توزيع ويشارت

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 91 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، يُعد توزيع ويشارت تعميمًا لتوزيع غاما ليشمل أبعادًا متعددة. سُمّي هذا التوزيع تكريمًا لجون ويشارت ، الذي صاغه لأول مرة عام 1928. [ 1 ] ومن الأسماء الأخرى له: مجموعة ويشارت (في نظرية المصفوفات العشوائية ، تُسمى توزيعات الاحتمالات على المصفوفات عادةً "مجموعات")، أو مجموعة ويشارت-لاغير (نظرًا لأن توزيع قيمها الذاتية يتضمن كثيرات حدود لاغير )، أو LOE، LUE، LSE (قياسًا على GOE، GUE، GSE ). [ 2 ]

هي عائلة من التوزيعات الاحتمالية المعرفة على المصفوفات العشوائية المتناظرة والموجبة المحددة (أي المتغيرات العشوائية ذات القيم المصفوفية ). لهذه التوزيعات أهمية بالغة في تقدير مصفوفات التغاير في الإحصاءات متعددة المتغيرات . في الإحصاءات البايزية ، يُعد توزيع ويشارت التوزيع المسبق المترافق لمصفوفة التغاير العكسية لمتجه عشوائي طبيعي متعدد المتغيرات . [ 3 ]

تعريف

لنفترض أن G عبارة عن مصفوفة من الرتبة p × n ، حيث يتم سحب كل عمود منها بشكل مستقل من توزيع طبيعي متعدد المتغيرات بمتوسط ​​صفر:

جي=(ز1،...،زن)∼شمالص(0،V).{\displaystyle G=(g_{1},\dots ,g_{n})\sim {\mathcal {N}}_{p}(0,V).}

هذا يعنيزأنا=(زأنا،1،...،زأنا،ص)تي ∼أناأناد شمالص(0،V) ∀أنا∈{1،...،ن}{\displaystyle g_{i}=(g_{i,1},\dots ,g_{i,p})^{T}\ {\overset {iid}{\sim }}\ {\mathcal {N}}_{p}(0,V)\ \forall i\in \{1,\dots ,n\}}

ثم يكون توزيع ويشارت هو التوزيع الاحتمالي للمصفوفة العشوائية p × p [ 4 ]

S=جيجيتي=∑أنا=1نزأنازأناتي{\displaystyle S=GG^{T}=\sum _{i=1}^{n}g_{i}g_{i}^{T}}

تُعرف باسم مصفوفة التشتت . يُشار إلى أن S لها هذا التوزيع الاحتمالي بكتابة

S∼دبليوص(V،ن).{\displaystyle S\sim W_{p}(V,n).}

يمثل العدد الصحيح الموجب n عدد درجات الحرية . ويُكتب أحيانًا W ( V , p , n ) . إذا كانت المصفوفة V قابلة للعكس، فإن احتمال أن تكون المصفوفة S قابلة للعكس يساوي 1، وذلك عندما يكون n ≥ p .

إذا كان p = V = 1 فإن هذا التوزيع هو توزيع مربع كاي مع n درجة حرية.

حدوث

The Wishart distribution arises as the distribution of the sample covariance matrix for a sample from a multivariate normal distribution. It occurs frequently in likelihood-ratio tests in multivariate statistical analysis. It also arises in the spectral theory of random matrices and in multidimensional Bayesian analysis.[5] It is also encountered in wireless communications, while analyzing the performance of Rayleigh fadingMIMO wireless channels.[6]

Probability density function

Spectral density of Wishart-Laguerre ensemble with dimensions (8, 15). A reconstruction of Figure 1 of.[7]

The Wishart distribution can be characterized by its probability density function as follows:

Let X be a p × p symmetric matrix of random variables that is positive semi-definite. Let V be a (fixed) symmetric positive definite matrix of size p × p.

Then, if n ≥ p, X has a Wishart distribution with n degrees of freedom if it has the probability density function

fX(X)=12np/2|V|n/2Γp(n2)|X|(n−p−1)/2e−12tr⁡(V−1X){\displaystyle f_{\mathbf {X} }(\mathbf {X} )={\frac {1}{2^{np/2}\left|{\mathbf {V} }\right|^{n/2}\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)}}{\left|\mathbf {X} \right|}^{(np-1)/2}e^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} ({\mathbf {V} }^{-1}\mathbf {X} )}}

where |X|{\displaystyle \left|{\mathbf {X} }\right|} is the determinant of X{\displaystyle \mathbf {X} } and Γp is the multivariate gamma function defined as

Γp(n2)=πp(p−1)/4∏j=1pΓ(n2−j−12).{\displaystyle \Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left({\frac {n}{2}}-{\frac {j-1}{2}}\right).}

The density above is not the joint density of all the p2{\displaystyle p^{2}} elements of the random matrix X (such p2{\displaystyle p^{2}}-dimensional density does not exist because of the symmetry constrains Xij=Xji{\displaystyle X_{ij}=X_{ji}}), it is rather the joint density of p(p+1)/2{\displaystyle p(p+1)/2} elements Xij{\displaystyle X_{ij}} for i≤j{\displaystyle i\leq j} (,[1] page 38). Also, the density formula above applies only to positive definite matrices x;{\displaystyle \mathbf {x} ;} for other matrices the density is equal to zero.

