قانون ليتل

في نظرية الطوابير الرياضية ، يُعرف قانون ليتل (أو النتيجة ، أو النظرية ، أو اللمة ، أو الصيغة ^{[ 1 ] [ 2 ]} ) بأنه نظرية وضعها جون ليتل، وتنص على أن متوسط ​​عدد العملاء على المدى الطويل ( L ) في نظام ثابت يساوي متوسط ​​معدل الوصول الفعال على المدى الطويل ( λ ) مضروبًا في متوسط ​​الوقت الذي يقضيه العميل في النظام ( W ). ويمكن التعبير عن القانون جبريًا كما يلي:

${\displaystyle L=\lambda W.}$

لا تتأثر هذه العلاقة بتوزيع عملية الوصول، أو توزيع الخدمة، أو ترتيب الخدمة، أو أي شيء آخر تقريبًا. في معظم أنظمة الانتظار، يُعد وقت الخدمة هو العامل المحدد لحجم الطابور. ^{[ 3 ]}

تنطبق هذه النتيجة على أي نظام، وخاصةً على الأنظمة المتداخلة. ^{[ 4 ]} على سبيل المثال، في فرع بنكي، قد يكون صف العملاء نظامًا فرعيًا، وكل صراف نظامًا فرعيًا آخر، ويمكن تطبيق نتيجة ليتل على كل نظام فرعي، بالإضافة إلى النظام ككل. الشرط الوحيد هو أن يكون النظام إرجوديًا . ^{[ 5 ]}

في بعض الحالات، لا يقتصر الأمر على إمكانية ربط متوسط ​​عدد الأفراد في النظام بمتوسط ​​وقت الانتظار رياضياً، بل يمكن أيضاً ربط التوزيع الاحتمالي الكامل (واللحظات) لعدد الأفراد في النظام بوقت الانتظار. ^{[ 6 ]}

في ورقة بحثية نُشرت عام ١٩٥٤، افترض الباحثون صحة قانون ليتل واستخدموه دون برهان. ^{[ ٧ ] [ ٨ ]} نُشرت الصيغة L  = λW لأول مرة على يد فيليب م. مورس، حيث تحدّى القراء لإيجاد حالة لا تنطبق عليها هذه العلاقة. ^{[ ٧ ] [ ٩ ]} نشر ليتل في عام ١٩٦١ برهانه على القانون، مُبينًا عدم وجود مثل هذه الحالة. ^{[ ١٠ ]} تبع برهان ليتل نسخة أبسط من قِبل جويل ^{[ ١١ ]} ونسخة أخرى من قِبل إيلون. ^{[ ١٢ ]} نشر شالر ستيدهام برهانًا مختلفًا وأكثر بديهية في عام ١٩٧٢. ^{[ ١٣ ] [ ١٤ ]} 

لاستخدام قانون ليتل على البيانات، يجب استخدام الصيغ لتقدير المعلمات، لأن النتيجة لا تنطبق بالضرورة بشكل مباشر على فترات زمنية محدودة، وذلك بسبب مشاكل مثل كيفية تسجيل العملاء الموجودين بالفعل في بداية فترة التسجيل وأولئك الذين لم يغادروا بعد عند توقف التسجيل. ^{[ 15 ]}

يُستخدم قانون ليتل على نطاق واسع في التصنيع للتنبؤ بفترة التسليم بناءً على معدل الإنتاج وكمية العمل قيد التنفيذ . ^{[ 16 ]}

استخدم مختبرو أداء البرمجيات قانون ليتل للتأكد من أن نتائج الأداء الملحوظة لا تعود إلى اختناقات يفرضها جهاز الاختبار. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

وتشمل التطبيقات الأخرى توفير الكوادر الطبية لأقسام الطوارئ في المستشفيات. ^{[ 19 ] [ 20 ]}

أخيرًا، ينطبق شكل مكافئ لقانون ليتل أيضًا في مجالي علم السكان وعلم الأحياء السكاني ، على الرغم من أنه لا يُشار إليه باسم "قانون ليتل". ^{[ 21 ] [ 22 ]} على سبيل المثال، يوضح كوهين (2008) ^{[ 23 ]} أنه في مجتمع متجانس ثابت بدون هجرة،${\displaystyle P=B\times e}$، أين${\displaystyle P}$يمثل إجمالي عدد السكان،${\displaystyle B}$هو عدد المواليد في السنة، و${\displaystyle e}$هو متوسط ​​العمر المتوقع منذ الولادة. الصيغة${\displaystyle P=B\times e}$وبالتالي، فإن ذلك يعادل قانون ليتل بشكل مباشر (${\displaystyle L=\lambda \times W}$ومع ذلك، تميل التجمعات البيولوجية إلى أن تكون ديناميكية، وبالتالي يصعب نمذجتها بدقة. ^{[ 24 ]}

في بعض الحالات، لا يقتصر الأمر على ربط المتوسطات فحسب، بل يشمل ربط التوزيع الاحتمالي الكامل للعدد في النظام بالوقت الذي يقضيه فيه، وذلك في ظل نظام "الأسبقية لمن يأتي أولاً" . وقد اشتق كيلسون وسيرفي (1988) علاقة توزيعية للعديد من أنظمة FIFO/بواسون ^{[ 25 ]} ، وطُوّرت لاحقًا في أعمال ذات صلة، بما في ذلك روابط مع تحليل فورمان-كوبر ^{[ 26 ]} ؛ وفي وقت لاحق، قدّم بيرتسيماس وناكازاتو (1995) برهانًا جديدًا واستعرضا تطبيقاته. ^{[ 27 ]}

• قائمة القوانين التي تحمل أسماء أشخاص (القوانين والأمثال والملاحظات أو التنبؤات الموجزة الأخرى التي سميت على أسماء أشخاص)
• إرلانج (وحدة)

• برهان على صيغة الطابور L = λ W ، سيجمان، ك.، جامعة كولومبيا
• برهان على صيغة الطابور L = λ W ، إدواردو مالدونادو، أليكسبي، جامعة جنوب مين.