نظرية التمديد لـ م. ريز

نظرية التمديد لـ م. ريز هي نظرية في الرياضيات ، أثبتها مارسيل ريز ^{[ 1 ]} خلال دراسته لمسألة العزوم . ^{[ 2 ]}

يترك${\displaystyle E}$ليكن فضاءً متجهيًا حقيقيًا ،${\displaystyle F\subset E}$ليكن فضاءً جزئياً متجهياً ، و${\displaystyle K\subset E}$أن يكون مخروطًا محدبًا .

دالة خطية${\displaystyle \phi :F\to \mathbb {R} }$يُطلق عليه اسم${\displaystyle K}$- موجب ، إذا كانت تأخذ قيمًا غير سالبة فقط على المخروط${\displaystyle K}$:

${\displaystyle \phi (x)\geq 0\quad {\text{for}}\quad x\in F\cap K.}$

دالة خطية${\displaystyle \psi :E\to \mathbb {R} }$يُطلق عليه اسم${\displaystyle K}$-امتداد إيجابي لـ${\displaystyle \phi }$إذا كان مطابقًا لـ${\displaystyle \phi }$في مجال${\displaystyle \phi }$كما أنها تُرجع قيمة لا تقل عن 0 لجميع النقاط في المخروط${\displaystyle K}$:

${\displaystyle \psi |_{F}=\phi \quad {\text{و}}\quad \psi (x)\geq 0\quad {\text{لـ}}\quad x\in K.}$

بشكل عام، أ${\displaystyle K}$دالة خطية موجبة على${\displaystyle F}$لا يمكن تمديدها إلى${\displaystyle K}$دالة خطية موجبة على${\displaystyle E}$في بُعدين فقط، نحصل على مثال مضاد. لنفترض${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{2},\ K=\{(x,y):y>0\}\cup \{(x,0):x>0\},}$و${\displaystyle F}$كن${\displaystyle x}$المحور -الوظيفي الموجب${\displaystyle \phi (x,0)=x}$لا يمكن تمديدها إلى دالة موجبة على${\displaystyle E}$.

ومع ذلك، فإن هذا التوسع قائم على افتراض إضافي مفاده أن${\displaystyle E\subset K+F,}$أي لكل${\displaystyle y\in E,}$يوجد${\displaystyle x\in F}$بحيث${\displaystyle yx\in K.}$

البرهان مشابه لبرهان نظرية هان-باناخ (انظر أيضًا أدناه).

باستخدام الاستقراء المتسامي أو مبرهنة زورن، يكفي النظر في الحالة dim ${\displaystyle E/F=1}$.

اختر أيًا${\displaystyle y\in E\setminus F}$. تعيين

${\displaystyle a=\sup\{\,\phi (x)\mid x\in F,\ yx\in K\,\},\ b=\inf\{\,\phi (x)\mid x\in F,xy\in K\,\}.}$

سنثبت ذلك أدناه${\displaystyle -\infty <a\leq b}$اختر أيًا منها في الوقت الحالي.${\displaystyle c}$مُرضٍ${\displaystyle a\leq c\leq b}$، وضبط${\displaystyle \psi (y)=c}$،${\displaystyle \psi |_{F}=\phi }$ثم قم بالتمديد${\displaystyle \psi }$إلى جميع${\displaystyle E}$بالخطية. نحتاج إلى إثبات ذلك.${\displaystyle \psi }$يكون${\displaystyle K}$إيجابي. لنفترض${\displaystyle z\in K}$ثم إما${\displaystyle z=0}$، أو${\displaystyle z=p(x+y)}$أو${\displaystyle z=p(xy)}$بالنسبة للبعض${\displaystyle p>0}$و${\displaystyle x\in F}$. لو${\displaystyle z=0}$، ثم${\displaystyle \psi (z)>0}$في الحالة الأولى المتبقية${\displaystyle x+y=y-(-x)\in K}$وهكذا

${\displaystyle \psi (y)=c\geq a\geq \phi (-x)=\psi (-x)}$

بحسب التعريف. وبالتالي.