In fact the above definition can be extended to any real n > p − 1. If n ≤ p − 1, then the Wishart no longer has a density—instead it represents a singular distribution that takes values in a lower-dimension subspace of the space of p × p matrices.[8]

Spectral density

The joint-eigenvalue density for the eigenvalues λ1,…,λp≥0{\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{p}\geq 0} of a random matrix X∼Wp(I,n){\displaystyle \mathbf {X} \sim W_{p}(\mathbf {I} ,n)} is,[9][10]

cn,pe−12∑iλi∏λi(n−p−1)/2∏i<j|λi−λj|{\displaystyle c_{n,p}e^{-{\frac {1}{2}}\sum _{i}\lambda _{i}}\prod \lambda _{i}^{(n-p-1)/2}\prod _{i<j}|\lambda _{i}-\lambda _{j}|}

where cn,p{\displaystyle c_{n,p}}هو ثابت. يمكن تهميش الكثافة الطيفية للحصول على كثافة قيمة ذاتية واحدة، عن طريق حساب تكامل سيلبرغ .

يمكن حساب الكثافة الطيفية من خلال التكامل لإعطاء احتمال أن تقع جميع القيم الذاتية لمصفوفة ويشارت العشوائية ضمن فترة معينة. [ 11 ]

الاستخدام في الإحصاءات البايزية

في الإحصاء البايزي ، وفي سياق التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات ، يُعد توزيع ويشارت التوزيع المسبق المترافق لمصفوفة الدقة Ω = Σ −1 ، حيث Σ هي مصفوفة التغاير. [ 12 ] : 135 [ 13 ] ويُعد استخدام التوزيعات المسبقة المترافقة بين التوزيع الطبيعي وتوزيع ويشارت (للمتوسط ​​والدقة) شائعًا بشكل خاص في نماذج الانحدار الذاتي المتجهي . [ 14 ]

اختيار المعايير

يتم الحصول على أقل توزيع ويشارت المسبق المناسب من خلال وضع n = p .

يعتمد الاختيار الشائع لـ V على حقيقة أن متوسط ​​X ~ W p ( V , n ) هو n V. وبالتالي، يتم اختيار V بحيث يكون n V مساويًا لتقدير أولي لـ X. على سبيل المثال، عند تقدير مصفوفة الدقة Σ −1 ~ W p ( V , n )، يكون الاختيار المعقول لـ V هو n −1 Σ 0 −1 ، حيث Σ 0 هو تقدير مسبق لمصفوفة التغاير Σ .

ملكيات

التوقع اللوغاريتمي

تلعب الصيغة التالية دورًا في اشتقاقات بايز التباينية لشبكات بايز التي تتضمن توزيع ويشارت. من المعادلة (2.63)، [ 15 ]

هـ⁡[ln⁡|X|]=ψص(ن2)+صln⁡(2)+ln⁡|V|{\displaystyle \operatorname {E} [\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,]=\psi _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)+p\,\ln(2)+\ln |\mathbf {V} |}

أينψص{\displaystyle \psi _{p}}هي دالة ديجاما متعددة المتغيرات (مشتقة لوغاريتم دالة جاما متعددة المتغيرات ).

التباين اللوغاريتمي

قد يكون حساب التباين التالي مفيدًا في الإحصاءات البايزية:

متغير⁡[ln⁡|X|]=∑أنا=1صψ1(ن+1-أنا2){\displaystyle \operatorname {Var} \left[\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,\right]=\sum _{i=1}^{p}\psi _{1}\left({\frac {n+1-i}{2}}\right)}

أينψ1{\displaystyle \psi _{1}}هي دالة تريغاما. تظهر هذه الدالة عند حساب معلومات فيشر للمتغير العشوائي ويشارت.

إنتروبيا

تُعطى إنتروبيا المعلومات للتوزيع بالصيغة التالية: [ 12 ] : 693

ح⁡[X]=-ln⁡(ب(V،ن))-ن-ص-12هـ⁡[ln⁡|X|]+نص2{\displaystyle \operatorname {H} \left[\,\mathbf {X} \,\right]=-\ln \left(B(\mathbf {V} ,n)\right)-{\frac {n-p-1}{2}}\operatorname {E} \left[\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,\right]+{\frac {np}{2}}}

حيث B ( V , n ) هو ثابت التطبيع للتوزيع:

ب(V،ن)=1|V|ن/22نص/2Γص(ن2).{\displaystyle B(\mathbf {V} ,n)={\frac {1}{\left|\mathbf {V} \right|^{n/2}2^{np/2}\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)}}.}

ويمكن توسيع ذلك على النحو التالي:

ح⁡[X]=ن2ln⁡|V|+نص2ln⁡2+ln⁡Γص(ن2)-ن-ص-12هـ⁡[ln⁡|X|]+نص2=ن2ln⁡|V|+نص2ln⁡2+ln⁡Γص(ن2)-ن-ص-12(ψص(ن2)+صln⁡2+ln⁡|V|)+نص2=ن2ln⁡|V|+نص2ln⁡2+ln⁡Γص(ن2)-ن-ص-12ψص(ن2)-ن-ص-12(صln⁡2+ln⁡|V|)+نص2=ص+12ln⁡|V|+12ص(ص+1)ln⁡2+ln⁡Γص(ن2)-ن-ص-12ψص(ن2)+نص2{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} \left[\,\mathbf {X} \,\right]&={\frac {n}{2}}\ln \left|\mathbf {V} \right|+{\frac {np}{2}}\ln 2+\ln \Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)-{\frac {n-p-1}{2}}\operatorname {E} \left[\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,\right]+{\frac {np}{2}}\\[8pt]&={\frac {n}{2}}\ln \left|\mathbf {V} \right|+{\frac {np}{2}}\ln 2+\ln \Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)-{\frac {n-p-1}{2}}\left(\psi _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)+p\ln 2+\ln \left|\mathbf {V} \right|\right)+{\frac {np}{2}}\\[8pt]&={\frac {n}{2}}\ln \left|\mathbf {V} \right|+{\frac {np}{2}}\ln 2+\ln \Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)-{\frac {n-p-1}{2}}\psi _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)-{\frac {n-p-1}{2}}\left(p\ln 2+\ln \left|\mathbf {V} \right|\right)+{\frac {np}{2}}\\[8pt]&={\frac {p+1}{2}}\ln \left|\mathbf {V} \right|+{\frac {1}{2}}p(p+1)\ln 2+\ln \Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)-{\frac {n-p-1}{2}}\psi _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)+{\frac {np}{2}}\end{aligned}}}

