توزيع مارشينكو – باستور

في النظرية الرياضية للمصفوفات العشوائية ، يصف توزيع مارشينكو-باستور ، أو قانون مارشينكو-باستور ، السلوك التقاربي للقيم المفردة للمصفوفات العشوائية المستطيلة الكبيرة . سُميت هذه النظرية نسبةً إلى عالمي الرياضيات السوفيتيين الأوكرانيين فولوديمير مارشينكو وليونيد باستور اللذين أثبتا هذه النتيجة عام 1967.

لو${\displaystyle X}$يشير إلى${\displaystyle m\times n}$مصفوفة عشوائية عناصرها عبارة عن متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع بمتوسط ​​0 وتباين ${\displaystyle \sigma ^{2}<\infty }$، يترك

${\displaystyle Y_{n}={\frac {1}{n}}XX^{T}}$

ودع${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\dots ,\,\lambda _{m}}$لتكن القيم الذاتية لـ${\displaystyle Y_{n}}$(يُنظر إليها كمتغيرات عشوائية ). وأخيرًا، ضع في اعتبارك المقياس العشوائي

${\displaystyle \mu _{m}(A)={\frac {1}{m}}\#\left\{\lambda _{j}\in A\right\},\quad A\subset \mathbb {R} ,}$

وهو التوزيع التجريبي، الذي يحسب عدد القيم الذاتية في المجموعة الفرعية${\displaystyle A}$مشمول في${\displaystyle \mathbb {R} }$.

نظرية . افترض أن${\displaystyle m,\,n\,\to \,\infty }$بحيث تكون النسبة${\displaystyle m/n\,\to \,\lambda \in (0,+\infty )}$. ثم${\displaystyle \mu _{m}\,\to \,\mu }$(في الطوبولوجيا الضعيفة* في التوزيع )، حيث

${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}(1-{\frac {1}{\lambda }})\mathbf {1} _{0\in A}+\nu (A),&{\text{if }}\lambda >1\\\nu (A),&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1,\end{cases}}}$

و

${\displaystyle d\nu (x)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}{\frac {\sqrt {(\lambda _{+}-x)(x-\lambda _{-})}}{\lambda x}}\,\mathbf {1} _{x\in [\lambda _{-},\lambda _{+}]}\,dx}$

مع

${\displaystyle \lambda _{\pm }=\sigma ^{2}(1\pm {\sqrt {\lambda }})^{2}.}$

ينشأ قانون مارشينكو-باستور أيضًا كقانون بواسون الحر في نظرية الاحتمالات الحرة، وله معدل${\displaystyle 1/\lambda }$وحجم القفز${\displaystyle \lambda \sigma ^{2}}$.

أبعاد مصفوفة عشوائية${\displaystyle \mathbf {X} }$كلما كبرت، تقاربت القيم المفردة القصوى/الدنيا إلى $\displaystyle \|\mathbf {X} \|_{F}\left({\frac {1}{\sqrt {\min(m,n)}}}\pm {\frac {1}{\sqrt {\max(m,n)}}}\right)}$ .

تُعدّ هذه تقريبات مفيدة لحدود القيم المفردة للمصفوفات الكبيرة. أما بالنسبة للمصفوفات ذات الحجم المحدود، كما هو شائع، فهي أقرب إلى "إرشادات" منها إلى قواعد فعلية.

لكل${\displaystyle k\geq 1}$، إنه${\displaystyle k}$اللحظة رقم - هي ^{[ 1 ]}

$$\displaystyle \sum _{r=0}^{k-1}{\frac {\sigma ^{2k}}{r+1}}{\binom {k}{r}}{\binom {k-1}{r}}\lambda ^{r}={\frac {\sigma ^{2k}}{k}}\sum _{r=0}^{k-1}{\binom {k}{r}}{\binom {k}{r+1}}\lambda ^{r}}$$

يُعطى تحويل ستيلتجس بالصيغة التالية

${\displaystyle s(z)={\frac {\sigma ^{2}(1-\lambda ) -z-{\sqrt {(z-\sigma ^{2}(\lambda +1))^{2}-4\lambda \sigma ^{4}}}}{2\lambda z\sigma ^{2}}}}$

