نظرية لورث

في الرياضيات ، تنص نظرية لوروث على أن كل حقل يقع بين حقل K وحقل الدوال الكسرية K ( X ) يجب أن يكون مولداً كامتداد لـ K بواسطة عنصر واحد من K ( X ). سُميت هذه النتيجة نسبةً إلى جاكوب لوروث ، الذي أثبتها عام 1876. ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle K}$كن حقلاً و${\displaystyle M}$أن يكون حقلاً وسيطاً بين${\displaystyle K}$و${\displaystyle K(X)}$، لبعض المتغيرات غير المحددة X. عندئذٍ توجد دالة كسرية${\displaystyle f(X)\in K(X)}$بحيث${\displaystyle M=K(f(X))}$بمعنى آخر، كل امتداد وسيط بين${\displaystyle K}$و${\displaystyle K(X)}$هو امتداد بسيط .

يمكن استنتاج برهان نظرية لوروث بسهولة من نظرية المنحنيات النسبية ، باستخدام الجنس الهندسي . ^{[ 2 ]} هذه الطريقة ليست بديهية، ولكن عُرفت منذ زمن طويل عدة براهين مختصرة تستخدم أساسيات نظرية الحقول فقط، وتعتمد بشكل رئيسي على مفهوم درجة التجاوز . ^{[ 3 ]} تستخدم العديد من هذه البراهين البسيطة ليمّة غاوس على كثيرات الحدود الأولية كخطوة رئيسية. ^{[ 4 ]}

• نظرية العنصر الأولي - نظرية أخرى تؤكد أن بعض امتدادات الحقول بسيطة