الانتروبيا المتقاطعة

الإنتروبيا المتقاطعة لتوزيعين من توزيعات ويشارتص0{\displaystyle p_{0}}مع المعلماتن0،V0{\displaystyle n_{0},V_{0}}وص1{\displaystyle p_{1}}مع المعلماتن1،V1{\displaystyle n_{1},V_{1}}يكون

ح(ص0،ص1)=هـص0⁡[-سجل⁡ص1]=هـص0⁡[-سجل⁡|X|(ن1-ص1-1)/2هـ-tr⁡(V1-1X)/22ن1ص1/2|V1|ن1/2Γص1(ن12)]=ن1ص12سجل⁡2+ن12سجل⁡|V1|+سجل⁡Γص1(ن12)-ن1-ص1-12هـص0⁡[سجل⁡|X|]+12هـص0⁡[tr⁡(V1-1X)]=ن1ص12سجل⁡2+ن12سجل⁡|V1|+سجل⁡Γص1(ن12)-ن1-ص1-12(ψص0(ن02)+ص0سجل⁡2+سجل⁡|V0|)+12tr⁡(V1-1ن0V0)=-ن12سجل⁡|V1-1V0|+ص1+12سجل⁡|V0|+ن02tr⁡(V1-1V0)+سجل⁡Γص1(ن12)-ن1-ص1-12ψص0(ن02)+ن1(ص1-ص0)+ص0(ص1+1)2سجل⁡2{\displaystyle {\begin{aligned}H(p_{0},p_{1})&=\operatorname {E} _{p_{0}}[\,-\log p_{1}\,]\\[8pt]&=\operatorname {E} _{p_{0}}\left[\,-\log {\frac {\left|\mathbf {X} \right|^{(n_{1}-p_{1}-1)/2}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {X} )/2}}{2^{n_{1}p_{1}/2}\left|\mathbf {V} _{1}\right|^{n_{1}/2}\Gamma _{p_{1}}\left({\tfrac {n_{1}}{2}}\right)}}\right]\\[8pt]&={\tfrac {n_{1}p_{1}}{2}}\log 2+{\tfrac {n_{1}}{2}}\log \left|\mathbf {V} _{1}\right|+\log \Gamma _{p_{1}}({\tfrac {n_{1}}{2}})-{\tfrac {n_{1}-p_{1}-1}{2}}\operatorname {E} _{p_{0}}\left[\,\log \left|\mathbf {X} \right|\,\right]+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {E} _{p_{0}}\left[\,\operatorname {tr} \left(\,\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {X} \,\right)\,\right]\\[8pt]&={\tfrac {n_{1}p_{1}}{2}}\log 2+{\tfrac {n_{1}}{2}}\log \left|\mathbf {V} _{1}\right|+\log \Gamma _{p_{1}}({\tfrac {n_{1}}{2}})-{\tfrac {n_{1}-p_{1}-1}{2}}\left(\psi _{p_{0}}({\tfrac {n_{0}}{2}})+p_{0}\log 2+\log \left|\mathbf {V} _{0}\right|\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\,\mathbf {V} _{1}^{-1}n_{0}\mathbf {V} _{0}\,\right)\\[8pt]&=-{\tfrac {n_{1}}{2}}\log \left|\,\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {V} _{0}\,\right|+{\tfrac {p_{1}+1}{2}}\log \left|\mathbf {V} _{0}\right|+{\tfrac {n_{0}}{2}}\operatorname {tr} \left(\,\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {V} _{0}\right)+\log \Gamma _{p_{1}}\left({\tfrac {n_{1}}{2}}\right)-{\tfrac {n_{1}-p_{1}-1}{2}}\psi _{p_{0}}({\tfrac {n_{0}}{2}})+{\tfrac {n_{1}(p_{1}-p_{0})+p_{0}(p_{1}+1)}{2}}\log 2\end{aligned}}}

لاحظ أنه عندماص0=ص1{\displaystyle p_{0}=p_{1}}ون0=ن1{\displaystyle n_{0}=n_{1}}نستعيد الإنتروبيا.

