طوبولوجيا ضعيفة

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 41 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعدّ مصطلح "الطوبولوجيا الضعيفة" بديلاً عن مصطلح " الطوبولوجيا الأولية" ، وغالبًا ما يُستخدم لوصف الطوبولوجيا الأولية في الفضاءات المتجهة الطوبولوجية أو فضاءات المؤثرات الخطية ، كما هو الحال في فضاء هيلبرت . ويُستخدم هذا المصطلح عادةً لوصف الطوبولوجيا الأولية لفضاء متجهي طوبولوجي (مثل الفضاء المتجهي المعياري ) بالنسبة إلى فضاءه الثنائي المتصل . وسيتناول الجزء المتبقي من هذه المقالة هذه الحالة، التي تُعدّ أحد مفاهيم التحليل الوظيفي .

يمكن تسمية المجموعات الجزئية من فضاء متجهي طوبولوجي بأنها مغلقة ضعيفاً (أو مضغوطة ضعيفاً ، إلخ) إذا كانت مغلقة (أو مضغوطة ، إلخ) بالنسبة للطوبولوجيا الضعيفة. وبالمثل، تُسمى الدوال أحياناً متصلة ضعيفاً (أو قابلة للتفاضل ضعيفاً ، أو تحليلية ضعيفاً ، إلخ) إذا كانت متصلة (أو قابلة للتفاضل ، أو تحليلية ، إلخ) بالنسبة للطوبولوجيا الضعيفة.

تاريخ

في أوائل القرن العشرين، استخدم ديفيد هيلبرت ومارسيل ريز التقارب الضعيف على نطاق واسع. لم يُفضّل رواد التحليل الوظيفي الأوائل التقارب المعياري على التقارب الضعيف، بل اعتبروا التقارب الضعيف في كثير من الأحيان أفضل. [ 1 ] في عام 1929، قدّم باناش التقارب الضعيف للفضاءات المعيارية، كما قدّم التقارب الضعيف* المماثل . [ 1 ] يُطلق على الطوبولوجيا الضعيفة اسم "topologie faible" بالفرنسية و "schwache Topologie" بالألمانية.

الطوبولوجيات الضعيفة والقوية

يتركك{\displaystyle \mathbb {K} }ليكن حقلاً طوبولوجياً ، أي حقلاً ذا طوبولوجيا بحيث تكون عمليات الجمع والضرب والقسمة متصلة . في معظم التطبيقاتك{\displaystyle \mathbb {K} }سيكون إما مجال الأعداد المركبة أو مجال الأعداد الحقيقية مع الطوبولوجيات المألوفة.

الطوبولوجيا الضعيفة فيما يتعلق بالاقتران

تُعدّ كلٌّ من الطوبولوجيا الضعيفة والطوبولوجيا الضعيفة* حالتين خاصتين من بنيةٍ أعمّ للاقترانات ، والتي سنشرحها الآن. وتكمن فائدة هذه البنية الأعمّ في أن أي تعريف أو نتيجة مُثبتة لها تنطبق على كلٍّ من الطوبولوجيا الضعيفة والطوبولوجيا الضعيفة*، مما يُغني عن الحاجة إلى العديد من التعريفات ونصوص النظريات والبراهين. وهذا أيضًا هو السبب في أن الطوبولوجيا الضعيفة* تُشار إليها غالبًا باسم "الطوبولوجيا الضعيفة"؛ لأنها مجرد مثالٍ على الطوبولوجيا الضعيفة في سياق هذه البنية الأعمّ.

لنفترض أن ( X , Y , b ) عبارة عن اقتران من فضاءات متجهة على حقل طوبولوجيك{\displaystyle \mathbb {K} }(أي أن X و Y فضاءات متجهة علىك{\displaystyle \mathbb {K} }و ب  : س × ص →ك{\displaystyle \mathbb {K} }(هي دالة ثنائية الخطية ).

