الامتداد المتعالي

في الرياضيات ، امتداد متسامٍ${\displaystyle L/K}$هو امتداد للحقل بحيث يوجد عنصر في الحقل${\displaystyle L}$ذلك يتجاوز المجال${\displaystyle K}$أي عنصر ليس جذرًا لأي متعددة حدود أحادية المتغير ذات معاملات في${\displaystyle K}$بمعنى آخر، الامتداد المتسامي هو امتداد حقل ليس جبريًا . على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {C} }$و${\displaystyle \mathbb {R} }$كلاهما امتدادان متعاليان لـ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

أساس التجاوز لتوسيع المجال${\displaystyle L/K}$(أو أساس التجاوز لـ${\displaystyle L}$زيادة${\displaystyle K}$) هي مجموعة جزئية مستقلة جبريًا قصوى من${\displaystyle L}$زيادة${\displaystyle K.}$تتشابه قواعد التجاوز في العديد من الخصائص مع قواعد الفضاءات المتجهة . على وجه الخصوص، تتمتع جميع قواعد التجاوز لامتداد حقل ما بنفس العدد ، والذي يُسمى درجة التجاوز للامتداد . وبالتالي، يكون امتداد الحقل امتدادًا متساميًا إذا وفقط إذا كانت درجة تجاوزه غير صفرية.

تُستخدم الامتدادات المتسامية على نطاق واسع في الهندسة الجبرية . فعلى سبيل المثال، يُعرَّف بُعد التنوع الجبري بدرجة تسامي حقل الدوال الخاص به . كما أن حقول الدوال العامة هي امتدادات متسامية من الدرجة الأولى لحقل منتهٍ ، وتؤدي في نظرية الأعداد ذات الخاصية الموجبة دورًا مشابهًا جدًا لدور حقول الأعداد الجبرية ذات الخاصية الصفرية.

تُبيّن مبرهنة زورن وجود مجموعة جزئية مستقلة خطيًا قصوى في فضاء متجهي (أي أساس). وبحجة مماثلة باستخدام مبرهنة زورن، يتضح أنه عند إعطاء امتداد حقل L / K ، توجد مجموعة جزئية مستقلة جبريًا قصوى من L على K. ^{[ 1 ]} تُسمى هذه المجموعة أساسًا متساميًا . وبحسب مبدأ القصوى، فإن المجموعة الجزئية المستقلة جبريًا S من L على K تُعدّ أساسًا متساميًا إذا وفقط إذا كان L امتدادًا جبريًا لـ K ( S )، وهو الحقل الناتج عن ضم عناصر S إلى K.

تنصّ مبرهنة التبادل (وهي صيغة للمجموعات المستقلة جبريًا ^{[ 2 ]} ) على أنه إذا كانت S و S ' قاعدتين متساميتين، فإن S و S ' لهما نفس العدد . ويُطلق على العدد المشترك للقاعدتين المتساميتين درجة التسامي لـ L على K ، ويُرمز لها بـ${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} _{K}L}$أو${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} (L/K)}$وبالتالي، ثمة تشابه: أساس التجاوز ودرجة التجاوز من جهة، وأساس وبُعد من جهة أخرى. ويمكن توضيح هذا التشابه بشكل أدق، بملاحظة أن الاستقلال الخطي في الفضاءات المتجهة والاستقلال الجبري في امتدادات الحقول يشكلان مثالين على المصفوفات المنتهية ( الهندسة المسبقة ). أي مصفوفة منتهية لها أساس، وجميع الأسس لها نفس العدد. ^{[ 3 ]}

إذا كانت G مجموعة مولدة لـ L (أي L = K ( G ))، فيمكن اعتبار أساس التجاوز لـ L مجموعة جزئية من G. وبالتالي،${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} _{K}L\leq }$الحد الأدنى لعدد عناصر المجموعات المولدة لـ L على K. على وجه الخصوص، يسمح امتداد الحقل المولد بشكل محدود بقاعدة تجاوز محدودة.

إذا لم يتم تحديد حقل K ، فإن درجة التجاوز للحقل L هي درجته بالنسبة إلى حقل أساسي ثابت؛ على سبيل المثال، الحقل الأولي ذو الخاصية نفسها ، أو K ، إذا كان L حقل دالة جبرية على K.

