نظرية هان-باناخ

في التحليل الوظيفي ، تُعدّ نظرية هان-باناخ نتيجةً أساسيةً تُتيح تعميم الدوال الخطية المحدودة المُعرّفة على فضاء متجهي جزئي من فضاء متجهي ما ، لتشمل الفضاء بأكمله. كما تُبيّن النظرية وجود عدد كافٍ من الدوال الخطية المتصلة المُعرّفة على أي فضاء متجهي معياري لدراسة الفضاء الثنائي . ويُعرف شكل آخر من نظرية هان-باناخ بنظرية فصل هان-باناخ أو نظرية فصل المستويات الفائقة ، وله استخدامات عديدة في الهندسة المحدبة .

تاريخ

سُميت النظرية نسبةً إلى عالمي الرياضيات هانز هان وستيفان باناش ، اللذين أثبتاها بشكل مستقل في أواخر عشرينيات القرن العشرين. وتُعدّ الحالة الخاصة من النظرية في الفضاء $C[a,b]$ تم إثبات الدوال المتصلة على فترة في وقت سابق (في عام 1912) بواسطة إدوارد هيلي ، ^{[ 1 ]} وتم إثبات نظرية تمديد أكثر عمومية، وهي نظرية تمديد إم. ريز ، والتي يمكن اشتقاق نظرية هان-باناخ منها، في عام 1923 بواسطة مارسيل ريز . ^{[ 2 ]}

تم إثبات أول نظرية هان-باناخ بواسطة إدوارد هيلي في عام 1912، حيث أظهر أن بعض الدوال الخطية المعرفة على فضاء جزئي من نوع معين من الفضاء المعياري ( $\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ كان لـ ) امتدادٌ من نفس المعيار. وقد فعل هيلي ذلك من خلال تقنية إثبات وجود امتداد أحادي البعد أولًا (حيث يمتد نطاق الدالة الخطية بُعدًا واحدًا)، ثم باستخدام الاستقراء الرياضي . في عام 1927، عرّف هان فضاءات باناخ العامة ، واستخدم تقنية هيلي لإثبات نسخة تحافظ على المعيار من نظرية هان-باناخ لفضاءات باناخ (حيث يكون للدالة الخطية المحدودة على فضاء جزئي امتداد خطي محدود من نفس المعيار إلى الفضاء بأكمله). في عام 1929، عمّم باناخ، الذي لم يكن على دراية بنتيجة هان، هذه النظرية باستبدال النسخة التي تحافظ على المعيار بنسخة الامتداد المُهيمن التي تستخدم الدوال شبه الخطية . في حين استخدم برهان هيلي الاستقراء الرياضي، استخدم كل من هان وباناخ الاستقراء المتسامي . ^{[ 3 ]}

نشأت نظرية هان-باناخ من محاولات حلّ أنظمة لا نهائية من المعادلات الخطية. وهذا ضروري لحلّ مسائل مثل مسألة العزوم ، حيث يُعطى جميع العزوم المحتملة لدالة ما، ويجب تحديد ما إذا كانت هناك دالة تمتلك هذه العزوم، وإذا وُجدت، فيجب إيجادها بدلالة تلك العزوم. ومن المسائل المشابهة مسألة متسلسلة جيب التمام لفورييه ، حيث يُعطى جميع معاملات جيب التمام لفورييه المحتملة، ويجب تحديد ما إذا كانت هناك دالة تمتلك تلك المعاملات، وإذا وُجدت، فيجب إيجادها أيضًا.

قام ريز وهيلي بحل المشكلة لأنواع معينة من الفضاءات (مثل $L^{p}([0,1])$ و $C([a,b])$ حيث اكتشفوا أن وجود حل يكافئ وجود واستمرارية دوال خطية معينة. في الواقع، كان عليهم حل المسألة التالية: ^{[ 3 ]}

(مسألة المتجهات ) بالنظر إلى مجموعة

\left(f_{i}\right)_{i\in I}

للدوال الخطية المحدودة على فضاء معياري

X

ومجموعة من الكميات القياسية

\left(c_{i}\right)_{i\in I},

تحديد ما إذا كان هناك

x\in X

بحيث

f_{i}(x)=c_{i}

للجميع

i\in I.

لو $X$ إذا كان الفضاء انعكاسيًا، فإنه لحل مشكلة المتجهات، يكفي حل المشكلة الثنائية التالية: ^{[ 3 ]}

( المسألة الوظيفية ) بالنظر إلى مجموعة

\left(x_{i}\right)_{i\in I}

مجموعة من المتجهات في فضاء معياري

X

ومجموعة من الكميات القياسية

\left(c_{i}\right)_{i\in I},

حدد ما إذا كانت هناك دالة خطية محدودة

f

على

X

بحيث

f\left(x_{i}\right)=c_{i}

للجميع

i\in I.

ثم قام ريز بتحديد $L^{p}([0,1])$ فضاء ( $1<p<\infty$ ) في عام 1910 و $\ell ^{p}$ في عام 1913، درس هيلي الفضاءات. وأثناء بحثه في هذه الفضاءات، أثبت حالة خاصة من نظرية هان-باناخ. كما أثبت هيلي حالة خاصة أخرى من نظرية هان-باناخ في عام 1912. وفي عام 1910، حلّ ريز المسألة الوظيفية لبعض الفضاءات المحددة، وفي عام 1912، حلّها هيلي لفئة أعم من الفضاءات. ولم يتمكن باناخ من حلّ المسألة الوظيفية العامة إلا في عام 1932، في أحد التطبيقات الأولى المهمة لنظرية هان-باناخ. تنص النظرية التالية على المسألة الوظيفية العامة وتصف حلّها. ^{[ 3 ]}

النظرية ^{[ 3 ]} (المسألة الوظيفية) — ليكن $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ لتكن متجهات في فضاء معياري حقيقي أو مركب $X$ ودع $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$ يتم فهرسة القيم العددية أيضًا بواسطة $I\neq \varnothing .$

توجد دالة خطية متصلة $f$ على $X$ بحيث $f\left(x_{i}\right)=c_{i}$ للجميع $i\in I$ إذا وفقط إذا كان هناك $K>0$ بحيث يكون ذلك لأي اختيار من الكميات العددية $\left(s_{i}\right)_{i\in I}$ حيث جميعها باستثناء عدد محدود منها $s_{i}$ نكون $0,$ ينطبق ما يلي: $\left|\sum _{i\in I}s_{i}c_{i}\right|\leq K\left\|\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\right\|.$

تُشير نظرية هان-باناخ إلى العبارة السابقة. ^{[ 3 ]} ولإثبات ذلك، يكفي ملاحظة وجود الدالة الخطية المتصلة $f:X\longrightarrow {\mathbb {K} }$ ، أين ${\mathbb {K} }$ إما ${\mathbb {R} }$ أو ${\mathbb {C} }$ ، يشير إلى الأطروحة، ببساطة باعتبارها $K$ المعيار (المحدود) لـ $f$ وهو عدد حقيقي غير سالب. وللعكس، ليكن $M$ ليكن الفضاء المتجهي الجزئي من $X$ تم إنتاجه بواسطة العائلة $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ إذن، تشير المتباينة إلى وجود دالة خطية محددة جيدًا $g:M\longrightarrow {\mathbb {K} }$ بحيث $g\left(x_{i}\right)=c_{i}$ للجميع $i\in I$ علاوة على ذلك، فإن المتباينة، كما هو مذكور، تشير أيضًا إلى أن هذه الدالة الخطية $g$ وهو أيضًا مستمر ومعياره $\vert \vert g\vert \vert$ يحدها $K$ كعامل خطي متصل. على أي حال، بأخذ $p:X\longrightarrow {\mathbb {R} }$ ، كما هو مُعرَّف $p(v):=K\vert \vert v\vert \vert$ نستنتج على الفور أن $p$ هذا شبه طبيعي، وهذا $\vert g(w)\vert \leq p(w)$ للجميع $w\in M$ وبالتالي، فإن نظرية هان-باناخ (انظر النسخة "الحقيقية أو المركبة" أدناه) تستلزم وجود $f:V\longrightarrow {\mathbb {K} }$ التمديد $g$ ، حيث يكون المعيار، كمؤثر خطي، محدودًا من الأعلى بـ $K$ وبالتالي، فهو مستمر. $f$ ثم قم بتمديد g، ثم $f$ تحقيقًا للادعاء الأول. بعبارة أخرى، فإن نظرية هان-باناخ تستلزم هذه النظرية كما هي مذكورة. في حالة $X$ بما أن العبارة انعكاسية ، فإن كلا العبارتين متكافئتان.

نظرية هان-باناخ

دالة ذات قيم حقيقية $f:M\to \mathbb {R}$ معرفة على مجموعة فرعية $M$ ل $X$ يقال إنهتهيمن عليها (أعلاه) دالة $p:X\to \mathbb {R}$ لو $f(m)\leq p(m)$ لكل $m\in M.$ ولهذا السبب، يُطلق على النسخة التالية من نظرية هان-باناش اسم نظرية التمديد المسيطر .

نظرية هان-باناخ للتمديد المسيطر (للدوال الخطية الحقيقية)^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} —إذا $p:X\to \mathbb {R}$ هي دالة شبه خطية (مثل المعيار أو شبه المعيار على سبيل المثال) معرفة على فضاء متجهي حقيقي $X$ ثم أي دالة خطية معرفة على فضاء متجهي جزئي من $X$ التي يهيمن عليها من الأعلى $p$ له امتداد خطي واحد على الأقل إلى جميع $X$ وهذا يهيمن عليه أيضًا من الأعلى $p.$

بصراحة، إذا $p:X\to \mathbb {R}$ هي دالة شبه خطية ، مما يعني بحكم التعريف أنها تحقق الشرط التالي: $p(x+y)\leq p(x)+p(y)\quad {\text{ and }}\quad p(tx)=tp(x)\qquad {\text{ for all }}\;x,y\in X\;{\text{ and all real }}\;t\geq 0,$ وإذا $f:M\to \mathbb {R}$ دالة خطية معرفة على فضاء متجهي جزئي $M$ ل $X$ بحيث $f(m)\leq p(m)\quad {\text{ for all }}m\in M$ إذن يوجد دالة خطية $F:X\to \mathbb {R}$ بحيث $F(m)=f(m)\quad {\text{ for all }}m\in M,$ $F(x)\leq p(x)\quad ~\;\,{\text{ for all }}x\in X.$ علاوة على ذلك، إذا $p$ هل هو شبه معيار ؟ $|F(x)|\leq p(x)$ ينطبق بالضرورة على الجميع $x\in X.$

تبقى النظرية صحيحة إذا تحققت الشروط المتعلقة بـ $p$ يُسمح لهم بالاسترخاء بحيث لا يطلبون سوى ذلك. $p$ لتكن دالة محدبة : ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} $p(tx+(1-t)y)\leq tp(x)+(1-t)p(y)\qquad {\text{ for all }}0<t<1{\text{ and }}x,y\in X.$ وظيفة $p:X\to \mathbb {R}$ محدبة وتحقق الشرط التالي: $p(0)\leq 0$ إذا وفقط إذا $p(ax+by)\leq ap(x)+bp(y)$ لجميع المتجهات $x,y\in X$ وجميع الأعداد الحقيقية غير السالبة $a,b\geq 0$ بحيث $a+b\leq 1.$ كل دالة شبه خطية هي دالة محدبة. من ناحية أخرى، إذا $p:X\to \mathbb {R}$ محدب مع $p(0)\geq 0,$ ثم الدالة المحددة بواسطة $p_{0}(x)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\inf _{t>0}{\frac {p(tx)}{t}}$ متجانس إيجابياً (لأن لكل $x$ و $r>0$ يمتلك المرء $p_{0}(rx)=\inf _{t>0}{\frac {p(trx)}{t}}=r\inf _{t>0}{\frac {p(trx)}{tr}}=r\inf _{\tau >0}{\frac {p(\tau x)}{\tau }}=rp_{0}(x)$ وبالتالي، لكونها محدبة، فهي شبه خطية . كما أنها محدودة من الأعلى بـ $p_{0}\leq p,$ ويرضي $F\leq p_{0}$ لكل دالة خطية $F\leq p.$ لذا فإن توسيع نظرية هان-باناش إلى الدوال المحدبة لا يحتوي على محتوى أكبر بكثير من المحتوى الكلاسيكي المذكور للدوال شبه الخطية.