الترميز. لكل x ∈ X ، ليكن b ( x , •)  : Y →ك{\displaystyle \mathbb {K} }لنرمز إلى الدالة الخطية على Y المعرفة بـ y ↦ b ( x , y ) . وبالمثل، لكل y ∈ Y ، ليكن b (•, y )  : X →ك{\displaystyle \mathbb {K} }يتم تعريفها بواسطة x ↦ b ( x , y ) .
التعريف. الطوبولوجيا الضعيفة على X المستحثة بواسطة Y (و b ) هي أضعف طوبولوجيا على X ، ويُرمز لها بـ 𝜎( X , Y , b ) أو ببساطة 𝜎( X , Y ) ، مما يجعل جميع التطبيقات b (•, y )  : X →ك{\displaystyle \mathbb {K} }متصلة، حيث تتغير قيمة y على Y. [ 1 ]

يتم الآن تعريف الطوبولوجيا الضعيفة على Y تلقائيًا كما هو موضح في مقالة النظام الثنائي . ومع ذلك، ولتوضيح الأمر، نعيد ذكره الآن.

التعريف. الطوبولوجيا الضعيفة على Y المستحثة بواسطة X (و b ) هي أضعف طوبولوجيا على Y ، ويُرمز لها بـ 𝜎( Y , X , b ) أو ببساطة 𝜎( Y , X ) ، مما يجعل جميع التطبيقات b ( x , •)  : Y →ك{\displaystyle \mathbb {K} }متصلة، حيث تتراوح قيمة x على X. [ 1 ]

إذا كان الحقلك{\displaystyle \mathbb {K} }إذا كانت للدالة قيمة مطلقة | ⋅ | ، فإن الطوبولوجيا الضعيفة 𝜎( X , Y , b ) على X تُستحث بواسطة عائلة أنصاف المعايير ، p y  : X →R{\displaystyle \mathbb {R} }، كما هو محدد بواسطة

p y ( x )  := | b ( x , y ) |

لكل y ∈ Y و x ∈ X. هذا يدل على أن الطوبولوجيات الضعيفة محدبة محليًا .

الافتراض. سنفترض من الآن فصاعدًا أنك{\displaystyle \mathbb {K} }إما أن تكون أعدادًا حقيقيةR{\displaystyle \mathbb {R} }أو الأعداد المركبةج{\displaystyle \mathbb {C} }.

الازدواجية الكنسية

ننتقل الآن إلى دراسة الحالة الخاصة حيث يكون Y فضاءً متجهيًا فرعيًا من الفضاء الجبري المزدوج لـ X (أي فضاء متجهي للدوال الخطية على X ).

يوجد اقتران، يُشار إليه بـ(X،Y،⟨⋅،⋅⟩){\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}أو(X،Y){\displaystyle (X,Y)}، والتي تسمى الاقتران المتعارف عليه والذي خريطته الثنائية الخطية⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }هي خريطة التقييم المتعارف عليها ، والتي تُعرَّف بواسطة⟨x،x′⟩=x′(x){\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وx′∈Y{\displaystyle x'\in Y}لاحظ على وجه الخصوص أن⟨⋅،x′⟩{\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle }هي مجرد طريقة أخرى للدلالة علىx′{\displaystyle x'}أي⟨⋅،x′⟩=x′(⋅){\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle =x'(\cdot )}.

الافتراض. إذا كان Y فضاءً متجهيًا جزئيًا من الفضاء الجبري المزدوج لـ X، فسوف نفترض أنهما مرتبطان بالاقتران المتعارف عليه ⟨ X , Y ⟩ .

في هذه الحالة، فإن الطوبولوجيا الضعيفة على X (على التوالي الطوبولوجيا الضعيفة على Y )، المشار إليها بـ 𝜎( X , Y ) (على التوالي بـ 𝜎( Y , X ) )، هي الطوبولوجيا الضعيفة على X (على التوالي على Y ) بالنسبة للاقتران المتعارف عليه ⟨ X , Y ⟩ .

الطوبولوجيا σ( X , Y ) هي الطوبولوجيا الأولية لـ X بالنسبة إلى Y.

