منتج ماسي

في الطوبولوجيا الجبرية ، يُعدّ جداء ماسي عملية تماثل من رتبة أعلى، وقد طُرح في ( ماسي، 1958 ) ، وهو تعميم لجداء الكأس . وقد ابتكر جداء ماسي ويليام إس. ماسي ، وهو عالم طوبولوجيا جبرية أمريكي.

يترك${\displaystyle a,b,c}$عناصر من جبر التماثل${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$من الجبر التفاضلي المتدرج${\displaystyle \Gamma }$. لو${\displaystyle ab=bc=0}$منتج ماسي${\displaystyle \langle a,b,c\rangle }$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle H^{n}(\Gamma )}$، أين${\displaystyle n=\deg(a)+\deg(b)+\deg(c)-1}$.

يُعرَّف جداء ماسي جبريًا، عن طريق رفع العناصر${\displaystyle a,b,c}$إلى فئات التكافؤ للعناصر${\displaystyle u,v,w}$ل${\displaystyle \Gamma }$بأخذ نواتج ماسي لهذه العمليات، ثم تطبيقها على علم التماثل. قد ينتج عن ذلك فئة تماثل محددة جيدًا، أو قد ينتج عنه عدم تحديد.

يُعرِّف${\displaystyle {\bar {u}}}$يكون${\displaystyle (-1)^{\deg(u)+1}u}$. فئة التماثل لعنصر ما${\displaystyle u}$ل${\displaystyle \Gamma }$سيتم الإشارة إليه بواسطة${\displaystyle [u]}$يُعرَّف حاصل الضرب الثلاثي لماسي لثلاث فئات من علم التماثل كما يلي:

${\displaystyle \langle [u],[v],[w]\rangle =\{[{\bar {s}}w+{\bar {u}}t]\mid ds={\bar {u}}v,dt={\bar {v}}w\}.}$

إن حاصل ضرب ماسي لثلاث فئات من علم التماثل ليس عنصرًا من${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$، ولكن مجموعة من عناصر${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$قد تكون فارغة وقد تحتوي على أكثر من عنصر واحد. إذا${\displaystyle u,v,w}$حاصل على شهادات جامعية${\displaystyle i,j,k}$إذن، فإن منتج ماسي له درجة${\displaystyle i+j+k-1}$، مع${\displaystyle -1}$قادم من التفاضلي${\displaystyle d}$.

يكون منتج ماسي غير فارغ إذا كانت المنتجات${\displaystyle uv}$و${\displaystyle vw}$كلاهما دقيقان، وفي هذه الحالة تكون جميع عناصرهما في نفس عنصر مجموعة القسمة.

${\displaystyle \displaystyle H^{*}(\Gamma )/([u]H^{*}(\Gamma )+H^{*}(\Gamma )[w]).}$

لذا يمكن اعتبار منتج ماسي بمثابة دالة معرفة على ثلاثيات من الفئات بحيث يكون حاصل ضرب أول أو آخر اثنين صفرًا، ويأخذ قيمًا في مجموعة القسمة المذكورة أعلاه.

بصورة أكثر بساطة، إذا كان ناتجا الزوجين${\displaystyle [u][v]}$و${\displaystyle [v][w]}$كلاهما يختفيان في التماثل (${\displaystyle [u][v]=[v][w]=0}$)، أي،${\displaystyle uv=ds}$و${\displaystyle vw=dt}$بالنسبة لبعض السلاسل${\displaystyle s}$و${\displaystyle t}$ثم الناتج الثلاثي${\displaystyle [u][v][w]}$يختفي "لسببين مختلفين" - إنه حدود${\displaystyle sw}$و${\displaystyle ut}$(منذ${\displaystyle d(sw)=ds\cdot w+s\cdot dw,}$و${\displaystyle [dw]=0}$لأن عناصر التماثل هي دورات). السلاسل المحددة${\displaystyle s}$و${\displaystyle t}$تتسم بعدم التحديد، الذي يختفي عند الانتقال إلى التماثل، ولأن${\displaystyle sw}$و${\displaystyle ut}$إذا كان لهما نفس الحد، فإن طرحهما (اصطلاح الإشارة يُستخدم للتعامل الصحيح مع التدرج) يُعطي دورة مشتركة (يختفي حد الفرق)، وبالتالي نحصل على عنصر مُحدد جيدًا من علم التماثل - هذه الخطوة مماثلة لتعريف${\displaystyle n+1}$مجموعة التماثل أو التماثل من حيث عدم التحديد في التماثل الصفري / التماثل الصفري للخرائط / السلاسل ذات الأبعاد n .

