الصلابة الموضعية

يترك${\displaystyle \Gamma }$لتكن مجموعة مولدة بواسطة عدد محدود من العناصر${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$و${\displaystyle G}$مجموعة أكاذيب. ثم الخريطة${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)\to G^{n}}$محدد بواسطة${\displaystyle \rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{n}))}$وهو حقني وهذا يمنح${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)}$بطوبولوجيا مستحثة من طوبولوجيا${\displaystyle G^{n}}$. لو${\displaystyle \Gamma }$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle G}$ثم تشوه من${\displaystyle \Gamma }$أي عنصر في${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)}$تمثيلان${\displaystyle \phi ,\psi }$يُقال إن الأفعال مترافقة إذا وُجد${\displaystyle g\in G}$بحيث${\displaystyle \phi (\gamma )=g\psi (\gamma )g^{-1}}$للجميع${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$انظر أيضًا: تنوع الشخصيات .

أبسط عبارة هي عندما${\displaystyle \Gamma }$هي شبكة في زمرة لي بسيطة${\displaystyle G}$والأخير ليس متماثلاً محلياً مع${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$أو${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$و${\displaystyle \Gamma }$(هذا يعني أن جبر لي الخاص بها ليس جبر لي الخاص بإحدى هاتين المجموعتين).

يوجد حي${\displaystyle U}$في${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)}$من الإدراج${\displaystyle i:\Gamma \subset G}$بحيث أن أي${\displaystyle \phi \in U}$يتم تصريفه إلى${\displaystyle i}$.

كلما انطبق هذا البيان على زوج من الأزواج${\displaystyle G\supset \Gamma }$سنقول إن الصلابة المحلية قائمة.

تسري الصلابة المحلية على الشبكات المتراصة في${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$شبكة${\displaystyle \Gamma }$في${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$والتي لا تكون متراصة بشكل مشترك، فإنها تحتوي على تشوهات غير تافهة ناتجة عن نظرية جراحة دين الزائدية لثورستون . ومع ذلك، إذا أضفنا القيد الذي ينص على أن التمثيل يجب أن يرسل عناصر مكافئة في${\displaystyle \Gamma }$بالنسبة للعناصر المكافئة، فإن الصلابة المحلية تسري.

في هذه الحالة، لا تتحقق الصلابة الموضعية أبدًا (باستثناء مجموعات المثلثات المتراصة ). بالنسبة للشبكات المتراصة، يبقى التشوه الطفيف شبكة متراصة، لكنه قد لا يكون مترافقًا مع الشبكة الأصلية (انظر فضاء تايخمولر لمزيد من التفاصيل). أما الشبكات غير المتراصة فهي حرة عمليًا، وبالتالي فإن تشوهاتها لا تنتمي إلى الشبكة.

تتحقق الصلابة المحلية للشبكات في مجموعات لي شبه البسيطة بشرط ألا تحتوي الأخيرة على عامل من النوع A1 (أي متماثل محليًا مع${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$أو${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$) أو أن الأول غير قابل للاختزال.