مشعب

بعد الخط، تُعدّ الدائرة أبسط مثال على الفضاء الطوبولوجي. تتجاهل الطوبولوجيا الانحناء، لذا يُعامل جزء صغير من الدائرة معاملة جزء صغير من الخط. على سبيل المثال، بالنظر إلى الجزء العلوي من دائرة الوحدة ، x² ⁺ y² = ¹ ، حيث الإحداثي y موجب (كما هو موضح بالقوس الأصفر في الشكل 1 ). يمكن وصف أي نقطة على هذا القوس بشكل فريد من خلال إحداثيها x . بالتالي، فإن الإسقاط على الإحداثي الأول هو دالة متصلة وقابلة للعكس من القوس العلوي إلى الفترة المفتوحة (−1, 1).     $${\displaystyle \chi _{\mathrm {top} }(x,y)=x.\,}$$

تُسمى هذه الدوال، بالإضافة إلى المناطق المفتوحة التي تُمثلها، بالمخططات . وبالمثل، توجد مخططات للأجزاء السفلية (الحمراء)، واليسرى (الزرقاء)، واليمنى (الخضراء) من الدائرة. $${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{\mathrm {bottom} }(x,y)&=x\\\chi _{\mathrm {left} }(x,y)&=y\\\chi _{\mathrm {right} }(x,y)&=y.\end{aligned}}}$$

تشكل هذه الأجزاء مجتمعة الدائرة بأكملها، وتشكل المخططات الأربعة أطلسًا للدائرة.

الرسم البياني العلوي والرسم البياني الأيمن،${\displaystyle \chi _{\mathrm {top} }}$و${\displaystyle \chi _{\mathrm {right} }}$يتداخل كل منهما في نطاقه: يقع تقاطعهما في ربع الدائرة حيث كلاهما${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$إحداثيات - موجبة. كلاهما يرسم هذا الجزء في الفترة${\displaystyle (0,1)}$على الرغم من اختلافها. وبالتالي، فهي دالة${\displaystyle T:(0,1)\rightarrow (0,1)=\chi _{\mathrm {right} }\circ \chi _{\mathrm {top} }^{-1}}$يمكن إنشاء دالة تأخذ قيمًا من المجال المقابل لـ${\displaystyle \chi _{\mathrm {top} }}$العودة إلى الدائرة باستخدام المعكوس، متبوعًا بـ${\displaystyle \chi _{\mathrm {right} }}$بالعودة إلى الفترة. إذا كان a أي عدد في${\displaystyle (0,1)}$، ثم: $${\displaystyle {\begin{aligned}T(a)&=\chi _{\mathrm {right} }\left(\chi _{\mathrm {top} }^{-1}\left[a\right]\right)\\&=\chi _{\mathrm {right} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)\\&={\sqrt {1-a^{2}}}\end{aligned}}}$$

تُسمى هذه الدالة خريطة انتقالية .

لا تُشكّل الخرائط العلوية والسفلية واليسرى واليمنى الأطلس الوحيد الممكن. فليس من الضروري أن تكون الخرائط إسقاطات هندسية، وعددها مسألة اختيار. لننظر إلى الخرائط. $${\displaystyle \chi _{\mathrm {minus} }(x,y)=s={\frac {y}{1+x}}}$$ و $${\displaystyle \chi _{\mathrm {plus} }(x,y)=t={\frac {y}{1-x}}}$$

هنا ، يُمثل s ميل الخط المستقيم المار بالنقطة ذات الإحداثيات ( x , y ) ونقطة الارتكاز الثابتة (-1, 0)؛ وبالمثل، يُمثل t معكوس ميل الخط المستقيم المار بالنقطتين ذواتي الإحداثيات ( x , y ) و(+1, 0). ويُعطى التحويل العكسي من s إلى ( x , y ) بالعلاقة التالية:     $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}\\[5pt]y&={\frac {2s}{1+s^{2}}}\end{aligned}}}$$

يمكن التأكد من أن x² + y² = ¹ لجميع قيم s و t . يوفر هذان المخططان أطلسًا ثانيًا للدائرة، مع خريطة الانتقال ^.    $${\displaystyle t={\frac {1}{s}}}$$ (أي أن هناك علاقة بين s و t لكل نقطة يكون فيها كل من s و t غير صفريين).

يُغفل كل مخطط نقطة واحدة، إما (-1،  0) لـ s أو (+1،  0) لـ t ، لذا لا يكفي أي مخطط بمفرده لتغطية الدائرة كاملة. ويمكن إثبات أنه من غير الممكن تغطية الدائرة كاملة بمخطط واحد. فعلى سبيل المثال، على الرغم من إمكانية إنشاء دائرة من فاصل خطي واحد عن طريق تداخل طرفيه ولصقهما، إلا أن هذا لا يُنتج مخططًا؛ إذ سيتم رسم جزء من الدائرة على كلا الطرفين في آن واحد، مما يُفقدها خاصية الانعكاس.

الكرة مثال على السطح. كرة الوحدة في المعادلة الضمنية

x² ⁺ y² + ^z² – 1 = ⁰

يمكن تغطية ذلك بأطلس من ستة مخططات : يقسم المستوى z = 0 الكرة إلى نصفَي كرة ( z > 0 و z < 0 )، ويمكن تمثيل كليهما على القرص x² ⁺ y² ^< 1 عن طريق الإسقاط على المستوى xy للإحداثيات. يوفر هذا مخططين؛ أما المخططات الأربعة الأخرى فتُوفَّر من خلال بناء مماثل باستخدام مستويَي الإحداثيات الآخرين.

كما هو الحال مع الدائرة، يمكن تحديد مخطط واحد يغطي الكرة بأكملها باستثناء نقطة واحدة. وبالتالي، يكفي وجود مخططين، ولكن لا يمكن تغطية الكرة بمخطط واحد.