لو $F:X\to \mathbb {R}$ إذا كان خطيًا $F\leq p$ إذا وفقط إذا ^{[ 4 ]} $-p(-x)\leq F(x)\leq p(x)\quad {\text{ for all }}x\in X,$ وهو الاستنتاج (المكافئ) الذي يكتبه بعض المؤلفين ^{[ 4 ]} بدلاً من $F\leq p.$ ويترتب على ذلك أنه إذا $p:X\to \mathbb {R}$ وهو متناظر أيضًا ، مما يعني أن $p(-x)=p(x)$ ينطبق على الجميع $x\in X,$ ثم $F\leq p$ إذا وفقط $|F|\leq p.$ كل معيار هو شبه معيار، وكلاهما دالتان متناظرتان ومتوازنتان شبه خطيتان. الدالة شبه الخطية شبه معيار إذا وفقط إذا كانت دالة متوازنة . في فضاء متجهي حقيقي (وليس في فضاء متجهي مركب)، تكون الدالة شبه الخطية شبه معيار إذا وفقط إذا كانت متناظرة. دالة التطابق $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ على $X:=\mathbb {R}$ هذا مثال على دالة شبه خطية ليست شبه معيار.

للفضاءات المتجهة المعقدة أو الحقيقية

تنص نظرية التمديد المسيطر للدوال الخطية الحقيقية على الصياغة البديلة التالية لنظرية هان-باناخ التي يمكن تطبيقها على الدوال الخطية على الفضاءات المتجهة الحقيقية أو المعقدة.

نظرية هان-باناخ ^{[ 3 ]}^{[ 9 ]} —لنفترض $p:X\to \mathbb {R}$ هو شبه معيار على فضاء متجهي $X$ في الملعب $\mathbf {K} ,$ وهو إما $\mathbb {R}$ أو $\mathbb {C} .$ لو $f:M\to \mathbf {K}$ دالة خطية على فضاء متجهي جزئي $M$ بحيث $|f(m)|\leq p(m)\quad {\text{ for all }}m\in M,$ إذن يوجد دالة خطية $F:X\to \mathbf {K}$ بحيث $F(m)=f(m)\quad \;{\text{ for all }}m\in M,$ $|F(x)|\leq p(x)\quad \;\,{\text{ for all }}x\in X.$

تبقى النظرية صحيحة إذا تحققت الشروط المتعلقة بـ $p$ يُسمح لهم بالاسترخاء بحيث يكتفون بهذا الشرط فقط للجميع. $x,y\in X$ وجميع الكميات القياسية $a$ و $b$ مُرضٍ $|a|+|b|\leq 1,$ ^{[ 8 ]} $p(ax+by)\leq |a|p(x)+|b|p(y).$ يتحقق هذا الشرط إذا وفقط إذا $p$ هي دالة محدبة ومتوازنة تحقق $p(0)\leq 0,$ أو بصورة مكافئة، إذا وفقط إذا كانت محدبة، فإنها تحقق $p(0)\leq 0,$ و $p(ux)\leq p(x)$ للجميع $x\in X$ وجميع الكميات القياسية ذات الطول الواحد $u.$

دالة ذات قيم معقدة $F$ يقال إنهيهيمن عليه $p$ لو $|F(x)|\leq p(x)$ للجميع $x$ في مجال $F.$ باستخدام هذه المصطلحات، يمكن إعادة صياغة العبارات المذكورة أعلاه لنظرية هان-باناخ بشكل أكثر إيجازًا:

نظرية هان-باناخ للتمديد المسيطر : إذا

p:X\to \mathbb {R}

هو شبه معيار معرف على فضاء متجهي حقيقي أو مركب

X,

ثم كل دالة خطية مهيمنة معرفة على فضاء متجهي جزئي من

X

له امتداد خطي مهيمن على جميع

X.

في الحالة التي

X

هو فضاء متجهي حقيقي و

p:X\to \mathbb {R}

إذا كانت مجرد دالة محدبة أو شبه خطية ، فسيظل هذا الاستنتاج صحيحًا إذا كانت كلتا حالتي " الهيمنة " (بمعنى

|F|\leq p

يتم تخفيف معناها ليصبح " مُهيمن عليه فوق " (بمعنى

F\leq p

). ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

دليل

تسمح الملاحظات التالية بتطبيق نظرية هان-باناش للفضاءات المتجهة الحقيقية على الدوال الخطية (ذات القيم المركبة) على الفضاءات المتجهة المركبة.

كل دالة خطية $F:X\to \mathbb {C}$ يتم تحديد الجزء الحقيقي من الفضاء المتجهي المركب بشكل كامل $\;\operatorname {Re} F:X\to \mathbb {R} \;$ من خلال الصيغة ^{[ 6 ]}^{[ الإثبات 1 ]} $F(x)\;=\;\operatorname {Re} F(x)-i\operatorname {Re} F(ix)\qquad {\text{ for all }}x\in X$ وعلاوة على ذلك، إذا $\|\cdot \|$ هو أمر طبيعي في $X$ إذن، معاييرهم الثنائية متساوية: $\|F\|=\|\operatorname {Re} F\|.$ ^{[ 10 ]} على وجه الخصوص، دالة خطية على $X$ يمتد إلى تعريف آخر مُعرَّف على $M\subseteq X$ إذا وفقط إذا كانت أجزاؤها الحقيقية متساوية على $M$ (بمعنى آخر، دالة خطية) $F$ يمتد $f$ إذا وفقط إذا $\operatorname {Re} F$ يمتد $\operatorname {Re} f$ الجزء الحقيقي من دالة خطية على $X$ هو دائماًدالة خطية حقيقية (بمعنى أنها خطية عندما $X$ (يُعتبر فضاءً متجهيًا حقيقيًا) وإذا $R:X\to \mathbb {R}$ إذا كانت دالة خطية حقيقية على فضاء متجهي معقد، فإن $x\mapsto R(x)-iR(ix)$ يُعرّف الدالة الخطية الفريدة على $X$ الجزء الحقيقي منه هو $R.$

لو $F$ دالة خطية على فضاء متجهي (مركب أو حقيقي) $X$ وإذا $p:X\to \mathbb {R}$ إذا كان شبه معيار ^{[ 6 ]}^{[ البرهان 2 ]} $|F|\,\leq \,p\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {Re} F\,\leq \,p.$ بعبارة أبسط، يهيمن شبه المعيار على الدالة الخطية. $p$ إذا وفقط إذا كان الجزء الحقيقي منه يهيمن عليه من الأعلى $p.$

برهان هان-باناخ للفضاءات المتجهة المعقدة عن طريق الاختزال إلى الفضاءات المتجهة الحقيقية ^{[ 3 ]}

يفترض $p:X\to \mathbb {R}$ هو شبه معيار على فضاء متجهي معقد $X$ ودع $f:M\to \mathbb {C}$ لتكن دالة خطية معرفة على فضاء متجهي جزئي $M$ ل $X$ ذلك يرضي $|f|\leq p$ على $M.$ يعتبر $X$ باعتبارها فضاءً متجهيًا حقيقيًا، وتطبيق نظرية هان-باناخ للفضاءات المتجهة الحقيقية على الدالة الخطية الحقيقية $\;\operatorname {Re} f:M\to \mathbb {R} \;$ للحصول على امتداد خطي حقيقي $R:X\to \mathbb {R}$ وهذا يهيمن عليه أيضًا من الأعلى $p,$ بحيث يرضي $R\leq p$ على $X$ و $R=\operatorname {Re} f$ على $M.$ الخريطة $F:X\to \mathbb {C}$ محدد بواسطة $F(x)\;=\;R(x)-iR(ix)$ دالة خطية على $X$ وهذا يمتد $f$ (لأن أجزاءهم الحقيقية تتفق على $M$ ) ويرضي $|F|\leq p$ على $X$ (لأن $\operatorname {Re} F\leq p$ و $p$ (وهو شبه معياري). $\blacksquare$

يُظهر البرهان أعلاه أنه عندما $p$ إذا كانت شبه معيار، فهناك تطابق واحد لواحد بين الامتدادات الخطية المهيمنة لـ $f:M\to \mathbb {C}$ وهيمنت على الامتدادات الخطية الحقيقية لـ $\operatorname {Re} f:M\to \mathbb {R$ إن البرهان يقدم صيغة لإنشاء امتداد خطي صريح لـ $f$ من أي امتداد خطي حقيقي معطى لجزئه الحقيقي.

الاستمرارية

دالة خطية $F$ تكون الدالة متصلة على فضاء متجهي طوبولوجي إذا وفقط إذا كان هذا صحيحًا بالنسبة لجزئها الحقيقي $\operatorname {Re} F;$ إذا كان المجال فضاءً معيارياً، $\|F\|=\|\operatorname {Re} F\|$ (حيث يكون أحد الجانبين لانهائيًا إذا وفقط إذا كان الجانب الآخر لانهائيًا). ^{[ 10 ]} افترض $X$ هو فضاء متجهي طوبولوجي و $p:X\to \mathbb {R}$ هي دالة شبه خطية . إذا $p$ هي دالة شبه خطية متصلة تهيمن على دالة خطية $F$ ثم $F$ هي بالضرورة متصلة. ^{[ 6 ]} علاوة على ذلك، الدالة الخطية $F$ تكون متصلة إذا وفقط إذا كانت قيمتها المطلقة $|F|$ (وهو شبه معيار يسود) $F$ ) متصلة. ^{[ 6 ]} على وجه الخصوص، تكون الدالة الخطية متصلة إذا وفقط إذا كانت تهيمن عليها دالة فرعية خطية متصلة.

دليل

تستنتج نظرية هان-باناخ للفضاءات المتجهة الحقيقية في نهاية المطاف من نتيجة هيلي الأولية للحالة الخاصة التي يتم فيها تمديد الدالة الخطية من $M$ إلى فضاء متجهي أكبر حيث $M$ له بُعد مشترك $1.$ ^{[ 3 ]}

اللمة ^{[ 6 ]} ( نظرية التمديد المسيطر أحادي البعد )—ليكن $p:X\to \mathbb {R}$ لتكن دالة شبه خطية على فضاء متجهي حقيقي $X,$ يترك $f:M\to \mathbb {R}$ دالة خطية على فضاء متجهي جزئي مناسب $M\subsetneq X$ بحيث $f\leq p$ على $M$ (معنى $f(m)\leq p(m)$ للجميع $m\in M$ )، ودع $x\in X$ كن متجهًا ليس في $M$ (لذا $M\oplus \mathbb {R} x=\operatorname {span} \{M,x\}$ يوجد امتداد خطي $F:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R}$ ل $f$ بحيث $F\leq p$ على $M\oplus \mathbb {R} x.$

البرهان ^{[ 6 ]}

بفرض أي عدد حقيقي $b,$ الخريطة $F_{b}:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R}$ محدد بواسطة $F_{b}(m+rx)=f(m)+rb$ هو دائمًا امتداد خطي لـ $f$ ل $M\oplus \mathbb {R} x$ ^{[ ملاحظة 1 ]} لكنها قد لا تكون مُرضية $F_{b}\leq p.$ سيتبين أن $b$ يمكن دائمًا اختيارها بحيث تضمن ذلك $F_{b}\leq p,$ وهذا سيكمل البرهان.

