جبر الحلقات

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 28 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تعتبر جبر الحلقات أنواعًا معينة من جبر لي ، وهي ذات أهمية خاصة في الفيزياء النظرية .

تعريف

لجبر ليز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}فوق حقلك{\displaystyle K}، لوك[ت،ت-1]{\displaystyle K[t,t^{-1}]}إذا كان فضاء كثيرات حدود لوران ، فإن لز:=ز⊗ك[ت،ت-1]،{\displaystyle L{\mathfrak {g}}:={\mathfrak {g}}\otimes K[t,t^{-1}],} مع القوس الموروث [X⊗تم،Y⊗تن]=[X،Y]⊗تم+ن.{\displaystyle [X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}]=[X,Y]\otimes t^{m+n}.}

التعريف الهندسي

لوز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}هو جبر لي، وهو حاصل الضرب الموتري لـز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}مع C ∞ ( S 1 ) ، جبر الدوال الملساء (المركبة) على مشعب الدائرة S 1 (بصورة مكافئة، الدوال الدورية ذات القيم المركبة الملساء ذات فترة معينة)،

ز⊗ج∞(S1)،{\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(S^{1}),}

هي جبر لي لانهائي الأبعاد مع قوس لي المعطى بواسطة

[ز1⊗و1،ز2⊗و2]=[ز1،ز2]⊗و1و2.{\displaystyle [g_{1}\otimes f_{1},g_{2}\otimes f_{2}]=[g_{1},g_{2}]\otimes f_{1}f_{2}.}

هنا ، g1 و g2 عنصران منز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}و f 1 و f 2 هما عنصران من C ∞ ( S 1 ) .

هذا ليس بالضبط ما يتوافق مع الناتج المباشر لعدد لا نهائي من نسخ منز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}، واحد لكل نقطة في S 1 ، بسبب قيد السلاسة. بدلاً من ذلك، يمكن التفكير فيه من حيث خريطة سلسة من S 1 إلىز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}حلقة سلسة ذات معلمات فيز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}بمعنى آخر. ولهذا السبب يُطلق عليه اسم جبر الحلقات .

تدرج

تعريفزأنا{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}ليكون الفضاء الفرعي الخطيزأنا=ز⊗تأنا<لز،{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}={\mathfrak {g}}\otimes t^{i}<L{\mathfrak {g}},}يقتصر القوس على منتج واحد[⋅،⋅]:زأنا×زج→زأنا+ج،{\displaystyle [\cdot \,,\,\cdot ]:{\mathfrak {g}}_{i}\times {\mathfrak {g}}_{j}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{i+j},} وبالتالي إعطاء جبر الحلقة أZ{\displaystyle \mathbb {Z} }- بنية جبر لي المتدرجة .

وعلى وجه الخصوص، يقتصر القوس على الجبر الفرعي "ذي النمط الصفري".ز0≅ز{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\cong {\mathfrak {g}}}.

الاشتقاق

يوجد اشتقاق طبيعي في جبر الحلقات، والذي يُشار إليه اصطلاحًا بـد{\displaystyle d}العمل كـ د:لز→لز{\displaystyle d:L{\mathfrak {g}}\rightarrow L{\mathfrak {g}}}د(X⊗تن)=نX⊗تن{\displaystyle d(X\otimes t^{n})=nX\otimes t^{n}} وبالتالي يمكن اعتبارها رسمياً على النحو التاليد=تددت{\displaystyle d=t{\frac {d}{dt}}}.

من الضروري تعريف جبر لي الأفيني ، والذي يستخدم في الفيزياء، وخاصة نظرية المجال المطابق .

مجموعة لوب

وبالمثل، فإن مجموعة جميع التطبيقات الملساء من S1 إلى زمرة لي G تُشكل زمرة لي لا نهائية الأبعاد (زمرة لي بمعنى أنه يمكننا تعريف مشتقات وظيفية عليها) تُسمى زمرة الحلقات . وجبر لي لزمرة الحلقات هو جبر الحلقات المقابل.

جبر لي الأفيني كامتداد مركزي لجبر الحلقات

لوز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}إذا كانت جبر لي شبه بسيط ، فإن امتدادًا مركزيًا غير تافه لجبر الحلقات الخاص بهلز{\displaystyle L{\mathfrak {g}}}ينتج عن ذلك جبر لي أفيني . علاوة على ذلك، فإن هذا الامتداد المركزي فريد من نوعه. [ 1 ]

يتم الحصول على الامتداد المركزي عن طريق إلحاق عنصر مركزيك^{\displaystyle {\hat {k}}}أي للجميعX⊗تن∈لز{\displaystyle X\otimes t^{n}\in L{\mathfrak {g}}}، [ك^،X⊗تن]=0،{\displaystyle [{\hat {k}},X\otimes t^{n}]=0,} وتعديل القوس في جبر الحلقة إلى [X⊗تم،Y⊗تن]=[X،Y]⊗تم+ن+مب(X،Y)دلتام+ن،0ك^،{\displaystyle [X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}]=[X,Y]\otimes t^{m+n}+mB(X,Y)\delta _{m+n,0}{\hat {k}},} أينب(⋅،⋅){\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}هو شكل القتل .

الامتداد المركزي هو، كفضاء متجهي،لز⊕جك^{\displaystyle L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}}(بتعريفها المعتاد، وبشكل أعم،ج{\displaystyle \mathbb {C} }(يمكن اعتباره حقلاً عشوائياً).

إعادة التدوير

باستخدام لغة تماثل جبر لي ، يمكن وصف الامتداد المركزي باستخدام دورة ثنائية على جبر الحلقات. هذه هي الخريطةφ:لز×لز→ج{\displaystyle \varphi :L{\mathfrak {g}}\times L{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathbb {C} } مُرضٍ φ(X⊗تم،Y⊗تن)=مب(X،Y)دلتام+ن،0.{\displaystyle \varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n})=mB(X,Y)\delta _{m+n,0}.} ثم يكون الحد الإضافي المضاف إلى القوس هوφ(X⊗تم،Y⊗تن)ك^.{\displaystyle \varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}){\hat {k}}.}

جبر لي الأفيني

في الفيزياء، الامتداد المركزيلز⊕جك^{\displaystyle L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}}يُشار إليه أحيانًا باسم جبر لي الأفيني. في الرياضيات، هذا غير كافٍ، وجبر لي الأفيني الكامل هو الفضاء المتجهي [ 2 ]ز^=لز⊕جك^⊕جد{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}=L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}\oplus \mathbb {C} d} أيند{\displaystyle d}هو الاشتقاق المحدد أعلاه.

في هذا الفضاء، يمكن توسيع شكل كيلينج إلى شكل غير منحط، وبالتالي يسمح بتحليل نظام الجذر لجبر لي الأفيني.

مراجع

  1. ↑ كاك، في جي (1990). جبر لي اللانهائي الأبعاد (  الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة كامبريدج . التمرين 7.8. ISBN 978-0-521-37215-2.
  2. ^ P. Di Francesco، P. Mathieu، and D. Sénéchal، نظرية المجال المطابقة ، 1997، ISBN 0-387-94785-X
  • فوكس، يورغن (1992)، جبر لي الأفيني والمجموعات الكمومية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-48412-X