هذا المثال ذو أهمية تاريخية، لأنه حفز المصطلحات؛ فقد أصبح من الواضح أن سطح الأرض بأكمله لا يمكن أن يكون له تمثيل مستو يتكون من خريطة واحدة (تسمى أيضًا "مخططًا"، انظر المخطط البحري )، وبالتالي يحتاج المرء إلى أطالس لتغطية سطح الأرض بأكمله.

لا يلزم أن تكون المشعبات متصلة (كلها في "قطعة واحدة")؛ مثال على ذلك زوج من الدوائر المنفصلة.

لا يشترط أن تكون المتشعبات مغلقة ؛ لذا فإن قطعة مستقيمة بدون نقاط نهايتها تُعدّ متشعبًا. وهي غير قابلة للعد أبدًا، إلا إذا ^كان بُعد المتشعب يساوي صفرًا. وبجمع هذه الخصائص، نجد أمثلة أخرى للمتشعبات، مثل ^القطع المكافئ ، والقطع الزائد ، وموضع النقاط على منحنى تكعيبي y² = x³ - x (جزء مغلق وجزء مفتوح لانهائي).

مع ذلك، تُستثنى من ذلك أمثلة مثل دائرتين متلامستين تشتركان في نقطة لتشكيل شكل 8؛ إذ لا يمكن إنشاء مخطط مُرضٍ عند هذه النقطة المشتركة. حتى مع الانحناء المسموح به في علم الطوبولوجيا، تبدو المنطقة المحيطة بالنقطة المشتركة كعلامة "+"، وليست خطًا مستقيمًا. علامة "+" ليست متماثلة شكليًا مع قطعة مستقيمة، لأن حذف نقطة المركز من علامة "+" يُعطي فضاءً بأربعة مكونات (أي أجزاء)، بينما حذف نقطة من قطعة مستقيمة يُعطي فضاءً بجزأين على الأكثر؛ وتحافظ العمليات الطوبولوجية دائمًا على عدد الأجزاء.

خريطة الإحداثيات ، أو مخطط الإحداثيات ، أو ببساطة المخطط ، لمتشعب هي دالة قابلة للعكس بين مجموعة جزئية من المتشعب وفضاء بسيط، بحيث تحافظ كل من الخريطة وعكسها على البنية المطلوبة. ^{[ 2 ]} بالنسبة للمتشعب الطوبولوجي، يكون الفضاء البسيط مجموعة جزئية من فضاء إقليدي ما.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$وينصب الاهتمام على البنية الطوبولوجية. وتُحفظ هذه البنية بواسطة التشاكلات الموضعية ، وهي دوال قابلة للعكس ومتصلة في كلا الاتجاهين.

في حالة المتشعب القابل للتفاضل، تسمح لنا مجموعة من المخططات تُسمى أطلسًا ، والتي تكون دوال انتقالها (انظر أدناه) قابلة للتفاضل، بإجراء حساب التفاضل والتكامل عليه. على سبيل المثال، تُشكل الإحداثيات القطبية مخططًا للمستوى${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$باستثناء المحور السيني الموجب ونقطة الأصل. مثال آخر على الرسم البياني هو الخريطة χ _{المذكورة} أعلاه، وهي رسم بياني للدائرة.

يتطلب وصف معظم المتشعبات أكثر من مخطط واحد. تُسمى مجموعة المخططات التي تغطي متشعبًا ما بالأطلس . الأطلس ليس فريدًا، إذ يمكن تغطية جميع المتشعبات بطرق متعددة باستخدام تركيبات مختلفة من المخططات. يُقال إن أطلسين متكافئان إذا كان اتحادهما أطلسًا أيضًا.

يُطلق على الأطلس الذي يحتوي على جميع المخططات الممكنة المتوافقة مع أطلس مُحدد اسم الأطلس الأقصى (أي فئة التكافؤ التي تحتوي على ذلك الأطلس). وعلى عكس الأطلس العادي، فإن الأطلس الأقصى لأي فضاء متعدد الشعب فريد من نوعه. ورغم فائدته في التعريفات، إلا أنه كائن مجرد ولا يُستخدم بشكل مباشر (مثلاً في العمليات الحسابية).

يمكن تعريف المتشعب بأنه فضاء طوبولوجي مزود بأطلس (وفي بعض التعريفات، أطلس أقصى).

قد تتداخل الخرائط في الأطلس، وقد تُمثَّل نقطة واحدة من فضاء متعدد الأبعاد في عدة خرائط. إذا تداخلت خريطتان، فإن أجزاءً منهما تُمثِّل المنطقة نفسها من الفضاء المتعدد الأبعاد، تمامًا كما قد تحتوي خريطة أوروبا وخريطة روسيا على موسكو. عند وجود خريطتين متداخلتين، يمكن تعريف دالة انتقال تنتقل من كرة مفتوحة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إلى المجمع ثم العودة إلى كرة مفتوحة أخرى (أو ربما نفس الكرة) في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. تسمى الخريطة الناتجة، مثل الخريطة T في مثال الدائرة أعلاه، تغيير الإحداثيات ، أو تحويل الإحداثيات ، أو دالة الانتقال ، أو خريطة الانتقال .

يمكن أيضاً استخدام أطلس لتحديد بنية إضافية على المتشعب. تُحدد البنية أولاً على كل مخطط على حدة. إذا كانت جميع خرائط الانتقال متوافقة مع هذه البنية، تنتقل البنية إلى المتشعب.

هذه هي الطريقة القياسية لتعريف المشعبات التفاضلية. إذا حافظت دوال الانتقال لأطلس لمشعب طوبولوجي على البنية التفاضلية الطبيعية لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(أي، إذا كانت دوالًا تفاضلية )، فإن البنية التفاضلية تنتقل إلى المتشعب وتحوله إلى متشعب قابل للتفاضل. تُعرَّف المتشعبات المركبة بطريقة مماثلة باشتراط أن تكون دوال الانتقال في الأطلس دوالًا تامة الشكل . أما بالنسبة للمتشعبات التبسيطية ، فيجب أن تكون دوال الانتقال تبسيطية .