تباعد كولباك-لايبير

تباعد كولباك -لايبيرص1{\displaystyle p_{1}}منص0{\displaystyle p_{0}}يكون

دكل(ص0‖ص1)=ح(ص0،ص1)-ح(ص0)=-ن12سجل⁡|V1-1V0|+ن02(tr⁡(V1-1V0)-ص)+سجل⁡Γص(ن12)Γص(ن02)+ن0-ن12ψص(ن02){\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(p_{0}\|p_{1})&=H(p_{0},p_{1})-H(p_{0})\\[6pt]&=-{\frac {n_{1}}{2}}\log |\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {V} _{0}|+{\frac {n_{0}}{2}}(\operatorname {tr} (\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {V} _{0})-p)+\log {\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {n_{1}}{2}}\right)}{\Gamma _{p}\left({\frac {n_{0}}{2}}\right)}}+{\tfrac {n_{0}-n_{1}}{2}}\psi _{p}\left({\frac {n_{0}}{2}}\right)\end{aligned}}}

الدالة المميزة

الدالة المميزة لتوزيع ويشارت هي

Θ↦هـ⁡[خبرة⁡(أناtr⁡(XΘ))]=|1-2أناΘV|-ن/2{\displaystyle \Theta \mapsto \operatorname {E} \left[\,\exp \left(\,i\operatorname {tr} \left(\,\mathbf {X} {\mathbf {\Theta } }\,\right)\,\right)\,\right]=\left|\,1-2i\,{\mathbf {\Theta } }\,{\mathbf {V} }\,\right|^{-n/2}}

حيث يرمز E[⋅] إلى القيمة المتوقعة. (هنا Θ هي أي مصفوفة لها نفس أبعاد V ، و1 تشير إلى مصفوفة الوحدة، و i هو الجذر التربيعي لـ −1 ). [ 10 ] يتطلب تفسير هذه الصيغة بعض الدقة، لأن القوى المركبة غير الصحيحة متعددة القيم ؛ فعندما يكون n عددًا غير صحيح، يجب تحديد الفرع الصحيح عبر الاستمرار التحليلي . [ 16 ] 

نظرية

إذا كانت المصفوفة العشوائية X من الرتبة p × p تتبع توزيع ويشارت بدرجات حرية m ومصفوفة تباين V ، فاكتبX∼دبليوص(V،م){\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {W}}_{p}({\mathbf {V} },m)}— و C هي مصفوفة q × p من الرتبة q ، إذن [ 17 ]

جXجتي∼دبليوq(جVجتي،م).{\displaystyle \mathbf {C} \mathbf {X} {\mathbf {C} }^{T}\sim {\mathcal {W}}_{q}\left({\mathbf {C} }{\mathbf {V} }{\mathbf {C} }^{T},m\right).}

النتيجة 1

إذا كان z متجهًا ثابتًا غير صفري من الرتبة p × 1 ، فإن: [ 17 ]

σz-2zتيXz∼χم2.{\displaystyle \sigma _{z}^{-2}\,{\mathbf {z} }^{T}\mathbf {X} {\mathbf {z} }\sim \chi _{m}^{2}.}

في هذه الحالة،χم2{\displaystyle \chi _{m}^{2}}هو توزيع كاي تربيع وσz2=zتيVz{\displaystyle \sigma _{z}^{2}={\mathbf {z} }^{T}{\mathbf {V} }{\mathbf {z} }}(لاحظ أنσz2{\displaystyle \sigma _{z}^{2}}هو ثابت؛ وهو موجب لأن V موجب تمامًا).

النتيجة الثانية

لنفترض الحالة التي يكون فيها z T = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) (أي أن العنصر j يساوي واحدًا وبقية العناصر تساوي صفرًا). عندئذٍ تُظهر النتيجة 1 أعلاه أن

σجج-1wجج∼χم2{\displaystyle \sigma _{jj}^{-1}\,w_{jj}\sim \chi _{m}^{2}}

يوضح التوزيع الهامشي لكل عنصر من عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة.

يشير جورج سيبر إلى أن توزيع ويشارت لا يُسمى "توزيع كاي تربيع متعدد المتغيرات" لأن التوزيع الهامشي للعناصر غير القطرية ليس توزيع كاي تربيع. ويفضل سيبر حصر مصطلح " متعدد المتغيرات" في حالة انتماء جميع التوزيعات الهامشية أحادية المتغير إلى نفس العائلة. [ 18 ]

مقدر التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات

يُعد توزيع ويشارت توزيع المعاينة لمُقدِّر الاحتمال الأقصى (MLE) لمصفوفة التغاير لتوزيع طبيعي متعدد المتغيرات . [ 19 ] ويستخدم اشتقاق مُقدِّر الاحتمال الأقصى نظرية الطيف .

تحلل بارتليت

إن تحليل بارتليت للمصفوفة X من توزيع ويشارت ذي p متغير مع مصفوفة مقياس V و n درجة حرية هو التحليل إلى عوامل:

X=لأأتيلتي،{\displaystyle \mathbf {X} ={\textbf {L}}{\textbf {A}}{\textbf {A}}^{T}{\textbf {L}}^{T},}

حيث L هو عامل تشوليسكي لـ V ، و:

أ=(ج100⋯0ن21ج20⋯0ن31ن32ج3⋯0⋮⋮⋮⋱⋮نص1نص2نص3⋯جص){\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}c_{1}&0&0&\cdots &0\\n_{21}&c_{2}&0&\cdots &0\\n_{31}&n_{32}&c_{3}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\n_{p1}&n_{p2}&n_{p3}&\cdots &c_{p}\end{pmatrix}}}

أينجأنا2∼χن-أنا+12{\displaystyle c_{i}^{2}\sim \chi _{n-i+1}^{2}}و n ij ~ N (0, 1) بشكل مستقل. [ 20 ] وهذا يوفر طريقة مفيدة للحصول على عينات عشوائية من توزيع ويشارت. [ 21 ]

