SAMV (خوارزمية)

SAMV ( خوارزمية التباين الأدنى التقاربي المتباعد التكراري ^{[ 1 ] [ 2 ]} ) هي خوارزمية فائقة الدقة لا تعتمد على معلمات، تُستخدم لحل المسألة العكسية الخطية في تقدير الطيف ، وتقدير اتجاه الوصول ، وإعادة بناء الصور المقطعية ، ولها تطبيقات في معالجة الإشارات ، والتصوير الطبي ، والاستشعار عن بُعد . وقد صِيغ هذا الاسم في عام 2013 ^{[ 1 ]} للتأكيد على أساسها القائم على معيار التباين الأدنى التقاربي (AMV). وهي أداة فعّالة لاستعادة خصائص السعة والتردد لمصادر متعددة شديدة الارتباط في بيئات صعبة (مثل عدد محدود من اللقطات ونسبة إشارة إلى ضوضاء منخفضة ). وتشمل تطبيقاتها رادار الفتحة التركيبية [ ^{2 ] [ 3 ] ،} والتصوير المقطعي المحوسب ، والتصوير بالرنين المغناطيسي .

تُصاغ خوارزمية SAMV كمسألة عكسية في سياق تقدير اتجاه الوصول. لنفترض أن${\displaystyle M}$استقبال مصفوفة خطية منتظمة (ULA) مكونة من n عنصر${\displaystyle K}$إشارات النطاق الضيق المنبعثة من مصادر موجودة في مواقع${\displaystyle \mathbf {\theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}}$على التوالي. تقوم أجهزة الاستشعار في وحدة المصفوفة الخطية الموحدة بتجميع${\displaystyle N}$لقطات زمنية محددة.${\displaystyle M\times 1}$متجهات اللقطات متعددة الأبعاد هي

${\displaystyle \mathbf {y} (n)=\mathbf {A} \mathbf {x} (n)+\mathbf {e} (n),n=1,\ldots ,N}$

أين${\displaystyle \mathbf {A} =[\mathbf {a} (\theta _{1}),\ldots ,\mathbf {a} (\theta _{K})]}$هي مصفوفة التوجيه ،${\displaystyle {\bf {x}}(n)=[{\bf {x}}_{1}(n),\ldots ,{\bf {x}}_{K}(n)]^{T}}$يحتوي على أشكال الموجات المصدرية، و${\displaystyle {\bf {e}}(n)}$يمثل هذا الحدّ الضوضاء. افترض أن${\displaystyle \mathbf {E} \left({\bf {e}}(n){\bf {e}}^{H}({\bar {n}})\right)=\sigma {\bf {I}}_{M}\delta _{n,{\bar {n}}}}$، أين${\displaystyle \delta _{n,{\bar {n}}}}$دالة ديراك دلتا تساوي 1 فقط إذا${\displaystyle n={\bar {n}}}$وصفر فيما عدا ذلك. افترض أيضًا أن${\displaystyle {\bf {e}}(n)}$و${\displaystyle {\bf {x}}(n)}$مستقلون، وأن${\displaystyle \mathbf {E} \left({\bf {x}}(n){\bf {x}}^{H}({\bar {n}})\right)={\bf {P}}\delta _{n,{\bar {n}}}}$، أين${\displaystyle {\bf {P}}=\operatorname {Diag} ({p_{1},\ldots ,p_{K}})}$. يترك${\displaystyle {\bf {p}}}$ليكن متجهًا يحتوي على قدرات الإشارة غير المعروفة وتباين الضوضاء،${\displaystyle {\bf {p}}=[p_{1},\ldots ,p_{K},\sigma ]^{T}}$.

