الإرجودية

يُمكننا تقديم مثال بسيط من خلال رمي العملة. لنفترض أننا نرمي نفس العملة غير المتوازنة إلى الأبد، باحتمالية معينة.${\displaystyle p}$نسبة ظهور الصورة في كل رمية. العملية المستقرة الناتجة هي عملية إرجودية: باستثناء الأحداث ذات الاحتمالية الصفرية، لا توجد علامة إحصائية دائمة أخرى مرتبطة بالتسلسل. على وجه الخصوص، فإن التكرار طويل المدى لظهور الصورة هو${\displaystyle p}$بالنسبة لكل تسلسل تقريبًا. ^{[ 6 ] [ 2 ]}

على النقيض من ذلك، لنفترض أنه قبل إجراء أي رمية، يتم اختيار إحدى عملتين نقديتين عشوائيًا: إحدى العملتين لها احتمال${\displaystyle p_{1}}$من بين الصور، والآخر لديه احتمال${\displaystyle p_{2}}$ثم تُرمى العملة المختارة إلى ما لا نهاية. هذه العملية ثابتة، لكنها ليست إرجودية. يُعدّ اختيار العملة الخفي حقيقة ثابتة في التسلسل اللانهائي بأكمله، وهو يفصل العملية إلى مُكوّنين مختلفين إحصائيًا. ^{[ 7 ] [ 5 ]}

في نظام ديناميكي يحافظ على القياس، تُعبَّر هذه الفكرة بالقول إن كل مجموعة قابلة للقياس ثابتة إما أن يكون قياسها صفرًا أو قياسها كاملًا. ^{[ 4 ]} وبصورة مكافئة، لا يمكن تفكيك النظام، حتى مجموعات ذات قياس صفري، إلى جزأين ثابتين ذوي قياس موجب.

ترتبط خاصية الإرجودية بتساوي المتوسطات الزمنية والمكانية من خلال نظريات الإرجودية. ويجب عدم الخلط بينها وبين العشوائية، أو الاختلاط، أو الفوضى، أو الادعاء بأن كل مدار فردي يمر بكل جزء من الفضاء.

مثال أساسي آخر يأتي من دوران الدائرة. ^{[ 8 ]} ليكن${\displaystyle R_{\alpha }}$تكون هذه هي دوران الدائرة عبر الزاوية${\displaystyle 2\pi \alpha }$الراديان. بعد${\displaystyle n}$في عدد من التكرارات، يتم تدوير نقطة ما بواسطة${\displaystyle 2\pi n\alpha }$.

لو${\displaystyle \alpha }$هو عقلاني، على سبيل المثال${\displaystyle \alpha =p/q}$في أبسط صورة، تكون كل نقطة دورية: بعد${\displaystyle q}$بعد تكرارات، يعود إلى موضعه الأصلي. بالنسبة لمقياس لوبيغ على الدائرة، فإن هذا الدوران ليس إرجوديًا. على سبيل المثال، الدالة غير الثابتة

${\displaystyle f(e^{i\theta })=\cos(q\theta )}$

ثابت تحت الدوران، لأنه استبدال${\displaystyle \theta }$بواسطة${\displaystyle \theta +2\pi p/q}$لا يتغير${\displaystyle \cos(q\theta )}$وبالتالي، يمكن تقسيم الدائرة إلى أجزاء أصغر ثابتة، مثل${\displaystyle a<\cos(q\theta )<b}$.

لو${\displaystyle \alpha }$بما أن النظام غير نسبي، فإن مدار كل نقطة فيه كثيف داخل الدائرة. في الواقع، الدوران غير النسبي هو دوران إرجودي بالنسبة لمقياس ليبيغ: فكل مجموعة قابلة للقياس وثابتة تحت الدوران إما أن يكون قياسها صفرًا أو قياسها كاملًا. وبالتالي، يمتلك النظام العديد من المدارات الفردية المختلفة، ولكنه لا يمتلك أي تحليل قابل للقياس غير تافه إلى مكونات إحصائية ثابتة.