التوزيع الهامشي لعناصر المصفوفة

ليكن V مصفوفة تباين 2 × 2 تتميز بمعامل ارتباط −1 < ρ < 1 و L عامل تشوليسكي السفلي الخاص بها:

V=(σ12ρσ1σ2ρσ1σ2σ22)،ل=(σ10ρσ21-ρ2σ2){\displaystyle \mathbf {V} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}&0\\\rho \sigma _{2}&{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\sigma _{2}\end{pmatrix}}}

بضرب معادلة بارتليت المذكورة أعلاه، نجد أن عينة عشوائية من توزيع ويشارت 2 × 2 هي

X=(σ12ج12σ1σ2(ρج12+1-ρ2ج1ن21)σ1σ2(ρج12+1-ρ2ج1ن21)σ22((1-ρ2)ج22+(1-ρ2ن21+ρج1)2)){\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}c_{1}^{2}&\sigma _{1}\sigma _{2}\left(\rho c_{1}^{2}+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}c_{1}n_{21}\right)\\\sigma _{1}\sigma _{2}\left(\rho c_{1}^{2}+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}c_{1}n_{21}\right)&\sigma _{2}^{2}\left(\left(1-\rho ^{2}\right)c_{2}^{2}+\left({\sqrt {1-\rho ^{2}}}n_{21}+\rho c_{1}\right)^{2}\right)\end{pmatrix}}}

تتبع العناصر القطرية، وخاصة العنصر الأول، توزيع χ² بدرجات حرية n (مُقاسة بـ σ² ) كما هو متوقع. أما العنصر غير القطري فهو أقل شيوعًا، ولكن يمكن تحديده على أنه مزيج طبيعي من التباين والمتوسط، حيث تكون كثافة المزج توزيع χ² . وبالتالي، فإن كثافة الاحتمال الهامشية المقابلة للعنصر غير القطري هي توزيع جاما للتباين .

و(x12)=|x12|ن-12Γ(ن2)2ن-1π(1-ρ2)(σ1σ2)ن+1⋅كن-12(|x12|σ1σ2(1-ρ2))خبرة⁡(ρx12σ1σ2(1-ρ2)){\displaystyle f(x_{12})={\frac {\left|x_{12}\right|^{\frac {n-1}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right){\sqrt {2^{n-1}\pi \left(1-\rho ^{2}\right)\left(\sigma _{1}\sigma _{2}\right)^{n+1}}}}}\cdot K_{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\left|x_{12}\right|}{\sigma _{1}\sigma _{2}\left(1-\rho ^{2}\right)}}\right)\exp {\left({\frac {\rho x_{12}}{\sigma _{1}\sigma _{2}(1-\rho ^{2})}}\right)}}

حيث Kν ( z ) هي دالة بيسل المعدلة من النوع الثاني . [ 22 ] يمكن إيجاد نتائج مماثلة للأبعاد الأعلى. بشكل عام، إذاX{\displaystyle X}يتبع توزيع ويشارت ذي المعاملات التالية:Σ،ن{\displaystyle \Sigma ,n}ثم لـأنا≠ج{\displaystyle i\neq j}العناصر غير القطرية

Xأناج∼جيد جداً(ن،Σأناج،(ΣأناأناΣجج-Σأناج2)1/2،0){\displaystyle X_{ij}\sim {\text{VG}}(n,\Sigma _{ij},(\Sigma _{ii}\Sigma _{jj}-\Sigma _{ij}^{2})^{1/2},0)}[ 23 ]​

من الممكن أيضًا كتابة دالة توليد العزوم حتى في الحالة غير المركزية (وهي أساسًا القوة النونية لمعادلة كريج (1936) [ 24 ] 10) على الرغم من أن كثافة الاحتمال تصبح مجموعًا لانهائيًا من دوال بيسل.

نطاق معلمة الشكل

يمكن إثبات [ 25 ] أن توزيع ويشارت يمكن تعريفه إذا وفقط إذا كان معامل الشكل n ينتمي إلى المجموعة

Λص:={0،...،ص-1}∪(ص-1،∞).{\displaystyle \Lambda _{p}:=\{0,\ldots ,p-1\}\cup \left(p-1,\infty \right).}

سُميت هذه المجموعة نسبةً إلى سيمون جينديكين ، الذي قدمها [ 26 ] في سبعينيات القرن الماضي في سياق توزيعات غاما على المخاريط المتجانسة. ومع ذلك، بالنسبة للمعاملات الجديدة في الطيف المنفصل لمجموعة جينديكين، وهي:

Λص*:={0،...،ص-1}،{\displaystyle \Lambda _{p}^{*}:=\{0,\ldots ,p-1\},}

لا يمتلك توزيع ويشارت المقابل كثافة ليبيغ.

مجموعات ويشارت-لاغير وامتدادات بيتا

في نظرية المصفوفات العشوائية، غالبًا ما تُدرس عائلة ويشارت من خلال مجموعات لاغير الخاصة بها . في الحالة الحقيقية (التناظر المتعامد، β = 1)، الكثافة المشتركة للقيم الذاتيةλ1،...،λص≥0{\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{p}\geq 0}لX∼دبليوص(أنا،ن){\displaystyle \mathbf {X} \sim W_{p}(\mathbf {I} ,n)}يكون

جن،صخبرة(-12∑أنا=1صλأنا)∏أنا=1صλأنان-ص-12∏1≤أنا<ج≤ص|λأنا-λج|،{\displaystyle c_{n,p}\,\exp \!{\Big (}-{\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}{\Big )}\;\prod _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{\tfrac {n-p-1}{2}}\;\prod _{1\leq i<j\leq p}\!|\lambda _{i}-\lambda _{j}|,}

