توسيع الحقل

في الرياضيات ، وخاصة في الجبر ، يُعرف امتداد الحقل بأنه زوج من الحقول${\displaystyle K\subseteq L}$بحيث تكون عمليات K هي عمليات L مقيدة بـ K. في هذه الحالة، L حقل امتداد لـ K ، و K حقل جزئي من L. [ ^{1 ] [ 2 ] [ 3 ] على} سبيل المثال، وفقًا للمفاهيم المعتادة للجمع والضرب ، فإن الأعداد المركبة هي حقل امتداد للأعداد الحقيقية ؛ والأعداد الحقيقية هي حقل جزئي من الأعداد المركبة.

تعتبر امتدادات الحقول أساسية في نظرية الأعداد الجبرية ، وفي دراسة جذور كثيرات الحدود من خلال نظرية غالوا ، وتستخدم على نطاق واسع في الهندسة الجبرية .

مجال فرعي${\displaystyle K}$حقل​${\displaystyle L}$هي مجموعة جزئية${\displaystyle K\subseteq L}$هذا مجال يتعلق بعمليات الحقل الموروثة من${\displaystyle L}$أو بعبارة أخرى، الحقل الجزئي هو مجموعة جزئية تحتوي على العنصر المحايد الضربي${\displaystyle 1}$وهي مغلقة تحت عمليات الجمع والطرح والضرب وأخذ معكوس عنصر غير صفري من${\displaystyle K}$.

بما أن 1 - 1 = 0 ، فإن التعريف الأخير يستلزم${\displaystyle K}$و${\displaystyle L}$لها نفس العنصر الصفري .

على سبيل المثال، حقل الأعداد النسبية هو حقل جزئي من حقل الأعداد الحقيقية ، الذي هو بدوره حقل جزئي من حقل الأعداد المركبة. وبشكل أعم، فإن حقل الأعداد النسبية هو (أو متماثل مع) حقل جزئي من أي حقل ذي خاصية${\displaystyle 0}$.

إن خصائص المجال الفرعي هي نفسها خصائص المجال الأكبر.

لو${\displaystyle K}$هو مجال فرعي من${\displaystyle L}$، ثم${\displaystyle L}$هو حقل إضافي أو ببساطة امتداد لـ${\displaystyle K}$وهذا الزوج من الحقول هو امتداد للحقل . ويُرمز إلى هذا الامتداد للحقل بـ${\displaystyle L/K}$(يقرأ على النحو التالي "${\displaystyle L}$زيادة${\displaystyle K}$").

لو${\displaystyle L}$هو امتداد لـ${\displaystyle F}$، وهو بدوره امتداد لـ${\displaystyle K}$، ثم${\displaystyle F}$ويُقال إنه مجال وسيط (أو امتداد وسيط أو امتداد فرعي ) من${\displaystyle L/K}$.

بافتراض امتداد الحقل${\displaystyle L/K}$المجال الأكبر${\displaystyle L}$هو${\displaystyle K}$- الفضاء المتجهي . يُطلق على بُعد هذا الفضاء المتجهي اسم درجة الامتداد ويُرمز له بـ${\displaystyle [L:K]}$.

تكون درجة الامتداد 1 إذا وفقط إذا كان الحقلان متساويين. في هذه الحالة، يكون الامتدادالتمديد البسيط . تُسمى التمديدات من الدرجة الثانية والثالثةبالتمديداتالتربيعيةوالتكعيبيةعلى التوالي.التمديد المحدودهو تمديد ذو درجة محدودة.