لو $m,n\in M$ ثم $f(m)-f(n)=f(m-n)\leq p(m-n)=p(m+x-x-n)\leq p(m+x)+p(-x-n)$ وهذا يعني $-p(-n-x)-f(n)~\leq ~p(m+x)-f(m).$ إذن، حدد $a=\sup _{n\in M}[-p(-n-x)-f(n)]\qquad {\text{ and }}\qquad c=\inf _{m\in M}[p(m+x)-f(m)]$ أين $a\leq c$ هي أرقام حقيقية. لضمان $F_{b}\leq p,$ يكفي أن $a\leq b\leq c$ (في الواقع، هذا ضروري أيضًا ^{[ ملاحظة 2 ]} ) لأنه حينها $b$ يفي بـ "عدم المساواة الحاسمة" ^{[ 6 ]} $-p(-n-x)-f(n)~\leq ~b~\leq ~p(m+x)-f(m)\qquad {\text{ for all }}\;m,n\in M.$

لرؤية ذلك $f(m)+rb\leq p(m+rx)$ فيما يلي، ^{[ ملاحظة 3 ]} افترض $r\neq 0$ واستبدل ${\tfrac {1}{r}}m$ أنا مهتم بكليهما $m$ و $n$ للحصول على $-p\left(-{\tfrac {1}{r}}m-x\right)-{\tfrac {1}{r}}f\left(m\right)~\leq ~b~\leq ~p\left({\tfrac {1}{r}}m+x\right)-{\tfrac {1}{r}}f\left(m\right).$ لو $r>0$ (على التوالي، إذا $r<0$ ثم يكون الطرف الأيمن (أو الأيسر) مساوياً ${\tfrac {1}{r}}\left[p(m+rx)-f(m)\right]$ بحيث يكون الضرب في $r$ أعطِ $rb\leq p(m+rx)-f(m).$ $\blacksquare$

تبقى هذه اللمة صحيحة إذا $p:X\to \mathbb {R}$ هي مجرد دالة محدبة وليست دالة شبه خطية. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

دليل

افترض أن $p$ محدب، مما يعني أن $p(ty+(1-t)z)\leq tp(y)+(1-t)p(z)$ للجميع $0\leq t\leq 1$ و $y,z\in X.$ يترك $M,$ $f:M\to \mathbb {R} ,$ و $x\in X\setminus M$ كما في عبارة اللمة . بالنظر إلى أي $m,n\in M$ وأي شيء إيجابي حقيقي $r,s>0,$ الأعداد الحقيقية الموجبة $t:={\tfrac {s}{r+s}}$ و ${\tfrac {r}{r+s}}=1-t$ المجموع إلى $1$ بحيث يكون تحدب $p$ على $X$ الضمانات ${\begin{alignedat}{9}p\left({\tfrac {s}{r+s}}m+{\tfrac {r}{r+s}}n\right)~&=~p{\big (}{\tfrac {s}{r+s}}(m-rx)&&+{\tfrac {r}{r+s}}(n+sx){\big )}&&\\&\leq ~{\tfrac {s}{r+s}}\;p(m-rx)&&+{\tfrac {r}{r+s}}\;p(n+sx)&&\\\end{alignedat}}$ وبالتالي ${\begin{alignedat}{9}sf(m)+rf(n)~&=~(r+s)\;f\left({\tfrac {s}{r+s}}m+{\tfrac {r}{r+s}}n\right)&&\qquad {\text{ by linearity of }}f\\&\leq ~(r+s)\;p\left({\tfrac {s}{r+s}}m+{\tfrac {r}{r+s}}n\right)&&\qquad f\leq p{\text{ on }}M\\&\leq ~sp(m-rx)+rp(n+sx)\\\end{alignedat}}$ وبذلك يثبت ذلك $-sp(m-rx)+sf(m)~\leq ~rp(n+sx)-rf(n),$ وبعد ضرب كلا الطرفين في ${\tfrac {1}{rs}}$ يصبح ${\tfrac {1}{r}}[-p(m-rx)+f(m)]~\leq ~{\tfrac {1}{s}}[p(n+sx)-f(n)].$ وهذا يعني أن القيم المحددة بواسطة $a=\sup _{\stackrel {m\in M}{r>0}}{\tfrac {1}{r}}[-p(m-rx)+f(m)]\qquad {\text{ and }}\qquad c=\inf _{\stackrel {n\in M}{s>0}}{\tfrac {1}{s}}[p(n+sx)-f(n)]$ هي أعداد حقيقية تحقق $a\leq c.$ كما هو الحال في البرهان أعلاه لنظرية التمديد المسيطر أحادي البعد ، لأي عدد حقيقي $b\in \mathbb {R}$ يُعرِّف $F_{b}:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R}$ بواسطة $F_{b}(m+rx)=f(m)+rb.$ يمكن التحقق من ذلك إذا $a\leq b\leq c$ ثم $F_{b}\leq p$ أين $rb\leq p(m+rx)-f(m)$ يتبع من $b\leq c$ متى $r>0$ (على التوالي، يتبع من $a\leq b$ متى $r<0$ ). $\blacksquare$

اللمة المذكورة أعلاه هي الخطوة الرئيسية في استنتاج نظرية التمديد المسيطر من لمة زورن .

برهان نظرية التمديد المسيطر باستخدام ليمّة زورن

مجموعة جميع الامتدادات الخطية المهيمنة الممكنة لـ $f$ يتم ترتيبها جزئيًا حسب امتداد بعضها البعض، لذا يوجد امتداد أقصى $F.$ بناءً على نتيجة البعد المشترك-1، إذا $F$ غير مُعرّف في جميع $X,$ ثم يمكن توسيعه أكثر. $F$ يجب تعريفها في كل مكان، كما هو مزعوم. $\blacksquare$

متى $M$ إذا كان للفضاء بُعد مشترك قابل للعد، فإن استخدام الاستقراء واللمة يُكمل برهان نظرية هان-باناخ. يستخدم البرهان القياسي للحالة العامة لمة زورن، مع إمكانية استخدام لمة المرشح الفائق الأضعف ^{[ 11 ]} (المكافئة لنظرية التراص ونظرية المثالي الأولي البولياني ). كما يمكن إثبات نظرية هان-باناخ باستخدام نظرية تيكونوف للفضاءات الهاوسدورفية المتراصة ^[¹²^] (المكافئة أيضًا لمة المرشح الفائق).

قام مشروع ميزر بصياغة برهان نظرية هان-باناخ بشكل رسمي وتحقق منه تلقائياً في ملف HAHNBAN. ^{[ 13 ]}

نظرية التمديد المستمر

يمكن استخدام نظرية هان-باناخ لضمان وجود امتدادات خطية متصلة للدوال الخطية المتصلة .

نظرية هان-باناخ للتمديد المستمر ^{[ 14 ]} —كل دالة خطية مستمرة $f$ معرفة على فضاء متجهي جزئي $M$ لفضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا (حقيقي أو معقد) $X$ له امتداد خطي متصل $F$ إلى جميع $X.$ بالإضافة إلى ذلك $X$ إذا كان فضاءً معياريًا ، فيمكن اختيار هذا الامتداد بحيث يكون معياره الثنائي مساويًا لمعيار . $f.$

من الناحية النظرية للفئات ، فإن الحقل الأساسي للفضاء المتجهي هو كائن حقني في فئة الفضاءات المتجهة المحدبة محليًا.

في فضاء معياري (أو شبه معياري )، امتداد خطي $F$ دالة خطية محدودة $f$ يقال إنهيحافظ على المعيار إذا كان له نفسالمعيار المزدوجللدالة الأصلية: $\|F\|=\|f\|.$ بسبب هذه المصطلحات، يُشار أحيانًا إلى الجزء الثاني من النظرية المذكورة أعلاه باسم النسخة " الحافظة على المعيار " من نظرية هان-باناخ. ^{[ 15 ]} تحديدًا:

نظرية هان-باناخ للتمديد المستمر مع الحفاظ على المعيار ^{[ 15 ]} —كل دالة خطية مستمرة $f$ معرفة على فضاء متجهي جزئي $M$ فضاء معياري (حقيقي أو معقد) $X$ له امتداد خطي متصل $F$ إلى جميع $X$ ذلك يرضي $\|f\|=\|F\|.$

برهان نظرية التمديد المستمر

تسمح الملاحظات التالية باستنتاج نظرية التمديد المستمر من نظرية هان-باناخ . ^{[ 16 ]}

القيمة المطلقة للدالة الخطية هي دائمًا شبه معيار. الدالة الخطية $F$ على فضاء متجهي طوبولوجي $X$ تكون متصلة إذا وفقط إذا كانت قيمتها المطلقة $|F|$ تكون متصلة، وهذا يحدث إذا وفقط إذا وُجد شبه معيار متصل. $p$ على $X$ بحيث $|F|\leq p$ في نطاق $F.$ ^{[ 17 ]} إذا $X$ إذا كان الفضاء محدبًا محليًا، فإن هذه العبارة تظل صحيحة عندما تكون الدالة الخطية $F$ يتم تعريفها على فضاء متجهي جزئي مناسب من $X.$

إثبات نظرية التمديد المستمر للفضاءات المحدبة محليًا ^{[ 16 ]}

يترك $f$ لتكن دالة خطية متصلة معرفة على فضاء متجهي جزئي $M$ فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا $X.$ لأن $X$ إذا كانت محدبة محلياً، فإنه يوجد شبه معيار متصل. $p:X\to \mathbb {R}$ على $X$ ذلك الذي يهيمن $f$ (بمعنى أن $|f(m)|\leq p(m)$ للجميع $m\in M$ وبحسب نظرية هان-باناخ ، يوجد امتداد خطي لـ $f$ ل $X,$ سمها ما شئت $F,$ ذلك يرضي $|F|\leq p$ على $X.$ هذه الدالة الخطية $F$ متصل لأن $|F|\leq p$ و $p$ هو شبه معيار متصل.

إثبات للمساحات المعيارية

دالة خطية $f$ تكون الدالة على فضاء معياري متصلة إذا وفقط إذا كانت محدودة ، مما يعني أن معيارها الثنائي $\|f\|=\sup\{|f(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}$ محدودة، وفي هذه الحالة $|f(m)|\leq \|f\|\|m\|$ يحفظ لكل نقطة $m$ في نطاق اختصاصها. علاوة على ذلك، إذا $c\geq 0$ بحيث $|f(m)|\leq c\|m\|$ للجميع $m$ في مجال الوظيفة، إذن بالضرورة $\|f\|\leq c.$ لو $F$ هو امتداد خطي لدالة خطية $f$ عندئذٍ فإن معاييرهم المزدوجة تُرضي دائمًا $\|f\|\leq \|F\|$ ^{[ البرهان 3 ]} بحيث تكون المساواة $\|f\|=\|F\|$ يعادل $\|F\|\leq \|f\|,$ وهذا صحيح إذا وفقط إذا $|F(x)|\leq \|f\|\|x\|$ لكل نقطة $x$ في نطاق الامتداد. ويمكن إعادة صياغة ذلك من حيث الوظيفة $\|f\|\,\|\cdot \|:X\to \mathbb {R}$ محدد بواسطة $x\mapsto \|f\|\,\|x\|,$ وهو دائماً شبه معياري : ^{[ ملاحظة 4 ]}

امتداد خطي لدالة خطية محدودة

f

يكون هذا الامتداد محافظًا على المعيار إذا وفقط إذا كان الامتداد خاضعًا لسيطرة شبه المعيار.

\|f\|\,\|\cdot \|.

تطبيق نظرية هان-باناخ على $f$ مع هذا المعيار شبه الطبيعي $\|f\|\,\|\cdot \|$ وبالتالي ينتج عنه امتداد خطي مهيمن يكون معياره (بالضرورة) مساوياً لمعيار . $f,$ مما يثبت النظرية:

برهان نظرية هان-باناخ المستمرة للحفاظ على المعيار ^{[ 15 ]}

يترك $f$ لتكن دالة خطية متصلة معرفة على فضاء متجهي جزئي $M$ في فضاء معياري $X.$ ثم الدالة $p:X\to \mathbb {R}$ محدد بواسطة $p(x)=\|f\|\,\|x\|$ هو شبه معيار في $X$ ذلك الذي يهيمن $f,$ وهذا يعني أن $|f(m)|\leq p(m)$ يحفظ لكل $m\in M.$ بحسب نظرية هان-باناخ ، توجد دالة خطية $F$ على $X$ وهذا يمتد $f$ (مما يضمن $\|f\|\leq \|F\|$ وهذا يهيمن عليه أيضًا $p,$ وهذا يعني أن $|F(x)|\leq p(x)$ لكل $x\in X.$ حقيقة أن $\|f\|$ هو عدد حقيقي بحيث $|F(x)|\leq \|f\|\|x\|$ لكل $x\in X,$ الضمانات $\|F\|\leq \|f\|.$ منذ $\|F\|=\|f\|$ الدالة الخطية محدودة $F$ محدودة وبالتالي متصلة.

