مشكلة اللحظة

في الرياضيات ، تنشأ مشكلة العزوم نتيجة لمحاولة عكس التطبيق الذي يأخذ قياسًا${\displaystyle \mu }$إلى تسلسل اللحظات

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)\,.}$

وبشكل أعم، يمكن للمرء أن ينظر

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }M_{n}(x)\,d\mu (x)\,.}$

لتسلسل عشوائي من الدوال${\displaystyle M_{n}}$.

في الإطار الكلاسيكي،${\displaystyle \mu }$هو مقياس على خط الأعداد الحقيقية ، و${\displaystyle M}$التسلسل${\displaystyle \{x^{n}:n=1,2,\dotsc \}}$. بهذا الشكل يظهر السؤال في نظرية الاحتمالات ، يسأل عما إذا كان هناك مقياس احتمالي له متوسط ​​محدد وتباين وما إلى ذلك ، وما إذا كان فريدًا.

هناك ثلاث مسائل كلاسيكية معروفة للعزوم: مسألة هامبرغر للعزوم التي يكون فيها نطاق الدعم${\displaystyle \mu }$يُسمح بأن يكون الخط الحقيقي بأكمله؛ مسألة عزم ستيلتجس ، لـ${\displaystyle [0,\infty )}$؛ ومسألة عزم هاوسدورف لفترة محدودة، والتي يمكن اعتبارها، دون فقدان للعمومية، على النحو التالي:${\displaystyle [0,1]}$.

تمتد مسألة العزوم أيضًا إلى التحليل المركب كمسألة العزوم المثلثية حيث يتم استبدال مصفوفات هانكل بمصفوفات توبليتز ويكون مجال μ هو دائرة الوحدة المركبة بدلاً من خط الأعداد الحقيقية. ^{[ 1 ]}

سلسلة من الأرقام${\displaystyle m_{n}}$هو تسلسل لحظات القياس${\displaystyle \mu }$إذا وفقط إذا تحقق شرط إيجابي معين؛ أي مصفوفات هانكل${\displaystyle H_{n}}$،

${\displaystyle (H_{n})_{ij}=m_{i+j}\,,}$

ينبغي أن تكون مصفوفة هانكل شبه موجبة . وذلك لأن مصفوفة هانكل شبه الموجبة تتوافق مع دالة خطية.${\displaystyle \Lambda }$بحيث${\displaystyle \Lambda (x^{n})=m_{n}}$و ${\displaystyle \Lambda (f^{2})\geq 0}$(غير سالب لمجموع مربعات كثيرات الحدود). افترض${\displaystyle \Lambda }$يمكن توسيعه ليشمل${\displaystyle \mathbb {R} [x]^{*}}$في حالة المتغير الواحد، يمكن دائمًا كتابة كثير الحدود غير السالب على شكل مجموع مربعات. لذا فإن الدالة الخطية${\displaystyle \Lambda }$تكون موجبة لجميع كثيرات الحدود غير السالبة في حالة المتغير الواحد. وبحسب نظرية هافيلاند، فإن الدالة الخطية لها شكل قياسي، أي${\displaystyle \Lambda (x^{n})=\int _{-\infty }^{\infty}x^{n}d\mu }$إن شرطًا ذا شكل مماثل ضروري وكافٍ لوجود مقياس${\displaystyle \mu }$مدعوم على فترة زمنية محددة${\displaystyle [a,b]}$.

إحدى طرق إثبات هذه النتائج هي النظر في الدالة الخطية${\displaystyle \varphi }$يرسل ذلك متعددة الحدود

${\displaystyle P(x)=\sum _{k}a_{k}x^{k}}$

ل

${\displaystyle \sum _{k}a_{k}m_{k}.}$

لو${\displaystyle m_{k}}$هي لحظات ذات قدر معين${\displaystyle \mu }$مدعوم على${\displaystyle [a,b]}$ثم من الواضح

${\displaystyle \varphi (P)\geq 0}$لأي متعددة حدود${\displaystyle P}$أي غير سالب على${\displaystyle [a,b]}$.