بافتراض وجود امتدادين${\displaystyle L/K}$و${\displaystyle M/L}$، الامتداد${\displaystyle M/K}$تكون محدودة إذا وفقط إذا كان كلاهما${\displaystyle L/K}$و${\displaystyle M/L}$هي محدودة. في هذه الحالة، يكون لدى المرء

${\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K].}$

بافتراض امتداد الحقل${\displaystyle L/K}$ومجموعة فرعية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle L}$يوجد أصغر حقل فرعي من${\displaystyle L}$الذي يحتوي${\displaystyle K}$و${\displaystyle S}$إنها نقطة التقاء جميع المجالات الفرعية لـ${\displaystyle L}$التي تحتوي${\displaystyle K}$و${\displaystyle S}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle K(S)}$(يقرأ على النحو التالي "${\displaystyle K}$جاور${\displaystyle S}$يقول أحدهم ذلك.${\displaystyle K(S)}$الحقل الذي تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle S}$زيادة${\displaystyle K}$وذلك${\displaystyle S}$هي مجموعة مولدة لـ${\displaystyle K(S)}$زيادة${\displaystyle K}$. متى${\displaystyle S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$يكتب المرء: إنه محدود${\displaystyle K(x_{1},\ldots ,x_{n})}$بدلاً من${\displaystyle K(\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}),}$ويقول أحدهم ذلك${\displaystyle K(S)}$يكونمولد بشكل نهائي على${\displaystyle K}$. لو${\displaystyle S}$يتكون من عنصر واحد${\displaystyle s}$، الامتداد${\displaystyle K(s)/K}$يُطلق عليه اسم امتداد بسيط ^{[ 4 ] [ 5 ]} و${\displaystyle s}$يُطلق عليه اسم عنصر أولي للامتداد. ^{[ 6 ]}

حقل إضافي من الشكل${\displaystyle K(S)}$يقال غالباً إنها ناتجة عنملحق بـ${\displaystyle S}$ل${\displaystyle K}$[ ^{7 ] [ 8 ]​}

في الحقل ذي الخاصية الصفرية، يكون كل امتداد منتهٍ امتدادًا بسيطًا. هذه هي نظرية العنصر الأولي ، التي لا تنطبق على الحقول ذات الخاصية غير الصفرية.

إذا كان امتدادًا بسيطًا${\displaystyle K(s)/K}$الحقل ليس محدودًا${\displaystyle K(s)}$متماثل مع حقل الكسور النسبية في${\displaystyle s}$زيادة${\displaystyle K}$.

إنّ الرمز L / K هو رمز شكلي بحت ولا يعني تكوين حلقة خارج القسمة أو زمرة خارج القسمة أو أي نوع آخر من القسمة. بدلاً من ذلك، تُعبّر الشرطة المائلة عن كلمة "فوق". يستخدم بعض المؤلفين الرموز L  : K أو L | K ، بينما قد يشير آخرون ببساطة إلى ذلك لفظيًا.${\displaystyle L\supset K}$هو امتداد للحقل. غالبًا ما يتم تصوير أبراج الامتدادات تخطيطيًا. على سبيل المثال، يوضح الرسم البياني أدناه الحالة التي يكون فيها L امتدادًا لـ K و K امتدادًا لـ F :

${\displaystyle {\begin{array}{c}L\\{\Big |}\\K\\{\Big |}\\F\end{array}}}$

من المفيد غالبًا الحديث عن امتدادات الحقول في الحالات التي لا يكون فيها الحقل الأصغر مُحتوى فعليًا في الحقل الأكبر، بل يكون "مُضمَّنًا طبيعيًا"، حيث يكون التضمين الطبيعي تشاكلًا حلقيًا أحاديًا من الحقل الأصغر إلى الحقل الأكبر، ويكون إما فريدًا أو مُعرَّفًا بشكل فريد من قِبل السياق. إن اعتبار هذا التضمين الطبيعي امتدادًا للحقل يُعدّ إساءة استخدام للمصطلحات ، مما يُبسِّط الصياغة في كثير من الأحيان.

على سبيل المثال، يوجد تماثل حقل فريد من ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ ، حقل الأعداد النسبية، إلى أي حقل ذي خاصية صفر، ويقول المرء عادةً أن كل حقل ذي خاصية صفر هو امتداد لـ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$من جهة أخرى ، يوجد تشاكلان حقنيان للحقل .${\displaystyle K=\mathbb {Q} [X]/(X^{2}-X-1)}$إلى​​${\displaystyle \mathbb {R} }$، والتي خريطة${\displaystyle X}$إما بالنسبة للنسبة الذهبية${\displaystyle \omega ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$أو إلى​${\displaystyle -1/\omega }$على الرغم من أن التشاكلين لهما نفس الصورة ، إلا أنه سيكون من المربك القول بأن${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ هو امتداد لـ ⁠${\displaystyle K}$⁠ .