يُظهر هذا المثال أيضًا أن خاصية الإرجودية أضعف من خاصية المزج. فالدوران غير العقلاني إرجودي، ولكنه ليس مزجًا.

في تعريف الإرجودية من منظور نظرية القياس، تكون البيانات الأساسية عبارة عن فضاء قياس${\displaystyle X}$، وتطور نقاطها مع الزمن. في مثال رمي العملة، يمكن اعتبار فضاء الحالة هو فضاء التسلسلات اللانهائية من النتائج، والتطور الزمني هو خريطة الإزاحة على هذا الفضاء. في مثال الدوران، فضاء الحالة هو الدائرة، والتطور الزمني هو تطبيق الدوران بشكل متكرر. كلاهما مثالان على أنظمة ديناميكية منفصلة الزمن . عناصر الفضاء${\displaystyle X}$هي حالات ممكنة للنظام. المجموعة القابلة للقياس هي مجموعة من الحالات التي تُسند إليها النظرية مقياسًا، مثل الطول أو المساحة أو الحجم أو الاحتمالية. الفضاء${\displaystyle X}$مزود بجبر سيجما${\displaystyle {\mathcal {B}}}$من المجموعات التي يُسمح بقياسها.

متى${\displaystyle X}$إذا كان الفضاء طوبولوجيًا، مثل فترة أو دائرة أو متعدد الشعب، فإن الخيار المعتاد غالبًا ما يكون جبر سيجما بوريل ، المُوَلَّد بواسطة المجموعات المفتوحة. في أمثلة الاحتمالات، تُمثل المجموعات القابلة للقياس أحداثًا. على سبيل المثال، في سلسلة لانهائية من رميات العملة، يكون حدث "الرمية الأولى صورة" قابلًا للقياس، وكذلك حدث "التكرار طويل المدى للصور موجود ويساوي 10 ...${\displaystyle p}$".

تكون المجموعة ثابتة إذا لم يتغير الانتماء إليها بتغير الزمن، باستثناء المجموعات ذات القياس الصفري. بالنسبة للتحويل${\displaystyle T:X\to X}$وعادةً ما يُكتب هذا على النحو التالي:

${\displaystyle T^{-1}A=A}$

أو، بشكل أعم، للدلالة على الفرق المتناظر للمجموعات بواسطة${\displaystyle \Delta }$:

${\displaystyle \mu (T^{-1}A\triangle A)=0.}$

وبالتالي فإن النظام الذي يحافظ على القياس (في الزمن المنفصل) هو الزوج${\displaystyle (X,T)}$أين${\displaystyle X}$هي مساحة قياس و${\displaystyle T}$هو تحويل يحافظ على القياس.

تمثل المجموعة القابلة للقياس الثابتة خاصية إحصائية للحالة تستمر في ظل الديناميكيات. وتنص خاصية الإرجودية على أن كل خاصية قابلة للقياس مستمرة من هذا القبيل تكون تافهة: إما أنها لا تتحقق في أي مكان تقريبًا (أي فقط على مجموعة قياسها صفر) أو أنها تتحقق في كل مكان تقريبًا (أي في كل مكان باستثناء مجموعة قياسها صفر).

استُمدّ الدافع الأصلي لمفهوم الإرجودية من الميكانيكا الإحصائية . ^{[ 9 ] [ 10 ]} في الميكانيكا الكلاسيكية، تُمثَّل حالة النظام بنقطة في فضاء الطور : على سبيل المثال، مواقع وزخم جميع الجسيمات في غاز. ويؤدي التطور الزمني للنظام إلى تحريك هذه النقطة عبر فضاء الطور.