الفضاءات غير المحدبة محليًا

قد تفشل نظرية التمديد المستمر إذا كان الفضاء المتجهي الطوبولوجي (TVS) $X$ ليست محدبة محليًا . على سبيل المثال، بالنسبة لـ $0<p<1,$ مساحة ليبيغ $L^{p}([0,1])$ هو فضاء TVS متري كامل ( فضاء F ) غير محدب محليًا (في الواقع، مجموعاته الفرعية المفتوحة المحدبة الوحيدة هي نفسها). $L^{p}([0,1])$ والمجموعة الفارغة) والدالة الخطية المتصلة الوحيدة على $L^{p}([0,1])$ هو الثابت $0$ دالة ( رودين 1991 ، §1.47) . منذ $L^{p}([0,1])$ هو هاوسدورف، كل فضاء متجهي محدود الأبعاد $M\subseteq L^{p}([0,1])$ متماثل خطيًا مع الفضاء الإقليدي $\mathbb {R} ^{\dim M}$ أو $\mathbb {C} ^{\dim M}$ (بحسب نظرية ف. ريز ) وبالتالي كل دالة خطية غير صفرية $f$ على $M$ متصلة، ولكن لا يوجد أي منها له امتداد خطي متصل إلى جميع $L^{p}([0,1]).$ ومع ذلك، من الممكن أن يكون TVS $X$ أن لا يكون محدبًا محليًا ولكنه مع ذلك يمتلك عددًا كافيًا من الدوال الخطية المستمرة بحيث يكون فضاءه الثنائي المستمر $X^{*}$ يفصل النقاط ؛ بالنسبة لمثل هذا الفضاء المتجهي، قد يكون للدالة الخطية المستمرة المعرفة على فضاء متجهي فرعي امتداد خطي مستمر إلى الفضاء بأكمله.

إذا كان TVS $X$ إذا لم يكن محدبًا محليًا، فقد لا يوجد أي شبه معيار متصل. $p:X\to \mathbb {R}$ محدد في $X$ (ليس على) $M$ ) الذي يهيمن $f,$ في هذه الحالة، لا يمكن تطبيق نظرية هان-باناخ كما كان الحال في البرهان السابق لنظرية الامتداد المتصل. ومع ذلك، يمكن تعميم حجة البرهان لإعطاء توصيف لحالة امتلاك دالة خطية متصلة امتدادًا خطيًا متصلًا: إذا $X$ إذا كان أي TVS (ليس بالضرورة محدبًا محليًا)، فإن دالة خطية متصلة $f$ معرفة على فضاء متجهي جزئي $M$ له امتداد خطي متصل $F$ إلى جميع $X$ إذا وفقط إذا وُجد معيار شبه متصل $p$ على $X$ ذلك الذي يهيمن $f.$ على وجه التحديد، إذا تم إعطاء امتداد خطي متصل $F$ ثم $p:=|F|$ هو شبه معيار مستمر على $X$ ذلك الذي يهيمن $f;$ وبالعكس، إذا أُعطيت شبه معيار متصل $p:X\to \mathbb {R}$ على $X$ ذلك الذي يهيمن $f$ ثم أي امتداد خطي مهيمن لـ $f$ ل $X$ (الذي يضمن وجوده نظرية هان-باناخ) سيكون امتدادًا خطيًا مستمرًا.

نظرية هان-باناخ الهندسية (نظريات الفصل هان-باناخ)

العنصر الأساسي في نظرية هان-باناخ هو في جوهره نتيجة تتعلق بفصل مجموعتين محدبتين: $\{-p(-x-n)-f(n):n\in M\},$ و $\{p(m+x)-f(m):m\in M\}.$ يظهر هذا النوع من الحجج على نطاق واسع في الهندسة المحدبة ، ^{[ 18 ]} ونظرية التحسين ، والاقتصاد . تُعرف الليمات المُستمدة من نظرية هان-باناخ الأصلية باسم نظريات فصل هان-باناخ . ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]} وهي تعميمات لنظرية فصل المستويات الفائقة ، التي تنص على أن مجموعتين فرعيتين محدبتين غير فارغتين منفصلتين من فضاء محدود الأبعاد لا تنتميان إلى فضاء ذي أبعاد محدودة. $\mathbb {R} ^{n}$ يمكن فصلها بواسطة مستوى فائق أفيني ، وهو عبارة عن ليف ( مجموعة مستوى ) من الشكل $f^{-1}(s)=\{x:f(x)=s\}$ أين $f\neq 0$ هي دالة خطية غير صفرية و $s$ هو كمية قياسية.

النظرية ^{[ 19 ]} — ليكن $A$ و $B$ لتكن مجموعات فرعية محدبة غير فارغة من فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا حقيقي $X.$ لو $\operatorname {Int} A\neq \varnothing$ و $B\cap \operatorname {Int} A=\varnothing$ إذن يوجد دالة خطية متصلة $f$ على $X$ بحيث $\sup f(A)\leq \inf f(B)$ و $f(a)<\inf f(B)$ للجميع $a\in \operatorname {Int} A$ (مثل هذا $f$ (بالضرورة لا تساوي الصفر).

عندما تمتلك المجموعات المحدبة خصائص إضافية، مثل كونها مفتوحة أو متراصة على سبيل المثال، فإنه يمكن تعزيز الاستنتاج بشكل كبير:

النظرية ^{[ 3 ]}^{[ 21 ]} — ليكن $A$ و $B$ لتكن مجموعات فرعية محدبة غير فارغة ومنفصلة من فضاء متجهي طوبولوجي حقيقي $X.$

لو $A$ مفتوح حينها $A$ و $B$ يفصل بينهما مستوى فائق مغلق . وهذا يعني صراحةً أنه يوجد تطبيق خطي متصل $f:X\to \mathbf {K}$ و $s\in \mathbb {R}$ بحيث $f(a)<s\leq f(b)$ للجميع $a\in A,b\in B.$ إذا كان كلاهما $A$ و $B$ إذا كانت مفتوحة، فيمكن تطبيق الجانب الأيمن بشكل صارم أيضاً.
لو $X$ محدب محلياً، $A$ صغير الحجم، و $B$ مغلق، ثم $A$ و $B$ منفصلان تمامًا : توجد خريطة خطية متصلة $f:X\to \mathbf {K}$ و $s,t\in \mathbb {R}$ بحيث $f(a)<t<s<f(b)$ للجميع $a\in A,b\in B.$

لو $X$ إذا كان الأمر معقدًا (بدلاً من أن يكون حقيقيًا)، فإن نفس الادعاءات تنطبق، ولكن بالنسبة للجزء الحقيقي من $f.$

ثم تأتي النتيجة المهمة التالية والمعروفة باسم نظرية هان-باناخ الهندسية أو نظرية مازور (المعروفة أيضًا باسم نظرية أسكولي-مازور ^{[ 22 ]} ). وهي تنبع من النقطة الأولى أعلاه ومن تحدب $M.$

نظرية (مازور) ^{[ 23 ]} — ليكن $M$ ليكن فضاءً متجهيًا جزئيًا من الفضاء المتجهي الطوبولوجي $X$ ولنفترض $K$ هي مجموعة فرعية مفتوحة محدبة غير فارغة من $X$ مع $K\cap M=\varnothing .$ ثم يوجد مستوى فائق مغلق (فضاء فرعي متجهي ذو بُعد مشترك 1) $N\subseteq X$ الذي يحتوي $M,$ لكنها تبقى منفصلة عن $K.$

توضح نظرية مازور أن الفضاءات الفرعية المتجهة (حتى تلك غير المغلقة) يمكن وصفها بواسطة الدوال الخطية.

النتيجة ^{[ 24 ]} (فصل فضاء جزئي ومجموعة محدبة مفتوحة) — ليكن $M$ ليكن فضاءً متجهيًا جزئيًا من فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا $X,$ و $U$ لتكن مجموعة جزئية مفتوحة محدبة غير فارغة منفصلة عن $M.$ إذن يوجد دالة خطية متصلة $f$ على $X$ بحيث $f(m)=0$ للجميع $m\in M$ و $\operatorname {Re} f>0$ على $U.$

المستويات الفائقة الداعمة

بما أن النقاط محدبة بشكل بديهي ، فإن نظرية هان-باناخ الهندسية تعني أن الدوال الوظيفية يمكنها تحديد حدود مجموعة ما. على وجه الخصوص، ليكن $X$ ليكن فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا حقيقيًا و $A\subseteq X$ يكون محدبًا مع $\operatorname {Int} A\neq \varnothing .$ لو $a_{0}\in A\setminus \operatorname {Int} A$ ثم هناك دالة تتلاشى عند $a_{0},$ لكنها مدعومة من الداخل $A.$ ^{[ 19 ]}

اتصل بمساحة معيارية $X$ سلس إذا كان عند كل نقطة $x$ يوجد في كرة الوحدة الخاصة بها مستوى فائق مغلق فريد إلى كرة الوحدة عند $x.$ أظهر كوث في عام 1983 أن الفضاء المعياري يكون أملسًا عند نقطة ما $x$ إذا وفقط إذا كان المعيار قابلاً للتفاضل وفقًا لـ Gateaux عند تلك النقطة. ^{[ 3 ]}

الأحياء المتوازنة أو ذات الأقراص

يترك $U$ ليكن جوارًا محدبًا متوازنًا للأصل في فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا $X$ ولنفترض $x\in X$ ليس عنصرًا من $U.$ إذن يوجد دالة خطية متصلة $f$ على $X$ بحيث ^{[ 3 ]} $\sup |f(U)|\leq |f(x)|.$

التطبيقات

تُعد نظرية هان-باناخ أول علامة على فلسفة مهمة في التحليل الوظيفي : لفهم الفضاء، يجب على المرء أن يفهم وظائفه المستمرة .

على سبيل المثال، تتميز الفضاءات الجزئية الخطية بالدوال: إذا كان $X$ فضاءً متجهيًا معياريًا مع فضاء جزئي خطي $M$ (ليس بالضرورة مغلقًا) وإذا $z$ $إذا$ كان عنصرًا من $X$ ليس في إغلاق M ، فإنه يوجد تطبيق خطي متصل $f:X\to \mathbf {K}$ مع $f(m)=0$ للجميع $m\in M,$ $f(z)=1,$ و $\|f\|=\operatorname {dist} (z,M)^{-1}.$ (لرؤية ذلك، لاحظ أن $\operatorname {dist} (\cdot ,M)$ (دالة شبه خطية). علاوة على ذلك، إذا $z$ إذا كان عنصرًا من $X$ ، فإنه يوجد تطبيق خطي متصل $f:X\to \mathbf {K}$ بحيث $f(z)=\|z\|$ و $\|f\|\leq 1.$ وهذا يعني أن الحقن الطبيعي $J$ من فضاء معياري $X$ إلى فضاءه المزدوج المزدوج $V^{**}$ متساوي القياس.

تشير هذه النتيجة الأخيرة أيضًا إلى إمكانية استخدام نظرية هان-باناخ غالبًا لتحديد طوبولوجيا "أفضل" للعمل عليها. على سبيل المثال، تفترض العديد من نتائج التحليل الوظيفي أن الفضاء هاوسدورف أو محدب محليًا . مع ذلك، لنفترض أن $X$ فضاء متجهي طوبولوجي، ليس بالضرورة هاوسدورف أو محدبًا محليًا ، ولكنه يحتوي على مجموعة مفتوحة محدبة غير فارغة، حقيقية، $M.$ عندئذٍ، تُشير نظرية هان-باناخ الهندسية إلى وجود مستوى فائق يفصل $M$ عن أي نقطة أخرى. على وجه الخصوص، يجب أن توجد دالة غير صفرية على $X$ ، أي الفضاء الثنائي المتصل. $X^{*}$ ليس بالأمر التافه. ^{[ 3 ]}^{[ 25 ]} بالنظر إلى $X$ مع الطوبولوجيا الضعيفة المستحثة بواسطة $X^{*},$ عندئذٍ يصبح $X$ محدبًا محليًا؛ وبحسب النقطة الثانية من نظرية هان-باناخ الهندسية، فإن الطوبولوجيا الضعيفة على هذا الفضاء الجديد تفصل النقاط . وبالتالي، يصبح $X$ مع هذه الطوبولوجيا الضعيفة فضاءً هاوسدورف . وهذا يسمح أحيانًا بتطبيق بعض نتائج فضاءات المتجهات الطوبولوجية المحدبة محليًا على فضاءات غير هاوسدورف وغير محدبة محليًا.