وهو مجموعة لاغير المتعامدة (LOE). أما نظائرها المعقدة والرباعية فهي مجموعة لاغير الوحدوية (LUE).β=2{\displaystyle \beta =2}) و Laguerre symplectic (LSE,β=4{\displaystyle \beta =4}) مجموعات، على التوالي. [ 27 ]

مجموعة بيتا لاغير (عامة)β>0{\displaystyle \beta >0})

يُتيح تعميم آخر، وهو مجموعة بيتا-لاغير ، مؤشر دايسونβ>0{\displaystyle \beta >0}للتغير باستمرار. كثافة قيمها الذاتية المشتركة لها شكل غاز كولوم

ص(λ1،...،λص)∝(∏أنا=1صλأناαهـ-β2λأنا)(∏أنا<ج|λأنا-λج|β)،α>-1،{\displaystyle p(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{p})\;\propto \;{\Big (}\prod _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{\alpha }\,e^{-{\tfrac {\beta }{2}}\lambda _{i}}{\Big )}\;{\Big (}\prod _{i<j}|\lambda _{i}-\lambda _{j}|^{\beta }{\Big )},\qquad \alpha >-1,}

والتي تُختزل إلى LOE/LUE/LSE لـβ=1،2،4{\displaystyle \beta =1,2,4}بالنسبة لحالة توزيع ويشارت الغاوسي الكلاسيكي (المقياس)أنا{\displaystyle \mathbf {I} }، يكون لدى المرء الهوية

α=β2(ن-ص+1)-1.{\displaystyle \alpha \;=\;{\tfrac {\beta }{2}}\,(n-p+1)\;-\;1.}

بناء احتمالي ملموس لأيβ>0{\displaystyle \beta >0}يتم توفيرها بواسطة نموذج دوميتريو-إيدلمان ثنائي القطر . يتم أخذ عينة من مصفوفة ثنائية القطر عشوائية.ب{\displaystyle \mathbf {B} }مع متغيرات ومجموعات كاي المستقلةل=ببتي{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {B} \mathbf {B} ^{T}}القيم الذاتية لـل{\displaystyle \mathbf {L} }اتبع قانون بيتا لاغير مع المعاملα{\displaystyle \alpha }[ 28 ] [ 29 ]​

أخذ العينات
  • كلاسيكيβ=1،2،4{\displaystyle \beta =1,2,4}. يُعطي تحليل بارتليتX=لأأتيلتي{\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {L} \mathbf {A} \mathbf {A} ^{T}\mathbf {L} ^{T}}معأ{\displaystyle \mathbf {A} }مصفوفة مثلثية سفلية ذات مدخلات χ/عادية، مما ينتج عنه LOE/LUE/LSE بالضبط. [ 30 ]
  • عامβ>0{\displaystyle \beta >0}في نموذج دوميتريو-إيدلمان، بالنسبة لحجم المصفوفةص{\displaystyle p}المعاملα>-1{\displaystyle \alpha >-1}، عينة واحدة بشكل مستقل
بأناأنا∼1βχβ(α+ص-أنا+1)،بأنا،أنا-1∼1βχβ(ص-أنا+1)(أنا=2،...،ص)،{\displaystyle B_{ii}\sim {\tfrac {1}{\sqrt {\beta }}}\;\chi _{\beta (\alpha +p-i+1)},\qquad B_{i,i-1}\sim {\tfrac {1}{\sqrt {\beta }}}\;\chi _{\beta (p-i+1)}\quad (i=2,\dots ,p),}

والمجموعاتل=ببتي{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {B} \mathbf {B} ^{T}}ثم القيم الذاتية لـل{\displaystyle \mathbf {L} }لها كثافة مشتركة من نوع بيتا-لاغير أعلاه. [ 28 ]

مصفوفات البيانات المستطيلة

إذا رغب المرء في تمثيل هذه الأطياف كقيم مفردة لمستطيلم×شمال{\displaystyle M\times N}مصفوفة (معم≥شمال=ص{\displaystyle M\geq N=p})، رسم مستقل وزعته هاريو∈يا(م){\displaystyle \mathbf {U} \in O(M)}(أويو(م){\displaystyle U(M)}) وV∈يا(شمال){\displaystyle \mathbf {V} \in O(N)}، وضبط

X=يو[التشخيص⁡(λ1،...،λص)0]V*،{\displaystyle X\;=\;U{\begin{bmatrix}\operatorname {diag} ({\sqrt {\lambda _{1}}},\dots ,{\sqrt {\lambda _{p}}})\\0\end{bmatrix}}V^{*},}

لهذا السبب.X*X{\displaystyle X^{*}X}له قيم ذاتية{λأنا}{\displaystyle \{\lambda _{i}\}}بالنسبة للمدخلات المستقلة والمتطابقة التوزيع (توزيع ويشارت الحقيقي)،β{\displaystyle \beta }يتم تحديده بواسطة الحقل (حقيقي، مركب، رباعي) وα{\displaystyle \alpha }يتقلص إلىβ2(ن-ص+1)-1{\displaystyle {\tfrac {\beta }{2}}(n-p+1)-1}[ 29 ] [ 31 ]​