من الآن فصاعدًا، سنعتبر تماثلات الحقول - دائمًا حقنية - على أنها تضمينات، عندما لا يمكن أن ينشأ أي لبس.

مجال الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$هو حقل امتداد لحقل الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$، و${\displaystyle \mathbb {R} }$وهو بدوره حقل امتداد لحقل الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$إذن، من الواضح أن${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} }$وهو أيضاً امتداد ميداني. لدينا${\displaystyle [\mathbb {C}$ :\mathbb {R} ]=2} لأن${\displaystyle \{1,i\}}$هو أساس، لذا فإن الامتداد${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$هي مجموعة محدودة. هذا امتداد بسيط لأن${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} (i).}$${\displaystyle [\mathbb {R}$ :\mathbb {Q} ]={\mathfrak {c}}} ( عدد عناصر المتصل )، لذا فإن هذا الامتداد لانهائي.

المجال

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\},}$

هو مجال امتداد لـ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ومن الواضح أيضاً أنها امتداد بسيط. الدرجة هي 2 لأن${\displaystyle \left\{1,{\sqrt {2}}\right\}}$يمكن أن يكون بمثابة أساس.

المجال

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)&=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}\right)\\&=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\right\}\\&=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}}$

هو حقل امتداد لكليهما${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$و${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$من الدرجة الثانية والرابعة على التوالي. وهو أيضًا امتداد بسيط، حيث يمكن إثبات ذلك.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}}$

الامتدادات المحدودة لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$تُسمى أيضًا حقول الأعداد الجبرية ، وهي مهمة في نظرية الأعداد . وهناك حقل امتداد آخر للأعداد النسبية، وهو مهم أيضًا في نظرية الأعداد، على الرغم من أنه ليس امتدادًا منتهيًا، وهو حقل الأعداد p-adic.${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$بالنسبة لعدد أولي p .

من الشائع إنشاء حقل امتداد لحقل معطى K كحلقة خارج قسمة لحلقة كثيرات الحدود K [ X ] من أجل "إنشاء" جذر لكثيرة حدود معينة f ( X ). لنفترض، على سبيل المثال، أن K لا تحتوي على أي عنصر x بحيث x² = -1. عندئذٍ ^، تكون كثيرة الحدود${\displaystyle X^{2}+1}$بما أن هذه الدالة متعددة الحدود غير قابلة للاختزال في K [ X ]، فإن المثالي الناتج عنها يكون أقصى ، و${\displaystyle L=K[X]/(X^{2}+1)}$هو حقل امتداد لـ K يحتوي على عنصر مربعه يساوي -1 (أي فئة البقايا لـ X ).

بتكرار عملية البناء المذكورة أعلاه، يمكن إنشاء حقل تجزئة لأي متعدد حدود من K [ X ]. هذا حقل امتداد L لـ K حيث ينقسم متعدد الحدود المعطى إلى حاصل ضرب عوامل خطية.

إذا كان p أي عدد أولي و n عددًا صحيحًا موجبًا، فإنه يوجد حقل منتهٍ وحيد (حتى التشاكل).${\displaystyle GF(p^{n})=\mathbb {F} _{p^{n}}}$يحتوي على p عنصرًا ^{من n} عنصرًا؛ هذا حقل امتداد للحقل الأولي${\displaystyle \operatorname {GF} (p)=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$مع p عنصرًا.

بفرض وجود حقل K ، يمكننا اعتبار حقل K ( X ) الذي يضم جميع الدوال الكسرية في المتغير X بمعاملات تنتمي إلى K ؛ عناصر K ( X ) هي كسور من كثيرتي حدود على K ، وهو في الواقع حقل كسور حلقة كثيرات الحدود K [ X ] . هذا الحقل من الدوال الكسرية هو حقل امتداد لـ K ، وهذا الامتداد لانهائي.

