دالة ليابونوف

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 39 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية المعادلات التفاضلية العادية ، تُعدّ دوال ليابونوف ، نسبةً إلى ألكسندر ليابونوف ، دوالًا قياسية تُستخدم لإثبات استقرار نقطة توازن في معادلة تفاضلية عادية. وتُعتبر دوال ليابونوف (المعروفة أيضًا باسم طريقة ليابونوف الثانية للاستقرار) ذات أهمية بالغة في نظرية استقرار الأنظمة الديناميكية ونظرية التحكم . ويظهر مفهوم مشابه في نظرية سلاسل ماركوف العامة في فضاء الحالة، ويُعرف عادةً باسم دوال فوستر-ليابونوف.

بالنسبة لبعض فئات المعادلات التفاضلية العادية، يُعد وجود دوال ليابونوف شرطًا ضروريًا وكافيًا للاستقرار. ورغم عدم وجود تقنية عامة لإنشاء دوال ليابونوف للمعادلات التفاضلية العادية، إلا أن إنشاء هذه الدوال معروف في العديد من الحالات الخاصة. على سبيل المثال، تكفي الدوال التربيعية للأنظمة ذات الحالة الواحدة، ويُوفر حل متباينة مصفوفة خطية معينة دوال ليابونوف للأنظمة الخطية، ويمكن غالبًا استخدام قوانين الحفظ لإنشاء دوال ليابونوف للأنظمة الفيزيائية .

تعريف

دالة ليابونوف لنظام ديناميكي مستقل

{ز:Rن→Rنy˙=ز(y){\displaystyle {\begin{cases}g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}&\\{\dot {y}}=g(y)\end{cases}}}

مع نقطة توازن عندy=0{\displaystyle y=0}هي دالة عدديةV:Rن→R{\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }أي أنها متصلة، ولها مشتقات أولى متصلة، وموجبة تمامًا لـy≠0{\displaystyle y\neq 0}، والتي يكون مشتقها الزمنيV˙=∇V⋅ز{\displaystyle {\dot {V}}=\nabla {V}\cdot g}غير موجب (هذه الشروط مطلوبة في منطقة ما تحتوي على نقطة الأصل). الشرط (الأقوى) هو أن-∇V⋅ز{\displaystyle -\nabla {V}\cdot g}إيجابي تمامًا لـy≠0{\displaystyle y\neq 0}يُذكر أحيانًا على النحو التالي:-∇V⋅ز{\displaystyle -\nabla {V}\cdot g}موجبة محددة محليًا ، أو∇V⋅ز{\displaystyle \nabla {V}\cdot g}هي سالبة محددة محلياً .

مزيد من المناقشة للمصطلحات الواردة في التعريف

تظهر دوال ليابونوف في دراسة نقاط التوازن للأنظمة الديناميكية.Rن،{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}يمكن كتابة أي نظام ديناميكي مستقل على النحو التالي:

y˙=ز(y){\displaystyle {\dot {y}}=g(y)}

للحصول على بعض السلاسةز:Rن→Rن.{\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.}

نقطة التوازن هي نقطةy*{\displaystyle y^{*}}بحيثز(y*)=0.{\displaystyle g\left(y^{*}\right)=0.}بافتراض وجود نقطة توازن،y*،{\displaystyle y^{*},}يوجد دائمًا تحويل إحداثياتx=y-y*،{\displaystyle x=yy^{*},}بحيث:

{x˙=y˙=ز(y)=ز(x+y*)=و(x)و(0)=0{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}={\dot {y}}=g(y)=g\left(x+y^{*}\right)=f(x)\\f(0)=0\end{cases}}}

وبالتالي، عند دراسة نقاط التوازن، يكفي افتراض أن نقطة التوازن تحدث عند0{\displaystyle 0}.