السلوك الحاد والشمولية

عند "الحافة الصلبة" (بالقرب منλ=0{\displaystyle \lambda =0}تُظهر مجموعات β-Laguerre ارتباطات نواة بيسل وتنافرًا على مستوى الرتبةβ{\displaystyle \beta }وخاصة معص→∞{\displaystyle p\to \infty }وتم إصلاحهα{\displaystyle \alpha }، يتقارب توزيع أصغر قيمة ذاتية إلى قانون حافة صلبة عالمي (بيسل) يعتمد فقط علىα{\displaystyle \alpha }وβ{\displaystyle \beta }[ 32 ] [ 29 ]​

الحد العياني (قانون مارشينكو-باستور)

في ظل النمو النسبيص/ن→γ∈(0،∞){\displaystyle p/n\to \gamma \in (0,\infty )}، التوزيع الطيفي التجريبي لـن-1جيجيتي{\displaystyle n^{-1}\mathbf {G} \mathbf {G} ^{T}}(مع مدخلات مستقلة ومتطابقة التوزيع ذات تباين)σ2{\displaystyle \sigma ^{2}}يتقارب هذا القانون بشكل شبه مؤكد مع قانون مارشينكو-باستور ، المدعوم علىσ2(1±γ)2{\displaystyle \sigma ^{2}(1\pm {\sqrt {\gamma }})^{2}}. متىγ=1{\displaystyle \gamma =1}تتباعد الكثافة معx-1/2{\displaystyle x^{-1/2}}عند الأصل (نقطة تفرد ذات حافة صلبة). [ 33 ]