يكون امتداد الحقل L / K متساميًا تمامًا إذا كانت هناك مجموعة جزئية S من L مستقلة جبريًا على K بحيث يكون L = K ( S ).

أساس التجاوز الفاصل لـ L / K هو أساس تجاوز S بحيث يكون L امتدادًا جبريًا قابلًا للفصل على K ( S ). يُقال إن امتداد الحقل L / K مُوَلَّد بشكل قابل للفصل إذا كان يقبل أساس تجاوز فاصل. ^{[ 4 ]} إذا كان امتداد الحقل مُوَلَّدًا بشكل منتهٍ وكان أيضًا مُوَلَّدًا بشكل قابل للفصل، فإن كل مجموعة مولدة لامتداد الحقل تحتوي على أساس تجاوز فاصل. ^{[ 5 ]} على حقل مثالي ، يكون كل امتداد حقل مُوَلَّد بشكل منتهٍ مُوَلَّدًا بشكل قابل للفصل؛ أي أنه يقبل أساس تجاوز فاصل منتهٍ. ^{[ 6 ]}

• يكون الامتداد جبريًا إذا وفقط إذا كانت درجة تجاوزه تساوي 0؛ وتعمل المجموعة الفارغة كأساس للتجاوز هنا.
• حقل الدوال الكسرية في n متغير K ( x ₁ ,..., x _n ) (أي حقل كسور حلقة كثيرات الحدود K [ x ₁ ,..., x _n ]) هو امتداد متسامي بحت بدرجة تسامي n على K ؛ يمكننا على سبيل المثال أن نأخذ { x ₁ ,..., x _n } كأساس للتسامي.
• وبشكل أكثر عمومية، فإن درجة التجاوز لحقل الدالة L لمجموعة متنوعة جبرية ذات n بُعد على حقل أساسي K هي n .
• Q ( √2 , e ) لها درجة تجاوز 1 على Q لأن √2 جبري بينما e متسامي .
• درجة التجاوز لـ C أو R على Q هي عدد عناصر المتصل . (بما أن Q قابل للعد، فإن الحقل Q ( S ) سيكون له نفس عدد عناصر S لأي مجموعة لانهائية S ، وأي امتداد جبري لـ Q ( S ) سيكون له نفس عدد العناصر مرة أخرى.)
• درجة التجاوز لـ Q ( e , π ) على Q هي إما 1 أو 2؛ الإجابة الدقيقة غير معروفة لأنه من غير المعروف ما إذا كان e و π مستقلين جبريًا (انظر تخمين شانويل ).
• إذا كان S سطح ريمان مضغوطًا ، فإن الحقل C ( S ) للدوال الميرومورفية على S له درجة تجاوز 1 على C.

إذا كانت M / L و L / K امتدادات للحقل، فإن

trdeg( M / K ) = trdeg( M / L ) + trdeg( L / K )

وقد تم إثبات ذلك من خلال إظهار أنه يمكن الحصول على أساس التجاوز لـ M / K عن طريق أخذ اتحاد أساس التجاوز لـ M / L وأساس التجاوز لـ L / K.

إذا كانت المجموعة S مستقلة جبريًا على K، فإن الحقل K ( S ) يكون متماثلًا مع حقل الدوال الكسرية على K في مجموعة من المتغيرات لها نفس عدد عناصر S. كل دالة كسرية من هذا القبيل هي كسر من كثيرتي حدود في عدد محدود من تلك المتغيرات، بمعاملات في K.

يكون الحقلان المغلقان جبريًا متماثلين إذا وفقط إذا كان لهما نفس الخاصية ونفس درجة التجاوز على حقلهما الأولي. ^{[ 7 ]}

يترك${\displaystyle A\subseteq B}$لتكن مجالات تكاملية . إذا${\displaystyle Q(A)}$و${\displaystyle Q(B)}$إذا رمزنا لحقول كسور A و B ، فإن درجة تجاوز B على A تُعرَّف بأنها درجة تجاوز امتداد الحقل${\displaystyle Q(B)/Q(A).}$

تشير مبرهنة تطبيع نوثر إلى أنه إذا كان R مجالًا تكامليًا عبارة عن جبر مولد بشكل محدود على حقل k ، فإن بُعد كرول لـ R هو درجة التجاوز لـ R على k .

