L}}({\hat {\theta }}\mid x)~}},} أينL(θ|x){\displaystyle {\mathcal {L}}(\theta \mid x)}يرمز إلى دالة الاحتمال . وبالتالي، فإن الاحتمال النسبي هو نسبة الاحتمال مع ثبات المقام.L(θ^|x){\displaystyle {\mathcal {L}}({\hat {\theta }}\mid x)}.

الوظيفة θ↦ L(θ|x)  L(θ^|x) {\displaystyle \theta \mapsto {\frac {~{\mathcal {L}}(\theta \mid x)~}{~{\mathcal {L}}({\hat {\theta }}\mid x)~}}} هي دالة الاحتمالية النسبية .

منطقة الاحتمال

منطقة الاحتمال هي مجموعة جميع قيم θ التي يكون احتمالها النسبي أكبر من أو يساوي عتبة معينة. وبالنسبة المئوية، تُعرَّف منطقة الاحتمال p % لـ θ على النحو التالي: [ 1 ] [ 3 ] [ 6 ]

{θ:L(θ|x)L(θ^|x)≥ص100}.{\displaystyle \left\{\theta :{\frac {{\mathcal {L}}(\theta \mid x)}{{\mathcal {L}}({\hat {\theta \,}}\mid x)}}\geq {\frac {p}{100}}\right\}.}

إذا كانت θ معلمة حقيقية واحدة، فإن منطقة الاحتمالية p % ستتضمن عادةً فترة من القيم الحقيقية. وإذا كانت المنطقة تتضمن فترة، فإنها تُسمى فترة احتمالية . [ 1 ] [ 3 ] [ 7 ]

تُستخدم فترات الاحتمال، وبشكل أعم مناطق الاحتمال، لتقدير الفترات ضمن الإحصاءات القائمة على الاحتمال ("الإحصاءات الاحتمالية"). وهي تُشابه فترات الثقة في الإحصاءات التكرارية وفترات المصداقية في الإحصاءات البايزية. تُفسَّر فترات الاحتمال مباشرةً من حيث الاحتمال النسبي، وليس من حيث احتمال التغطية (التكرارية) أو الاحتمال اللاحق (البيزية).

بالنظر إلى نموذج ما، يمكن مقارنة فترات الاحتمال بفترات الثقة. إذا كان θ مُعاملًا حقيقيًا واحدًا، ففي ظل شروط معينة، ستكون فترة الاحتمال 14.65% (احتمال 1:7 تقريبًا) لـ θ مُماثلة لفترة الثقة 95% (احتمال تغطية 19/20). [ 1 ] [ 6 ] في صيغة مختلفة قليلًا تُناسب استخدام لوغاريتمات الاحتمال (انظر نظرية ويلكس )، تكون إحصائية الاختبار ضعف الفرق في لوغاريتمات الاحتمال، ويكون التوزيع الاحتمالي لإحصائية الاختبار تقريبًا توزيع كاي تربيع بدرجات حرية (df) تُساوي الفرق في درجات الحرية بين النموذجين (لذلك، فإن فترة الاحتمال e − 2 تُماثل فترة الثقة 0.954؛ بافتراض أن الفرق في درجات الحرية يساوي 1). [ 6 ] [ 7 ]

الاحتمالية النسبية للنماذج

يمكن تعميم تعريف الاحتمالية النسبية لمقارنة النماذج الإحصائية المختلفة . ويستند هذا التعميم إلى معيار معلومات أكايكي ( AIC )، أو أحيانًا معيار معلومات أكايكي مع التصحيح ( AICc ).

لنفترض أن لدينا نموذجين إحصائيين ، M1 و M2 ، لبعض البيانات المعطاة . ولنفترض أيضًا أن AIC( M1 ) ≤ AIC( M2 ) . عندئذٍ، يُعرَّف الاحتمال النسبي لـ M2 بالنسبة إلى M1 كما يلي . [ 8 ]

خبرة⁡(معهد التأمين الأمريكي⁡(م1)-معهد التأمين الأمريكي⁡(م2)2){\displaystyle \exp \left({\frac {\operatorname {AIC} (M_{1})-\operatorname {AIC} (M_{2})}{2}}\right)}

لإثبات أن هذا تعميم للتعريف السابق، لنفترض أن لدينا نموذجًا ما M بمعامل θ (قد يكون متعدد المتغيرات). عندئذٍ ، لأي قيمة لـ θ ، نضع M2 = M ( θ ) ، ونضع أيضًا M1 = M (θ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}) . التعريف العام الآن يعطي نفس النتيجة التي كان يعطيها التعريف السابق.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 3 4 Kalbfleisch, JG (1985)، الاحتمالية والاستدلال الإحصائي ، سبرينغر، §9.3
  2. ↑ أزاليني، أ. (1996)، الاستدلال الإحصائي - بناءً على الاحتمالية ، تشابمان وهول ، §1.4.2، ISBN 9780412606502
  3. 1 2 3 سبورت، د.أ. (2000)، الاستدلال الإحصائي في العلوم ، سبرينغر، الفصل 2 
  4. ↑ دافيسون، أ.س. (2008)، النماذج الإحصائية ، مطبعة جامعة كامبريدج ، §4.1.2
  5. ↑ هيلد، ل.؛ سابانيس بوفيه، د.س. (2014)، الاستدلال الإحصائي التطبيقي - الاحتمالية وبايز ، سبرينغر، §2.1
  6. 1 2 3 روسي، آر جيه (2018)، الإحصاء الرياضي ، وايلي ، ص 267 
  7. 1 2 هادسون، دي جيه (1971)، "تقدير الفترات من دالة الاحتمال"، مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب ، 33 (2): 256-262 ، doi : 10.1111/j.2517-6161.1971.tb00877.x
  8. ↑ برنهام، كيه بي؛ أندرسون، دي آر (2002)، اختيار النموذج والاستدلال متعدد النماذج: نهج عملي قائم على نظرية المعلومات ، سبرينغر، §2.8