بالنسبة لنظام هاميلتوني معزول ، تكون الطاقة محفوظة، لذا فإن الحركة محصورة في سطح طاقة

${\displaystyle H(q,p)=E.}$

يحافظ التدفق الهاميلتوني على حجم فضاء الطور الطبيعي، والذي يُسمى مقياس ليوفيل . ^{[ 11 ] [ 12 ]} بعد تقييده بسطح طاقة، يُعطي هذا المقياس الكامن وراء المجموعة الميكروكانونية . ^{[ 10 ]}

كان السؤال الفيزيائي هو ما إذا كان من الممكن استبدال المتوسطات طويلة المدى على طول الحركة الفعلية لنظام ما بالمتوسطات على سطح الطاقة المقابل. بالنسبة لمتغير قابل للملاحظة${\displaystyle f}$وهذا يسأل عما إذا كان المتوسط ​​الزمني مثل

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{1 \over T}\int _{0}^{T}f(\phi _{t}(x))\,dt}$

يتفق، بالنسبة للحالات الأولية النموذجية${\displaystyle x}$، وهو ما يمثل حالة العدد الكبير من الجسيمات في الغاز، بمتوسط${\displaystyle f}$على سطح الطاقة. وكانت فرضية الإرجودية محاولة مبكرة لتبرير هذا الاستبدال.

في لغة نظرية القياس الحديثة، لا تعني خاصية الإرجودية أن المسار يمر حرفيًا بكل نقطة على سطح الطاقة. بل تعني أنه، بالنسبة للمقياس الثابت المُختار، لا يوجد تجزئة قابلة للقياس ثابتة أخرى للنظام إلى مكونات إحصائية أصغر. وبناءً على فرضيات مناسبة، تُشير نظريات الإرجودية إلى تساوي المتوسطات الزمنية والمكانية للعديد من الكميات القابلة للرصد. ^{[ 4 ] [ 2 ]}

في الميكانيكا الإحصائية، تُستخدم خاصية الإرجودية لتبرير استبدال المتوسطات طويلة المدى للكميات القابلة للرصد بمتوسطات على مجموعة ثابتة. بالنسبة للأنظمة الهاميلتونية المعزولة، عادةً ما تكون المجموعة ذات الصلة هي المجموعة الميكروكانونية على سطح الطاقة. هذا هو إطار فرضية الإرجودية الكلاسيكية. ^{[ 10 ] [ 9 ]}

يُعدّ إثبات خاصية الإرجودية بدقة لأنظمة الجسيمات المتعددة الواقعية أمرًا صعبًا. وتأتي أمثلة رياضية مهمة من لعبة البلياردو الديناميكية ، حيث توفر تصادمات الجسيمات المثالية أنظمة يمكن إثبات خاصية الإرجودية فيها أحيانًا. ^{[ 14 ] [ 15 ]}

تظهر أمثلة أساسية للأنظمة الإرجودية وغير الإرجودية حتى في ديناميكيات الأبعاد المنخفضة. ^{[ 16 ] [ 17 ]} تُعدّ الدورانات غير النسبية للدائرة إرجودية بالنسبة لمقياس ليبيغ، لكنها ليست مختلطة. تشمل الأمثلة القياسية الأخرى خريطة الخباز ، وخريطة قطة أرنولد ، وإزاحات برنولي ، وبعض أنظمة البلياردو . توضح هذه الأمثلة علاقات مختلفة بين الإرجودية والخلط والإنتروبيا والسلوك الفوضوي.

تنشأ التدفقات الإرجودية بشكل طبيعي في الهندسة. ومن الأمثلة الرئيسية على ذلك التدفق الجيوديسي على مشعب ريماني ، والذي يُدرس عادةً على حزمة المماس الوحدوية مع مقياسها الثابت الطبيعي. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

على سطح حلقي مسطح، تكون الحركة في اتجاه غير نسبي ثابت كثيفة على السطح، وتكون إرجودية بعد تقييدها بهذا الاتجاه. أما التدفق الجيوديسي الكامل على حزمة المماس الواحدية فليس إرجوديًا، لأن اتجاه الحركة محفوظ. في المقابل، يكون التدفق الجيوديسي على مشعب ريماني مضغوط ذي انحناء سالب إرجوديًا بالنسبة للمقياس الثابت الطبيعي. وهذا يمثل إحدى العائلات الكلاسيكية للأمثلة في نظرية الإرجودية، ويرتبط ارتباطًا وثيقًا بتدفقات أنوسوف .