يعتمد شكل البنية على المتشعب على الأطلس المستخدم، ولكن في بعض الأحيان يمكن القول إن أطالس مختلفة تُنتج نفس البنية. وتُسمى هذه الأطالس بالأطالس المتوافقة .

يتم تحديد هذه المفاهيم بشكل دقيق بشكل عام من خلال استخدام المجموعات الزائفة .

يترك${\displaystyle M}$ليكن متعدد الشعب ذو حدود . باطن${\displaystyle M}$، المشار إليه${\displaystyle \operatorname {Int} M}$، هي مجموعة النقاط في${\displaystyle M}$والتي لها جوارات متماثلة شكليًا مع مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$حدود​​${\displaystyle M}$، المشار إليه${\displaystyle \partial M}$، هو مكمل لـ${\displaystyle \operatorname {Int} M}$في${\displaystyle M}$يمكن وصف نقاط الحدود بأنها تلك النقاط التي تقع على المستوى الفائق الحدودي.${\displaystyle (x_{n}=0)}$ل${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$تحت بعض مخططات الإحداثيات.

لو${\displaystyle M}$هو متعدد الشعب ذو حدود ذات بُعد${\displaystyle n}$، ثم${\displaystyle \operatorname {Int} M}$هو فضاء متعدد الشعب (بدون حدود) ذو بُعد${\displaystyle n}$و${\displaystyle \partial M}$هو فضاء متعدد الشعب (بدون حدود) ذو بُعد${\displaystyle n-1}$.

لعلّ أبسط طريقة لإنشاء متشعب هي تلك المستخدمة في المثال أعلاه للدائرة. أولاً، مجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$يتم تحديد المجموعة الفرعية، ثم يتم إنشاء أطلس يغطيها. وقد تطور مفهوم التشعب تاريخيًا من خلال عمليات بناء كهذه. إليك مثال آخر، بتطبيق هذه الطريقة على بناء كرة:

يمكن بناء متعدد الشعب عن طريق لصق أجزاء معًا بطريقة متسقة، مما يجعلها تشكل مخططات متداخلة. هذا البناء ممكن لأي متعدد شعب، ولذا يُستخدم غالبًا كطريقة لتوصيفه، خاصةً لمتعددات الشعب التفاضلية والريمانية. يركز هذا البناء على الأطلس، حيث توفر الرقع مخططات بشكل طبيعي، ولأنه لا يوجد فضاء خارجي، فإنه يؤدي إلى رؤية جوهرية لمتعدد الشعب.

يُنشأ الفضاء المتشعب بتحديد أطلس، يُعرَّف بدوره بواسطة خرائط الانتقال. بالتالي، تُمثل نقطة الفضاء المتشعب فئة تكافؤ من النقاط التي تُربط فيما بينها بواسطة خرائط الانتقال. تُربط المخططات فئات التكافؤ بنقاط رقعة واحدة. عادةً ما تُفرض شروط صارمة على اتساق خرائط الانتقال. بالنسبة للفضاءات المتشعبة الطوبولوجية، يُشترط أن تكون هذه الخرائط متماثلة طوبولوجيًا؛ وإذا كانت أيضًا متماثلة تفاضليًا، فإن الفضاء المتشعب الناتج يكون فضاءً متشعبًا قابلًا للتفاضل.

يمكن توضيح ذلك باستخدام خريطة الانتقال t = ¹ / _s من النصف الثاني لمثال الدائرة. ابدأ بنسختين من الخط. استخدم الإحداثي s للنسخة الأولى، و t للنسخة الثانية. الآن، اربط النسختين معًا بتحديد النقطة t على النسخة الثانية مع النقطة s = ¹ / _t على النسخة الأولى (لا يتم تحديد النقطتين t = 0 و s = 0 مع أي نقطة على النسختين الأولى والثانية، على التوالي). هذا يُعطي دائرة.

من الممكن تعريف نقاط مختلفة على سطح متعدد الشعب على أنها نقطة واحدة. يمكن تصور ذلك على أنه لصق هذه النقاط معًا في نقطة واحدة، لتشكيل فضاء خارج القسمة . مع ذلك، لا يوجد ما يدعو إلى توقع أن تكون فضاءات خارج القسمة هذه متعددة الشعب. من بين فضاءات خارج القسمة الممكنة التي ليست بالضرورة متعددة الشعب، تُعتبر المدارات ومجمعات CW ذات سلوك جيد نسبيًا . مثال على فضاء خارج قسمة متعدد الشعب وهو أيضًا متعدد الشعب هو الفضاء الإسقاطي الحقيقي ، الذي يُعرف بأنه فضاء خارج قسمة الكرة المناظرة.

إحدى طرق تحديد النقاط (ربطها معًا) هي من خلال تأثير يمين (أو يسار) لمجموعة تؤثر على الفضاء المتشعب. تُحدد نقطتان إذا نُقلت إحداهما إلى الأخرى بواسطة عنصر من عناصر المجموعة . إذا كان M هو الفضاء المتشعب و G هي المجموعة، فإن الفضاء الناتج يُرمز إليه بـ M / G (أو G \ M ).

تشمل المشعبات التي يمكن إنشاؤها عن طريق تحديد النقاط الأسطح الحلقية والفضاءات الإسقاطية الحقيقية (بدءًا من مستوى وكرة، على التوالي).

يمكن لصق سطحين متعددين لهما حدود على طول حدٍّ ما. إذا تم ذلك بالطريقة الصحيحة، فإن النتيجة تكون سطحًا متعددًا أيضًا. وبالمثل، يمكن لصق حدّي سطح متعدد واحد معًا.