1

وعلى العكس من ذلك، إذا تحقق الشرط ( 1 )، فيمكن تطبيق نظرية التمديد لـ م. ريز وتوسيع${\displaystyle \varphi }$إلى دالة على فضاء الدوال المتصلة ذات الدعم المضغوط${\displaystyle C_{c}([a,b])}$)، لهذا السبب

${\displaystyle \varphi (f)\geq 0}$لأي ${\displaystyle f\in C_{c}([a,b]),\;f\geq 0.}$

2

بحسب نظرية تمثيل ريز ، فإن ( 2 ) تتحقق إذا وفقط إذا وُجد مقياس${\displaystyle \mu }$مدعوم على${\displaystyle [a,b]}$بحيث

${\displaystyle \varphi (f)=\int f\,d\mu }$

لكل${\displaystyle f\in C_{c}([a,b])}$.

وبالتالي فإن وجود المقياس${\displaystyle \mu }$يكافئ ( 1 ). باستخدام نظرية التمثيل لكثيرات الحدود الموجبة على${\displaystyle [a,b]}$يمكن إعادة صياغة ( 1 ) كشرط على مصفوفات هانكل. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

فرادة${\displaystyle \mu }$في مسألة عزم هاوسدورف، ينبع ذلك من نظرية تقريب فايرشتراس ، التي تنص على أن كثيرات الحدود كثيفة تحت المعيار المنتظم في فضاء الدوال المتصلة على${\displaystyle [0,1]}$أما بالنسبة للمسألة المتعلقة بفترة غير محدودة، فإن مسألة التفرد تُعدّ أكثر تعقيدًا. ^{[ 4 ]} توجد توزيعات، مثل التوزيعات اللوغاريتمية الطبيعية ، التي لها عزوم محدودة لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة، بينما تمتلك توزيعات أخرى نفس العزوم.

عندما يكون الحل موجودًا، يمكن كتابته رسميًا باستخدام مشتقات دالة ديراك دلتا كما يلي:

${\displaystyle d\mu (x)=\rho (x)dx,\quad \rho (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\delta ^{(n)}(x)m_{n}}$.

يمكن اشتقاق التعبير عن طريق أخذ التحويل العكسي لفورييه لدالته المميزة .

يُعدّ مَسائل العزوم المقتطعة أحدَ أهمّ أنواع هذه المسائل ، إذ يدرس خصائصَ المقاييس ذات العزوم الأولى k الثابتة (لعدد k محدود ). ولنتائج مَسائل العزوم المقتطعة تطبيقاتٌ عديدةٌ في مسائل القيم القصوى ، والتحسين، ونظريات النهايات في نظرية الاحتمالات . ^{[ 3 ]}

تُستخدم مسألة العزوم في نظرية الاحتمالات. ويُستخدم ما يلي بشكل شائع: ^{[ 5 ]}

من خلال التحقق من شرط كارلمان ، نعلم أن التوزيع الطبيعي القياسي هو مقياس محدد، وبالتالي لدينا الشكل التالي لنظرية النهاية المركزية :

• حالة كارلمان
• مشكلة لحظة الهامبرغر
• مصفوفة هانكل
• مسألة لحظة هاوسدورف
• العزم (الرياضيات)
• مسألة عزم ستيلتجس
• مسألة العزوم المثلثية

• شوهات، جيمس ألكسندر؛ تاماركين، جاكوب د. (1943). مسألة العزوم . نيويورك: الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-1-4704-1228-9.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• أخيزر، ناوم آي. (1965). مسألة العزوم الكلاسيكية وبعض المسائل ذات الصلة في التحليل . نيويورك: دار هافنر للنشر.(ترجمة من الروسية بواسطة ن. كيمر)
• كرين، إم جي؛ نودلمان، إيه إيه (1977). مسألة عزم ماركوف والمسائل القصوى . ترجمات من دراسات رياضية. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. doi : 10.1090/mmono/050 . ISBN 978-0-8218-4500-4ISSN 0065-9282​​ 
• شمودجن، كونراد (2017). مسألة العزوم . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  277. تشام: دار نشر سبرينغر الدولية. doi : 10.1007/978-3-319-64546-9 . ISBN 978-3-319-64545-2ISSN 0072-5285​​