تشمل الأمثلة الهندسية الأخرى تدفقات الدوائر الأفقية ، والتدفقات على أسطح الانتقال ، وتدفقات البلياردو. في هذه السياقات، يتعلق مفهوم الإرجودية بالمجموعات الجزئية الثابتة القابلة للقياس في فضاء الطور المناسب، وليس بما إذا كان مسار واحد يمر حرفيًا بكل نقطة. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

في ميكانيكا الكم، يُستخدم مصطلح "الإرجودية" بحذر أكبر، لأن التطور الكمي لا يُوصف بمسارات نقطية في فضاء الطور الكلاسيكي. وتظهر مفاهيم مشابهة في فوضى الكم وفي نظرية الإرجودية الكمية ، التي تُعنى بتوزيع الدوال الذاتية في حد شبه كلاسيكي. ترتبط هذه الأفكار بالإرجودية الكلاسيكية في نظرية القياس، ولكنها ليست متطابقة معها. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

يترك${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$أن تكون مساحة قابلة للقياس . إذا${\displaystyle T}$هي دالة قابلة للقياس من${\displaystyle X}$لنفسه و${\displaystyle \mu }$مقياس احتمالي على${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$إذاً، يُعرَّف النظام الديناميكي الحافظ للقياس بأنه نظام ديناميكي يكون فيه${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}}=\mu (A)}$للجميع${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$مثل هذا${\displaystyle T}$يقال إنه يحافظ${\displaystyle \mu$ ;} أو بعبارة أخرى، ذلك${\displaystyle \mu }$يكون${\displaystyle T}$- ثابت . ^{[ 4 ]}

دالة قابلة للقياس${\displaystyle T}$يقال إنه${\displaystyle \mu }$-إرجودية أو ذلك${\displaystyle \mu }$هو مقياس إرجودي لـ${\displaystyle T}$لو${\displaystyle T}$معلبات${\displaystyle \mu }$ويتحقق الشرط التالي: ^{[ 4 ]}

لأي${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$بحيث${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$أيضاً${\displaystyle \mu (A)=0}$أو${\displaystyle \mu (A)=1}$.

بمعنى آخر، لا يوجد${\displaystyle T}$المجموعات الجزئية الثابتة حتى القياس 0 (بالنسبة إلى${\displaystyle \mu }$).

بعض المؤلفين ^{[ 22 ]} يخففون من شرط أن${\displaystyle T}$معلبات${\displaystyle \mu }$إلى الشرط الذي${\displaystyle T}$هو تحويل غير منفرد بالنسبة إلى${\displaystyle \mu }$وهذا يعني أن${\displaystyle N}$تكون مجموعة جزئية من القياس الصفري إذا وفقط إذا${\displaystyle T^{-1}(N)}$يكون.

أبسط مثال على ذلك هو عندما${\displaystyle X}$هي مجموعة منتهية و${\displaystyle \mu }$هو مقياس العد المعياري . ثم خريطة ذاتية لـ${\displaystyle X}$معلبات${\displaystyle \mu }$إذا وفقط إذا كانت دالة تقابل، وتكون دالة إرجودية إذا وفقط إذا${\displaystyle T}$له مدار واحد فقط (أي لكل${\displaystyle x,y\in X}$يوجد${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$بحيث${\displaystyle y=T^{k}(x)}$على سبيل المثال، إذا${\displaystyle X=\{1,2,\ldots ,n\}}$ثم الدورة${\displaystyle (1\,2\,\cdots \,n)}$هو إرجودي، لكن التبديل${\displaystyle (1\,2)(3\,4\,\cdots \,n)}$ليس كذلك (لها مجموعتان فرعيتان ثابتتان)${\displaystyle \{1,2\}}$و${\displaystyle \{3,4,\ldots ,n\}}$).