إذا كان Y فضاءً متجهيًا للدوال الخطية على X ، فإن الفضاء الثنائي المتصل لـ X بالنسبة للطوبولوجيا σ( X , Y ) يساوي Y تمامًا . [ 1 ] ( رودين 1991 ، النظرية 3.10)

الطوبولوجيا الضعيفة والطوبولوجيا الضعيفة*

ليكن X فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا (TVS) علىك{\displaystyle \mathbb {K} }أي أن X هوك{\displaystyle \mathbb {K} }فضاء متجهي مزود بطوبولوجيا تجعل جمع المتجهات وضربها في عدد قياسي عمليتين متصلتين. نسمي الطوبولوجيا التي يبدأ بها X الطوبولوجيا الأصلية ، أو الطوبولوجيا الابتدائية ، أو الطوبولوجيا المعطاة (يُنصح القارئ بتجنب استخدام مصطلحي " الطوبولوجيا الأولية " و" الطوبولوجيا القوية " للإشارة إلى الطوبولوجيا الأصلية، لأن لهما معاني معروفة، وقد يؤدي استخدامهما إلى حدوث لبس). يمكننا تعريف طوبولوجيا مختلفة على X باستخدام الفضاء الثنائي الطوبولوجي أو المتصل.X*{\displaystyle X^{*}}، والتي تتكون من جميع الدوال الخطية من X إلى الحقل الأساسيك{\displaystyle \mathbb {K} }التي تكون متصلة بالنسبة للطوبولوجيا المعطاة.

تذكر أن⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }هي خريطة التقييم الأساسية المحددة بواسطة⟨x،x′⟩=x′(x){\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وx′∈X*{\displaystyle x'\in X^{*}}، حيث على وجه الخصوص،⟨⋅،x′⟩=x′(⋅)=x′{\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle =x'(\cdot )=x'}.

التعريف. الطوبولوجيا الضعيفة على X هي الطوبولوجيا الضعيفة على X بالنسبة للاقتران المتعارف عليه.⟨X،X*⟩{\displaystyle \langle X,X^{*}\rangle }[ 1 ]​
التعريف : الطوبولوجيا الضعيفة علىX*{\displaystyle X^{*}}هل الطوبولوجيا الضعيفة علىX*{\displaystyle X^{*}}فيما يتعلق بالاقتران المتعارف عليه⟨X،X*⟩{\displaystyle \langle X,X^{*}\rangle }. [ 1 ] تسمى هذه الطوبولوجيا أيضًا الطوبولوجيا الضعيفة* .

الطوبولوجيا الضعيفة الناتجة عن الفضاء الثنائي المستمر

أو بدلاً من ذلك، فإن الطوبولوجيا الضعيفة على TVS X هي الطوبولوجيا الأولية بالنسبة للعائلةX*{\displaystyle X^{*}}بمعنى آخر، إنها أضعف بنية طوبولوجية على X بحيث يكون كل عنصر منX*{\displaystyle X^{*}}تبقى دالة متصلة .

القاعدة الفرعية للطوبولوجيا الضعيفة هي مجموعة من المجموعات على الشكلϕ-1(يو){\displaystyle \phi ^{-1}(U)}أينϕ∈X*{\displaystyle \phi \in X^{*}}و U هي مجموعة جزئية مفتوحة من الحقل الأساسيك{\displaystyle \mathbb {K} }بمعنى آخر، تكون مجموعة جزئية من X مفتوحة في الطوبولوجيا الضعيفة إذا وفقط إذا كان من الممكن كتابتها كاتحاد لمجموعات (قد يكون عددها لانهائيًا)، كل منها عبارة عن تقاطع لعدد محدود من المجموعات على الشكل التالي:ϕ-1(يو){\displaystyle \phi ^{-1}(U)}.

من وجهة النظر هذه، فإن الطوبولوجيا الضعيفة هي الطوبولوجيا القطبية الأكثر خشونة .

التقارب الضعيف

تتميز الطوبولوجيا الضعيفة بالشرط التالي: شبكة(xλ){\displaystyle (x_{\lambda })}يتقارب العنصر x في X في الطوبولوجيا الضعيفة إلى العنصر x من X إذا وفقط إذاϕ(xλ){\displaystyle \phi (x_{\lambda })}يتقارب إلىϕ(x){\displaystyle \phi (x)}فيR{\displaystyle \mathbb {R} }أوج{\displaystyle \mathbb {C} }للجميعϕ∈X*{\displaystyle \phi \in X^{*}}.

