المرافق المنقول

في الرياضيات ، يُعرف المنقول المرافق ، أو ما يُسمى أيضًا بالمنقول الهيرميتي ، لـ${\displaystyle m\times n}$مصفوفة معقدة${\displaystyle \mathbf {A} }$هو${\displaystyle n\times m}$المصفوفة التي تم الحصول عليها عن طريق النقل${\displaystyle \mathbf {A} }$وتطبيق المرافق المركب على كل مدخل (المرافق المركب لـ${\displaystyle a+ib}$كون${\displaystyle a-ib}$، للأعداد الحقيقية${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$توجد عدة رموز، مثل${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$أو${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$, ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbf {A} '}$[ ^{2 ]} أو (غالباً في الفيزياء ⁾${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$.

بالنسبة للمصفوفات الحقيقية ، فإن منقولة المرافق هي نفسها منقولة المصفوفة.${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$.

المنقول المرافق لـ${\displaystyle m\times n}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} }$يتم تعريفها رسميًا بواسطة

${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)_{ij}={\overline {\mathbf {A} _{ji}}}}$

المعادلة 1

حيث الرمز السفلي${\displaystyle ij}$يشير إلى${\displaystyle (i,j)}$المدخل رقم -th (عنصر المصفوفة)، لـ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$و${\displaystyle 1\leq j\leq m}$، ويشير الخط العلوي إلى المرافق المركب القياسي.

يمكن كتابة هذا التعريف أيضاً على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}}}$

أين${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$يشير إلى عملية النقل و${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}$يشير إلى المصفوفة ذات المدخلات المترافقة المعقدة.

من الأسماء الأخرى للمصفوفة المرافقة المنقولة: المصفوفة المنقولة الهيرميتية ، والمصفوفة المرافقة الهيرميتية ، والمصفوفة المرافقة ، أو المصفوفة المنقولة .${\displaystyle \mathbf {A} }$يمكن الإشارة إليها بأي من هذه الرموز:

• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$، شائعة الاستخدام في الجبر الخطي
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$، شائعة الاستخدام في الجبر الخطي
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$(يُنطق أحيانًا "خنجر " )، ويُستخدم عادةً في ميكانيكا الكم.
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{+}}$، على الرغم من أن هذا الرمز يُستخدم بشكل أكثر شيوعًا للدلالة على معكوس مور-بنروز الزائف

في بعض السياقات،${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$يشير إلى المصفوفة التي تحتوي فقط على عناصر مترافقة معقدة وبدون تبديل.

لنفترض أننا نريد حساب منقولة المصفوفة التالية${\displaystyle \mathbf {A} }$.

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}}$

نقوم أولاً بنقل المصفوفة:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}}$

ثم نقوم بتجاور كل عنصر من عناصر المصفوفة:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}}$

مصفوفة مربعة${\displaystyle \mathbf {A} }$مع إدخالات${\displaystyle a_{ij}}$يُطلق عليه اسم

• هيرميتي أو ذاتي الترافق إذا${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$؛ أي،${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$.
• انحرف إلى الهرمسية أو ضد الهرمسية إذا${\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$؛ أي،${\displaystyle a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$.
• طبيعي إذا${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$.
• أحادي إذا${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{-1}}$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}}$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ={\boldsymbol {I}}}$.

حتى لو${\displaystyle \mathbf {A} }$ليست مربعة، المصفوفتان${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} }$و${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$كلاهما مصفوفات هيرميتية، وفي الواقع مصفوفات شبه محددة موجبة .

المصفوفة المرافقة المنقولة "المرافقة"${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$لا ينبغي الخلط بينه وبين الصفة المرافقة .${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )}$، والذي يُطلق عليه أحيانًا اسم المرافق .

يمكن تبرير استخدام منقولة المرافق بملاحظة أن الأعداد المركبة يمكن تمثيلها بشكل مفيد بواسطة${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات الحقيقية، التي تخضع لعمليتي جمع وضرب المصفوفات: $${\displaystyle a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.}$$

أي، الإشارة إلى كل عدد مركب${\displaystyle z}$بواسطة الحقيقي${\displaystyle 2\times 2}$مصفوفة التحويل الخطي على مخطط أرغاند (يُنظر إليه على أنه فضاء متجهي حقيقي )${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$)، متأثرة بالمعقد${\displaystyle z}$-الضرب${\displaystyle \mathbb {C} }$.