يسمح التعريف المذكور أعلاه بإعادة الصياغة المباشرة التالية: ^{[ 23 ] [ 5 ]}

• لكل${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$مع${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\bigtriangleup A\right)}}=0}$لدينا${\displaystyle \mu (A)=0}$أو${\displaystyle \mu (A)=1\,}$(أين${\displaystyle \bigtriangleup }$يشير إلى الفرق المتناظر );
• لكل${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$بالمقياس الإيجابي لدينا${\textstyle \mu {\mathord {\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }T^{-n}(A)\right)}}=1}$؛
• لكل مجموعتين${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$من المقياس الإيجابي، يوجد${\displaystyle n>0}$بحيث${\displaystyle \mu {\mathord {\left(\left(T^{-n}(A)\right)\cap B\right)}}>0}$؛
• كل وظيفة قابلة للقياس${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$مع${\displaystyle f\circ T=f}$ثابت على مجموعة فرعية من القياس الكامل.

ومن المهم للتطبيقات أن الشرط الوارد في التوصيف الأخير يمكن حصره في الدوال القابلة للتكامل التربيعي فقط:

• لو${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu )}$و${\displaystyle f\circ T=f}$ثم${\displaystyle f}$ثابت تقريبًا في كل مكان.

لو${\displaystyle \mu }$هو مقياس احتمالي على فضاء${\displaystyle X}$وهو ما يُعدّ إرجوديًا للتحول${\displaystyle T}$تنص نظرية بيركوف الإرجودية النقطية على أنه لكل دالة قابلة للتكامل${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ولـ${\displaystyle \mu }$-تقريبًا كل نقطة${\displaystyle x\in X}$المتوسط ​​الزمني على مدار${\displaystyle x}$يتقارب مع المتوسط ​​المكاني لـ${\displaystyle f}$[ ^{23 ] [ 2 ]} وهذا يعني رسميًا ^أن$${\displaystyle \lim _{k\to +\infty }\left({\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}f\left(T^{i}(x)\right)\right)=\int _{X}fd\mu .}$$

تُعدّ نظرية المتوسط ​​الإرجودي لجون فون نيومان بيانًا مشابهًا، وإن كان أضعف، حول الإزاحات المتوسطة للدوال القابلة للتكامل التربيعي. ^{[ 23 ] [ 5 ]}

كما هو الحال في الحالة المنفصلة، ​​فإن أبسط مثال هو مثال الفعل المتعدي، على سبيل المثال الفعل على الدائرة المعطى بواسطة${\displaystyle T_{t}(z)=e^{2i\pi t}z}$هو إرجودي بالنسبة لمقياس ليبيغ.

مثال على عدد لا نهائي من المدارات هو التدفق على طول منحدر غير نسبي على سطح الطارة: ليكن${\displaystyle X=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$و${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$. يترك${\displaystyle T_{t}(z_{1},z_{2})=\left(e^{2i\pi t}z_{1},e^{2\alpha i\pi t}z_{2}\right)}$ثم إذا${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Q} }$هذا إرجودي بالنسبة لمقياس ليبيغ.

ومن الأمثلة الأخرى على التدفقات الإرجودية ما يلي: ^{[ 18 ] [ 19 ]}

• بعض أنواع البلياردو في المجالات الإقليدية المحدبة، مثل بلياردو سيناء ؛
• التدفق الجيوديسي لمتشعب ريماني ذي انحناء سلبي وحجم محدود يكون إرجوديًا (بالنسبة لمقياس الحجم المعياري)؛
• يكون التدفق الحلقي على مشعب زائدي ذي حجم محدود تدفقًا إرجوديًا (بالنسبة لمقياس الحجم المعياري).