على وجه الخصوص، إذاxن{\displaystyle x_{n}}إذا كانت متتالية في X ، فإنxن{\displaystyle x_{n}}يتقارب ضعيفًا إلى x إذا

φ(xن)→φ(x){\displaystyle \varphi (x_{n})\to \varphi (x)}

عندما n → ∞ لجميعφ∈X*{\displaystyle \varphi \in X^{*}}في هذه الحالة، من المعتاد كتابة

xن⟶wx{\displaystyle x_{n}{\overset {\mathrm {w} }{\longrightarrow }}x}

أو في بعض الأحيان،

xن⇀x.{\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x.}

خصائص أخرى

إذا تم تجهيز X بالطوبولوجيا الضعيفة، فإن الجمع والضرب القياسي يظلان عمليتين مستمرتين، ويكون X فضاء متجه طوبولوجي محدب محليًا .

إذا كان X فضاءً معياريًا، فإن الفضاء الثنائيX*{\displaystyle X^{*}}هو نفسه فضاء متجه معياري باستخدام المعيار

‖ϕ‖=رشفة‖x‖≤1|ϕ(x)|.{\displaystyle \|\phi \|=\sup _{\|x\|\leq 1}|\phi (x)|.}

يؤدي هذا المعيار إلى ظهور طوبولوجيا تسمى الطوبولوجيا القوية ، علىX*{\displaystyle X^{*}}هذه هي طوبولوجيا التقارب المنتظم . وتختلف الطوبولوجيا المنتظمة والقوية عمومًا بالنسبة للفضاءات الأخرى للخرائط الخطية؛ انظر أدناه.

طوبولوجيا ضعيفة*

التقارب الضعيف*

شبكة​ϕλ{\displaystyle \phi _{\lambda }}فيX*{\displaystyle X^{*}}متقاربة معϕ{\displaystyle \phi }في الطوبولوجيا الضعيفة* إذا تقاربت نقطيًا:

ϕλ(x)→ϕ(x){\displaystyle \phi _{\lambda }(x)\to \phi (x)}

للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وعلى وجه الخصوص، سلسلة منϕن∈X*{\displaystyle \phi _{n}\in X^{*}}يتقارب إلىϕ{\displaystyle \phi }بشرط أن

ϕن(x)→ϕ(x){\displaystyle \phi _{n}(x)\to \phi (x)}

لكل x ∈ X. في هذه الحالة، نكتب

ϕن→w*ϕ{\displaystyle \phi _{n}{\overset {w^{*}}{\to }}\phi }

عندما n → ∞ .

يُطلق على التقارب الضعيف أحيانًا اسم التقارب البسيط أو التقارب النقطي . في الواقع، يتطابق مع التقارب النقطي للدوال الخطية.

ملكيات

إذا كان X فضاءً محدبًا محليًا قابلًا للفصل (أي يحتوي على مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد)، وكانت H مجموعة جزئية محدودة المعيار من فضائه الثنائي المتصل، فإن H المزود بطوبولوجيا الفضاء الجزئي الضعيفة* يكون فضاءً طوبولوجيًا قابلًا للقياس . [ 1 ] مع ذلك، بالنسبة للفضاءات اللانهائية الأبعاد، لا يمكن أن يكون المقياس ثابتًا تحت الإزاحة. [ 2 ] إذا كان X فضاءً محدبًا محليًا قابلًا للفصل وقابلًا للقياس ، فإن الطوبولوجيا الضعيفة* على الفضاء الثنائي المتصل لـ X تكون قابلة للفصل. [ 1 ]

الخصائص في الفضاءات المعيارية

بحسب التعريف، فإن الطوبولوجيا الضعيفة* أضعف من الطوبولوجيا الضعيفة علىX*{\displaystyle X^{*}}من الحقائق المهمة المتعلقة بالطوبولوجيا الضعيفة* نظرية باناش-ألاوغلو : إذا كانت X معيارية، فإن الكرة المغلقة ذات الوحدة فيX*{\displaystyle X^{*}}ضعيف*- مضغوط (بشكل عام، القطبي فيX*{\displaystyle X^{*}}تكون جوار الصفر في X مضغوطة ضعيفة*). علاوة على ذلك، تكون الكرة المغلقة ذات الوحدة في فضاء معياري X مضغوطة في الطوبولوجيا الضعيفة إذا وفقط إذا كان X انعكاسيًا .