المعادلات التفاضلية الجزئية

تُعدّ نظرية هان-باناخ مفيدةً في كثير من الأحيان عند الرغبة في تطبيق طريقة التقديرات المسبقة . لنفترض أننا نرغب في حل المعادلة التفاضلية الخطية $Pu=f$ ل $u,$ مع $f$ معطاة في فضاء باناخ $X.$ إذا كان لدينا تحكم في حجم $u$ من ناحية $\|f\|_{X}$ ويمكننا أن نفكر في $u$ كدالة خطية محدودة على فضاء مناسب من دوال الاختبار $g,$ ثم يمكننا أن نرى $f$ كدالة خطية عن طريق الإضافة: $(f,g)=(u,P^{*}g).$ في البداية، يتم تعريف هذه الدالة فقط على صورة $P,$ لكن باستخدام نظرية هان-باناخ، يمكننا محاولة تعميمها على المجال المقابل $X$ بأكمله . وغالبًا ما يُعرَّف الناتج الوظيفي بأنه حل ضعيف للمعادلة .

توصيف فضاءات باناخ الانعكاسية

النظرية ^{[ 26 ]} - يكون فضاء باناخ الحقيقي انعكاسيًا إذا وفقط إذا كان كل زوج من المجموعات الفرعية المحدبة المغلقة المنفصلة غير الفارغة، والتي يكون أحدها محدودًا، يمكن فصلهما تمامًا بواسطة مستوى فائق.

مثال من نظرية فريدهولم

ولتوضيح تطبيق فعلي لنظرية هان-باناش، سنثبت الآن نتيجة تتبع بالكامل تقريبًا من نظرية هان-باناش.

الفرضية — لنفترض $X$ هو نظام نقل بيانات محدب محليًا من نوع هاوسدورف فوق الحقل $\mathbf {K}$ و $Y$ هو فضاء متجهي جزئي من $X$ هذا متماثل مع TVS $\mathbf {K} ^{I}$ لبعض المجموعات $I.$ ثم $Y$ هي فضاء متجهي مغلق ومكمل من $X.$

دليل

منذ $\mathbf {K} ^{I}$ هو جهاز تلفزيون كامل، وكذلك $Y,$ وبما أن أي مجموعة جزئية كاملة من نظام هاوسدورف TVS تكون مغلقة، $Y$ هي مجموعة فرعية مغلقة من $X.$ يترك $f=\left(f_{i}\right)_{i\in I}:Y\to \mathbf {K} ^{I}$ ليكن تماثل TVS، بحيث يكون كل $f_{i}:Y\to \mathbf {K}$ هي دالة خطية شاملة متصلة. وبحسب نظرية هان-باناخ، يمكننا تمديد كل $f_{i}$ إلى دالة خطية متصلة $F_{i}:X\to \mathbf {K}$ على $X.$ يترك $F:=\left(F_{i}\right)_{i\in I}:X\to \mathbf {K} ^{I}$ لذا $F$ هي دالة خطية شاملة متصلة بحيث يكون تقييدها على $Y$ يكون $F{\big \vert }_{Y}=\left(F_{i}{\big \vert }_{Y}\right)_{i\in I}=\left(f_{i}\right)_{i\in I}=f.$ يترك $P:=f^{-1}\circ F:X\to Y,$ وهي دالة خطية متصلة يقتصر نطاقها على $Y$ يكون $P{\big \vert }_{Y}=f^{-1}\circ F{\big \vert }_{Y}=f^{-1}\circ f=\mathbf {1} _{Y},$ أين $\mathbb {1} _{Y}$ يشير إلى خريطة الهوية على $Y.$ هذا يدل على أن $P$ هو إسقاط خطي مستمر على $Y$ (إنه، $P\circ P=P$ ). هكذا $Y$ ويكمل ذلك في $X$ و $X=Y\oplus \ker P$ في فئة أجهزة التلفزيون. $\blacksquare$

يمكن استخدام النتيجة المذكورة أعلاه لإثبات أن كل فضاء متجهي مغلق من $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ يُستكمل ذلك لأن أي فضاء من هذا القبيل إما ذو أبعاد محدودة أو متماثل مع TVS $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.$

التعميمات

قالب عام

توجد الآن العديد من الصيغ الأخرى لنظرية هان-باناخ. وفيما يلي النموذج العام لمختلف صيغ نظرية هان-باناخ المعروضة في هذه المقالة:

p:X\to \mathbb {R}

هي دالة شبه خطية (ربما شبه معيار ) على فضاء متجهي

X,

M

هو فضاء متجهي جزئي من

X

(ربما مغلق)، و

f

دالة خطية على

M

مُرضٍ

|f|\leq p

على

M

(وربما بعض الشروط الأخرى). عندئذٍ يستنتج المرء أنه يوجد امتداد خطي

F

ل

f

ل

X

بحيث

|F|\leq p

على

X

(ربما مع خصائص إضافية).

النظرية ^{[ 3 ]} — إذا $D$ هو قرص ماص في فضاء متجه حقيقي أو مركب $X$ وإذا $f$ لتكن دالة خطية معرفة على فضاء متجهي جزئي $M$ ل $X$ بحيث $|f|\leq 1$ على $M\cap D,$ إذن يوجد دالة خطية $F$ على $X$ التمديد $f$ بحيث $|F|\leq 1$ على $D.$

بالنسبة للاختبارات نصف النهائية

نظرية هان-باناخ للمعايير الجزئية ^{[ 27 ]}^{[ 28 ]} —إذا $p:M\to \mathbb {R}$ هو شبه معيار معرف على فضاء متجهي جزئي $M$ ل $X,$ وإذا $q:X\to \mathbb {R}$ هو شبه معيار في $X$ بحيث $p\leq q{\big \vert }_{M},$ إذن يوجد شبه معيار $P:X\to \mathbb {R}$ على $X$ بحيث $P{\big \vert }_{M}=p$ على $M$ و $P\leq q$ على $X.$

برهان نظرية هان-باناخ للمعايير شبهية

يترك $S$ ليكن الغلاف المحدب لـ $\{m\in M:p(m)\leq 1\}\cup \{x\in X:q(x)\leq 1\}.$ لأن $S$ هو قرص ماص في $X,$ وظيفتها مينكوفسكي $P$ هو شبه طبيعي. إذن $p=P$ على $M$ و $P\leq q$ على $X.$

على سبيل المثال، لنفترض أن $f$ دالة خطية محدودة معرفة على فضاء متجهي جزئي $M$ في فضاء معياري $X,$ لذا فهو المعيار المتبع لدى المشغلين $\|f\|$ هو عدد حقيقي غير سالب. إذن، القيمة المطلقة للدالة الخطية $p:=|f|$ هو شبه معيار في $M$ والخريطة $q:X\to \mathbb {R}$ محدد بواسطة $q(x)=\|f\|\,\|x\|$ هو شبه معيار في $X$ ذلك يرضي $p\leq q{\big \vert }_{M}$ على $M.$ تضمن نظرية هان-باناخ للمعايير الجزئية وجود معيار جزئي. $P:X\to \mathbb {R}$ هذا يساوي $|f|$ على $M$ (منذ $P{\big \vert }_{M}=p=|f|$ ) ومحدود من الأعلى بـ $P(x)\leq \|f\|\,\|x\|$ في كل مكان $X$ (منذ $P\leq q$ ).

الفصل الهندسي

نظرية هان-باناخ للساندويتش ^{[ 3 ]} —ليكن $p:X\to \mathbb {R}$ لتكن دالة شبه خطية على فضاء متجهي حقيقي $X,$ يترك $S\subseteq X$ ليكن أي مجموعة جزئية من $X,$ ودع $f:S\to \mathbb {R}$ ليكن أي تطبيق. إذا وُجدت أعداد حقيقية موجبة $a$ و $b$ بحيث $0\geq \inf _{s\in S}[p(s-ax-by)-f(s)-af(x)-bf(y)]\qquad {\text{ for all }}x,y\in S,$ إذن يوجد دالة خطية $F:X\to \mathbb {R}$ على $X$ بحيث $F\leq p$ على $X$ و $f\leq F\leq p$ على $S.$

أقصى امتداد خطي مهيمن

نظرية ^{[ 3 ]} (أندينيس، 1970) – دع $p:X\to \mathbb {R}$ لتكن دالة شبه خطية على فضاء متجهي حقيقي $X,$ يترك $f:M\to \mathbb {R}$ لتكن دالة خطية على فضاء متجهي جزئي $M$ ل $X$ بحيث $f\leq p$ على $M,$ ودع $S\subseteq X$ ليكن أي مجموعة جزئية من $X.$ إذن يوجد دالة خطية $F:X\to \mathbb {R}$ على $X$ وهذا يمتد $f,$ يرضي $F\leq p$ على $X,$ ويكون (نقطة) أقصى على $S$ بالمعنى التالي: إذا ${\widehat {F}}:X\to \mathbb {R}$ دالة خطية على $X$ وهذا يمتد $f$ ويرضي ${\widehat {F}}\leq p$ على $X,$ ثم $F\leq {\widehat {F}}$ على $S$ يشير إلى $F={\widehat {F}}$ على $S.$

لو $S=\{s\}$ هي مجموعة أحادية (حيث $s\in X$ (وهو متجه ما) وإذا $F:X\to \mathbb {R}$ يُعد هذا امتدادًا خطيًا مهيمنًا أقصى لـ $f:M\to \mathbb {R} ,$ ثم $F(s)=\inf _{m\in M}[f(s)+p(s-m)].$ ^{[ 3 ]}

هان-باناخ ذو القيم المتجهة

نظرية هان-باناخ ذات القيم المتجهة ^{[ 3 ]} —إذا $X$ و $Y$ هي فضاءات متجهة على نفس الحقل، وإذا $f:M\to Y$ هي دالة خطية معرفة على فضاء متجهي جزئي $M$ ل $X,$ إذن توجد خريطة خطية $F:X\to Y$ وهذا يمتد $f.$

هان-باناخ الثابت

مجموعة $\Gamma$ من الخرائط $X\to X$ يكونتبادلي (فيما يتعلقبتركيب الدوال) $\,\circ \,$ ) لو $F\circ G=G\circ F$ للجميع $F,G\in \Gamma .$ لنفترض أن دالة $f$ معرفة على مجموعة فرعية $M$ ل $X$ يكون $\Gamma$ ثابت إذا $L(M)\subseteq M$ و $f\circ L=f$ على $M$ لكل $L\in \Gamma .$

نظرية هان-باناخ الثابتة ^{[ 29 ]} —لنفترض $\Gamma$ هي مجموعة تبادلية من التطبيقات الخطية المتصلة من فضاء معياري $X$ في ذاتها ودعها $f$ لتكن دالة خطية متصلة معرفة في فضاء متجهي جزئي $M$ ل $X$ إنه $\Gamma$ ثابت ، مما يعني أن $L(M)\subseteq M$ و $f\circ L=f$ على $M$ لكل $L\in \Gamma .$ ثم $f$ له امتداد خطي متصل $F$ إلى جميع $X$ الذي له نفس معيار المشغل $\|f\|=\|F\|$ وهو أيضًا $\Gamma$ ثابت، بمعنى أن $F\circ L=F$ على $X$ لكل $L\in \Gamma .$

يمكن تلخيص هذه النظرية على النحو التالي:

كل

\Gamma

دالة خطية متصلة ثابتة معرفة على فضاء متجهي جزئي من فضاء معياري

X

لديه

\Gamma

امتداد هان-باناخ الثابت إلى جميع

X.

