الموسيقى (خوارزمية)

MUSIC ( تصنيف الإشارات المتعددة ) هي خوارزمية تستخدم لتقدير التردد ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} وتحديد اتجاه الراديو . ^{[ 4 ]}

في العديد من مسائل معالجة الإشارات العملية ، يتمثل الهدف في تقدير مجموعة من المعاملات الثابتة التي تعتمد عليها الإشارات المستقبلة، وذلك انطلاقًا من القياسات. وقد ظهرت عدة مناهج لحل هذه المسائل، بما في ذلك ما يُعرف بطريقة الاحتمال الأقصى (ML) لكابون (1969) وطريقة الإنتروبيا القصوى (ME) لبرغ. ورغم نجاح هذه الطرق وانتشار استخدامها، إلا أنها تعاني من بعض القيود الأساسية (خاصةً التحيز والحساسية في تقديرات المعاملات)، ويعود ذلك في الغالب إلى استخدامها نموذجًا غير دقيق للقياسات (مثل نموذج الانحدار الذاتي AR بدلًا من نموذج الانحدار الذاتي المتحرك ARMA الخاص).

كان بيسارينكو (1973) من أوائل من استغلوا بنية نموذج البيانات ، وذلك في سياق تقدير معلمات الموجات الجيبية المركبة في وجود ضوضاء مضافة باستخدام منهجية التغاير. وكان شميدت (1977)، أثناء عمله في شركة نورثروب غرومان ، وبيانفينو وكوب (1979) بشكل مستقل، أول من استغل نموذج القياس بشكل صحيح في حالة مصفوفات المستشعرات ذات الشكل العشوائي. وقد حقق شميدت ذلك، على وجه الخصوص، من خلال اشتقاق حل هندسي كامل في غياب الضوضاء، ثم توسيع المفاهيم الهندسية بذكاء للحصول على حل تقريبي معقول في وجود الضوضاء. وقد سُميت الخوارزمية الناتجة MUSIC (تصنيف الإشارات المتعددة) وخضعت لدراسات واسعة النطاق.

في تقييم مفصل استند إلى آلاف عمليات المحاكاة، خلص مختبر لينكولن التابع لمعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا عام ١٩٩٨ إلى أن خوارزمية MUSIC، من بين الخوارزميات عالية الدقة المقبولة حاليًا، هي الأكثر واعدة ومرشحة بقوة لمزيد من الدراسة والتطبيق العملي على الأجهزة. ^{[ ٥ ]} ومع ذلك، فعلى الرغم من المزايا الكبيرة التي توفرها MUSIC في الأداء، إلا أنها تأتي على حساب تكلفة في الحساب (البحث في فضاء المعلمات ) والتخزين (بيانات معايرة المصفوفة). ^{[ ٦ ]}

تفترض طريقة MUSIC أن متجه الإشارة،${\displaystyle \mathbf {x} }$، يتكون من${\displaystyle p}$الدوال الأسية المركبة، التي تردداتها${\displaystyle \omega }$غير معروفة، في وجود ضوضاء بيضاء غاوسية،${\displaystyle \mathbf {n} }$، كما هو موضح في النموذج الخطي

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {s} +\mathbf {n} .}$

هنا${\displaystyle \mathbf {A} =[\mathbf {a} (\omega _{1}),\cdots ,\mathbf {a} (\omega _{p})]}$هو${\displaystyle M\times p}$مصفوفة فاندرموند لمتجهات التوجيه${\displaystyle \mathbf {a} (\omega )=[1,e^{j\omega },e^{j2\omega },\ldots ,e^{j(M-1)\omega }]^{T}}$و${\displaystyle \mathbf {s} =[s_{1},\ldots ,s_{p}]^{T}}$يمثل متجه السعة. تجدر الإشارة إلى أن صياغة مصفوفة متجه التوجيه وفقًا لفانديرموند تفترض أن الإشارات تسقط على مصفوفة خطية منتظمة. ومن الافتراضات الأساسية الأخرى عدد المصادر.${\displaystyle p}$، وهو أقل من عدد العناصر في متجه القياس،${\displaystyle M}$، أي${\displaystyle p<M}$.