وبالتالي، فإن${\displaystyle m\times n}$يمكن تمثيل مصفوفة الأعداد المركبة بشكل جيد بواسطة${\displaystyle 2m\times 2n}$مصفوفة من الأعداد الحقيقية. وبالتالي، فإن المرافق المنقول ينشأ بشكل طبيعي جدًا كنتيجة لتبديل هذه المصفوفة ببساطة - عند النظر إليها مرة أخرى على أنها${\displaystyle n\times m}$مصفوفة مكونة من أعداد مركبة.

لشرح الرموز المستخدمة هنا، نبدأ بتمثيل الأعداد المركبة${\displaystyle e^{i\theta }}$باعتبارها مصفوفة الدوران ، أي $${\displaystyle e^{i\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}=\cos \theta {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+\sin \theta {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$ منذ${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$، مما يقودنا إلى تمثيلات المصفوفات لأعداد الآحاد كما $${\displaystyle 1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

عدد مركب عام${\displaystyle z=x+iy}$ثم يتم تمثيلها على النحو التالي:${\displaystyle z={\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}.}$ عملية المرافق المركب (التي ترسل${\displaystyle a+bi}$ل${\displaystyle a-bi}$لريال مدريد${\displaystyle a,b}$يتم ترميز ) على أنه منقول المصفوفة. ^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle (\mathbf {A} +{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }}$لأي مصفوفتين${\displaystyle \mathbf {A} }$و${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$من نفس الأبعاد.
• ${\displaystyle (z\mathbf {A} )^{\mathrm {H} }={\overline {z}}\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$لأي عدد مركب${\displaystyle z}$وأي${\displaystyle m\times n}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} }$.
• ${\displaystyle (\mathbf {A} {\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$لأي${\displaystyle m\times n}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} }$وأي${\displaystyle n\times p}$مصفوفة${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$لاحظ أن ترتيب العوامل معكوس. ^{[ 1 ]}
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} }$لأي${\displaystyle m\times n}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} }$، أي أن التبديل الهرميتي هو انقلاب .
• لو${\displaystyle \mathbf {A} }$إذا كانت مصفوفة مربعة،${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\det \left(\mathbf {A} \right)}}}$أين${\displaystyle \operatorname {det} (A)}$يشير إلى محدد${\displaystyle \mathbf {A} }$.
• لو${\displaystyle \mathbf {A} }$إذا كانت مصفوفة مربعة،${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\operatorname {tr} (\mathbf {A} )}}}$أين${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$يشير إلى أثر${\displaystyle \mathbf {A} }$.
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$تكون قابلة للعكس إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$قابلة للعكس، وفي هذه الحالة${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\mathrm {H} }}$.
• القيم الذاتية لـ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$هي المرافقات المركبة للقيم الذاتية لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$.
• ${\displaystyle \left\langle \mathbf {A} x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}}$لأي${\displaystyle m\times n}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} }$أي متجه في${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$وأي متجه${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$. هنا،${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}}$يشير إلى الضرب الداخلي المركب القياسي على${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$وبالمثل بالنسبة لـ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}}$.

تُظهر الخاصية الأخيرة المذكورة أعلاه أنه إذا نظر المرء${\displaystyle \mathbf {A} }$كتحويل خطي من فضاء هيلبرت${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ل${\displaystyle \mathbb {C} ^{m},}$ثم المصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$يتوافق مع المؤثر المرافق لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$وبالتالي يمكن اعتبار مفهوم المؤثرات المرافقة بين فضاءات هيلبرت بمثابة تعميم للتحويل المترافق للمصفوفات بالنسبة إلى أساس متعامد.

هناك تعميم آخر متاح: لنفترض${\displaystyle A}$هي دالة خطية من فضاء متجهي معقد${\displaystyle V}$إلى آخر،${\displaystyle W}$ثم يتم تعريف كل من التحويل الخطي المترافق المعقد والتحويل الخطي المنقول ، وبالتالي يمكننا أخذ التحويل المترافق المنقول لـ${\displaystyle A}$أن يكون المرافق المعقد لمنقولة${\displaystyle A}$إنها تمثل الثنائي المترافق لـ${\displaystyle W}$إلى المترافق المزدوج لـ${\displaystyle V}$.

• حاصل الضرب النقطي المعقد
• المرافق الهرميتي
• المصفوفة المترافقة

• "المصفوفة المرافقة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]