لهذا التفسير الهندسي التالي: إذا كان X تنوعًا جبريًا أفينيًا على حقل k ، فإن بُعد كرول لحلقة إحداثياته ​​يساوي درجة التجاوز لحقل دالته ، وهذا يُحدد بُعد X. وبالتالي، إذا لم يكن X تنوعًا أفينيًا، فإن بُعده (المُعرَّف بأنه درجة التجاوز لحقل دالته) يُمكن تعريفه محليًا أيضًا على أنه بُعد كرول لحلقة إحداثيات تقييد التنوع على مجموعة فرعية أفينية مفتوحة.

يترك${\displaystyle K/k}$ليكن امتدادًا لحقل مولد بشكل نهائي. إذن ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \dim _{K}\Omega _{K/k}\geq \operatorname {trdeg} (K/k).}$

أين${\displaystyle \Omega _{K/k}}$يرمز إلى وحدة تفاضلات كاهلر . كذلك، في ما سبق، تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان K مولدًا بشكل منفصل على k (أي أنه يقبل أساسًا متساميًا منفصلًا).

تُعدّ قواعد التجاوز مفيدة لتوسيع تشاكلات الحقول، لأنها تفصل توسيع الحقل إلى جزء متجاوز بحت وجزء جبري. ويتم التعامل مع الجزء الجبري بواسطة نظرية التوسيع القياسية التالية: إذا كان E / F جبريًا و$أوميغا$إذا كانت المجموعة مغلقة جبريًا، فإن كل تشاكل حقل F →$أوميغا$يمتد إلى تشاكل حقل E →$أوميغا$على وجه الخصوص، يمتد كل تشاكل بين الحقول إلى تشاكل لإغلاقاتها الجبرية. ^{[ 9 ]} على سبيل المثال، ليكن L حقلاً مغلقاً جبرياً ، و K حقلاً جزئياً من L ، و f تشاكلاً ذاتياً للحقول في K. اختر أساساً متسامياً S لـ L / K . بما أن S مستقل جبرياً على K ، فإن تطبيق f على معاملات الدوال الكسرية وتثبيت كل عنصر من S يُعرّف تشاكلاً ذاتياً لـ K ( S ). وبحسب الخاصية المميزة للأساس المتسامي، فإن L جبري على K ( S )؛ وبما أن L مغلق جبرياً أيضاً، فهو إغلاق جبري لـ K ( S ). بالتالي، تُمدد نظرية التمديد التشاكل الذاتي لـ K ( S ) إلى تشاكل ذاتي لـ L ، والذي يكون تقييده على K هو f .

كتطبيق آخر، نُبين وجود (العديد) من الحقول الجزئية الفعلية لحقل الأعداد المركبة C، والتي تُماثل (كحقول) C. ولإثبات ذلك، نأخذ أساسًا متساميًا S لـ C / Q . S مجموعة لانهائية (بل وغير قابلة للعد)، لذا توجد (العديد) من الدوال f : S → S التي هي أحادية وليست شاملة . يمكن تمديد أي دالة من هذا النوع إلى تشاكل حقل Q ( S ) → Q ( S ) وهو ليس شاملًا. يمكن بدوره تمديد تشاكل الحقل هذا إلى الإغلاق الجبري C ، وتكون تشاكلات الحقل الناتجة C → C ليست شاملة.

يمكن أن توفر درجة التجاوز فهمًا بديهيًا لحجم الحقل. على سبيل المثال، تنص نظرية سيجل على أنه إذا كان X متعدد شعب مضغوطًا ومتصلًا ومعقدًا ذو بُعد n، و K ( X ) يرمز إلى حقل الدوال الميرومورفية (المعرفة عالميًا) عليه، فإن trdeg _C ( K ( X ))  ≤ n . 

• نظرية لوروث ، وهي نظرية تتعلق بالامتدادات المتعالية البحتة من الدرجة الأولى
• تمديد عادي

• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  52، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 
• ميلن، جيمس، نظرية المجال (ملف PDF)
• الفقرة 6.3 من كتاب شيمورا، غورو (1971)، مقدمة في النظرية الحسابية للدوال التلقائية ، منشورات الجمعية الرياضية اليابانية، المجلد 11، طوكيو: إيوانامي شوتين، Zbl 0221.10029