ال${\displaystyle M\times M}$مصفوفة الارتباط الذاتي لـ${\displaystyle \mathbf {x} }$ثم يتم تحديده بواسطة

${\displaystyle \mathbf {R} _{x}=\mathbf {A} \mathbf {R} _{s}\mathbf {A} ^{H}+\sigma ^{2}\mathbf {I} ,}$

أين${\displaystyle \sigma ^{2}}$يمثل تباين الضوضاء،${\displaystyle \mathbf {I} }$يكون${\displaystyle M\times M}$مصفوفة الوحدة ، و${\displaystyle \mathbf {R} _{s}}$هو${\displaystyle p\times p}$مصفوفة الارتباط الذاتي لـ${\displaystyle \mathbf {s} }$.

مصفوفة الارتباط الذاتي${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$يتم تقديرها تقليديًا باستخدام مصفوفة ارتباط العينة

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {R} }}_{x}={\frac {1}{N}}\mathbf {X} \mathbf {X} ^{H}}$

أين:

${\displaystyle N>M}$يمثل عدد عمليات رصد المتجهات،

${\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{N}]}$و

${\displaystyle \mathbf {X} ^{H}}$يشير إلى منقولة المرافق لـ${\displaystyle \mathbf {X} }$

بالنظر إلى تقدير${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$تقوم تقنية MUSIC بتقدير محتوى التردد للإشارة أو مصفوفة الارتباط الذاتي باستخدام طريقة الفضاء الذاتي .

منذ${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$هي مصفوفة هيرميتية ، بكل ما فيها${\displaystyle M}$المتجهات الذاتية${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{M}\}}$تكون متعامدة مع بعضها البعض. إذا كانت القيم الذاتية لـ${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$يتم ترتيب المتجهات الذاتية بترتيب تنازلي.${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{p}\}}$بما يتوافق مع${\displaystyle p}$أكبر القيم الذاتية (أي اتجاهات أكبر تباين) تغطي فضاء الإشارة الفرعي${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$. المتبقي${\displaystyle Mp}$تتوافق المتجهات الذاتية مع القيم الذاتية التي تساوي${\displaystyle \sigma ^{2}}$وتمتد على مساحة الضوضاء الفرعية${\displaystyle {\mathcal {U}}_{N}}$، وهو متعامد مع فضاء الإشارة الفرعي ،${\displaystyle {\mathcal {U}} _ {S}\perp {\mathcal {U}} _ {N}}$.

لاحظ ذلك بالنسبة لـ${\displaystyle M=p+1}$تُعدّ طريقة MUSIC مطابقةً لتحليل بيسارينكو التوافقي . وتتلخص الفكرة العامة وراء طريقة MUSIC في استخدام جميع المتجهات الذاتية التي تغطي فضاء الضوضاء الفرعي لتحسين أداء مُقدِّر بيسارينكو.

بما أن أي متجه إشارة${\displaystyle \mathbf {e} }$الذي يقع في فضاء الإشارة الفرعي${\displaystyle \mathbf {e} \in {\mathcal {U}}_{S}}$يجب أن يكون متعامدًا مع فضاء الضوضاء الفرعي،${\displaystyle \mathbf {e} \perp {\mathcal {U}}_{N}}$لا بد أن يكون ذلك${\displaystyle \mathbf {e} \perp \mathbf {v} _{i}}$لجميع المتجهات الذاتية${\displaystyle \{\mathbf {v} _{i}\}_{i=p+1}^{M}}$الذي يمتد عبر فضاء الضوضاء الفرعي. من أجل قياس درجة تعامد${\displaystyle \mathbf {e} }$فيما يتعلق بجميع${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\in {\mathcal {U}}_{N}}$تُعرّف خوارزمية MUSIC معيارًا تربيعيًا

