هوية جاكوبي

في الرياضيات ، تُعرف متطابقة جاكوبي بأنها خاصية للعمليات الثنائية ، وتصف كيف يؤثر ترتيب التقييم، أي موضع الأقواس في عملية الضرب، على نتيجة العملية. في المقابل، بالنسبة للعمليات ذات الخاصية التجميعية ، فإن أي ترتيب للتقييم يُعطي النتيجة نفسها (لا حاجة للأقواس في عملية الضرب). سُميت هذه المتطابقة نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني كارل غوستاف جاكوب جاكوبي ، الذي استنتجها لأقواس بواسون في بحثه المنشور عام 1862 حول المعادلات التفاضلية. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

الضرب الاتجاهي${\displaystyle a\times b}$وعملية قوس لي${\displaystyle [a,b]}$كلاهما يحقق متطابقة جاكوبي. ^{[ 3 ]} في الميكانيكا التحليلية ، تتحقق متطابقة جاكوبي بواسطة أقواس بواسون . في ميكانيكا الكم ، تتحقق بواسطة مبدلات المؤثرات على فضاء هيلبرت ، وبشكل مكافئ في صياغة فضاء الطور لميكانيكا الكم بواسطة قوس مويال .

يترك${\displaystyle +}$أن تكون عملية ثنائية و${\displaystyle \times }$لتكن عملية ثنائية مضادة للتبديل ، ولتكن${\displaystyle 0}$كن عنصر الهوية لـ${\displaystyle +}$. الهوية جاكوبي هي

${\displaystyle x\times (y\times z)\ +\ y\times (z\times x)\ +\ z\times (x\times y)\ =\ 0.}$

لاحظ النمط في المتغيرات على الجانب الأيسر من هذه المتطابقة. في كل تعبير لاحق من الشكل${\displaystyle a\times (b\times c)}$المتغيرات${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$و${\displaystyle z}$يتم تبديلها وفقًا للدورة${\displaystyle x\mapsto y\mapsto z\mapsto x}$أو بدلاً من ذلك، يمكننا أن نلاحظ أن الثلاثيات المرتبة${\displaystyle (x,y,z)}$،${\displaystyle (y,z,x)}$و${\displaystyle (z,x,y)}$، هي التباديل الزوجية للثلاثية المرتبة${\displaystyle (x,y,z)}$.

تنشأ متطابقة جاكوبي للضرب الاتجاهي من حقيقة أن الضرب الاتجاهي لمتجهين ثابتين بالنسبة لإطار مرجعي دوار يدور أيضًا مع ذلك الإطار المرجعي. تحديدًا، ليكن${\displaystyle \mathbf {a} }$و${\displaystyle \mathbf {b} }$ليكن متجهان يدوران مع إطار مرجعي،${\displaystyle D}$ليكن المؤثر التفاضلي النسبي للإطار، و${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}}$ليكن متجه السرعة الزاوية . لدينا

${\displaystyle D(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-{\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

لدينا أيضًا

${\displaystyle D\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times D\mathbf {b} =\left({\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} -({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} )\times \mathbf {b} \right)+\left(\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}}-\mathbf {a} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {b} )\right)}$

كلتا المعادلتين تعطيان المتجه الصفري لأن${\displaystyle D(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=D\mathbf {a} =D\mathbf {b} =\mathbf {0} }$باستخدام خاصية الخطية الثنائية وخاصية التبادل العكسي للضرب التقاطعي، نصل إلى

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times {\boldsymbol {\omega }})+\mathbf {b} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} )=\mathbf {0} }$

أبسط مثال توضيحي لجبر لي يتم بناؤه من الحلقة (التجميعية) لـ${\displaystyle n\times n}$المصفوفات، التي يمكن اعتبارها حركات متناهية الصغر في فضاء متجهي ذي n بُعد. عملية الضرب (×) هي المُبدِّل ، الذي يقيس فشل خاصية التبديل في ضرب المصفوفات. بدلاً من${\displaystyle X\times Y}$، يتم استخدام تدوين الأقواس لي:

${\displaystyle [X,Y]=XY-YX.}$

في هذا التدوين، تكون متطابقة جاكوبي كما يلي:

${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]\ =\ 0}$

يمكن التحقق من ذلك بسهولة عن طريق الحساب.

وبشكل أعم، إذا كانت A جبرًا ترابطيًا و V فضاءً جزئيًا من A مغلقًا تحت عملية الأقواس:${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ينتمي إلى V للجميع${\displaystyle X,Y\in V}$^{[ 4 ]} وبالتالي ، إذا كانت العملية الثنائية${\displaystyle [X,Y]}$إذا حقق شرط جاكوبي، فيمكن القول إنه يتصرف كما لو كان معطى بواسطة${\displaystyle XY-YX}$في بعض الجبر الترابطي حتى لو لم يتم تعريفه بهذه الطريقة فعليًا.