بالنسبة للأعداد المركبة z ذات الجزء التخيلي الموجب، حيث يُفترض أن الجذر التربيعي المركب له أيضًا جزء تخيلي موجب. ^{[ 2 ]} وهو يحقق المعادلة التربيعية

${\displaystyle \lambda \sigma ^{2}zs(z)^{2}+\left(z-\sigma ^{2}(1-\lambda )\right)s(z)+1=0.}$

يمكن إعادة صياغة تحويل ستيلتجس في شكل تحويل R، والذي يتم تقديمه بواسطة ^{[ 3 ].}

${\displaystyle R(z)={\frac {\sigma ^{2}}{1-\sigma ^{2}\lambda z}}}$

يتم إعطاء التحويل S بواسطة ^{[ 3 ]}

${\displaystyle S(z)={\frac {1}{\sigma ^{2}(1+\lambda z)}}.}$

في حالة${\displaystyle \sigma =1}$، ال${\displaystyle \eta }$يُعطى التحويل ^{[ 3 ] بواسطة}${\displaystyle \mathbb {E} {\frac {1}{1+\gamma X}}}$أين${\displaystyle X}$يفي بقانون مارشينكو-باستور.

${\displaystyle \eta (\gamma )=1-{\frac {{\mathcal {F}}(\gamma ,\lambda )}{4\gamma \lambda }}}$

أين${\displaystyle {\mathcal {F}}(x,z)=\left({\sqrt {x(1+{\sqrt {z}})^{2}+1}}-{\sqrt {x(1-{\sqrt {z}})^{2}+1}}\right)^{2}}$

لتحليل دقيق للانحدار عالي الأبعاد في النظام التقاربي النسبي، غالبًا ما يكون الشكل المناسب هو${\displaystyle T(u):=\eta \left({\tfrac {1}{u}}\right)}$والذي يتبسط إلى

${\displaystyle T(u)={\frac {-1+\lambda -u+{\sqrt {(1+u-\lambda )^{2}+4u\lambda }}}{2\lambda }}}$

الوظائف التالية${\displaystyle B(u):=\mathbb {E} \left({\frac {u}{X+u}}\right)^{2}}$و${\displaystyle V(u):={\frac {X}{(X+u)^{2}}}}$، أين${\displaystyle X}$يُحقق قانون مارشينكو-باستور، ويظهر في الانحياز والتباين الحديين على التوالي، لانحدار ريدج ومسائل الانحدار الخطي المنتظم الأخرى. ويمكن إثبات ذلك.${\displaystyle B(u)=T(u)-u\cdot T'(u)}$و${\displaystyle V(u)=T'(u)}$.

في الحالة الخاصة لمصفوفات الارتباط، نعلم أن ${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$و${\displaystyle \lambda =m/n}$هذا يحد من كتلة الاحتمال على الفترة المحددة بواسطة

${\displaystyle \lambda _{\pm }=\left(1\pm {\sqrt {\frac {m}{n}}}\right)^{2}.}$

بما أن هذا التوزيع يصف طيف المصفوفات العشوائية ذات المتوسط ​​صفر، فإن القيم الذاتية لمصفوفات الارتباط التي تقع ضمن الفترة المذكورة يمكن اعتبارها زائفة أو ضوضاء. على سبيل المثال، الحصول على مصفوفة ارتباط لعشرة عوائد أسهم محسوبة على مدى 252 يوم تداول سيؤدي إلى${\displaystyle \lambda _{+}=\left(1+{\sqrt {\frac {10}{252}}}\right)^{2}\approx 1.43}$وبالتالي، من بين 10 قيم ذاتية لمصفوفة الارتباط المذكورة، فإن القيم الأعلى من 1.43 فقط هي التي تعتبر مختلفة بشكل كبير عن العشوائية.

• توزيع ويغنر شبه الدائري
• توزيع تريسي-ويدوم
• توزيع ويشارت