المخروط المحدب

بعض المؤلفين الآخرين يشترطون${\displaystyle [0,\infty )C\subset C}$أو حتى${\displaystyle 0\in C}$تتطلب بعض المعايير أن يكون المخروط محدبًا و/أو أن يستوفي الشروط المطلوبة.${\displaystyle C\cap -C\subset \{0\}}$.

الهيكل المخروطي لمجموعة${\displaystyle C}$يُعرَّف بأنه أصغر مخروط محدب يحتوي${\displaystyle C\cup \{0\}}$لذلك، ليس بالضرورة أن يكون أصغر مخروط يحتوي على${\displaystyle C\cup \{0\}}$.

قد يشير مصطلح "الوتد" إلى ما نسميه المخاريط (عندما يُستخدم مصطلح "المخروط" لوصف شيء أقوى)، أو إلى مجموعة فرعية منها، وذلك حسب المؤلف.

مجموعة فرعية${\displaystyle C}$فضاء متجهي${\displaystyle V}$فوق حقل مرتب${\displaystyle F}$يكون مخروطًا (أو يُسمى أحيانًا مخروطًا خطيًا ) إذا كان لكل${\displaystyle x}$في${\displaystyle C}$وقيمة قياسية موجبة${\displaystyle \alpha }$في${\displaystyle F}$المنتج${\displaystyle \alpha x}$هو في${\displaystyle C}$[ ^{2 ]} لاحظ أن بعض المؤلفين يُعرّفون ^{المخروط} بالكمية العددية${\displaystyle \alpha }$يتراوح نطاقه على جميع القيم العددية غير السالبة (بدلاً من جميع القيم العددية الموجبة، التي لا تشمل الصفر). ^{[ 3 ]} بل إن بعض المؤلفين يشترطون ذلك.${\displaystyle 0\in C}$وبالتالي استبعاد المجموعة الفارغة. ^{[ 4 ]}

لذلك،${\displaystyle [0,\infty )}$هو مخروط،${\displaystyle \varnothing }$هو مخروط فقط وفقًا للتعريفين الأول والثاني أعلاه، و${\displaystyle (0,\infty )}$يُعتبر مخروطًا فقط وفقًا للتعريف الأول أعلاه. جميعها محدبة (انظر أدناه).

مخروط${\displaystyle C}$يكون مخروطًا محدبًا إذا${\displaystyle \alpha x+\beta y}$ينتمي إلى${\displaystyle C}$، لأي كميات قياسية موجبة${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle \beta }$وأي${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$في${\displaystyle C}$[ ^{5 ] [ 6 ]} مخروط^​${\displaystyle C}$تكون محدبة إذا وفقط إذا${\displaystyle C+C\subseteq C}$.

يُعدّ هذا المفهوم ذا دلالة لأي فضاء متجهي يسمح بمفهوم الكمية القياسية "الموجبة"، مثل الفضاءات فوق الأعداد النسبية أو الجبرية أو (بشكل أكثر شيوعًا) الأعداد الحقيقية . تجدر الإشارة أيضًا إلى أن الكميات القياسية في التعريف موجبة، مما يعني أن نقطة الأصل لا يشترط أن تنتمي إلى فضاء الأعداد النسبية.${\displaystyle C}$يستخدم بعض المؤلفين تعريفًا يضمن أن الأصل ينتمي إلى${\displaystyle C}$[ ^{7 ]} بسبب معلمات ^القياس${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$المخاريط لا نهائية في امتدادها وغير محدودة.

لو${\displaystyle C}$إذا كان مخروطًا محدبًا، فإنه لأي عدد قياسي موجب${\displaystyle \alpha }$وأي${\displaystyle x}$في${\displaystyle C}$المتجه${\displaystyle \alpha x={\tfrac {\alpha }{2}}x+{\tfrac {\alpha }{2}}x\in C.}$إذن، المخروط المحدب هو حالة خاصة من المخروط الخطي كما هو محدد أعلاه.

يستنتج من الخاصية المذكورة أعلاه أنه يمكن تعريف المخروط المحدب أيضًا على أنه مخروط خطي مغلق تحت عمليات الجمع المحدبة ، أو تحت عملية الجمع فقط . وبعبارة أخرى، مجموعة${\displaystyle C}$يكون المخروط محدبًا إذا وفقط إذا${\displaystyle \alpha C=C}$لكل عدد قياسي موجب${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle C+C=C}$.

وجه مخروط محدب${\displaystyle C}$هي مجموعة جزئية${\displaystyle F}$ل${\displaystyle C}$بحيث${\displaystyle F}$وهو أيضًا مخروط محدب، ولأي متجهات${\displaystyle x,y}$في${\displaystyle C}$مع${\displaystyle x+y}$في${\displaystyle F}$،${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$يجب أن يكون كلاهما في${\displaystyle F}$^{[ 8 ]} على سبيل المثال ،${\displaystyle C}$هي نفسها وجه من وجوه${\displaystyle C}$الأصل${\displaystyle \{0\}}$هو وجه من${\displaystyle C}$لو${\displaystyle C}$لا يحتوي على سطر (لذا${\displaystyle C}$(محدب تمامًا، أو بارز، كما هو مُعرَّف أدناه). الأصل و${\displaystyle C}$تُسمى أحيانًا بالوجوه التافهة لـ${\displaystyle C}$يُطلق على الشعاع ( مجموعة المضاعفات غير السالبة لمتجه غير صفري) اسم شعاع متطرف إذا كان وجهًا من أوجه${\displaystyle C}$.