${\displaystyle \psi (z)=p\psi (x+y)=p(\psi (x)+\psi (y))\geq 0.}$

في الحالة الثانية،${\displaystyle xy\in K}$وهكذا بالمثل

${\displaystyle \psi (y)=c\leq b\leq \phi (x)=\psi (x)}$

بحسب التعريف، وهكذا

${\displaystyle \psi (z)=p\psi (x-y)=p(\psi (x)-\psi (y))\geq 0.}$

في جميع الأحوال،${\displaystyle \psi (z)>0}$وهكذا${\displaystyle \psi }$يكون${\displaystyle K}$-إيجابي.

نثبت الآن ذلك${\displaystyle -\infty <a\leq b}$لاحظ أنه بافتراض وجود واحد على الأقل${\displaystyle x\in F}$والتي${\displaystyle y-x\in K}$وهكذا${\displaystyle -\infty <a}$ومع ذلك، قد لا يكون هناك${\displaystyle x\in F}$والتي${\displaystyle x-y\in K}$وفي هذه الحالة${\displaystyle b=\infty }$والمتباينة بديهية (في هذه الحالة، لاحظ أن الحالة الثالثة المذكورة أعلاه لا يمكن أن تحدث). لذلك، يمكننا أن نفترض أن${\displaystyle b<\infty }$وهناك واحد على الأقل${\displaystyle x\in F}$والتي${\displaystyle x-y\in K}$لإثبات المتباينة، يكفي أن نُبين أنه كلما${\displaystyle x\in F}$و${\displaystyle y-x\in K}$، و${\displaystyle x'\in F}$و${\displaystyle x'-y\in K}$، ثم${\displaystyle \phi (x)\leq \phi (x')}$. بالفعل،

${\displaystyle x'-x=(x'-y)+(y-x)\in K}$

منذ${\displaystyle K}$هو مخروط محدب، ولذلك

${\displaystyle 0\leq \phi (x'-x)=\phi (x')-\phi (x)}$

منذ${\displaystyle \phi }$يكون${\displaystyle K}$-إيجابي.

ليكن E فضاءً خطيًا حقيقيًا ، وليكن K مخروطًا محدبًا ⊂ E. ليكن x ∈ E /( − K ) بحيث يكون R x + K = E. عندئذٍ، توجد دالة خطية موجبة K ، φ : E → R، بحيث يكون φ ( x ) > 0.              

يمكن استنتاج نظرية هان-باناش من نظرية التمديد لـ م. ريز.

ليكن V فضاءً خطيًا، ولتكن N دالة شبه خطية على V. ولتكن φ دالة وظيفية على فضاء جزئي U ⊂ V تهيمن عليه N :  

${\displaystyle \phi (x)\leq N(x),\quad x\in U.}$

تنص نظرية هان - باناش على أنه يمكن تمديد φ إلى دالة خطية على V يهيمن عليها N.

لاستنتاج ذلك من نظرية التمديد لـ م. ريز، نُعرّف مخروطًا محدبًا K ⊂ R × V كما يلي:  

${\displaystyle K=\left\{(a,x)\,\mid \,N(x)\leq a\right\}.}$

عرّف دالة φ ₁ على R × U كما يلي

${\displaystyle \phi _{1}(a,x)=a-\phi (x).}$

يمكن ملاحظة أن φ ₁ دالة موجبة من النوع K ، وأن K  +  ( R × U ) = R × V. لذلك، يمكن تمديد φ ₁ إلى دالة موجبة من النوع K، ψ _1، على R × V.      

${\displaystyle \psi (x)=-\psi _{1}(0,x)}$

هو الامتداد المطلوب لـ φ . في الواقع، إذا كان ψ ( x )  > N ( x )، فإننا نحصل على: ( N ( x ), x ) ∈ K ، بينما    

${\displaystyle \psi _{1}(N(x),x)=N(x)-\psi (x)<0,}$

مما يؤدي إلى تناقض.

• كاستيلو، رينيه إي. (2005)، "ملاحظة حول نظرية كرين" (ملف PDF) ، محاضرات في الرياضيات ، 26 ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 1 فبراير 2014 ، تم استرجاعه بتاريخ 18 يناير 2014
• Riesz، M. (1923)، “Sur le problème des moments. III.”، Arkiv för Matematik، Astronomi och Fysik (بالفرنسية)، 17 (16)، JFM 49.0195.01 
• أخيزر، ن. إ. (1965)، مسألة العزم الكلاسيكية وبعض المسائل ذات الصلة في التحليل ، نيويورك: شركة هافنر للنشر، MR 0184042