${\displaystyle d^{2}=\|\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} \|^{2}=\mathbf {e} ^{H}\mathbf {U} _{N}\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} =\sum _{i=p+1}^{M}|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}|^{2}}$

حيث المصفوفة${\displaystyle \mathbf {U} _{N}=[\mathbf {v} _{p+1},\ldots ,\mathbf {v} _{M}]}$هي مصفوفة المتجهات الذاتية التي تغطي فضاء الضوضاء الفرعي${\displaystyle {\mathcal {U}}_{N}}$. لو${\displaystyle \mathbf {e} \in {\mathcal {U}}_{S}}$، ثم${\displaystyle d^{2}=0}$كما هو مُستدل عليه من شرط التعامد. يؤدي أخذ مقلوب تعبير المعيار التربيعي إلى ظهور قمم حادة عند ترددات الإشارة. دالة تقدير التردد للموسيقى (أو الطيف الزائف) هي

${\displaystyle {\hat {P}}_{MU}(e^{j\omega })={\frac {1}{\mathbf {e} ^{H}\mathbf {U} _{N}\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} }}={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M}|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}|^{2}}},}$

أين${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$هي متجهات الضوضاء الذاتية و

${\displaystyle \mathbf {e} ={\begin{bmatrix}1&e^{j\omega }&e^{j2\omega }&\cdots &e^{j(M-1)\omega }\end{bmatrix}}^{T}}$

هو متجه التوجيه المرشح. مواقع${\displaystyle p}$تُعطي أكبر قمم دالة التقدير تقديرات التردد لـ${\displaystyle p}$مكونات الإشارة

${\displaystyle {\hat {\omega }}=\arg \max _{\omega }\;{\hat {P}}_{MU}(e^{j\omega }).}$

يُعدّ برنامج MUSIC تعميمًا لطريقة بيسارينكو ، ويختزل إلى طريقة بيسارينكو عندما${\displaystyle M=p+1}$في طريقة بيسارينكو، يُستخدم متجه ذاتي واحد فقط لتكوين مقام دالة تقدير التردد؛ ويُفسَّر هذا المتجه الذاتي على أنه مجموعة من معاملات الانحدار الذاتي ، التي يمكن إيجاد أصفارها تحليليًا أو باستخدام خوارزميات إيجاد جذور متعددة الحدود. في المقابل، تفترض طريقة MUSIC جمع عدة دوال من هذا النوع، لذا قد لا توجد أصفار. بدلًا من ذلك، توجد قيم دنيا محلية، يمكن تحديدها من خلال البحث الحسابي عن القمم في دالة التقدير.

تعتمد طريقة MUSIC وغيرها من طرق تحليل الفضاء الجزئي على الملاحظة الأساسية المتعلقة برتبة مصفوفة الارتباط الذاتي.${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$وهو ما يرتبط بعدد مصادر الإشارة${\displaystyle p}$على النحو التالي.

إذا كانت المصادر معقدة، فـ${\displaystyle M>p}$وبُعد فضاء الإشارة الفرعي${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$يكون${\displaystyle p}$إذا كانت المصادر حقيقية، فـ${\displaystyle M>2p}$وبُعد فضاء الإشارة الفرعي هو${\displaystyle 2p}$أي أن كل موجة جيبية حقيقية يتم توليدها بواسطة متجهين أساسيين.

هذه النتيجة الأساسية، على الرغم من أنها غالباً ما يتم تجاهلها في كتب التحليل الطيفي، هي أحد أسباب إمكانية توزيع إشارة الإدخال إلى${\displaystyle p}$المتجهات الذاتية للفضاء الفرعي للإشارة التي تغطي${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$(${\displaystyle 2p}$(للإشارات ذات القيم الحقيقية) ومتجهات الفضاء الفرعي للضوضاء التي تغطي${\displaystyle {\mathcal {U}}_{N}}$وهي تستند إلى نظرية تضمين الإشارة ^{[ 2 ] [ 7 ]} ويمكن تفسيرها أيضًا من خلال النظرية الطوبولوجية للمشعبات . ^{[ 4 ]}

يتفوق برنامج MUSIC على الطرق البسيطة مثل اختيار قمم أطياف DFT في وجود الضوضاء، عندما يكون عدد المكونات معروفًا مسبقًا، لأنه يستغل معرفة هذا العدد لتجاهل الضوضاء في تقريره النهائي.