^{[ 29 ]}

بالنسبة للدوال غير الخطية

النظرية التالية لمازور-أورليتش (1953) تعادل نظرية هان-باناش.

نظرية مازور-أورليتش ^{[ 3 ]} —ليكن $p:X\to \mathbb {R}$ لتكن دالة شبه خطية على فضاء متجهي حقيقي أو مركب $X,$ يترك $T$ لتكن أي مجموعة، ولتكن $R:T\to \mathbb {R}$ و $v:T\to X$ لتكن أي خرائط. العبارات التالية متكافئة:

يوجد دالة خطية ذات قيم حقيقية $F$ على $X$ بحيث $F\leq p$ على $X$ و $R\leq F\circ v$ على $T$ ؛
لأي متتالية منتهية $s_{1},\ldots ,s_{n}$ ل $n>0$ الأعداد الحقيقية غير السالبة، وأي متتالية $t_{1},\ldots ,t_{n}\in T$ من عناصر $T,$ $\sum _{i=1}^{n}s_{i}R\left(t_{i}\right)\leq p\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v\left(t_{i}\right)\right).$

تُحدد النظرية التالية متى تكون أي دالة قياسية على $X$ (ليس بالضرورة خطيًا) له امتداد خطي متصل إلى جميع $X.$

نظرية ( مبدأ التمديد ^{[ 30 ]} )—ليكن $f$ دالة ذات قيمة عددية على مجموعة جزئية $S$ فضاء متجهي طوبولوجي $X.$ إذن يوجد دالة خطية متصلة $F$ على $X$ التمديد $f$ إذا وفقط إذا وُجد شبه معيار متصل $p$ على $X$ بحيث $\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}f(s_{i})\right|\leq p\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}\right)$ لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة $n$ وجميع المتتابعات المنتهية $a_{1},\ldots ,a_{n}$ من الكميات القياسية والعناصر $s_{1},\ldots ,s_{n}$ ل $S.$

كونفرس

ليكن $X$ فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا. يتمتع الفضاء المتجهي الجزئي $M$ من $X$ بخاصية التمديد إذا أمكن تمديد أي دالة خطية متصلة على $M إلى دالة خطية متصلة على$ $X$ ، ونقول إن $X$ يتمتع بخاصية تمديد هان-باناخ ( HBEP ) إذا كان كل فضاء متجهي جزئي من $X$ يتمتع بخاصية التمديد. ^{[ 31 ]}

تضمن نظرية هان-باناخ أن كل فضاء هاوسدورف محدب محليًا يمتلك خاصية امتداد هان-باناخ. بالنسبة للفضاءات المتجهة الطوبولوجية الكاملة القابلة للقياس ، يوجد عكس ذلك، وفقًا لكالتون: كل فضاء متجهي طوبولوجي كامل قابل للقياس يتمتع بخاصية امتداد هان-باناخ يكون محدبًا محليًا. ^{[ 31 ]} من ناحية أخرى، إذا كان لدينا فضاء متجهي $X$ ذو بُعد غير قابل للعد، مزود بأفضل طوبولوجيا متجهة ، فإن هذا الفضاء المتجهي الطوبولوجي الذي يتمتع بخاصية امتداد هان-باناخ ليس محدبًا محليًا ولا قابلًا للقياس. ^{[ 31 ]}

تتمتع الفضاءات المتجهة الجزئية $M$ من فضاءات متجهة جزئية $X$ بخاصية الفصل إذا كان لكل عنصر من $X$ بحيث $x\not \in M,$ يوجد دالة خطية متصلة $f$ على $X$ بحيث $f(x)\neq 0$ و $f(m)=0$ للجميع $m\in M.$ من الواضح أن الفضاء الثنائي المتصل لـ TVS $X$ يفصل النقاط على $X$ إذا وفقط إذا $\{0\},$ تتمتع بخاصية الفصل. في عام 1992، أثبت كاكول أنه في أي فضاء متجهي لانهائي الأبعاد $X$ ، توجد طوبولوجيات TVS على $X$ لا تمتلك خاصية HBEP على الرغم من امتلاكها عددًا كافيًا من الدوال الخطية المتصلة للفضاء الثنائي المتصل لفصل النقاط على $X.$ ومع ذلك، إذا كان $X$ فضاءً متجهيًا TVS، فإن كل فضاء متجهي جزئي من $X$ يمتلك خاصية التمديد إذا وفقط إذا كان كل فضاء متجهي جزئي من $X$ يمتلك خاصية الفصل. ^{[ 31 ]}

العلاقة ببديهية الاختيار ونظريات أخرى

يستخدم برهان نظرية هان-باناخ للفضاءات المتجهة الحقيقية ( HB ) عادةً ليمّة زورن ، التي تُكافئ في الإطار البديهي لنظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل ( ZF ) بديهية الاختيار ( AC ). وقد اكتشف كلٌّ من لوش وريل -ناردزيفسكي ^{[ 12 ]} ، وبشكل مستقل من قِبل لوكسمبورغ ^{[ 11 ]} ، إمكانية إثبات HB باستخدام ليمّة المرشح الفائق ( UL )، التي تُكافئ (في إطار ZF ) نظرية المثالي الأولي البولياني ( BPI ). تُعدّ BPI أضعف من بديهية الاختيار، وقد بُيّن لاحقًا أن HB أضعف منها . ^{[ 32 ]}

تُكافئ مبرهنة المرشح الفائق (في ظل نظرية ZF ) مبرهنة باناخ-ألاوغلو ، ^{[ 33 ]} وهي مبرهنة أساسية أخرى في التحليل الوظيفي . مع أن مبرهنة باناخ-ألاوغلو تستلزم نظرية هان- باناخ ، ^{[ 34 ]} إلا أنها لا تُكافئها (بمعنى آخر، مبرهنة باناخ-ألاوغلو أقوى من نظرية هان- باناخ ). ومع ذلك، فإن نظرية هان-باناخ تُكافئ صيغة مُخففة من مبرهنة باناخ-ألاوغلو في الفضاءات المعيارية. ^{[ 35 ]} كما تُكافئ مبرهنة هان-باناخ العبارة التالية: ^{[ 36 ]}

(*): في كل جبر بولياني

B

يوجد "شحنة احتمالية"، أي: تطبيق غير ثابت ذو جمع محدود من

B

داخل

[0,1].

( إن BPI يعادل القول بأن هناك دائمًا رسوم احتمالية غير ثابتة تأخذ القيمتين 0 و 1 فقط.)

في نظرية ZF ، تكفي نظرية هان-باناخ لاستنتاج وجود مجموعة قابلة للقياس غير ليبيغ. ^{[ 37 ]} علاوة على ذلك، تستلزم نظرية هان-باناخ مفارقة باناخ-تارسكي . ^{[ 38 ]}

بالنسبة لفضاءات باناخ القابلة للفصل ، أثبت كلٌ من دي كي براون وإس جي سيمبسون أن نظرية هان-باناخ تتبع من WKL ₀ ، وهو نظام فرعي ضعيف من الحساب من الرتبة الثانية يأخذ شكلًا من أشكال لِمّة كونيغ المقيدة بالأشجار الثنائية كمسلّمة. في الواقع، أثبتا أنه في ظل مجموعة ضعيفة من الافتراضات، يكون النظامان متكافئين، وهو مثال على الرياضيات العكسية . ^[³⁹^]^[⁴⁰^]

انظر أيضاً

مبرهنة فاركاس – نظرية قابلية الحل للأنظمة المحدودة من المتباينات الخطية
مبدأ فيشرا للوجود – نظرية في التحليل الوظيفي
نظرية التمديد لـ م. ريز – نظرية رياضية تنص على أن الدوال الخطية لها امتدادات موجبة في الفضاء المتجهي الحقيقي
نظرية المحور الفاصل – حول وجود مستويات فائقة تفصل بين مجموعات محدبة منفصلة. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه
نظريات هان-باناخ ذات القيم المتجهة

ملحوظات

↑ هذا التعريف يعني، على سبيل المثال، أن $F_{b}(x)=F_{b}(0+1x)=f(0)+1b=b$ وإذا $m\in M$ ثم $F_{b}(m)=F_{b}(m+0x)=f(m)+0b=f(m).$ في الواقع، إذا $G:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R}$ أي امتداد خطي لـ $f$ ل $M\oplus \mathbb {R} x$ ثم $G=F_{b}$ ل $b:=G(x).$ بمعنى آخر، كل امتداد خطي لـ $f$ ل $M\oplus \mathbb {R} x$ وهو على شكل $F_{b}$ لبعض (الفريد) $b.$
↑ بشكل صريح، لأي عدد حقيقي $b\in \mathbb {R} ,$ $F_{b}\leq p$ على $M\oplus \mathbb {R} x$ إذا وفقط إذا $a\leq b\leq c.$ بالإضافة إلى حقيقة أن $F_{b}(x)=b,$ ويترتب على ذلك أن الامتداد الخطي المهيمن لـ $f$ ل $M\oplus \mathbb {R} x$ يكون فريدًا إذا وفقط إذا $a=c,$ وفي هذه الحالة، ستكون هذه القيمة العددية هي قيم الامتداد عند $x.$ بما أن كل امتداد خطي لـ $f$ ل $M\oplus \mathbb {R} x$ وهو على شكل $F_{b}$ بالنسبة للبعض $b,$ الحدود $a\leq b=F_{b}(x)\leq c$ وبالتالي يحد أيضًا من نطاق القيم الممكنة (عند $x$ ) التي يمكن أن يأخذها أي من $f$ الامتدادات الخطية المهيمنة. على وجه التحديد، إذا $F:X\to \mathbb {R}$ أي امتداد خطي لـ $f$ مُرضٍ $F\leq p$ ثم لكل $x\in X\setminus M,$ $\sup _{m\in M}[-p(-m-x)-f(m)]~\leq ~F(x)~\leq ~\inf _{m\in M}[p(m+x)-f(m)].$
↑ توضيح هندسي: يمكن عرض الفكرة الهندسية للبرهان أعلاه بشكل كامل في حالة $X=\mathbb {R} ^{2},M=\{(x,0):x\in \mathbb {R} \}.$ أولاً، حدد الامتداد البسيط $f_{0}(x,y)=f(x),$ لا ينجح الأمر، ربما $f_{0}\leq p$ لكنها خطوة في الاتجاه الصحيح. $p-f_{0}$ لا يزال محدبًا، و $p-f_{0}\geq f-f_{0}.$ إضافي، $f-f_{0}$ يساوي الصفر تمامًا على المحور السيني. وبالتالي، فقد اختزلنا إلى حالة $f=0,p\geq 0$ على المحور السيني. إذا $p\geq 0$ على $\mathbb {R} ^{2},$ وبذلك نكون قد انتهينا. وإلا، فاختر بعضًا مما يلي: $v\in \mathbb {R} ^{2},$ بحيث $p(v)<0.$ الفكرة الآن هي إجراء تحديد متزامن لـ $p$ على $v+M$ و $-v+M$ بحيث $p\geq b$ على $v+M$ و $p\geq -b$ على $-v+M,$ ثم تحديد ${\tilde {f}}(w+rv)=rb$ سيمنح ذلك التمديد المطلوب. $-v+M,v+M$ يقعان على جانبين متقابلين من $M,$ و $p<0$ في مرحلة ما $v+M,$ بسبب تحدب $p,$ يجب أن يكون لدينا $p\geq 0$ في جميع النقاط $-v+M.$ هكذا $\inf _{u\in -v+M}p(u)$ هي محدودة. هندسياً، هذا صحيح لأن $\{z:p(z)<0\}$ هي مجموعة محدبة منفصلة عن $M,$ وبالتالي يجب أن تقع بالكامل على جانب واحد من $M.$ يُعرِّف $b=-\inf _{u\in -v+M}p(u).$ هذا مُرضٍ $p\geq -b$ على $-v+M.$ يبقى أن نتفقد الجانب الآخر. للجميع $v+w\in v+M,$ التحدب يعني أنه لكل $-v+w'\in -v+M,p(v+w)+p(-v+w')\geq 2p((w+w')/2)=0,$ هكذا $p(v+w)\geq \sup _{u\in -v+M}-p(u)=b.$ بما أننا استخدمنا خلال البرهان فقط تحدب $p$ نلاحظ أن اللمة تظل صحيحة بالنسبة للمحدبات فقط $p.$
↑ مثل كل مضاعف قياسي غير سالب لمعيار ما ، فإن هذا المعيار الجزئي $\|f\|\,\|\cdot \|$ (ناتج ضرب عدد حقيقي غير سالب) $\|f\|$ مع الوضع الطبيعي $\|\cdot \|$ ) هو معيار عندما $\|f\|$ إيجابي، على الرغم من أن هذه الحقيقة ليست ضرورية للإثبات.