يمكن تقديم توصيف بديل قوي للغاية للمقاييس الإرجودية باستخدام نظرية فضاءات باناخ . مقاييس رادون الموقعة على${\displaystyle X}$تشكل فضاء باناخ، الذي تتكون منه المجموعة${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$مقاييس الاحتمالية على${\displaystyle X}$هي مجموعة جزئية محدبة . بالنظر إلى تحويل مستمر${\displaystyle T}$ل${\displaystyle X}$، المجموعة الفرعية${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)^{T}}$ل${\displaystyle T}$المقاييس الثابتة هي مجموعة فرعية محدبة مغلقة، ويكون المقياس إرجوديًا لـ${\displaystyle T}$إذا وفقط إذا كانت نقطة قصوى لهذه المجموعة المحدبة. ^{[ 28 ]}

التحول${\displaystyle T}$يُقال إنها فريدة من نوعها في كونها إرجودية إذا كان هناك فريد${\displaystyle T}$مقياس احتمالية بوريل الثابت${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle X}$.

في الأمثلة المذكورة أعلاه، تكون الدورانات غير العقلانية للدائرة فريدة من نوعها في كونها إرجودية؛ ^{[ 32 ]} خرائط الإزاحة ليست كذلك.

يترك${\displaystyle S}$لتكن مجموعة منتهية. سلسلة ماركوف على${\displaystyle S}$يتم تعريفها بواسطة مصفوفة${\displaystyle P\in [0,1]^{S\times S}}$، أين${\displaystyle P(s_{1},s_{2})}$هي احتمالية الانتقال من${\displaystyle s_{1}}$ل${\displaystyle s_{2}}$لذلك لكل${\displaystyle s\in S}$لدينا${\textstyle \sum _{s'\in S}P(s,s')=1}$[ ^{33 ]} مقياس ثابت لـ^​${\displaystyle P}$هو مقياس احتمالي${\displaystyle \nu }$على${\displaystyle S}$بحيث${\displaystyle \nu P=\nu }$؛ إنه،

$${\displaystyle \sum _{s'\in S}\nu (s')P(s',s)=\nu (s)}$$

للجميع${\displaystyle s\in S}$.

باستخدام هذه البيانات، يمكننا تحديد مقياس احتمالي${\displaystyle \mu _{\nu }}$في مساحة المسار${\displaystyle X=S^{\mathbb {Z} }}$مع جبر سيجما الخاص به عن طريق إعطاء مقاييس مجموعات الأسطوانات على النحو التالي:

$${\displaystyle \mu _{\nu }\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{n}=s_{n},\ldots ,x_{m}=s_{m}\}=\nu (s_{n})P(s_{n},s_{n+1})\cdots P(s_{m-1},s_{m}).}$$

استقرار${\displaystyle \nu }$وهذا يعني أن المقياس${\displaystyle \mu _{\nu }}$ثابت تحت خريطة الإزاحة

$${\displaystyle T\left(\left(s_{k}\right)_{k\in \mathbb {Z} }\right)=\left(s_{k+1}\right)_{k\in \mathbb {Z} }.}$$

الإجراء${\displaystyle \mu _{\nu }}$تكون عملية الإرجودية لخريطة الإزاحة إذا كانت سلسلة ماركوف المحدودة المرتبطة بها غير قابلة للاختزال ، أي إذا كان من الممكن الوصول إلى أي حالة باحتمالية موجبة من أي حالة أخرى في عدد محدود من الخطوات. ^{[ 33 ]}

بالنسبة لسلسلة ماركوف غير قابلة للاختزال ومحدودة، يوجد مقياس ثابت فريد. وهناك شرط كافٍ أقوى، يُستخدم غالبًا لضمان التقارب نحو المقياس الثابت، وهو أن${\displaystyle 1}$ليكن قيمة ذاتية بسيطة للمصفوفة${\displaystyle P}$وأن جميع القيم الذاتية الأخرى لـ${\displaystyle P}$في${\displaystyle \mathbb {C} }$معامل المرونة أقل من${\displaystyle 1}$.