العلاقات مع التوزيعات الأخرى

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 ويشارت، ج. (1928). "توزيع عزم المنتج المعمم في عينات من مجتمع متعدد المتغيرات طبيعي". Biometrika . 20A ( 1-2 ): 32-52 . doi : 10.1093/biomet/20A.1-2.32 . JFM 54.0565.02 . JSTOR 2331939 .  
  2. ↑ ليفان، جياكومو؛ نوفايس، مارسيل؛ فيفو، بييرباولو (2018)، "المجموعات الكلاسيكية: ويشارت-لاغير" ، مقدمة في المصفوفات العشوائية: النظرية والتطبيق ، سلسلة سبرينغر الموجزة في الفيزياء الرياضية، تشام: دار سبرينغر للنشر الدولي، ص 89-95 ، doi : 10.1007/978-3-319-70885-0_13 ، ISBN  978-3-319-70885-0
  3. ↑ كوب، غاري؛ كوروبيليس، ديميتريس (2010). "أساليب السلاسل الزمنية متعددة المتغيرات البايزية للاقتصاد الكلي التجريبي" . أسس واتجاهات في الاقتصاد القياسي . 3 (4): 267-358 . doi : 10.1561/0800000013 .
  4. ↑ غوبتا، أ.ك.؛ ناجار، د.ك. (2000). توزيعات متغيرات المصفوفة . تشابمان آند هول / سي آر سي. رقم ISBN 1584880465.
  5. ↑ جيلمان، أندرو (2003). تحليل البيانات البايزي ( الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: تشابمان وهول. ص 582. ISBN   158488388Xتم الاطلاع عليه بتاريخ 3 يونيو 2015 .
  6. ↑ زانيلا، أ.؛ شياني، م.؛ وين، م.ز. (أبريل 2009). "حول التوزيع الهامشي للقيم الذاتية لمصفوفات ويشارت" (ملف PDF) . معاملات IEEE في الاتصالات . 57 (4): 1050-1060 . Bibcode : 2009ITCom..57.1050Z . doi : 10.1109/TCOMM.2009.04.070143 . hdl : 1721.1/66900 . S2CID 12437386 . 
  7. ↑ ليفان، جياكومو؛ فيفو، بييرباولو (2011). "عزوم مجموعات ويشارت-لاغير وجاكوبي للمصفوفات العشوائية: تطبيق على مسألة النقل الكمومي في التجاويف الفوضوية". Acta Physica Polonica B. 42 ( 5): 1081. arXiv : 1103.2638 . doi : 10.5506/APhysPolB.42.1081 . ISSN 0587-4254 . S2CID 119599157 .  
  8. ↑ أوليغ، هـ. (1994). "حول توزيعات ويشارت المفردة وتوزيعات بيتا متعددة المتغيرات المفردة" . حوليات الإحصاء . 22 : 395-405 . doi : 10.1214/aos/1176325375 .
  9. ↑ مويرهيد، روب ج. (2005). جوانب من نظرية الإحصاء متعدد المتغيرات ( الطبعة الثانية). وايلي إنترساينس. ISBN  0471769851.
  10. 1 2 أندرسون، تي دبليو (2003). مقدمة في التحليل الإحصائي متعدد المتغيرات ( الطبعة الثالثة). هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي إنترساينس . ص 259. ISBN   0-471-36091-0.
  11. ↑ شياني، م. (2017). "حول احتمال وقوع جميع القيم الذاتية للمصفوفات العشوائية من نوع غاوس، وويشارت، وويشارت المزدوج ضمن فترة معينة" . معاملات IEEE في نظرية المعلومات . 63 (7): 4521-4531 . arXiv : 1502.04189 . Bibcode : 2017ITIT...63.4521C . doi : 10.1109/TIT.2017.2694846 .
  12. 1 2 3 Bishop, CM (2006). Pattern Recognition and Machine Learning . Springer.
  13. ↑ هوف، بيتر د. (2009). دورة تمهيدية في الأساليب الإحصائية البايزية . نيويورك: سبرينغر. ص 109-111 . ISBN  978-0-387-92299-7.
  14. ↑ كيليان، لوتز؛ لوتكيبول، هيلموت (2017). "تحليل VAR البايزي". تحليل الانحدار الذاتي المتجهي الهيكلي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 140-170 . doi : 10.1017/9781108164818.006 . ISBN  978-1-107-19657-5.
  15. ↑ نغوين، دوي (15 أغسطس 2023). "مقدمة معمقة لنظرية بايز التباينية" . SSRN 4541076. تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 أغسطس 2023 . 
  16. ↑ مايرهوفر، إيبرهارد (27-01-2019). "إصلاح دالة ويشارت المميزة". arXiv : 1901.09347 [ math.PR ].
  17. 1 2 راو، سي آر (1965). الاستدلال الإحصائي الخطي وتطبيقاته . وايلي. ص 535. 
  18. ↑ سيبر، جورج أ. ف. (2004). الملاحظات متعددة المتغيرات . وايلي . ISBN 978-0471691211.
  19. ↑ تشاتفيلد، سي.؛ كولينز، إيه جيه (1980). مقدمة في التحليل متعدد المتغيرات . لندن: تشابمان وهول. ص 103-108 . ISBN  0-412-16030-7.
  20. ↑ أندرسون، تي دبليو (2003). مقدمة في التحليل الإحصائي متعدد المتغيرات ( الطبعة الثالثة). هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي إنترساينس . ص 257. ISBN   0-471-36091-0.
  21. ↑ سميث، دبليو بي؛ هوكينج، آر آر (1972). "الخوارزمية AS 53: مولد متغيرات ويشارت". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ج . 21 (3): 341-345 . JSTOR 2346290 . 
  22. ↑ بيرسون، كارل ؛ جيفري، جي بي ؛ إلديرتون، إيثيل إم. (ديسمبر 1929). "حول توزيع معامل العزم الأول للمنتج، في عينات مسحوبة من مجتمع طبيعي كبير غير محدود". Biometrika . 21 (1/4). Biometrika Trust: 164–201 . doi : 10.2307/2332556 . JSTOR 2332556 . 
  23. ↑ فيشر، أدريان؛ غونت، روبرت إي؛ أندري، سارانتسيف (2023). "توزيع غاما التبايني: مراجعة". arXiv : 2303.05615 [ math.ST ].
  24. ↑ كريج، سيسيل سي. (1936). "حول دالة التردد لـ xy" . حوليات الإحصاء الرياضي . 7 : 1-15 . doi : 10.1214/aoms/1177732541 .
  25. ↑ بيدادا، شيامال داس؛ ريتشاردز، دونالد سانت ب. (1991). "إثبات تخمين إم إل إيتون حول الدالة المميزة لتوزيع ويشارت" . حوليات الاحتمالات . 19 (2): 868-874 . doi : 10.1214/aop/1176990455 .
  26. ↑ جينديكين، إس جي (1975). "الدوال المعممة الثابتة في المجالات المتجانسة". التحليل الوظيفي وتطبيقاته 9 (1): 50-52 . doi : 10.1007/BF01078179 . S2CID 123288172 . 
  27. ↑ مويرهيد، روب ج. (2005). جوانب من نظرية الإحصاء متعدد المتغيرات ( الطبعة الثانية). وايلي-إنترساينس. ISBN  978-0471769859.
  28. 1 2 دوميتريو، إيوانا؛ إيدلمان، آلان (2002). "نماذج المصفوفات لمجموعات بيتا". مجلة الفيزياء الرياضية . 43 (11): 5830-5847 . arXiv : math-ph/0206043 . Bibcode : 2002JMP....43.5830D . doi : 10.1063/1.1507823 .
  29. 1 2 3 فورستر، بيتر ج. (2010). الغازات اللوغاريتمية والمصفوفات العشوائية . سلسلة منشورات الجمعية الرياضية بلندن. مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-12829-0.
  30. ↑ أندرسون، تي دبليو (2003). مقدمة في التحليل الإحصائي متعدد المتغيرات ( الطبعة الثالثة). وايلي-إنترساينس. ص 257. ISBN   0-471-36091-0.
  31. ↑ إيدلمان، آلان؛ برايان د. ساتون (2005). "نموذج مصفوفة بيتا-جاكوبي، وتحليل CS، ومسائل القيم المفردة المعممة" (ملف PDF) . أسس الرياضيات الحسابية . 5 (2): 173-202 . doi : 10.1007/s10208-004-0143-4 (غير نشط في 7 سبتمبر 2025).{{cite journal}}: صيانة CS1: تم تعطيل DOI اعتبارًا من سبتمبر 2025 ( رابط )
  32. ↑ تريسي، كريغ أ.؛ ويدوم، هارولد (1994). "توزيعات تباعد المستويات ونواة بيسل". الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 161 (2): 289-309 . arXiv : hep-th/9304063 . Bibcode : 1994CMaPh.161..289T . doi : 10.1007/BF02099779 .
  33. ↑ مارشينكو، ف.أ.؛ باستور، ل.أ. (1967). "توزيع القيم الذاتية لبعض مجموعات المصفوفات العشوائية" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات السوفيتية - مجموعة الرياضيات . 1 (4): 457-483 . رمز Bibcode : 1967SbMat...1..457M . doi : 10.1070/SM1967v001n04ABEH001994 .
  34. ↑ دوير، بول س. (1967). "بعض تطبيقات مشتقات المصفوفات في التحليل متعدد المتغيرات". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية 62 (318): 607-625 . doi : 10.1080/01621459.1967.10482934 . JSTOR 2283988 .