بالنظر إلى سطح ريمان M ، فإن مجموعة جميع الدوال الميرومورفية المعرفة على M هي حقل، ويرمز لها بـ${\displaystyle \mathbb {C} (M).}$إنه مجال امتداد متعالٍ لـ${\displaystyle \mathbb {C} }$إذا قمنا بتحديد كل عدد مركب بالدالة الثابتة المقابلة المعرفة على M. وبشكل أعم، بالنظر إلى تنوع جبري V على حقل K ما ، فإن حقل الدالة K ( V )، الذي يتكون من الدوال الكسرية المعرفة على V ، هو حقل امتداد لـ K.

عنصر x من امتداد حقل${\displaystyle L/K}$تكون الدالة جبرية على K إذا كانت جذرًا لكثير حدود غير صفري بمعاملات في K. على سبيل المثال،${\displaystyle {\sqrt {2}}}$هي جبرية على الأعداد النسبية، لأنها جذر لـ${\displaystyle x^{2}-2.}$إذا كان العنصر x من L جبريًا على K ، فإن متعددة الحدود أحادية المعامل ذات أدنى درجة والتي يكون x جذرًا لها تُسمى متعددة الحدود الدنيا لـ x . هذه متعددة الحدود الدنيا غير قابلة للاختزال على K.

يكون العنصر s من L جبريًا على K إذا وفقط إذا كان الامتداد البسيط K ( s )/ K امتدادًا منتهيًا. في هذه الحالة، تساوي درجة الامتداد درجة متعددة الحدود الدنيا، ويتكون أساس الفضاء المتجهي K ( s ) من K.${\displaystyle 1,s,s^{2},\ldots ,s^{d-1},}$حيث d هي درجة متعددة الحدود الدنيا.

تشكل مجموعة عناصر L الجبرية فوق K امتدادًا جزئيًا يُسمى الإغلاق الجبري لـ K في L. وينتج هذا عن التوصيف السابق: إذا كان s و t جبريين، فإن الامتدادين K ( s )/ K و K ( s )( t )/ K ( s ) يكونان منتهيين. وبالتالي، فإن K ( s , t )/ K يكون منتهيًا أيضًا، وكذلك الامتدادات الجزئية K ( s ± t )/ K و K ( st )/ K و K (1/ s )/ K (إذا كان s ≠ 0 ). ويترتب على ذلك أن s ± t و st و 1/ s جميعها جبرية.

امتداد جبري${\displaystyle L/K}$هو امتداد بحيث يكون كل عنصر من عناصر L جبريًا على K. وبصورة مكافئة، الامتداد الجبري هو امتداد مُوَلَّد بواسطة عناصر جبرية. على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$هو امتداد جبري لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$، لأن${\displaystyle {\sqrt {2}}}$و${\displaystyle {\sqrt {3}}}$هي جبرية على${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

يكون الامتداد البسيط جبريًا إذا وفقط إذا كان منتهيًا. وهذا يعني أن الامتداد يكون جبريًا إذا وفقط إذا كان اتحاد امتداداته الجزئية المنتهية، وأن كل امتداد منتهٍ يكون جبريًا.

لكل حقل K إغلاق جبري، وهو ، حتى التشاكل، أكبر حقل امتداد لـ K جبري على K ، وأصغر حقل امتداد بحيث يكون لكل متعددة حدود ذات معاملات في K جذر فيه. على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {C} }$هو إغلاق جبري لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$، ولكن ليس إغلاقًا جبريًا لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$لأنه ليس جبريًا على${\displaystyle \mathbb {Q} }$(على سبيل المثال ، π ليس جبريًا على${\displaystyle \mathbb {Q} }$).