يترك${\displaystyle C}$ليكن مخروطًا مغلقًا ومحدبًا تمامًا في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$لنفترض أن${\displaystyle C}$الأمر يتجاوز مجرد الأصل.${\displaystyle C}$^{[ 9 ]} هو الغلاف المحدب لأشعته القصوى.

المخروط المحدب الأفيني هو المجموعة الناتجة عن تطبيق تحويل أفيني على مخروط محدب. ^{[ 10 ]} ومن الأمثلة الشائعة على ذلك إزاحة مخروط محدب بمقدار نقطة p : p + C. من الناحية الفنية، يمكن أن تُنتج هذه التحويلات أشكالًا غير مخروطية. على سبيل المثال، ما لم تكن p = 0 ، فإن p + C ليس مخروطًا خطيًا. ومع ذلك، يُطلق عليه اسم مخروط محدب أفيني.

المستوى الفائق (الخطي) هو مجموعة على الصورة${\displaystyle \{x\in V\mid f(x)=c\}}$حيث f دالة خطية على الفضاء المتجهي V. نصف الفضاء المغلق هو مجموعة على الصورة${\displaystyle \{x\in V\mid f(x)\leq c\}}$أو${\displaystyle \{x\in V\mid f(x)\geq c\},}$وبالمثل، يستخدم نصف الفضاء المفتوح متباينة صارمة. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

الفضاءات النصفية (المفتوحة أو المغلقة) هي مخاريط محدبة أفينية. علاوة على ذلك (في الأبعاد المحدودة)، أي مخروط محدب C لا يمثل الفضاء V بأكمله يجب أن يكون محصورًا في نصف فضاء مغلق H من V ؛ وهذه حالة خاصة من مبرهنة فاركاس .

المخاريط متعددة الأوجه هي أنواع خاصة من المخاريط يمكن تعريفها بعدة طرق: ^{[ 13 ] : 256-257}

• مخروط${\displaystyle C}$يكون متعدد السطوح إذا كان الغلاف المخروطي لعدد محدود من المتجهات (وتسمى هذه الخاصية أيضًا بالمتعددة المولدة نهائيًا ). ^{[ 14 ] [ 15 ]} أي، توجد مجموعة من المتجهات ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{k}\}\subset \mathbb {R} ^{n}}$لهذا السبب. ${\displaystyle C=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0}\}}$.
• يكون المخروط متعدد الأوجه إذا كان تقاطع عدد محدود من أنصاف الفضاءات التي يكون فيها الصفر على حدودها (وقد أثبت ويل التكافؤ بين هذين التعريفين الأولين في عام 1935). ^{[ 16 ] [ 17 ]}
• مخروط${\displaystyle C}$يكون متعدد السطوح إذا كانت هناك مصفوفة ما${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$بحيث${\displaystyle C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid Ax\geq 0\}}$.
• يكون المخروط متعدد الأوجه إذا كان مجموعة حلول نظام من المتباينات الخطية المتجانسة. جبريًا، تُعرَّف كل متباينة بصف من المصفوفة${\displaystyle A}$هندسياً، تحدد كل متباينة نصف فضاء يمر عبر نقطة الأصل.

كل مخروط مُوَلَّد نهائيًا هو مخروط متعدد السطوح، وكل مخروط متعدد السطوح هو مخروط مُوَلَّد نهائيًا. ^{[ 14 ]} لكل مخروط متعدد السطوح تمثيل فريد كغلاف مخروطي لمولداته القصوى، وتمثيل فريد لتقاطعات أنصاف الفضاءات، علمًا بأن كل شكل خطي مرتبط بأنصاف الفضاءات يُحدد أيضًا مستوى دعم لوجه. ^{[ 18 ]}

كل وجه من أوجه المخروط متعدد الأوجه يمتد بواسطة مجموعة فرعية من مولداته القصوى. ونتيجة لذلك، فإن للمخروط متعدد الأوجه عددًا محدودًا من الأوجه.

تلعب المخاريط متعددة الأوجه دورًا محوريًا في نظرية تمثيل متعددات الأوجه . فعلى سبيل المثال، تنص نظرية التفكيك لمتعددات الأوجه على أنه يمكن كتابة أي متعدد أوجه على شكل مجموع مينكوفسكي لمتعدد سطوح محدب ومخروط متعدد الأوجه. ^{[ 19 ] [ 20 ]} كما تلعب المخاريط متعددة الأوجه دورًا هامًا في إثبات نظرية الأساس المحدود لمتعددات السطوح، والتي تُبين أن كل متعدد سطوح هو متعدد أوجه، وأن كل متعدد سطوح محدود هو متعدد سطوح. ^{[ 19 ] [ 21 ] [ 22 ]}