بشكل أعم، ليكن F حقلاً قيمياً متراصاً محلياً (مثل الأعداد الحقيقية، أو الأعداد المركبة، أو أي من أنظمة الأعداد p-adic ). وليكن X فضاءً متجهياً طوبولوجياً معيارياً فوق F ، متوافقاً مع القيمة المطلقة في F. عندئذٍ فيX*{\displaystyle X^{*}}، الفضاء الطوبولوجي المزدوج X للدوال الخطية المستمرة ذات القيم F على X ، جميع الكرات المغلقة المعيارية مضغوطة في الطوبولوجيا الضعيفة*.

إذا كان X فضاءً معياريًا، فإن صيغة من مبرهنة هاين-بوريل تنطبق. على وجه الخصوص، تكون مجموعة جزئية من الفضاء الثنائي المتصل متراصة ضعيفًا* إذا وفقط إذا كانت مغلقة ضعيفًا* ومحدودة المعيار. [ 1 ] وهذا يعني، على وجه الخصوص، أنه عندما يكون X فضاءً معياريًا لانهائي الأبعاد، فإن الكرة المغلقة عند نقطة الأصل في الفضاء الثنائي لـ X لا تحتوي على أي جوار ضعيف* للصفر (لأن أي جوار من هذا القبيل غير محدود المعيار). [ 1 ] وبالتالي، على الرغم من أن الكرات المغلقة معياريًا متراصة، فإن X* ​​ليس متراصًا محليًا ضعيفًا* .

إذا كان X فضاءً معياريًا، فإن X يكون قابلاً للفصل إذا وفقط إذا كانت الطوبولوجيا الضعيفة* على الكرة المغلقة ذات الوحدة لـX*{\displaystyle X^{*}}قابلة للقياس، [ 1 ] وفي هذه الحالة تكون الطوبولوجيا الضعيفة* قابلة للقياس على مجموعات فرعية محدودة المعيار منX*{\displaystyle X^{*}}إذا كان للفضاء المعياري X فضاء ثنائي قابل للفصل (بالنسبة لطوبولوجيا المعيار الثنائي)، فإن X يكون بالضرورة قابلاً للفصل. [ 1 ] إذا كان X فضاء باناخ ، فإن الطوبولوجيا الضعيفة* غير قابلة للقياس على جميعX*{\displaystyle X^{*}}إلا إذا كان X محدود الأبعاد. [ 3 ]

أمثلة

مساحات هيلبرت

لنأخذ على سبيل المثال الفرق بين التقارب القوي والتقارب الضعيف للدوال في فضاء هيلبرت L 2 (Rن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}) . التقارب القوي لمتتاليةψك∈ل2(Rن){\displaystyle \psi _{k}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}بالنسبة لعنصر ψ يعني أن

∫Rن|ψك-ψ|2دμ→0{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\psi _{k}-\psi |^{2}\,{\rm {d}}\mu \,\to 0}

عندما k → ∞ . هنا، يتوافق مفهوم التقارب مع المعيار على L 2 .

في المقابل، لا يتطلب التقارب الضعيف سوى أن

∫Rنψ¯كودμ→∫Rنψ¯ودμ{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bar {\psi }}_{k}f\,\mathrm {d} \mu \to \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bar {\psi }}f\,\mathrm {d} \mu }

لكل دالة f ∈ L² ( أو بصورة مكافئة، لكل f في مجموعة جزئية كثيفة من L² مثل فضاء دوال الاختبار ، إذا كانت المتتالية { ψk } محدودة). بالنسبة لدوال اختبار معينة، فإن مفهوم التقارب ذي الصلة يتوافق فقط مع الطوبولوجيا المستخدمة فيج{\displaystyle \mathbb {C} }.

على سبيل المثال، في فضاء هيلبرت L 2 (0,π) ، سلسلة الدوال

ψك(x)=2/πالخطيئة⁡(كx){\displaystyle \psi _{k}(x)={\sqrt {2/\pi }}\sin(kx)}

يشكل أساسًا متعامدًا . على وجه الخصوص، النهاية (القوية) لـψك{\displaystyle \psi _{k}}عندما k → ∞، لا توجد نهاية. من جهة أخرى، كونها متتالية متعامدة في فضاء هيلبرت، يجب أن تتقارب تقاربًا ضعيفًا إلى الصفر، وفقًا لنظرية تمثيل ريز ، ومتباينة بيسل ، واختبار الحد النوني للمتسلسلات. بدلاً من ذلك، يمكن استخدام مبرهنة ريمان-ليبيغ لإثبات وجود النهاية الضعيفة وأنها تساوي صفرًا.