هندسيًا، في علم التماثل المفرد لمتشعب، يمكن تفسير الضرب بشكل مزدوج من حيث المتشعبات المحيطة والتقاطعات، وفقًا لازدواجية بوانكاريه : فالمزدوج للدورات المشتركة هو دورات، غالبًا ما يمكن تمثيلها كمتشعبات مغلقة (بدون حدود)، والمزدوج للضرب هو تقاطع، والمزدوج لطرح الضربات المحيطة هو لصق المتشعبين المحيطين معًا على طول الحدود، مما ينتج عنه متشعب مغلق يمثل فئة التماثل المزدوجة لضرب ماسي. في الواقع، لا يمكن دائمًا تمثيل فئات التماثل للمتشعبات بواسطة متشعبات - فقد تحتوي الدورة الممثلة على نقاط شاذة - ولكن مع هذا التحذير، فإن الصورة المزدوجة صحيحة.

وبشكل أعم، فإن ناتج ماسي ذو n ضعف${\displaystyle \langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle }$من n عنصرًا من${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$يُعرَّف بأنه مجموعة العناصر التي تأخذ الشكل

${\displaystyle {\bar {a}}_{1,1}a_{2,n}+{\bar {a}}_{1,2}a_{3,n}+\cdots +{\bar {a}}_{1,n-1}a_{n,n}}$

لجميع حلول المعادلات

${\displaystyle da_{i,j}={\bar {a}}_{i,i}a_{i+1,j}+{\bar {a}}_{i,i+1}a_{i+2,j}+\cdots +{\bar {a}}_{i,j-1}a_{j,j}}$،

مع${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}$و${\displaystyle (i,j)\neq (1,n)}$، أين${\displaystyle {\bar {u}}}$يشير${\displaystyle (-1)^{\deg(u)}u}$.

منتج ماسي عالي الجودة${\displaystyle \langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle }$يمكن اعتبارها العائق أمام حل نظام المعادلات الأخير لجميع${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}$بمعنى أنه يحتوي على فئة التماثل الصفري إذا وفقط إذا كانت هذه المعادلات قابلة للحل. هذا الضرب الماسي ذو الرتبة n هو${\displaystyle n-1}$عملية التماثل من الرتبة الأولى، أي أنه لكي تكون غير فارغة، يجب أن تحتوي العديد من عمليات ماسي ذات الرتب الأدنى على الصفر، وعلاوة على ذلك، تختلف جميع فئات التماثل التي تمثلها بحدود تتضمن عمليات ذات رتب أدنى. إن حاصل ضرب ماسي الثنائي هو مجرد حاصل ضرب الكأس المعتاد وهو عملية تماثل من الرتبة الأولى، وحاصل ضرب ماسي الثلاثي هو نفسه حاصل ضرب ماسي الثلاثي المعرف أعلاه وهو عملية تماثل من الرتبة الثانية .

وصف ج. بيتر ماي ( 1969 ) تعميمًا آخر يسمى منتجات ماسي المصفوفية ، والتي يمكن استخدامها لوصف تفاضلات التسلسل الطيفي إيلنبرغ-مور . 

تُقدّم مُكمّلة حلقات بوروميان ^{[ 1 ]} مثالًا يُعرّف فيه حاصل ضرب ماسي الثلاثي ويكون غير صفري. تجدر الإشارة إلى أنه يُمكن حساب تماثل المُكمّلة باستخدام ازدواجية ألكسندر . إذا كانت u و v و w سلاسل ثنائية من الدرجة 1 للحلقات الثلاث، فإن حاصل ضرب أي عنصرين منها يكون مُضاعفًا لعدد الربط المُناظر ، وبالتالي يكون صفرًا، بينما يكون حاصل ضرب ماسي للعناصر الثلاثة جميعها غير صفري، مما يُبيّن أن حلقات بوروميان مُرتبطة. يعكس الجبر الهندسة: الحلقات غير مُرتبطة مثنى مثنى، وهو ما يُقابل تلاشي حاصل الضرب الثنائي، لكنها مُرتبطة إجمالًا، وهو ما يُقابل عدم تلاشي حاصل الضرب الثلاثي.

وبشكل أعم، الروابط البرونية ذات المكونات n - الروابط التي يكون فيها أي${\displaystyle (n-1)}$الرابط الفرعي المكون من n عنصر غير مرتبط، لكن الرابط الكلي المكون من n عنصر مرتبط بشكل غير تافه - يتوافق مع منتجات ماسي من الرتبة n ، مع فك ارتباط${\displaystyle (n-1)}$- رابط فرعي للمكون يتوافق مع اختفاء${\displaystyle (n-1)}$منتجات ماسي ذات الـ n ضعفًا، والربط الكلي المكون من n عنصرًا والذي يتوافق مع عدم تلاشي منتج ماسي ذي الـ n ضعفًا.

استخدم أوهارا وماسي (1957) الضرب الثلاثي لماسي لإثبات أن ضرب وايتهيد يحقق هوية جاكوبي .