يُعرَّف اللصق رسميًا بتقابل بين حدين . تُحدَّد نقطتان عند إسقاطهما على بعضهما. بالنسبة للمتشعب الطوبولوجي، يجب أن يكون هذا التقابل تماثلًا شكليًا، وإلا فلن يكون الناتج متشعبًا طوبولوجيًا. وبالمثل، بالنسبة للمتشعب التفاضلي، يجب أن يكون تماثلًا تباينيًا. أما بالنسبة للمتشعبات الأخرى، فيجب الحفاظ على البنى الأخرى.

يمكن إنشاء أسطوانة محدودة كمتشعب بالبدء بشريط [0,1]  ×  [0,1] ولصق زوج من الحواف المتقابلة على الحدود باستخدام تحويل تماثلي مناسب. ويمكن الحصول على مستوى إسقاطي بلصق كرة بها ثقب بشريط موبيوس على طول حدودهما الدائرية.

إن حاصل الضرب الديكارتي للمتشعبات هو أيضاً متشعب.

بُعدُ مُتشعب الضرب هو مجموع أبعاد عوامله. وطوبولوجيته هي طوبولوجيا الضرب ، والضرب الديكارتي للمخططات هو مخطط لمتشعب الضرب. بالتالي، يُمكن إنشاء أطلس لمتشعب الضرب باستخدام أطالس عوامله. إذا حددت هذه الأطالس بنية تفاضلية على العوامل، فإن الأطلس المقابل يُحدد بنية تفاضلية على متشعب الضرب. وينطبق الأمر نفسه على أي بنية أخرى مُعرّفة على العوامل. إذا كان لأحد العوامل حدود، فإن لمتشعب الضرب حدودًا أيضًا. يُمكن استخدام الضرب الديكارتي لإنشاء أسطوانات حلقية وأسطوانات محدودة ^، على ^سبيل المثال، كـ S1 × S1 و ^S1 × [0,1] على التوالي .    

قبل المفهوم الحديث للمتشعب، كانت هناك عدة نتائج مهمة.

تُعنى الهندسة غير الإقليدية بالفضاءات التي لا ينطبق عليها مسلمة التوازي لإقليدس. درس ساكيري هذه الهندسات لأول مرة عام ١٧٣٣، لكنه سعى فقط إلى دحضها. اكتشفها غاوس وبولياي ولوباتشيفسكي بشكل مستقل بعد مئة عام . كشف بحثهم عن نوعين من الفضاءات تختلف بنيتهما الهندسية عن بنية الفضاء الإقليدي الكلاسيكي؛ وقد أدى ذلك إلى ظهور الهندسة الزائدية والهندسة الإهليلجية . في نظرية المشعبات الحديثة، تتوافق هذه المفاهيم مع مشعبات ريمان ذات انحناء سالب وموجب ثابتين ، على التوالي.

ربما كان كارل فريدريش غاوس أول من اعتبر الفضاءات المجردة كائنات رياضية قائمة بذاتها. تُقدّم نظريته "إيغريغيوم" طريقةً لحساب انحناء سطحٍ ما دون النظر إلى الفضاء المحيط به. يُطلق على هذا السطح، في المصطلحات الحديثة، اسم "متعدد الشعب"؛ وقد أثبتت النظرية، في المصطلحات الحديثة، أن انحناء السطح خاصية جوهرية . ركّزت نظرية متعدد الشعب بشكلٍ حصري على هذه الخصائص الجوهرية (أو الثوابت)، متجاهلةً إلى حدٍ كبير الخصائص الخارجية للفضاء المحيط.

مثال آخر، ذو طابع طوبولوجي أكثر، لخاصية جوهرية للمتشعب هو خاصية أويلر . فقد أظهر ليونارد أويلر أنه بالنسبة لمتعدد السطوح المحدب في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ذي V رأس (أو زاوية)، و E ضلع، و F وجه،$${\displaystyle V-E+F=2.\ }$$تنطبق الصيغة نفسها إذا أسقطنا رؤوس وحواف متعدد السطوح على كرة، مما يُنشئ خريطة طوبولوجية ذات V رأسًا و E حافة و F وجهًا، وفي الواقع، ستظل صحيحة لأي خريطة كروية، حتى لو لم تنشأ من أي متعدد سطوح محدب. ^{[ 3 ]} وبالتالي، فإن 2 ثابت طوبولوجي للكرة، يُسمى خاصية أويلر . من ناحية أخرى، يمكن تقسيم الطارة بواسطة دائرتيها "المتوازيتين" و"الزوال"، مما يُنشئ خريطة ذات V  =  1 رأسًا و E  =  2 حافة و F  =  1 وجهًا. وبالتالي، فإن خاصية أويلر للطارة هي 1  −  2  +  1  =  0. تُعد خاصية أويلر للأسطح الأخرى ثابتًا طوبولوجيًا مفيدًا ، والذي يمكن توسيعه إلى أبعاد أعلى باستخدام أعداد بيتي . في منتصف القرن التاسع عشر، ربطت نظرية غاوس-بونيه خاصية أويلر بانحناء غاوس .

أدت دراسات نيلز هنريك أبيل وكارل غوستاف جاكوبي حول عكس التكاملات الإهليلجية في النصف الأول من القرن التاسع عشر إلى دراسة أنواع خاصة من المشعبات المركبة، والمعروفة الآن باسم المشعبات اليعقوبية . وقد ساهم برنارد ريمان بشكل أكبر في نظريتهما، موضحًا المعنى الهندسي لعملية الاستمرار التحليلي لدوال المتغيرات المركبة.