بافتراض امتداد الحقل${\displaystyle L/K}$تُسمى المجموعة الجزئية S من L مستقلة جبريًا على K إذا لم توجد علاقة متعددة الحدود غير تافهة بمعاملات في K بين عناصر S. يُطلق على أكبر عدد من العناصر في مجموعة مستقلة جبريًا درجة التجاوز لـ L / K . من الممكن دائمًا إيجاد مجموعة S مستقلة جبريًا على K بحيث تكون L / K ( S ) جبرية. تُسمى هذه المجموعة S أساس التجاوز لـ L / K . جميع أسس التجاوز لها نفس العدد من العناصر، وهو يساوي درجة التجاوز للامتداد.${\displaystyle L/K}$يقال إنهيكون متعالياً تماماً إذا وفقط إذا وُجد أساس تسامٍSمن${\displaystyle L/K}$بحيث يكون L = K ( S ). يتميز هذا الامتداد بخاصية أن جميع عناصر L باستثناء عناصر K تكون متسامية على K ، ولكن مع ذلك، هناك امتدادات بهذه الخاصية ليست متسامية تمامًا - فئة من هذه الامتدادات تأخذ الشكل L / K حيث يكون كل من L و K مغلقين جبريًا.

إذا كانت L / K دالة متسامية بحتة، وكانت S أساسًا متساميًا للامتداد، فلا يترتب على ذلك بالضرورة أن L = K ( S ). بل على العكس، حتى عند معرفة أساس متسامي، قد يصعب تحديد ما إذا كان الامتداد قابلًا للفصل بحتًا، وإذا كان كذلك، فقد يصعب إيجاد أساس متسامي S بحيث يكون L = K ( S ).

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك الامتداد${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} ,}$أين${\displaystyle x}$هو متعالٍ على${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$و${\displaystyle y}$هو جذر المعادلة${\displaystyle y^{2}-x^{3}=0.}$يمكن تعريف هذا الامتداد على النحو التالي:${\displaystyle \mathbb {Q} (X)[Y]/\langle Y^{2}-X^{3}\rangle ,}$في أي${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$هي فئات التكافؤ لـ${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y.}$من الواضح أن المجموعة الفردية${\displaystyle \{x\}}$هو متعالٍ على${\displaystyle \mathbb {Q} }$والامتداد${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)}$هو جبري؛ ومن ثم${\displaystyle \{x\}}$هو أساس التجاوز الذي لا يُولّد الامتداد${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)}$. بصورة مماثلة،${\displaystyle \{y\}}$هي أساس متسامٍ لا يُولّد الامتداد بأكمله. ومع ذلك، فإن الامتداد متسامٍ تمامًا لأنه إذا كانت مجموعة واحدة${\displaystyle t=y/x,}$يمتلك المرء${\displaystyle x=t^{2}}$و${\displaystyle y=t^{3},}$وبالتالي${\displaystyle t}$يقوم بإنشاء الامتداد بأكمله.

تظهر الامتدادات المتسامية البحتة لحقل مغلق جبريًا كحقول دوال لمتنوعات كسرية . وتُكافئ مسألة إيجاد تمثيل كسري لمتنوع كسري مسألة إيجاد أساس متسامي يُولّد الامتداد بأكمله.

امتداد جبري${\displaystyle L/K}$يُطلق على الحقل اسم الحقل الطبيعي إذا كان كل كثير حدود غير قابل للاختزال في K [ X ] له جذر في L يتحلل كليًا إلى عوامل خطية على L. كل امتداد جبري F / K يقبل إغلاقًا طبيعيًا L ، وهو حقل امتداد لـ F بحيث${\displaystyle L/K}$هذا أمر طبيعي وهو ضئيل للغاية بالنسبة لهذه الخاصية.

امتداد جبري${\displaystyle L/K}$يُطلق على الحقل اسم الحقل القابل للفصل إذا كانت متعددة الحدود الدنيا لكل عنصر من عناصر L على K قابلة للفصل ، أي أنها لا تحتوي على جذور مكررة في إغلاق جبري على K. امتداد غالوا هو امتداد حقل يكون طبيعيًا وقابلًا للفصل.

تنص إحدى نتائج نظرية العنصر الأولي على أن كل امتداد قابل للفصل محدود يحتوي على عنصر أولي (أي أنه بسيط).