بحسب قاعدة السلسلة، لأي دالة،ح:Rن→R،{\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,}المشتق الزمني للدالة المحسوبة على طول حل النظام الديناميكي هو

ح˙=ددتح(x(ت))=∂ح∂x⋅دxدت=∇ح⋅x˙=∇ح⋅و(x).{\displaystyle {\dot {H}}={\frac {d}{dt}}H(x(t))={\frac {\partial H}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla H\cdot {\dot {x}}=\nabla H\cdot f(x).}

وظيفةح{\displaystyle H}تُعرَّف الدالة بأنها دالة موجبة التحديد محليًا (بمعنى الأنظمة الديناميكية) إذا كان كلاهماح(0)=0{\displaystyle H(0)=0}وهناك حيٌّ للأصل،ب{\displaystyle {\mathcal {B}}}بحيث:

ح(x)>0∀x∈ب∖{0}.{\displaystyle H(x)>0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}.}

نظريات ليابونوف الأساسية للأنظمة المستقلة

يتركx*=0{\displaystyle x^{*}=0}أن تكون نقطة توازن للنظام المستقل

x˙=و(x).{\displaystyle {\dot {x}}=f(x).}

واستخدم الترميزV˙(x){\displaystyle {\dot {V}}(x)}للدلالة على المشتق الزمني لدالة ليابونوف المرشحةV{\displaystyle V}:

V˙(x)=ددتV(x(ت))=∂V∂x⋅دxدت=∇V⋅x˙=∇V⋅و(x).{\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x(t))={\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}}=\nabla V\cdot f(x).}

توازن مستقر تقاربياً محلياً

إذا كانت نقطة التوازن معزولة، فإن دالة ليابونوف المرشحةV{\displaystyle V}تكون الدالة موجبة التحديد محلياً، والمشتق الزمني لدالة ليابونوف المرشحة سالب التحديد محلياً:

V˙(x)<0∀x∈ب(0)∖{0}،{\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}(0)\setminus \{0\},}

لبعض الأحياءب(0){\displaystyle {\mathcal {B}}(0)}من الأصل، ثم يثبت أن التوازن مستقر تقاربياً محلياً.

توازن مستقر

لوV{\displaystyle V}إذا كانت دالة ليابونوف، فإن حالة التوازن تكون مستقرة وفقًا لدالة ليابونوف .

توازن مستقر تقاربياً على مستوى العالم

إذا كانت دالة ليابونوف المرشحةV{\displaystyle V}موجبة محددة عالميًا، وغير محدودة شعاعيًا ، والتوازن معزول، والمشتق الزمني لدالة ليابونوف المرشحة سالبة محددة عالميًا:

V˙(x)<0∀x∈Rن∖{0}،{\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\},}

ثم يثبت أن التوازن مستقر تقاربياً على مستوى العالم .

دالة ليابونوف المرشحةV(x){\displaystyle V(x)}تكون غير محدودة شعاعيًا إذا

‖x‖→∞⇒V(x)→∞.{\displaystyle \|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty .}

(يُشار إلى هذا أيضًا باسم الإكراه المعياري.)

والعكس صحيح أيضًا، [ 1 ] وقد أثبته خوسيه لويس ماسيرا (انظر أيضًا إلى ليمّا ماسيرا ).

مثال

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية التالية علىR{\displaystyle \mathbb {R} }:

x˙=-x.{\displaystyle {\dot {x}}=-x.}

بالنظر إلى ذلكx2{\displaystyle x^{2}}إذا كانت قيمة الدالة موجبة دائمًا حول نقطة الأصل، فهي مرشح طبيعي لتكون دالة ليابونوف لمساعدتنا في الدراسة.x{\displaystyle x}فلندعV(x)=x2{\displaystyle V(x)=x^{2}}علىR{\displaystyle \mathbb {R} }. ثم،

V˙(x)=V′(x)x˙=2x⋅(-x)=-2x2<0.{\displaystyle {\dot {V}}(x)=V'(x){\dot {x}}=2x\cdot (-x)=-2x^{2}<0.}

وهذا يوضح بشكل صحيح أن المعادلة التفاضلية المذكورة أعلاه،x،{\displaystyle x,}يكون مستقرًا تقاربيًا حول نقطة الأصل. تجدر الإشارة إلى أنه باستخدام مرشح ليابونوف نفسه، يمكن إثبات أن حالة التوازن مستقرة تقاربيًا على مستوى العالم أيضًا.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ماسيرا، خوسيه لويس (1949)، "حول شروط ليابونوف للاستقرار"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 50 (3): 705-721 ، doi : 10.2307/1969558 ، JSTOR 1969558 ، MR 0035354  
  • مثال على تحديد استقرار حل التوازن لنظام من المعادلات التفاضلية العادية باستخدام دالة ليابونوف