كان علم الميكانيكا التحليلية ، الذي طوره سيميون بواسون وجاكوبي وويليام روان هاميلتون ، مصدرًا مهمًا آخر للمتشعبات في الرياضيات في القرن التاسع عشر. يُعتقد أن الحالات الممكنة لنظام ميكانيكي هي نقاط في فضاء مجرد، يُعرف بفضاء الطور في صياغتي لاغرانج وهاميلتون للميكانيكا الكلاسيكية. هذا الفضاء، في الواقع، متشعب عالي الأبعاد، يتوافق بُعده مع درجات حرية النظام، وتُحدد نقاطه بإحداثياتها المعممة . بالنسبة لحركة غير مقيدة للجسيمات الحرة، يكون المتشعب مكافئًا للفضاء الإقليدي، لكن قوانين الحفظ المختلفة تُقيده بتكوينات أكثر تعقيدًا، مثل حلقات ليوفيل . تُقدم نظرية الجسم الصلب الدوار، التي طورها ليونارد أويلر وجوزيف لويس لاغرانج في القرن الثامن عشر، مثالًا آخر على أن المتشعب ليس تافهًا. وقد أكد هنري بوانكاريه ، أحد مؤسسي علم الطوبولوجيا، على الجوانب الهندسية والطوبولوجية للميكانيكا الكلاسيكية .

كان ريمان أول من قام بعملٍ مُوسّع لتعميم فكرة السطح إلى أبعادٍ أعلى. يُشتق اسم " المتشعب" من مصطلح ريمان الألماني الأصلي، Mannigfaltigkeit ، والذي ترجمه ويليام كينغدون كليفورد إلى "التشعب". في محاضرته الافتتاحية في غوتنغن، وصف ريمان مجموعة جميع القيم الممكنة لمتغيرٍ ما، مع قيودٍ مُحددة، بأنها Mannigfaltigkeit ، لأن المتغير يمكن أن يأخذ قيمًا عديدة . وقد ميّز بين المتشعب المستمر والمتشعب المتقطع ، اعتمادًا على ما إذا كانت القيمة تتغير باستمرار أم لا. كمثالٍ على التشعب المستمر، لم يقتصر ريمان على الألوان ومواقع الأجسام في الفضاء فحسب، بل شمل أيضًا الأشكال المُمكنة لشكلٍ مكاني . باستخدام الاستقراء ، أنشأ ريمان مفهومًا جديدًا يُسمى "التشعب الممتد n مرة " ( أو التشعب ذو البعد n ) على شكل مجموعة متصلة من التشعبات ذات البعد (n-1). وقد تطور مفهوم ريمان البديهي للتشعب الممتد إلى ما يُعرف اليوم بالتشعب. سُميت التشعبات الريمانية وأسطح ريمان نسبةً إلى ريمان.

في ورقته البحثية المؤثرة للغاية، "التحليل المكاني" ^{[ 4 ]،} قدم هنري بوانكاريه تعريفًا للمتشعب التفاضلي ( variété ) والذي كان بمثابة مقدمة للمفهوم الحديث للمتشعب. ^{[ 5 ]}

في القسم الأول من كتاب "التحليل المكاني"، يُعرّف بوانكاريه المتشعب بأنه مجموعة المستويات لدالة قابلة للتفاضل باستمرار بين الفضاءات الإقليدية، والتي تحقق فرضية عدم الانحلال لنظرية الدالة الضمنية . في القسم الثالث، يبدأ بوانكاريه بالإشارة إلى أن الرسم البياني لدالة قابلة للتفاضل باستمرار هو متشعب بالمعنى الأخير. ثم يقترح تعريفًا جديدًا وأكثر عمومية للمتشعب، قائمًا على "سلسلة من المتشعبات " .

يُعد مفهوم بوانكاريه عن سلسلة من المتشعبات بمثابة مقدمة للمفهوم الحديث للأطلس. وعلى وجه الخصوص، فقد تناول متشعبين مُعرّفين على التوالي كرسوم بيانية للدوال.${\displaystyle \theta (y)}$و${\displaystyle \theta '\left(y'\right)}$إذا تداخلت هذه المتشعبات ( a une partie commune )، فإنه يشترط أن تكون الإحداثيات${\displaystyle y}$تعتمد بشكل تفاضلي مستمر على الإحداثيات${\displaystyle y'}$والعكس صحيح ( ...ليس${\displaystyle y}$هناك وظائف تحليلية${\displaystyle y'}$وانعكاس). وبهذه الطريقة يقدم مقدمة لمفهوم المخطط وخريطة الانتقال .

على سبيل المثال، يمكن اعتبار دائرة الوحدة في المستوى بمثابة رسم بياني للدالة${\textstyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$وإلا فإن الوظيفة${\textstyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}$في جوار كل نقطة باستثناء النقطتين (1، 0) و (-1، 0)؛ وفي جوار هاتين النقطتين، يمكن اعتبارها الرسم البياني لـ، على التوالي،${\textstyle x={\sqrt {1-y^{2}}}}$و${\textstyle x=-{\sqrt {1-y^{2}}}}$يمكن تمثيل الدائرة برسم بياني في جوار كل نقطة لأن الطرف الأيسر من معادلتها التعريفية${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$لها تدرج غير صفري عند كل نقطة من الدائرة. وبحسب نظرية الدالة الضمنية ، فإن كل فضاء فرعي من الفضاء الإقليدي هو تمثيل بياني محلي لدالة.

قدّم هيرمان فايل تعريفًا جوهريًا للمتشعبات التفاضلية في محاضراته حول أسطح ريمان في الفترة 1911-1912، ممهدًا الطريق للمفهوم العام للفضاء الطوبولوجي الذي ظهر لاحقًا. خلال ثلاثينيات القرن العشرين، أوضح هاسلر ويتني وآخرون الجوانب الأساسية لهذا الموضوع، وبذلك أصبحت البديهيات التي تعود إلى النصف الثاني من القرن التاسع عشر دقيقة، وتطورت من خلال الهندسة التفاضلية ونظرية زمر لي . والجدير بالذكر أن نظرية تضمين ويتني ^{[ 6 ]} أظهرت أن التعريف الجوهري بدلالة المخططات كان مكافئًا لتعريف بوانكاريه بدلالة المجموعات الجزئية من الفضاء الإقليدي.