على عكس تحويل فورييه المنفصل (DFT)، فإن هذه الطريقة قادرة على تقدير الترددات بدقة أعلى من عينة واحدة، لأن دالة التقدير الخاصة بها قابلة للتقييم لأي تردد، وليس فقط ترددات خانات تحويل فورييه المنفصل. وهذا شكل من أشكال الدقة الفائقة .

يتمثل عيبها الرئيسي في أنها تتطلب معرفة عدد المكونات مسبقًا، لذا لا يمكن استخدام الطريقة الأصلية في حالات أكثر عمومية. توجد طرق لتقدير عدد مكونات المصدر بالاعتماد فقط على الخصائص الإحصائية لمصفوفة الارتباط الذاتي. انظر، على سبيل المثال، ^{[ 8 ].} إضافةً إلى ذلك، يفترض برنامج MUSIC أن المصادر المتزامنة غير مترابطة، مما يحد من تطبيقاته العملية.

توفر الطرق شبه البارامترية التكرارية الحديثة دقة فائقة قوية على الرغم من المصادر المترابطة للغاية، على سبيل المثال، SAMV ^{[ 9 ] [ 10 ]}

من القيود الأخرى اشتراط وجود لقطات رصد متعددة. تُقدّر خوارزمية MUSIC القياسية مصفوفة الارتباط الذاتي Rx من L لقطة مستقلة عبر المتوسط ​​الزمني. بالنسبة لمصفوفة _مكونة من M عنصرًا، تكون رتبة مصفوفة التغاير العيني المُنشأة من لقطة واحدة ( L = 1) واحدًا، وهو ما لا يكفي لتقسيم فضاء الرصد إلى فضاءات فرعية للإشارة والضوضاء عند وجود أكثر من إشارة. يتطلب فصل الفضاءات الفرعية الموثوق عادةً L ≥ 2M لقطة . يُؤدي شرط اللقطات المتعددة هذا إلى تأخير ويحد من إمكانية تطبيق MUSIC في البيئات سريعة التغير حيث قد تختلف معلمات الإشارة بين اللقطات. طُوّرت عدة مناهج لتقليل هذا الشرط أو إزالته، بما في ذلك التنعيم المكاني للمصفوفات الخطية المنتظمة ، ^{[ 11 ]} وطرق اللقطة الواحدة القائمة على إنشاءات مصفوفات هانكل أو توبليتز التي تستغل البنية الثابتة للمصفوفة. ^{[ 12 ]}

تم مؤخراً تطبيق نسخة معدلة من خوارزمية MUSIC، تُعرف باسم خوارزمية MUSIC لعكس الزمن (TR-MUSIC)، على التصوير الحاسوبي لعكس الزمن. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

تم تطبيق خوارزمية MUSIC كمكتبة مفتوحة المصدر بلغة C (libmusic)، بالإضافة إلى تطبيق MATLAB يحمل الاسم نفسه . على الرغم من أنها طُوّرت في الأصل لاكتشاف وإزالة نغمات DTMF ، إلا أن كلتيهما قابلة للتطبيق على أي عدد من مكونات التردد. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

• تقدير الكثافة الطيفية
• مخطط الفترة
• فلتر مطابق
• طريقة ويلش
• طريقة بارتليت
• SAMV (خوارزمية)
• تحديد اتجاه الراديو
• خوارزمية كشف درجة الصوت
• المجهر عالي الدقة

• تقدير وتتبع التردد، كوين وهانان، مطبعة جامعة كامبريدج 2001.