البراهين

↑ إذا $z=a+ib\in \mathbb {C}$ له جزء حقيقي $\operatorname {Re} z=a$ ثم $-\operatorname {Re} (iz)=b,$ مما يثبت أن $z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz).$ الاستبدال $F(x)$ في من أجل $z$ وباستخدام $iF(x)=F(ix)$ أعطِ $F(x)=\operatorname {Re} F(x)-i\operatorname {Re} F(ix).$ $\blacksquare$
↑ دع $F$ ليكن أي تطبيق متجانس ذو قيم قياسية على $X$ (مثل دالة خطية) ولتكن $p:X\to \mathbb {R}$ أي خريطة تحقق الشروط التالية $p(ux)=p(x)$ للجميع $x$ والكميات القياسية ذات الطول الواحد $u$ (مثل شبه المعيار). إذا $|F|\leq p$ ثم $\operatorname {Re} F\leq |\operatorname {Re} F|\leq |F|\leq p.$ أما العكس، فافترض $\operatorname {Re} F\leq p$ وإصلاح $x\in X.$ يترك $r=|F(x)|$ واختر أي $\theta \in \mathbb {R}$ بحيث $F(x)=re^{i\theta };$ يبقى أن نثبت ذلك $r\leq p(x).$ تجانس $F$ يشير إلى $F\left(e^{-i\theta }x\right)=r$ هو حقيقي بحيث $\operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)=F\left(e^{-i\theta }x\right).$ بافتراض، $\operatorname {Re} F\leq p$ و $p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),$ لهذا السبب. $r=\operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)\leq p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),$ حسب الرغبة. $\blacksquare$
↑ الخريطة $F$ كونها امتداداً لـ $f$ هذا يعني أن $\operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F$ و $F(m)=f(m)$ لكل $m\in \operatorname {domain} f.$ بالتالي، $\{|f(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}=\{|F(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}\subseteq \{|F(x)\,|:\|x\|\leq 1,x\in \operatorname {domain} F\}$ وبالتالي فإن القيمة العليا للمجموعة على الجانب الأيسر هي $\|f\|,$ لا يتجاوز الحد الأعلى للجانب الأيمن، وهو $\|F\|.$ بعبارة أخرى، $\|f\|\leq \|F\|.$

مراجع

↑ أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "نظرية هان-باناخ" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
↑ انظر نظرية التمديد لمارسيل ريز . وفقًا لـ غاردينغ، ل. (1970). "مارسيل ريز في ذكرى وفاته" . مجلة الرياضيات 124 (1): I– XI. doi : 10.1007/bf02394565 . MR 0256837 . ، كان هذا الجدل معروفًا لريز بالفعل في عام 1918.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Narici & Beckenstein 2011 , pp. 177–220.
1 2 3 رودين 1991 ، ص 56-62.
↑ رودين 1991 ، ث. 3.2
1 2 3 4 5 6 7 8 Narici & Beckenstein 2011 ، ص 177–183.
1 2 3 شيشتر 1996 ، ص 318-319.
1 2 3 4 ريد وسيمون 1980 .
↑ رودين 1991 ، ث. 3.2
1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 126-128.
1 2 لوكسمبورغ 1962 .
1 2 Łoś & Ryll-Nardzewski 1951 ، الصفحات من 233 إلى 237.
↑ ملف هانبان
↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 182، 498.
1 2 3 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 184.
1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص. 182.
↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 126.
↑ هارفي، ر.؛ لوسون، هـ. ب. (1983). "توصيف جوهري لمتشعبات كاهلر". مجلة الرياضيات 74 (2): 169-198 . رمز Bibcode : 1983InMat..74..169H . doi : 10.1007/BF01394312 . S2CID 124399104 .
1 2 3 زالينسكو، سي. (2002). التحليل المحدب في الفضاءات المتجهة العامة . ريفر إيدج، نيوجيرسي: شركة وورلد ساينتيفيك للنشر، ص 5-7 . ISBN 981-238-067-1MR 1921556 .
↑ غابرييل ناجي، ملاحظات محاضرة في التحليل الحقيقي
↑ بريزيس، حاييم (2011). التحليل الوظيفي، فضاءات سوبوليف، والمعادلات التفاضلية الجزئية . نيويورك: سبرينغر. ص 6-7 .
↑ كوتاتيلادزه، سيمين (1996). أساسيات التحليل الوظيفي . نصوص كلوير في العلوم الرياضية. المجلد 12. ص 40. doi : 10.1007/978-94-015-8755-6 . ISBN 978-90-481-4661-1.
↑ تريفز 2006 ، ص 184.
↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 195.
↑ Schaefer & Wolff 1999 ، ص 47.
↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 212.
↑ ويلانسكي 2013 ، ص 18-21.
↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 150.
1 2 رودين 1991 ، ص. 141.
↑ إدواردز 1995 ، ص 124-125.
1 2 3 4 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 225-273.
^ بينكوس 1974 ، ص 203-205.
^ شيشتر 1996 ، ص 766-767.
↑ موجر، مايكل (2020). الطوبولوجيا للرياضيين العاملين .
^ بيل، ج. فريملين، ديفيد (1972). “نموذج هندسي لبديهية الاختيار” (PDF) . أساسيات الرياضيات . 77 (2): 167– 170. دوى : 10.4064 / fm-77-2-167-170 . تم الاسترجاع في 26 ديسمبر 2021 .
↑ شيشتر، إريك . دليل التحليل وأسسه . ص 620.
↑ فورمان، م.؛ ويرونغ، ف. (1991). "تستلزم نظرية هان-باناخ وجود مجموعة غير قابلة للقياس وفقًا لنظرية ليبيغ" (ملف PDF) . Fundamenta Mathematicae . 138 : 13-19 . doi : 10.4064/fm-138-1-13-19 .
^ باوليكوفسكي، يانوش (1991). "نظرية هان-باناخ تتضمن مفارقة باناخ-تارسكي" . أساسيات الرياضيات . 138 : 21– 22. دوى : 10.4064/fm-138-1-21-22 .
↑ براون، د.ك.؛ سيمبسون، س.ج. (1986). "ما هي بديهيات وجود المجموعات اللازمة لإثبات نظرية هان-باناخ القابلة للفصل؟". حوليات المنطق البحت والتطبيقي . 31 : 123-144 . doi : 10.1016/0168-0072(86)90066-7 .مصدر الاقتباس .
↑ سيمبسون، ستيفن ج. (2009)، الأنظمة الفرعية للحساب من الدرجة الثانية، وجهات نظر في المنطق (الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-88439-6MR 2517689

فهرس

أداش، نوربرت؛ إرنست، برونو؛ كيم، ديتر (1978). الفضاءات المتجهة الطوبولوجية: النظرية بدون شروط التحدب . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 639. برلين - نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
باناخ ، ستيفان (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ نظرية العمليات الخطية ] (PDF) . Monografie Matematyczne (بالفرنسية). المجلد. 1. وارسو: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. زبل 0005.20901 . مؤرشفة من الأصلي (PDF) بتاريخ 2014-01-11 . تم الاسترجاع 2020-07-11 .
بربريان، ستيرلنج ك. (1974). محاضرات في التحليل الوظيفي ونظرية المؤثرات . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 15. نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 .
بورباكي، نيكولا (1987) [1981]. مساحات المتجهات الطوبولوجية: الفصول 1-5 . عناصر الرياضيات . تمت الترجمة بواسطة Eggleston، HG. مادان، س. برلين نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190 .
كونواي، جون ب. (1990). دورة في التحليل الوظيفي . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 96 ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
إدواردز، روبرت إي. (1995). التحليل الوظيفي: النظرية والتطبيقات . نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
غروتينديك، ألكسندر (1973). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . ترجمة أورلاندو شَلْجوب. نيويورك: دار نشر غوردون وبريتش للعلوم. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
جارشو، هانز (1981). الفضاءات المحدبة محليا . شتوتغارت: بي جي تيوبنر. رقم ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
كوته، جوتفريد (1983) [1969]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد. 159. ترجمة جارلينج، DJH New York: Springer Science & Business Media. رقم ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .
لاوس, جيرزي ; ريل ناردزيوسكي، تشيسلاف (1951). ""في تطبيق نظرية تايكونوف في البراهين الرياضية" " أساسيات الرياضيات . 38 (1): 233-237 . دوى : 10.4064/fm-38-1-233-237 . ISSN 0016-2736 . تم الاسترجاع في 7 يوليو 2022 .
لوكسمبورغ، دبليو إيه جيه (1962). "تطبيقان لطريقة البناء باستخدام القوى الفائقة في التحليل" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 68 (4). الجمعية الرياضية الأمريكية: 416-419 . doi : 10.1090/s0002-9904-1962-10824-6 . ISSN 0273-0979 .
ناريسي، لورانس (2007). "حول نظرية هان-باناخ". دورات متقدمة في التحليل الرياضي II (ملف PDF) . وورلد ساينتيفيك. ص 87-122 . doi : 10.1142/9789812708441_0006 . ISBN 978-981-256-652-2. Archived from the original(PDF) on 18 September 2022. Retrieved 7 July 2022.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (1997). "The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times". Topology and Its Applications. 77 (2): 193–211. doi:10.1016/s0166-8641(96)00142-3. Archived from the original on 2011-06-04. Retrieved 2003-11-11.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Pincus, David (1972). "Independence of the prime ideal theorem from the Hahn Banach theorem"(PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 78 (5). American Mathematical Society: 766–770. doi:10.1090/s0002-9904-1972-13025-8. ISSN 0273-0979. Retrieved 7 July 2022.
Pincus, David (1974). "The strength of the Hahn-Banach theorem". In Hurd, A.; Loeb, P. (eds.). Victoria Symposium on Nonstandard Analysis. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 369. Berlin, Heidelberg: Springer. pp. 203–248. doi:10.1007/bfb0066014. ISBN 978-3-540-06656-9. ISSN 0075-8434.
Reed, Michael and Simon, Barry, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
Reed, Michael; Simon, Barry (1980). Functional Analysis (revised and enlarged ed.). Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-585050-6.
Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد 8 ( الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
شميت، لوثار م (1992). "نسخة متغيرة من نظرية هان-باناخ" . مجلة هيوستن للرياضيات 18 : 429-447 .
شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
شوارتز، تشارلز (1992). مقدمة في التحليل الوظيفي . نيويورك: إم. ديكر. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
تاو، تيرينس ، نظرية هان-باناخ، ونظرية مينجر، ونظرية هيلي
تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
ويتستوك، جيرد، عين المشغلفيرتيجر هان-باناش ساتز، J. من التحليل الوظيفي 40 (1981)، 127-150
زايدلر، إيبرهارد، التحليل الوظيفي التطبيقي: المبادئ الرئيسية وتطبيقاتها ، سبرينغر، 1995.
"نظرية هان-باناخ" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]

[13] هذا التعريف يعني، على سبيل المثال، أن $F_{b}(x)=F_{b}(0+1x)=f(0)+1b=b$ وإذا $m\in M$ ثم $F_{b}(m)=F_{b}(m+0x)=f(m)+0b=f(m).$ في الواقع، إذا $G:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R}$ أي امتداد خطي لـ $f$ ل $M\oplus \mathbb {R} x$ ثم $G=F_{b}$ ل $b:=G(x).$ بمعنى آخر، كل امتداد خطي لـ $f$ ل $M\oplus \mathbb {R} x$ وهو على شكل $F_{b}$ لبعض (الفريد) $b.$