درس ريمان المشعبات ثنائية الأبعاد، والمعروفة أيضًا بالأسطح ثنائية الأبعاد المضمنة في فضاءنا ثلاثي الأبعاد، تحت مسمى أسطح ريمان ، وصُنفت بدقة في مطلع القرن العشرين على يد بول هيغارد وماكس دين . وقد كان بوانكاريه رائدًا في دراسة المشعبات ثلاثية الأبعاد، وطرح سؤالًا جوهريًا عنها، يُعرف اليوم باسم حدسية بوانكاريه . وبعد قرابة قرن من الزمان، أثبت غريغوري بيرلمان حدسية بوانكاريه (انظر حل حدسية بوانكاريه ). وقدّم برنامج ويليام ثورستون للهندسة ، الذي صاغه في سبعينيات القرن العشرين، امتدادًا واسع النطاق لحدسية بوانكاريه ليشمل المشعبات ثلاثية الأبعاد بشكل عام. برزت المتشعبات رباعية الأبعاد في طليعة البحث الرياضي في ثمانينيات القرن العشرين على يد مايكل فريدمان ، وفي سياق مختلف، على يد سيمون دونالدسون ، الذي استلهم من التقدم الذي أُحرز آنذاك في الفيزياء النظرية ( نظرية يانغ-ميلز )، حيث تُستخدم هذه المتشعبات كبديل عن الزمكان "المسطح" التقليدي . وقد أثبت أندريه ماركوف الابن في عام 1960 عدم وجود خوارزمية لتصنيف المتشعبات رباعية الأبعاد. وقد سبق أن أنجز رينيه ثوم ، وجون ميلنور ، وستيفن سميل ، وسيرجي نوفيكوف أعمالًا مهمة حول المتشعبات ذات الأبعاد الأعلى، بما في ذلك نظائر حدسية بوانكاريه . وتُعد نظرية مورس تقنية واسعة الانتشار ومرنة للغاية، تُشكل أساسًا للعديد من الدراسات حول طوبولوجيا المتشعبات .

أبسط أنواع المتشعبات التي يمكن تعريفها هي المتشعب الطوبولوجي ، والذي يبدو محليًا مثل بعض الفضاءات الإقليدية "العادية".${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بحسب التعريف، جميع المتشعبات هي متشعبات طوبولوجية، لذا يُستخدم مصطلح "متشعب طوبولوجي" عادةً للتأكيد على أن المتشعب يفتقر إلى بنية إضافية، أو أنه يتم النظر فقط في خصائصه الطوبولوجية. رسميًا، المتشعب الطوبولوجي هو فضاء طوبولوجي متماثل موضعيًا مع فضاء إقليدي. هذا يعني أن لكل نقطة جوارًا يوجد له تماثل ( دالة تقابلية متصلة معكوسها متصل أيضًا) يُسقط ذلك الجوار على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هذه التشاكلات المتماثلة هي مخططات المتشعب.

تبدو المتشعبات الطوبولوجية محليًا شبيهة بالفضاء الإقليدي، ولكن بشكل محدود: فبينما يُمكن لكل مخطط فردي تمييز الدوال القابلة للتفاضل أو قياس المسافات والزوايا، فإن مجرد كون الفضاء متشعبًا طوبولوجيًا لا يمنحه أي اختيار محدد ومتسق لهذه المفاهيم. ^{[ 7 ]} لمناقشة هذه الخصائص للمتشعب، يلزم تحديد بنية إضافية والنظر في المتشعبات القابلة للتفاضل والمتشعبات الريمانية التي سيتم تناولها لاحقًا. على وجه الخصوص، يمكن أن يحتوي المتشعب الطوبولوجي الأساسي نفسه على عدة فئات غير متوافقة من الدوال القابلة للتفاضل، وعدد لا نهائي من الطرق لتحديد المسافات والزوايا.

عادةً ما تُوضع افتراضات تقنية إضافية على الفضاء الطوبولوجي لاستبعاد الحالات الشاذة. ومن المعتاد اشتراط أن يكون الفضاء هاوسدورف وقابلاً للعد من الدرجة الثانية .

بُعد المتشعب عند نقطة معينة هو بُعد الفضاء الإقليدي الذي تُسقط عليه المخططات عند تلك النقطة (الرقم n في التعريف). جميع النقاط في المتشعب المتصل لها نفس البُعد. يشترط بعض الباحثين أن تُسقط جميع مخططات المتشعب الطوبولوجي على فضاءات إقليدية لها نفس البُعد. في هذه الحالة، يمتلك كل متشعب طوبولوجي ثابتًا طوبولوجيًا، وهو بُعده.

في معظم التطبيقات، يُستخدم نوع خاص من المتشعبات الطوبولوجية، وهو المتشعب التفاضلي . إذا كانت المخططات المحلية على متشعب ما متوافقة بمعنى معين، يُمكن تعريف الاتجاهات والفضاءات المماسية والدوال التفاضلية على ذلك المتشعب. على وجه الخصوص، يُمكن استخدام حساب التفاضل والتكامل على المتشعب التفاضلي. لكل نقطة في متشعب تفاضلي ذي بُعد n فضاء مماس . هذا الفضاء هو فضاء إقليدي ذو بُعد n يتكون من متجهات المماس للمنحنيات المارة بتلك النقطة.