تجدر الإشارة إلى أنه في نظرية الاحتمالات، غالبًا ما تُسمى سلسلة ماركوف المنتهية سلسلة إرجودية إذا كانت غير قابلة للاختزال وغير دورية. ولا يُعد عدم الدورية شرطًا ضروريًا للمقياس الثابت تحت الإزاحة المرتبط بها.${\displaystyle \mu _{\nu }}$أن تكون إرجودية؛ بل إنها مرتبطة بخصائص تقارب ومزج أقوى. ومن ثم فإن مفهوم "الإرجودية" لسلسلة ماركوف ومفهوم الإرجودية للمقياس الثابت بالتحول المرتبط بها مرتبطان ارتباطًا وثيقًا ولكنهما ليسا متطابقين. ^{[ 34 ]}

للخاصية الإرجودية أيضاً صياغة نظرية التمثيل. لنفترض${\displaystyle G}$كونوا مجموعة ودعوا${\displaystyle \pi :G\to U({\mathcal {H}})}$ليكن تمثيلاً وحدوياً على فضاء هيلبرت${\displaystyle {\mathcal {H}}}$في هذا السياق، يُطلق على التمثيل أحيانًا اسم التمثيل الإرجودي إذا لم يكن له متجهات ثابتة غير صفرية، ^{[ 36 ] [ 38 ]} أي،

$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{G}={v\in {\mathcal {H}}:\pi (g)v=v{\text{ for all }}g\in G}={0}.}$$

يمكن التعبير عن هذا الشرط أيضًا بدلالة معاملات المصفوفة.${\displaystyle x,y\in {\mathcal {H}}}$، يُعرِّف

$${\displaystyle f_{x,y}(g)=\langle \pi (g)x,y\rangle .}$$

معاملات المصفوفة للتمثيلات الوحدوية تكون شبه دورية ضعيفة .${\displaystyle WAP(G)}$له متوسط ​​ثابت فريد${\displaystyle m}$يكون التمثيل إرجوديًا إذا وفقط إذا

$${\displaystyle m(f_{x,y})=0}$$

للجميع${\displaystyle x,y\in {\mathcal {H}}}$[ ^{36 ]} عندما^​${\displaystyle G}$بما أن المصفوفة متراصة، فإن هذا المتوسط ​​الثابت هو تكامل بالنسبة لمقياس هار المعياري، لذا يصبح الشرط

$${\displaystyle \int _{G}\langle \pi (g)x,y\rangle \,dg=0}$$

للجميع${\displaystyle x,y\in {\mathcal {H}}}$.

يتوافق هذا المصطلح مع المفهوم المعتاد للخاصية الإرجودية للأفعال التي تحافظ على القياس. لنفترض أن${\displaystyle G}$يؤثر على فضاء احتمالي${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$عن طريق التحويلات التي تحافظ على القياس. تمثيل كوبمان المرتبط هو التمثيل الوحدوي لـ${\displaystyle G}$على${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$محدد بواسطة

$${\displaystyle (U_{g}f)(x)=f(g^{-1}x).}$$

فعل${\displaystyle G}$تكون إرجودية إذا وفقط إذا كان الوحيد${\displaystyle G}$الدوال الثابتة في${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$هي الدوال الثابتة. ^{[ 5 ] [ 36 ]} أو بصورة مكافئة،

$${\displaystyle L^{2}(X,\mu )^{G}=\mathbb {C} \mathbf {1} .}$$

يترك${\displaystyle L_{0}^{2}(X,\mu )}$تشير إلى المتمم المتعامد للدوال الثابتة،

$${\displaystyle L_{0}^{2}(X,\mu )=\left\{f\in L^{2}(X,\mu ):\int _{X}f\,d\mu =0\right\}.}$$

يكون الفعل إرجوديًا إذا وفقط إذا كان تمثيل كوبمان المقيد على${\displaystyle L_{0}^{2}(X,\mu )}$هي إرجودية بالمعنى النظري للتمثيل، أي أنها لا تحتوي على متجه ثابت غير صفري. ^{[ 5 ] [ 35 ]}

لتحويل واحد قابل للعكس${\displaystyle T}$وهذا ينطبق أيضاً على عامل الوحدة${\displaystyle U_{T}f=f\circ T^{-1}}$في هذه اللغة، تعني خاصية الإرجودية أن الفضاء الذاتي للقيمة الذاتية${\displaystyle 1}$يتكون فقط من الدوال الثابتة.