باستخدام خاصية التناظر العكسي${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$، يمكن إعادة كتابة متطابقة جاكوبي كتعديل للخاصية التجميعية :

${\displaystyle [[X,Y],Z]=[X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]]~.}$

لو${\displaystyle [X,Z]}$هو تأثير الحركة المتناهية الصغر X على Z ، والذي يمكن التعبير عنه على النحو التالي:

الفعل Y متبوعًا بفعل X (المشغل)${\displaystyle [X,[Y,\cdot \ ]]}$), مطروحًا منه فعل X متبوعًا بفعل Y (المؤثر)${\displaystyle ([Y,[X,\cdot \ ]]}$، يساوي فعل${\displaystyle [X,Y]}$، (المشغل)${\displaystyle [[X,Y],\cdot \ ]}$).

يوجد أيضًا عدد كبير من متطابقات جاكوبي المتدرجة التي تتضمن مضادات التبديل${\displaystyle \{X,Y\}}$، مثل:

${\displaystyle [\{X,Y\},Z]+[\{Y,Z\},X]+[\{Z,X\},Y]=0,\qquad [\{X,Y\},Z]+\{[Z,Y],X\}+\{[Z,X],Y\}=0.}$

تأتي معظم الأمثلة الشائعة لهوية جاكوبي من عملية الضرب بين الأقواس${\displaystyle [x,y]}$حول جبر لي وحلقات لي . تُكتب متطابقة جاكوبي على النحو التالي:

${\displaystyle [x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0.}$

لأن عملية الضرب بين الأقواس متناظرة عكسيًا ، فإن متطابقة جاكوبي تقبل صياغتين متكافئتين. بتعريف المؤثر المرافق${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:y\mapsto [x,y]}$تصبح الهوية:

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}[y,z]=[\operatorname {ad} _{x}y,z]+[y,\operatorname {ad} _{x}z].}$

وبالتالي، تنص متطابقة جاكوبي لجبر لي على أن تأثير أي عنصر على الجبر هو اشتقاق . ويُستخدم هذا الشكل من متطابقة جاكوبي أيضًا لتعريف مفهوم جبر لايبنتز .

يُظهر ترتيب آخر أن متطابقة جاكوبي تُكافئ المتطابقة التالية بين عوامل التمثيل المرافق:

${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}].}$

هناك، يمثل القوس الموجود على الجانب الأيسر عملية الجبر الأصلي، ويمثل القوس الموجود على الجانب الأيمن مبدل تركيب المؤثرات، وتنص المعادلة على أن${\displaystyle \mathrm {ad} }$الخريطة التي ترسل كل عنصر إلى فعله المرافق هي تماثل جبر لي .

• إن متطابقة هول-ويت هي المتطابقة المماثلة لعملية التبديل في مجموعة .

• تنطبق متطابقة جاكوبي ذات الرتبة الأعلى التالية في جبر لي التعسفي: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle [[[x_{1},x_{2}],x_{3}],x_{4}]+[[[x_{2},x_{1}],x_{4}],x_{3}]+[[[x_{3},x_{4}],x_{1}],x_{2}]+[[[x_{4},x_{3}],x_{2}],x_{1}]=0.}$

• تُعادل متطابقة جاكوبي قاعدة الضرب ، حيث يعمل قوس لي كضرب ومشتق في آن واحد: ${\displaystyle [X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]}$. لو${\displaystyle X,Y}$إذا كانت حقولًا متجهة، فإن${\displaystyle [X,Y]}$هو حرفيًا عامل مشتق يعمل على${\displaystyle Y}$، أي مشتق لي${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$.

• ثوابت البنية
• هوية سوبر جاكوبي
• معضلة المجموعات الفرعية الثلاث (هوية هول-ويت)
• هوية المنتج الخماسية

• هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  222 (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ISBN 978-3319134666.
• جاكوبي، CGJ (1862). "طريقة جديدة، المعادلات التفاضلية الجزئية الأولية الترتيبية بين الأعداد المتغيرة التي مقترحات متكاملة" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 60 : 1-181.
• هوكينز، توماس (1991). "جاكوبي ونشأة نظرية لي للمجموعات". أرشيف التاريخ والعلوم الدقيقة 42 ( 3): 187-278. doi : 10.1007/BF00375135 .

• وايسستين، إريك دبليو. “هويات جاكوبي” . عالم الرياضيات .