التوزيعات

عادةً ما يتم الحصول على فضاءات التوزيعات عن طريق تكوين الثنائية القوية لفضاء دوال الاختبار (مثل الدوال الملساء ذات الدعم المدمج علىRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}في بناء بديل لهذه الفضاءات، يمكن أخذ الفضاء الثنائي الضعيف لفضاء دوال الاختبار داخل فضاء هيلبرت مثل L² . ومن ثم ، يقودنا ذلك إلى التفكير في فكرة فضاء هيلبرت المُجهّز .

الطوبولوجيا الضعيفة الناتجة عن الثنائية الجبرية

لنفترض أن X فضاء متجهي، وأن X # هو الفضاء الثنائي الجبري لـ X (أي الفضاء المتجهي لجميع الدوال الخطية على X ). إذا كان X مزودًا بالطوبولوجيا الضعيفة المستحثة بواسطة X #، فإن الفضاء الثنائي المتصل لـ X هو X # ، وكل مجموعة جزئية محدودة من X موجودة في فضاء متجهي جزئي محدود الأبعاد من X ، وكل فضاء متجهي جزئي من X مغلق وله مكمل طوبولوجي . [ 4 ]

طوبولوجيات المشغل

إذا كان X و Y فضاءين متجهيين طوبولوجيين، فإن الفضاء L ( X , Y ) للمؤثرات الخطية المتصلة f  : X  → Y  قد يحمل مجموعة متنوعة من الطوبولوجيات الممكنة. يعتمد تسمية هذه الطوبولوجيات على نوع الطوبولوجيا المستخدمة على الفضاء المستهدف Y لتعريف تقارب المؤثر ( يوسيدا 1980 ، IV.7 طوبولوجيات الخرائط الخطية) . وبشكل عام، توجد مجموعة واسعة من طوبولوجيات المؤثرات الممكنة على L ( X , Y ) ، والتي لا تكون تسميتها بديهية تمامًا.

على سبيل المثال، تُعرف طوبولوجيا المؤثرات القوية على L ( X , Y ) بأنها طوبولوجيا التقارب النقطي . فعلى سبيل المثال، إذا كان Y فضاءً معياريًا، فإن هذه الطوبولوجيا تُعرَّف بواسطة أنصاف المعايير المفهرسة بواسطة x ∈ X :

و↦‖و(x)‖Y.{\displaystyle f\mapsto \|f(x)\|_{Y}.}

بشكل أعم، إذا كانت عائلة من المعايير الجزئية Q تُعرّف الطوبولوجيا على Y ، فإن المعايير الجزئية p و q و x على L ( X , Y ) التي تُعرّف الطوبولوجيا القوية تُعطى بواسطة

صq،x:و↦q(و(x))،{\displaystyle p_{q,x}:f\mapsto q(f(x)),}

مفهرسة بواسطة q ∈ Q و x ∈ X.

على وجه الخصوص، انظر إلى طوبولوجيا المؤثر الضعيف وطوبولوجيا المؤثر الضعيف* .

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Narici & Beckenstein 2011 ، ص 225-273.
  2. ↑ فولاند 1999 ، ص 170.
  3. ↑ الاقتراح 2.6.12، صفحة 226 في ميغينسون، روبرت إي. (1998)، مقدمة في نظرية فضاء باناخ ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  183، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات  xx+596، ISBN 0-387-98431-3.
  4. ^ تريف 2006 ، ص 36 ، 201.

فهرس

  • كونواي، جون ب. (1994)، دورة في التحليل الوظيفي (  الطبعة الثانية)، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-97245-5
  • فولاند، جي بي (1999). التحليل الحقيقي: التقنيات الحديثة وتطبيقاتها (  الطبعة الثانية). جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 978-0-471-31716-6.
  • ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
  • بيدرسن، جيرت (1989)، التحليل الآن ، سبرينغر، ISBN 0-387-96788-5
  • رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
  • شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
  • تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 . 
  • ويلارد، ستيفن (فبراير 2004). الطوبولوجيا العامة . منشورات كوريير دوفر. ISBN 9780486434797.
  • يوسيدا، كوساكو (1980)، التحليل الوظيفي (  الطبعة السادسة)، سبرينغر، ISBN 978-3-540-58654-8