[14] بشكل صريح، لأي عدد حقيقي $b\in \mathbb {R} ,$ $F_{b}\leq p$ على $M\oplus \mathbb {R} x$ إذا وفقط إذا $a\leq b\leq c.$ بالإضافة إلى حقيقة أن $F_{b}(x)=b,$ ويترتب على ذلك أن الامتداد الخطي المهيمن لـ $f$ ل $M\oplus \mathbb {R} x$ يكون فريدًا إذا وفقط إذا $a=c,$ وفي هذه الحالة، ستكون هذه القيمة العددية هي قيم الامتداد عند $x.$ بما أن كل امتداد خطي لـ $f$ ل $M\oplus \mathbb {R} x$ وهو على شكل $F_{b}$ بالنسبة للبعض $b,$ الحدود $a\leq b=F_{b}(x)\leq c$ وبالتالي يحد أيضًا من نطاق القيم الممكنة (عند $x$ ) التي يمكن أن يأخذها أي من $f$ الامتدادات الخطية المهيمنة. على وجه التحديد، إذا $F:X\to \mathbb {R}$ أي امتداد خطي لـ $f$ مُرضٍ $F\leq p$ ثم لكل $x\in X\setminus M,$ $\sup _{m\in M}[-p(-m-x)-f(m)]~\leq ~F(x)~\leq ~\inf _{m\in M}[p(m+x)-f(m)].$

[GeometricIllustration-15] توضيح هندسي: يمكن عرض الفكرة الهندسية للبرهان أعلاه بشكل كامل في حالة $X=\mathbb {R} ^{2},M=\{(x,0):x\in \mathbb {R} \}.$ أولاً، حدد الامتداد البسيط $f_{0}(x,y)=f(x),$ لا ينجح الأمر، ربما $f_{0}\leq p$ لكنها خطوة في الاتجاه الصحيح. $p-f_{0}$ لا يزال محدبًا، و $p-f_{0}\geq f-f_{0}.$ إضافي، $f-f_{0}$ يساوي الصفر تمامًا على المحور السيني. وبالتالي، فقد اختزلنا إلى حالة $f=0,p\geq 0$ على المحور السيني. إذا $p\geq 0$ على $\mathbb {R} ^{2},$ وبذلك نكون قد انتهينا. وإلا، فاختر بعضًا مما يلي: $v\in \mathbb {R} ^{2},$ بحيث $p(v)<0.$ الفكرة الآن هي إجراء تحديد متزامن لـ $p$ على $v+M$ و $-v+M$ بحيث $p\geq b$ على $v+M$ و $p\geq -b$ على $-v+M,$ ثم تحديد ${\tilde {f}}(w+rv)=rb$ سيمنح ذلك التمديد المطلوب. $-v+M,v+M$ يقعان على جانبين متقابلين من $M,$ و $p<0$ في مرحلة ما $v+M,$ بسبب تحدب $p,$ يجب أن يكون لدينا $p\geq 0$ في جميع النقاط $-v+M.$ هكذا $\inf _{u\in -v+M}p(u)$ هي محدودة. هندسياً، هذا صحيح لأن $\{z:p(z)<0\}$ هي مجموعة محدبة منفصلة عن $M,$ وبالتالي يجب أن تقع بالكامل على جانب واحد من $M.$ يُعرِّف $b=-\inf _{u\in -v+M}p(u).$ هذا مُرضٍ $p\geq -b$ على $-v+M.$ يبقى أن نتفقد الجانب الآخر. للجميع $v+w\in v+M,$ التحدب يعني أنه لكل $-v+w'\in -v+M,p(v+w)+p(-v+w')\geq 2p((w+w')/2)=0,$ هكذا $p(v+w)\geq \sup _{u\in -v+M}-p(u)=b.$ بما أننا استخدمنا خلال البرهان فقط تحدب $p$ نلاحظ أن اللمة تظل صحيحة بالنسبة للمحدبات فقط $p.$

[24] مثل كل مضاعف قياسي غير سالب لمعيار ما ، فإن هذا المعيار الجزئي $\|f\|\,\|\cdot \|$ (ناتج ضرب عدد حقيقي غير سالب) $\|f\|$ مع الوضع الطبيعي $\|\cdot \|$ ) هو معيار عندما $\|f\|$ إيجابي، على الرغم من أن هذه الحقيقة ليست ضرورية للإثبات.

[10] إذا $z=a+ib\in \mathbb {C}$ له جزء حقيقي $\operatorname {Re} z=a$ ثم $-\operatorname {Re} (iz)=b,$ مما يثبت أن $z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz).$ الاستبدال $F(x)$ في من أجل $z$ وباستخدام $iF(x)=F(ix)$ أعطِ $F(x)=\operatorname {Re} F(x)-i\operatorname {Re} F(ix).$ $\blacksquare$

[12] دع $F$ ليكن أي تطبيق متجانس ذو قيم قياسية على $X$ (مثل دالة خطية) ولتكن $p:X\to \mathbb {R}$ أي خريطة تحقق الشروط التالية $p(ux)=p(x)$ للجميع $x$ والكميات القياسية ذات الطول الواحد $u$ (مثل شبه المعيار). إذا $|F|\leq p$ ثم $\operatorname {Re} F\leq |\operatorname {Re} F|\leq |F|\leq p.$ أما العكس، فافترض $\operatorname {Re} F\leq p$ وإصلاح $x\in X.$ يترك $r=|F(x)|$ واختر أي $\theta \in \mathbb {R}$ بحيث $F(x)=re^{i\theta };$ يبقى أن نثبت ذلك $r\leq p(x).$ تجانس $F$ يشير إلى $F\left(e^{-i\theta }x\right)=r$ هو حقيقي بحيث $\operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)=F\left(e^{-i\theta }x\right).$ بافتراض، $\operatorname {Re} F\leq p$ و $p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),$ لهذا السبب. $r=\operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)\leq p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),$ حسب الرغبة. $\blacksquare$

[ProofNormOfExtensionIsLarger-23] الخريطة $F$ كونها امتداداً لـ $f$ هذا يعني أن $\operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F$ و $F(m)=f(m)$ لكل $m\in \operatorname {domain} f.$ بالتالي، $\{|f(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}=\{|F(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}\subseteq \{|F(x)\,|:\|x\|\leq 1,x\in \operatorname {domain} F\}$ وبالتالي فإن القيمة العليا للمجموعة على الجانب الأيسر هي $\|f\|,$ لا يتجاوز الحد الأعلى للجانب الأيمن، وهو $\|F\|.$ بعبارة أخرى، $\|f\|\leq \|F\|.$

[1] أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "نظرية هان-باناخ" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز

[2] انظر نظرية التمديد لمارسيل ريز . وفقًا لـ غاردينغ، ل. (1970). "مارسيل ريز في ذكرى وفاته" . مجلة الرياضيات 124 (1): I– XI. doi : 10.1007/bf02394565 . MR 0256837 . ، كان هذا الجدل معروفًا لريز بالفعل في عام 1918.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011177–220-3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Narici & Beckenstein 2011 , pp. 177–220.

[FOOTNOTERudin199156–62-4] 1 2 3 رودين 1991 ، ص 56-62.

[5] رودين 1991 ، ث. 3.2

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011177–183-6] 1 2 3 4 5 6 7 8 Narici & Beckenstein 2011 ، ص 177–183.

[FOOTNOTESchechter1996318–319-7] 1 2 3 شيشتر 1996 ، ص 318-319.

[FOOTNOTEReedSimon1980-8] 1 2 3 4 ريد وسيمون 1980 .

[9] رودين 1991 ، ث. 3.2

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011126–128-11] 1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 126-128.

[FOOTNOTELuxemburg1962-16] 1 2 لوكسمبورغ 1962 .

[FOOTNOTEŁośRyll-Nardzewski1951233–237-17] 1 2 Łoś & Ryll-Nardzewski 1951 ، الصفحات من 233 إلى 237.

[18] ملف هانبان

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011182,_498-19] ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 182، 498.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011184-20] 1 2 3 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 184.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011182-21] 1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص. 182.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011126-22] ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 126.

[25] هارفي، ر.؛ لوسون، هـ. ب. (1983). "توصيف جوهري لمتشعبات كاهلر". مجلة الرياضيات 74 (2): 169-198 . رمز Bibcode : 1983InMat..74..169H . doi : 10.1007/BF01394312 . S2CID 124399104 .

[Zalinescu-26] 1 2 3 زالينسكو، سي. (2002). التحليل المحدب في الفضاءات المتجهة العامة . ريفر إيدج، نيوجيرسي: شركة وورلد ساينتيفيك للنشر، ص 5-7 . ISBN 981-238-067-1MR 1921556 .

[27] غابرييل ناجي، ملاحظات محاضرة في التحليل الحقيقي

[28] بريزيس، حاييم (2011). التحليل الوظيفي، فضاءات سوبوليف، والمعادلات التفاضلية الجزئية . نيويورك: سبرينغر. ص 6-7 .

[29] كوتاتيلادزه، سيمين (1996). أساسيات التحليل الوظيفي . نصوص كلوير في العلوم الرياضية. المجلد 12. ص 40. doi : 10.1007/978-94-015-8755-6 . ISBN 978-90-481-4661-1.

[FOOTNOTETrèves2006184-30] تريفز 2006 ، ص 184.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011195-31] ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 195.

[FOOTNOTESchaeferWolff199947-32] Schaefer & Wolff 1999 ، ص 47.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011212-33] ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 212.

[FOOTNOTEWilansky201318–21-34] ويلانسكي 2013 ، ص 18-21.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011150-35] ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 150.

[FOOTNOTERudin1991141-36] 1 2 رودين 1991 ، ص. 141.

[FOOTNOTEEdwards1995124–125-37] إدواردز 1995 ، ص 124-125.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011225–273-38] 1 2 3 4 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 225-273.

[FOOTNOTEPincus1974203–205-39] بينكوس 1974 ، ص 203-205.

[FOOTNOTESchechter1996766–767-40] شيشتر 1996 ، ص 766-767.

[Muger2020-41] موجر، مايكل (2020). الطوبولوجيا للرياضيين العاملين .

[BellFremlin1972-42] بيل، ج. فريملين، ديفيد (1972). “نموذج هندسي لبديهية الاختيار” (PDF) . أساسيات الرياضيات . 77 (2): 167– 170. دوى : 10.4064 / fm-77-2-167-170 . تم الاسترجاع في 26 ديسمبر 2021 .

[43] شيشتر، إريك . دليل التحليل وأسسه . ص 620.

[44] فورمان، م.؛ ويرونغ، ف. (1991). "تستلزم نظرية هان-باناخ وجود مجموعة غير قابلة للقياس وفقًا لنظرية ليبيغ" (ملف PDF) . Fundamenta Mathematicae . 138 : 13-19 . doi : 10.4064/fm-138-1-13-19 .

[45] باوليكوفسكي، يانوش (1991). "نظرية هان-باناخ تتضمن مفارقة باناخ-تارسكي" . أساسيات الرياضيات . 138 : 21– 22. دوى : 10.4064/fm-138-1-21-22 .

[46] براون، د.ك.؛ سيمبسون، س.ج. (1986). "ما هي بديهيات وجود المجموعات اللازمة لإثبات نظرية هان-باناخ القابلة للفصل؟". حوليات المنطق البحت والتطبيقي . 31 : 123-144 . doi : 10.1016/0168-0072(86)90066-7 .مصدر الاقتباس .

[47] سيمبسون، ستيفن ج. (2009)، الأنظمة الفرعية للحساب من الدرجة الثانية، وجهات نظر في المنطق (الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-88439-6MR 2517689

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ الإثبات 1 ]

[ 10 ]

[ البرهان 2 ]

[ ملاحظة 1 ]

[ ملاحظة 2 ]

[ ملاحظة 3 ]

[ 11 ]

[

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ البرهان 3 ]

[ ملاحظة 4 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[

[