تظهر نواتج ماسي من الرتب العليا عند حساب نظرية K الملتوية باستخدام متتالية أتياه-هيرزبروش الطيفية (AHSS). على وجه الخصوص، إذا كانت H هي فئة الالتواء 3، فقد أظهر أتياه وسيغال (2006) أنه، منطقيًا، فإن التفاضلات من الرتب العليا${\displaystyle d_{2p+1}\ }$في نظام AHSS الذي يعمل على فئة x يتم إعطاؤه بواسطة حاصل ضرب ماسي لـ p نسخة من H مع نسخة واحدة من x .

إذا كانت متشعبة ما شكلية (بمعنى دينيس سوليفان )، فإن جميع جداءات ماسي على الفضاء يجب أن تتلاشى؛ لذا، تتمثل إحدى استراتيجيات إثبات أن متشعبة معينة ليست شكلية في إظهار جداء ماسي غير تافه. هنا، المتشعبة الشكلية هي تلك التي يمكن استنتاج نوع التماثل العقلاني لها ("شكليًا") من "نموذج أدنى" محدود الأبعاد لمركب دي رام الخاص بها . وقد أثبت ديليجن وآخرون (1975) أن متشعبات كاهلر المدمجة شكلية.

يستخدم سالفاتور ولونغوني (2005) منتج ماسي لإظهار أن نوع التماثل لفضاء التكوين لنقطتين في فضاء العدسة يعتمد بشكل غير بديهي على نوع التماثل البسيط لفضاء العدسة.

• قوس تودا

• أتيياه، مايكل ؛ سيغال، غرايم (2006)، "نظرية K الملتوية وعلم التماثل"، مستوحى من إس إس تشيرن ، سلسلة نانكاي في الرياضيات، المجلد  11، هاكنساك، نيوجيرسي: دار النشر العالمية العلمية، الصفحات 5-43 ، arXiv : math.KT/0510674 ، doi : 10.1142/9789812772688_0002 ، ISBN  978-981-270-061-2، MR 2307274 ، S2CID 119726615  
• ديلين، بيير ؛ غريفيث، فيليب ؛ مورغان، جون ؛ سوليفان، دينيس (1975)، "نظرية التماثل الحقيقي لمتشعبات كاهلر"، Inventiones Mathematicae ، 29 (3): 245-274 ، Bibcode : 1975InMat..29..245D ، doi : 10.1007/BF01389853 ، MR 0382702 ، S2CID 1357812  
• Massey، William S. (1958)، “بعض العمليات العليا لعلم التجانس”، الندوة الدولية للطوبولوجيا الجبرية (الندوة الدولية حول الطوبولوجيا الجبرية) ، مكسيكو سيتي: الجامعة الوطنية المستقلة في المكسيك واليونسكو، الصفحات من 145 إلى 154، MR 0098366  
• ماي، ج. بيتر (1969)، "منتجات ماسي للمصفوفات"، مجلة الجبر ، 12 (4): 533-568 ، doi : 10.1016/0021-8693(69)90027-1 ، MR 0238929 
• مكليلاري، جون (2001)، دليل المستخدم للمتتاليات الطيفية ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  58 (  الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-56759-6، MR 1793722 ، الفصل 8، "منتجات ماسي"، الصفحات 302-304؛ "منتجات ماسي من الرتب العليا"، الصفحات 305-310؛ "منتجات ماسي لشهادة الثانوية العامة"، الصفحات 311-312 {{citation}}: CS1 maint: postscript ( link )
• سالفاتوري، باولو؛ لونغوني، ريكاردو (2005)، "فضاءات التكوين ليست ثابتة تحت التماثل"، الطوبولوجيا ، 44 (2): 375-380 ، arXiv : math/0401075 ، doi : 10.1016/j.top.2004.11.002 ، MR 2114713 ، S2CID 15874513  
• أوهارا، هيروشي؛ ماسي، ويليام س. (1957)، "متطابقة جاكوبي لمنتجات وايتهيد"، الهندسة الجبرية والطوبولوجيا. ندوة تكريمًا لـ س. ليفشيتز ، برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون ، ص 361-377 ، MR 0091473  

• هي وانغ (4 أكتوبر 2012). "منتجات ماسي وتطبيقاتها" (ملف PDF) . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 2021-02-02.– يحتوي على العديد من الأمثلة الواضحة
• آر آر برونر (2 يونيو 2009). "مقدمة في تسلسل أطياف آدامز" (ملف PDF) . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 7 يناير 2013.– ملاحظات برونر
• خوان س (1 أغسطس 2012). "منتجات ماسي في تسلسل أدامز الطيفي" . ستاك إكستشينج .– يحتوي على مراجع مفيدة لفهم كيفية إجراء هذه الحسابات
• دانيال غرادي (25 فبراير 2015). "منتجات ماسي و${\displaystyle A_{\infty }}$الهياكل . MathOverflow .