مصفوفة التغاير لـ${\displaystyle {\bf {y}}(n)}$التي تحتوي على جميع المعلومات حول${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$يكون

${\displaystyle {\bf {R}}={\bf {A}}{\bf {P}}{\bf {A}}^{H}+\sigma {\bf {I}}.}$

يمكن تقدير مصفوفة التغاير هذه تقليديًا بواسطة مصفوفة التغاير الخاصة بالعينة${\displaystyle {\bf {R}}_{N}={\bf {Y}}{\bf {Y}}^{H}/N}$أين${\displaystyle {\bf {Y}}=[{\bf {y}}(1),\ldots ,{\bf {y}}(N)]}$بعد تطبيق عامل التحويل إلى متجه على المصفوفة${\displaystyle {\bf {R}}}$، المتجه الناتج${\displaystyle {\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})}$يرتبط خطيًا بالمعامل المجهول${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$مثل

${\displaystyle {\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}}$،

أين ${\displaystyle {\bf {S}}=[{\bf {S}}_{1},{\bar {\bf {a}}}_{K+1}]}$،${\displaystyle {\bf {S}}_{1}=[{\bar {\bf {a}}}_{1},\ldots ,{\bar {\bf {a}}}_{K}]}$،${\displaystyle {\bar {\bf {a}}}_{k}={\bf {a}}_{k}^{*}\otimes {\bf {a}}_{k}}$،${\displaystyle k=1,\ldots ,K}$ودع${\displaystyle {\bar {\bf {a}}}_{K+1}=\operatorname {vec} ({\bf {I}})}$ أين${\displaystyle \otimes }$ هذا منتج من منتجات كرونيكر.

لتقدير المعلمة${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$من الإحصائية${\displaystyle {\bf {r}}_{N}}$نقوم بتطوير سلسلة من مناهج SAMV التكرارية بناءً على معيار التباين الأدنى التقاربي. من ^{[ 1 ]} مصفوفة التغاير${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatorname {Alg} }}$لمُقدِّر متسق عشوائي لـ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$استنادًا إلى إحصائية الرتبة الثانية${\displaystyle {\bf {r}}_{N}}$محدودة بالمصفوفة الحقيقية المتناظرة الموجبة المحددة

${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatorname {Alg} }\geq [{\bf {S}}_{d}^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}{\bf {S}}_{d}]^{-1},}$

أين${\displaystyle {\bf {S}}_{d}={\rm {d}}{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})/{\rm {d}}{\boldsymbol {p}}}$بالإضافة إلى ذلك، يتم الوصول إلى هذا الحد الأدنى بواسطة مصفوفة التغاير للتوزيع التقاربي لـ${\displaystyle {\hat {\bf {p}}}}$تم الحصول عليها عن طريق تقليل

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {p}}}=\arg \min _{\boldsymbol {p}}f({\boldsymbol {p}}),}$

أين ${\displaystyle f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].}$

لذلك، فإن تقدير${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$يمكن الحصول عليها بشكل متكرر.

ال${\displaystyle \{{\hat {p}}_{k}\}_{k=1}^{K}}$و${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ذلك يقلل${\displaystyle f({\boldsymbol {p}})}$يمكن حسابها على النحو التالي. افترض${\displaystyle {\hat {p}}_{k}^{(i)}}$و${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{(i)}}$تم تقريبها إلى حد ما في${\displaystyle i}$في التكرار، يمكن تحسينها في${\displaystyle (i+1)}$التكرار رقم 1 بواسطة

${\displaystyle {\hat {p}}_{k}^{(i+1)}={\frac {{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {R}}_{N}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}{({\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k})^{2}}}+{\hat {p}}_{k}^{(i)}-{\frac {1}{{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}},\quad k=1,\ldots ,K}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{(i+1)}=\left(\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}}{\bf {R}}_{N})+{\hat {\sigma }}^{(i)}\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}})-\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-1^{(i)}})\right)/{\operatorname {Tr} {({\bf {R}}^{-2^{(i)}})}},}$

حيث تقدير${\displaystyle {\bf {R}}}$في${\displaystyle i}$يتم تحديد التكرار رقم بواسطة${\displaystyle {\bf {R}}^{(i)}={\bf {A}}{\bf {P}}^{(i)}{\bf {A}}^{H}+{\hat {\sigma }}^{(i)}{\bf {I}}}$مع${\displaystyle {\bf {P}}^{(i)}=\operatorname {Diag} ({\hat {p}}_{1}^{(i)},\ldots ,{\hat {p}}_{K}^{(i)})}$.