قد يكون لتمثيلي المخروط متعدد الأوجه - باستخدام المتباينات والمتجهات - أحجام مختلفة تمامًا. على سبيل المثال، لننظر إلى مخروط جميع الأعداد غير السالبة.${\displaystyle n}$-بواسطة-${\displaystyle n}$المصفوفات ذات مجموع الصفوف والأعمدة المتساوي. يتطلب تمثيل المتباينة${\displaystyle n^{2}}$عدم المساواة و${\displaystyle 2n-1}$المعادلات، لكن التمثيل المتجهي يتطلب${\displaystyle n!}$المتجهات (انظر نظرية بيركوف-فون نيومان ). ويمكن أن يحدث العكس أيضًا - فقد يكون عدد المتجهات متعدد الحدود بينما يكون عدد المتباينات أُسّيًا. ^{[ 13 ] : 256}

يُوفر التمثيلان معًا طريقة فعّالة لتحديد ما إذا كان متجه مُعطى يقع ضمن المخروط: لإثبات أنه يقع ضمن المخروط، يكفي تقديمه كتركيبة مخروطية للمتجهات المُحدِّدة؛ ولإثبات أنه لا يقع ضمن المخروط، يكفي تقديم متباينة مُحدِّدة واحدة يُخالفها. تُعرف هذه الحقيقة باسم " مُبرهنة فاركاس" .

تكمن إحدى النقاط الدقيقة في التمثيل باستخدام المتجهات في أن عدد المتجهات قد يكون أُسّيًا بالنسبة للبعد، لذا قد يكون إثبات وجود متجه ما في المخروط طويلًا أُسّيًا. لحسن الحظ، تضمن نظرية كاراثيودوري أن كل متجه في المخروط يمكن تمثيله بأكثر من${\displaystyle d}$تحديد المتجهات، حيث${\displaystyle d}$هو بُعد الفضاء.

وفقًا للتعريف أعلاه، إذا كان C مخروطًا محدبًا، فإن C ∪ { 0 } هو مخروط محدب أيضًا. ويُقال إن المخروط المحدب هويشير إلى إذا0فيC، وغير حاد إذالم يكن0C.[ ^{2 ] [ 23 ] يستخدم بعض المؤلفين مصطلح} "مُدبَّب" لـ${\displaystyle C\cap -C=\{0\}}$أو بارزة (انظر أدناه). ^{[ 24 ]}

يمكن استبعاد المخاريط غير الحادة من تعريف المخروط المحدب عن طريق استبدال "غير سالب" بـ "موجب" في شرط α، β.

يُسمى المخروط مسطحًا إذا احتوى على متجه غير صفري x ومعكوسه −x، أي أن C يحتوي على فضاء جزئي خطي ذي بُعد واحد على الأقل، ويكون بارزًا (أو محدبًا تمامًا ) فيما عدا ذلك. ^{[ 25 ] [ 26 ]} المخروط المحدب غير الحاد بارز بالضرورة، ولكن العكس ليس صحيحًا بالضرورة. يكون المخروط المحدب C بارزًا إذا وفقط إذا كان C ∩ − C ⊆ {0} . يُقال إن المخروط C مولد إذا${\displaystyle CC=\{xy\mid x\in C,y\in C\}}$يساوي فضاء المتجهات بأكمله. ^{[ 27 ]}

يشترط بعض المؤلفين أن تكون المخاريط البارزة مدببة. ^{[ 28 ]} ويُستخدم مصطلح "مدبب" أيضًا للإشارة إلى مخروط مغلق لا يحتوي على خط كامل (أي لا يحتوي على فضاء فرعي غير تافه من فضاء المتجهات المحيط V ، أو ما يُسمى بالمخروط البارز). ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]} ويُعرَّف مصطلح المخروط الصحيح ( المحدب ) بتعريفات مختلفة، تبعًا للسياق والمؤلف. وغالبًا ما يعني مخروطًا يستوفي خصائص أخرى مثل كونه محدبًا، ومغلقًا، ومدببًا، وبارزًا، وكامل الأبعاد. ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]} ونظرًا لهذه التعريفات المتباينة، يُنصح بالرجوع إلى السياق أو المصدر لمعرفة تعريف هذه المصطلحات.

يُعدّ نوع المخاريط الذي يحظى باهتمام خاص من علماء الرياضيات البحتة هو مجموعة المخاريط النسبية المرتبة جزئيًا . "تُعتبر المخاريط النسبية عناصر مهمة في الهندسة الجبرية التوريكية، والجبر التبادلي التوافقي، والتوافقية الهندسية، والبرمجة العددية الصحيحة." ^{[ 35 ]} يبرز هذا العنصر عند دراسة المخاريط في${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$بالإضافة إلى الشبكة${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$يُطلق على المخروط اسم المخروط العقلاني (نفترض هنا أنه "مدبب" كما هو مُعرّف أعلاه) عندما تكون إحداثيات جميع مولداته أعدادًا صحيحة ، أي إذا${\displaystyle C}$إذا كان مخروطًا عقلانيًا،${\displaystyle C=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in \mathbb {R} _{+}\}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle v_{i}\in \mathbb {Z} ^{d}}$.