هناك فئتان مهمتان من المتشعبات القابلة للتفاضل: المتشعبات الملساء والمتشعبات التحليلية . في المتشعبات الملساء، تكون دوال الانتقال ملساء، أي قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية. أما المتشعبات التحليلية فهي متشعبات ملساء مع شرط إضافي هو أن دوال الانتقال تحليلية (يمكن التعبير عنها كمتسلسلات قوى ). يمكن إعطاء الكرة بنية تحليلية، كما هو الحال مع معظم المنحنيات والأسطح المألوفة.

تعمم المجموعة القابلة للتصحيح فكرة المنحنى الأملس أو القابل للتصحيح إلى أبعاد أعلى؛ ومع ذلك، فإن المجموعات القابلة للتصحيح ليست في العموم متعددة الشعب.

لقياس المسافات والزوايا على المتشعبات، يجب أن يكون المتشعب ريمانيًا. المتشعب الريماني هو متشعب قابل للتفاضل، حيث يكون كل فضاء مماس فيه مزودًا بضرب داخلي.${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$بطريقة تتغير بسلاسة من نقطة إلى أخرى. بالنظر إلى متجهين مماسين${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$، الناتج الداخلي${\displaystyle \langle u,v\rangle }$يُعطي عددًا حقيقيًا. يُعدّ الضرب القياسي (أو الضرب النقطي) مثالًا نموذجيًا للضرب الداخلي. يسمح هذا بتعريف مفاهيم مختلفة مثل الطول والزوايا والمساحات ( أو الحجوم ) والانحناء والتباعد لحقول المتجهات .

يمكن إعطاء جميع المشعبات التفاضلية (ذات البعد الثابت) بنية مشعب ريماني. يحمل الفضاء الإقليدي نفسه بنية طبيعية لمشعب ريماني (حيث تُعرَّف الفضاءات المماسية بشكل طبيعي بالفضاء الإقليدي نفسه، وتحمل الضرب القياسي القياسي للفضاء). تُحدَّد العديد من المنحنيات والأسطح المألوفة، بما في ذلك على سبيل المثال جميع الكرات ذات البعد n ، كمساحات جزئية من الفضاء الإقليدي، وترث مقياسًا من تضمينها فيه.

تسمح متشعبات فينسلر بتعريف المسافة ولكنها لا تتطلب مفهوم الزاوية؛ إنها متشعبات تحليلية يتم فيها تجهيز كل فضاء مماس بمعيار .${\displaystyle \|\cdot \|}$بطريقة تتغير بسلاسة من نقطة إلى أخرى. يمكن توسيع هذا المعيار ليشمل مقياسًا يحدد طول المنحنى؛ لكن لا يمكن استخدامه عمومًا لتعريف الضرب الداخلي. أي مشعب ريماني هو مشعب فينسلر.

زمر لي ، التي سميت على اسم سوفوس لي ، هي مشعبات قابلة للتفاضل تحمل أيضًا بنية مجموعة بحيث يتم تعريف عمليات المجموعة بواسطة خرائط سلسة.

يُعد الفضاء المتجهي الإقليدي الذي تكون فيه عملية جمع المتجهات مثالاً على زمرة لي غير متراصة. أما الدائرة، فهي مثال بسيط على زمرة لي متراصة ، حيث تكون عملية الزمرة فيها هي الدوران. تُعرف هذه الزمرة باسم${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ويمكن أيضًا وصفها بأنها مجموعة الأعداد المركبة ذات المعامل 1 مع الضرب كعملية المجموعة.

ومن الأمثلة الأخرى على زمر لي الزمر الخاصة من المصفوفات ، والتي هي جميعها زمر فرعية من الزمرة الخطية العامة ، وهي زمرة${\displaystyle n\times n}$المصفوفات ذات المحدد غير الصفري. إذا كانت عناصر المصفوفة أعدادًا حقيقية ، فسيكون هذا${\displaystyle n^{2}}$مشعب منفصل ذو أبعاد n. المجموعات المتعامدة ، ومجموعات التناظر للكرة والكرات الفائقة ، هي${\displaystyle n(n-1)/2}$المتشعبات متعددة الأبعاد، حيث${\displaystyle n-1}$يمثل بُعد الكرة. ويمكن إيجاد أمثلة أخرى في جدول زمر لي .

• المتشعب المعقد هو متشعب تأخذ مخططاته قيمًا في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$وتكون دوال الانتقال الخاصة بها تامة الشكل على مناطق التداخل. تُعد هذه المتشعبات العناصر الأساسية للدراسة في الهندسة العقدية . يُطلق على المتشعب أحادي البعد العقدي اسم سطح ريمان .${\displaystyle n}$للمتشعب المركب ذي الأبعاد n بُعد${\displaystyle 2n}$كمتشعب تفاضلي حقيقي.
• مشعب CR هو مشعب مصمم على حدود المجالات في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.
• "المشعبات اللانهائية الأبعاد": للسماح بالأبعاد اللانهائية، يمكن النظر في مشعبات باناخ التي تتماثل محليًا مع فضاءات باناخ . وبالمثل، فإن مشعبات فريشيه تتماثل محليًا مع فضاءات فريشيه .
• المتشعب التبسيطي هو نوع من المتشعبات يُستخدم لتمثيل فضاءات الطور في الميكانيكا الكلاسيكية . وهو مزود بصيغة ثنائية تُعرّف قوس بواسون . ومن أنواع المتشعبات ذات الصلة الوثيقة المتشعب التماسي .
• المتشعب التوافقي هو نوع من المتشعبات التي تمثل تجزئة للمتشعب. وعادةً ما يعني متشعبًا خطيًا مجزأً يتكون من مجمعات تبسيطية .
• المتشعب الرقمي هو نوع خاص من المتشعب التوافقي الذي يُعرَّف في الفضاء الرقمي. انظر: الطوبولوجيا الرقمية .