تُحدَّد دقة معظم تقنيات تحديد موقع المصدر القائمة على الاستشعار المضغوط بدقة شبكة الاتجاه التي تغطي فضاء معلمات الموقع . ^{[ 4 ]} في نموذج استعادة الإشارة المتفرقة، تكون متفرقة إشارة الحقيقة${\displaystyle \mathbf {x} (n)}$يعتمد ذلك على المسافة بين العنصرين المتجاورين في القاموس المكتمل${\displaystyle {\bf {A}}}$لذا، تبرز صعوبة اختيار القاموس الأمثل ذي الاكتمال الزائد . يتناسب التعقيد الحسابي طرديًا مع دقة شبكة الاتجاهات، إذ لا يُعد استخدام شبكة عالية الكثافة عمليًا من الناحية الحسابية. وللتغلب على هذا القيد في الدقة الذي تفرضه الشبكة، يُقترح استخدام خوارزمية SAMV-SML ( خوارزمية التكرار التقاربي الأدنى للتباين - الاحتمالية القصوى العشوائية ) الخالية من الشبكة ^{[ 1 ]} ، والتي تُحسّن تقديرات الموقع.${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {\theta }}}=(\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})^{T}}$عن طريق تقليل دالة التكلفة الاحتمالية القصوى العشوائية بشكل متكرر بالنسبة لمعامل قياسي واحد${\displaystyle \theta _{k}}$.

تطبيق نموذجي لخوارزمية SAMV في مشكلة تصوير المدى-دوبلر للرادار / السونار أحادي المدخل/المخرج . تُعدّ هذه المشكلة تطبيقًا أحادي اللقطة، وتتضمن الخوارزميات المتوافقة مع تقدير اللقطة الواحدة، مثل المرشح المطابق (MF، المشابه للمخطط الدوري أو الإسقاط العكسي ، والذي غالبًا ما يُنفّذ بكفاءة باستخدام تحويل فورييه السريع (FFT))، وIAA، ^{[ 5 ]} ومتغير من خوارزمية SAMV (SAMV-0). شروط المحاكاة مطابقة لما يلي: ^{[ 5 ]} أ${\displaystyle 30}$تم استخدام رمز ضغط النبض متعدد الأطوار ذي العناصر P3 كنبضة مُرسلة، وتمت محاكاة تسعة أهداف متحركة. من بين جميع الأهداف المتحركة، ثلاثة منها من نوع${\displaystyle 5}$قوة ديسيبل، أما الستة المتبقية فهي من${\displaystyle 25}$قدرة ديسيبل. يُفترض أن الإشارات المستقبلة ملوثة بضوضاء غاوسية بيضاء منتظمة مقدارها${\displaystyle 0}$قوة ديسيبل.

تعاني نتيجة الكشف باستخدام المرشح المطابق من تشويش شديد وتسرب في كل من نطاق دوبلر ونطاق المدى، وبالتالي يستحيل التمييز بين${\displaystyle 5}$أهداف ديسيبل. على النقيض من ذلك، توفر خوارزمية IAA نتائج تصوير محسّنة مع تقديرات نطاق الهدف الملحوظة وترددات دوبلر. يوفر نهج SAMV-0 نتائج متفرقة للغاية ويزيل تأثيرات التشويه تمامًا، ولكنه يغفل النقاط الضعيفة.${\displaystyle 5}$أهداف ديسيبل.

يمكن تنزيل تطبيق MATLAB مفتوح المصدر لخوارزمية SAMV من هنا .

• معالجة المصفوفات – مجال بحثي في ​​معالجة الإشارات 
• المرشح المطابق – مرشحات تُستخدم في معالجة الإشارات وتكون مثالية من ناحية معينة. 
• مخطط الفترة – تقدير الكثافة الطيفية للإشارة 
• الإسقاط العكسي المُصفّى – التحويل التكاملي في الرياضيات (تحويل رادون) 
• تصنيف الإشارات المتعددة - خوارزمية تُستخدم لتقدير التردد وتحديد اتجاه الراديو (MUSIC)، وهي طريقة شائعة لتحسين الدقة الفائقة البارامترية 
• رادار دوبلر النبضي - نوع من أنظمة الرادار 
• التصوير فائق الدقة – أي تقنية لتحسين دقة نظام التصوير بما يتجاوز الحدود التقليدية 
• الاستشعار المضغوط – تقنية معالجة الإشارات 
• المسألة العكسية – عملية حساب العوامل السببية التي أنتجت مجموعة من الملاحظات 
• إعادة بناء التصوير المقطعي – تقدير خصائص الجسم من عدد محدود من الإسقاطات