مع أي امتداد للحقل${\displaystyle L/K}$، يمكننا اعتبار مجموعة التشاكل الذاتي الخاصة بها${\displaystyle {\text{Aut}}(L/K)}$تتألف هذه المجموعة من جميع التشاكلات الذاتية للحقول α : L → L حيث α ( x ) = x لكل x في K. عندما يكون الامتداد من نوع غالوا، تُسمى مجموعة التشاكلات الذاتية هذه مجموعة غالوا للامتداد. أما الامتدادات التي تكون مجموعة غالوا الخاصة بها تبديلية فتُسمى امتدادات تبديلية .

بالنسبة لامتداد حقل معين${\displaystyle L/K}$غالباً ما يهتم المرء بالحقول الوسيطة F (الحقول الفرعية من L التي تحتوي على K ). تكمن أهمية امتدادات غالوا ومجموعات غالوا في أنها تسمح بوصف كامل للحقول الوسيطة: يوجد تقابل بين الحقول الوسيطة والمجموعات الفرعية لمجموعة غالوا، كما هو موضح في النظرية الأساسية لنظرية غالوا .

يمكن تعميم امتدادات الحقول لتشمل امتدادات الحلقات التي تتكون من حلقة وإحدى حلقاتها الفرعية . ويُعدّ الجبر البسيط المركزي (CSAs) نظيرًا غير تبديلي أقرب، وهو عبارة عن امتدادات حلقات فوق حقل، وهو جبر بسيط (لا يحتوي على مثاليات ثنائية الجانب غير تافهة، تمامًا كما هو الحال في الحقل)، ويكون مركز الحلقة هو الحقل نفسه. على سبيل المثال، الامتداد الوحيد للحقل المنتهي للأعداد الحقيقية هو الأعداد المركبة، بينما تُشكّل الكواترنيونات جبرًا بسيطًا مركزيًا فوق الأعداد الحقيقية، وجميع الجبر البسيط المركزي فوق الأعداد الحقيقية مكافئ براور للأعداد الحقيقية أو الكواترنيونات. ويمكن تعميم الجبر البسيط المركزي بشكل أكبر ليشمل جبر أزومايا ، حيث يُستبدل الحقل الأساسي بحلقة محلية تبديلية .

بفرض امتداد حقل، يمكن " توسيع الكميات القياسية " على الكائنات الجبرية المرتبطة به. على سبيل المثال، بفرض فضاء متجهي حقيقي، يمكن إنشاء فضاء متجهي مركب عبر عملية التعقيد . إضافةً إلى الفضاءات المتجهة، يمكن توسيع الكميات القياسية للجبر الترابطي المعرف على الحقل، مثل كثيرات الحدود أو جبر الزمر وتمثيلات الزمر المرتبطة به . غالبًا ما يُستخدم توسيع الكميات القياسية لكثيرات الحدود ضمنيًا، بمجرد اعتبار المعاملات عناصر من حقل أكبر، ولكن يمكن أيضًا النظر إليه بشكل أكثر رسمية. لتوسيع الكميات القياسية تطبيقات عديدة، كما هو موضح في قسم "توسيع الكميات القياسية: التطبيقات" .

• نظرية المجال
• مسرد مصطلحات نظرية المجال
• برج الحقول
• الامتداد الرئيسي
• تمديد عادي

• فرالي، جون ب. (1976)، مدخل إلى الجبر المجرد (  الطبعة الثانية)، ريدينغ: أديسون-ويسلي ، رقم ISBN 0-201-01984-1
• هيرستين، إنديانا (1964)، مواضيع في الجبر ، والتهام: شركة بلايسديل للنشر ، رقم ISBN 978-1114541016{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• لانغ، سيرج (2004)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الرابعة المصححة،  الطبعة الثالثة المنقحة)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-95385-4
• مكوي، نيل هـ. (1968)، مقدمة في الجبر الحديث، طبعة منقحة ، بوسطن: ألين وبيكون ، رقم مكتبة الكونغرس 68015225 

• "امتداد حقل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]