في الأبعاد الثنائية وما فوقها، يُعدّ أحد المعايير الثابتة البسيطة ولكن المهمة هو ما إذا كان المتشعب يقبل اتجاهًا ذا معنى. لنفترض متشعبًا طوبولوجيًا بمخططات تُسقط على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. بالنظر إلى أساس مرتب لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$عندما يتداخل مخطط ما، يكتسب جزء من الفضاء المتشعب إحساسًا بالترتيب، والذي يمكن اعتباره في ثلاثة أبعاد إما يمينيًا أو يساريًا. لا يُشترط أن تتفق المخططات المتداخلة في إحساسها بالترتيب، مما يمنح الفضاءات المتشعبة حرية كبيرة. بالنسبة لبعض الفضاءات المتشعبة، كالكرة، يمكن اختيار المخططات بحيث تتفق المناطق المتداخلة على "اتجاهها"؛ وهذه فضاءات متشعبة قابلة للتوجيه . أما بالنسبة لفضاءات أخرى، فهذا مستحيل. من السهل إغفال الاحتمال الأخير، لأن أي سطح مغلق مُضمّن (بدون تقاطع ذاتي) في فضاء ثلاثي الأبعاد يكون قابلاً للتوجيه.

تتضمن بعض الأمثلة التوضيحية للمشعبات غير القابلة للتوجيه ما يلي: (1) شريط موبيوس ، وهو مشعب ذو حدود، (2) زجاجة كلاين ، التي يجب أن تتقاطع مع نفسها في تمثيلها ثلاثي الأبعاد، و(3) المستوى الإسقاطي الحقيقي ، الذي ينشأ بشكل طبيعي في الهندسة.

شريط موبيوس

ابدأ بأسطوانة دائرية لانهائية منتصبة عموديًا، وهي سطح متعدد الشعب بلا حدود. قسّمها من الأعلى والأسفل لتكوين حدين دائريين، والشريط الأسطواني بينهما. هذا سطح متعدد الشعب قابل للتوجيه وله حدود، وسيُجرى عليه "عملية جراحية". افتح الشريط بحيث يمكن فرده ليصبح مستطيلًا، مع إبقاء طرفيه المقطوعين ممسكين. لفّ أحد طرفيه 180 درجة، بحيث يصبح سطحه الداخلي مواجهًا للخارج، ثم ألصق الطرفين معًا بسلاسة. ينتج عن ذلك شريط ذو نصف لفة دائمة: شريط موبيوس. لم يعد حده عبارة عن دائرتين، بل أصبح (طوبولوجيًا) دائرة واحدة؛ وما كان يُعرف سابقًا بـ"داخله" قد اندمج مع "خارجه"، ليصبح له جانب واحد فقط . على غرار زجاجة كلاين الموضحة أدناه، يحتاج هذا السطح ثنائي الأبعاد إلى أن يتقاطع مع نفسه في بُعدين، ولكن يمكن إنشاؤه بسهولة في ثلاثة أبعاد أو أكثر.

المستوى الإسقاطي الحقيقي

ابدأ بكرة مركزها نقطة الأصل. كل خط يمر بنقطة الأصل يخترق الكرة في نقطتين متقابلتين تُسميان الأقطاب المتقابلة . على الرغم من استحالة تحقيق ذلك فيزيائيًا، إلا أنه من الممكن (باستخدام فضاء خارج القسمة ) دمج كل زوج من الأقطاب المتقابلة رياضيًا في نقطة واحدة. السطح المغلق الناتج هو المستوى الإسقاطي الحقيقي، وهو سطح آخر غير قابل للتوجيه. له عدد من الأوصاف والإنشاءات المكافئة، ولكن هذا المسار يفسر اسمه: جميع النقاط على أي خط معين يمر بنقطة الأصل تُسقط على نفس "النقطة" على هذا "المستوى".

بالنسبة للمتشعبات ثنائية الأبعاد، تُعدّ خاصية الجنس ، أو "عدد المقابض" الموجودة على السطح، خاصيةً ثابتةً أساسية. فالطارة هي كرة ذات مقبض واحد، والطارة المزدوجة هي كرة ذات مقبضين، وهكذا. في الواقع، من الممكن توصيف المتشعبات المدمجة ثنائية الأبعاد توصيفًا كاملًا بالاعتماد على الجنس وقابلية التوجيه. أما في المتشعبات ذات الأبعاد الأعلى، فيُستبدل الجنس بمفهوم خاصية أويلر ، وبشكل أعم، بأعداد بيتي والتماثل والتماثل المشترك .

من الأمثلة الأساسية على الدوال بين المتشعبات الدوال ذات القيم العددية على المتشعب. $${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$$ أو $${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {C} ,}$$

تُسمى أحيانًا بالدوال المنتظمة أو الدوال الوظيفية ، قياسًا على الهندسة الجبرية أو الجبر الخطي. وهي ذات أهمية في حد ذاتها، ولدراسة الفضاء المتشعب الأساسي.

في الطوبولوجيا الهندسية، تُدرس دوال مورس بشكل شائع ، والتي تُنتج تحليلات الجسم المقبض ، بينما في التحليل الرياضي ، يُدرس حل المعادلات التفاضلية الجزئية ، ومن الأمثلة المهمة على ذلك التحليل التوافقي ، حيث تُدرس الدوال التوافقية : نواة مؤثر لابلاس . ويؤدي هذا إلى دوال مثل التوافقيات الكروية ، وإلى طرق نواة الحرارة لدراسة المتشعبات، مثل سماع شكل الطبل وبعض براهين نظرية مؤشر أتياس-سينجر .

• الفضاء الرياضي ثلاثي الأبعاد 
• الفضاء الرياضي ذو الأبعاد الرباعية 
• متعدد الأبعاد 5- - متعدد الأبعاد ذو خمسة أبعاد 
• مشعبات من عمليات التحويل