مشعب كاهلر

في الرياضيات ، وخاصةً في الهندسة التفاضلية ، يُعرف مشعب كاهلر بأنه مشعب ذو ثلاث بنى متوافقة فيما بينها: بنية عقدية ، وبنية ريمانية ، وبنية تماثلية . دُرِس هذا المفهوم لأول مرة على يد يان أرنولدوس شوتين وديفيد فان دانتزيغ عام 1930، ثم قدمه إريك كاهلر عام 1933. وقد استقر أندريه ويل على المصطلحات المستخدمة . تشير هندسة كاهلر إلى دراسة مشعبات كاهلر، وهندستها وطوبولوجيتها، بالإضافة إلى دراسة البنى والإنشاءات التي يمكن إجراؤها على مشعبات كاهلر، مثل وجود روابط خاصة كوصلات يانغ-ميلز الهرميتية ، أو مقاييس خاصة كمقاييس كاهلر-أينشتاين .

كل تنوع إسقاطي عقدي أملس هو متعدد شعب كاهلر. تُعد نظرية هودج جزءًا أساسيًا من الهندسة الجبرية ، وقد تم إثباتها باستخدام مقاييس كاهلر.

بما أن مشعبات كاهلر مزودة بالعديد من البنى المتوافقة، فإنه يمكن وصفها من وجهات نظر مختلفة. وتأتي تكافؤ وجهات النظر هذه أساسًا من حقيقة أن المجموعة الوحدوية${\displaystyle \mathrm {U} (ن)}$هو تقاطع أي مجموعتين بين${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} ),\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$و${\displaystyle \mathrm {O} (2n)}$.

1. فضاء معقد${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$مع المقياس الهرميتي القياسي، يكون متعدد الشعب كاهلر.
2. حلقة معقدة مضغوطة${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$مع${\displaystyle \Lambda }$ترث الشبكة الكاملة مقياسًا مسطحًا من المقياس الإقليدي على${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$وبالتالي فهو عبارة عن مشعب كاهلر مضغوط.
3. كل مقياس ريماني على متعدد شعب ثنائي الأبعاد موجه هو مقياس كاهلر. (في الواقع، زمرة التماثل الخاصة به موجودة في زمرة الدوران).${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$، وهو ما يساوي المجموعة الوحدوية${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$على وجه الخصوص، يُعدّ مشعب ريماني ثنائي الأبعاد مُوجّه سطح ريماني بطريقة قياسية؛ ويُعرف هذا بوجود إحداثيات متساوية الحرارة . وعلى العكس من ذلك، فإن كل سطح ريماني هو سطح كاهلر، لأن شكل كاهلر لأي متري هيرميتي مغلق لأسباب تتعلق بالأبعاد.
4. يوجد اختيار قياسي لمقياس كاهلر على الفضاء الإسقاطي المركب${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$مقياس فوبيني -ستودي . أحد الأوصاف يتضمن المجموعة الوحدوية${\displaystyle \mathrm {U} (n+1)}$، مجموعة التشاكلات الخطية لـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$التي تحافظ على الشكل الهرميتي القياسي. مقياس فوبيني-ستودي هو المقياس الريماني الفريد على${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$(حتى مضاعف موجب) الذي يظل ثابتًا تحت تأثير${\displaystyle \mathrm {U} (n+1)}$على${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$أحد التعميمات الطبيعية لـ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$تُوفّرها الفضاءات المتناظرة الهرميتية من النوع المضغوط، مثل فضاءات غراسمان . ويتمتع المقياس الكاهلري الطبيعي على الفضاء المتناظر الهرميتي من النوع المضغوط بانحناء قطاعي غير سالب.
5. المقياس المستحث على مشعب فرعي معقد من مشعب كاهلر هو كاهلر. على وجه الخصوص، أي مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$أي مشعب شتاين (مضمن في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) أو أي نوع جبري إسقاطي سلس (مضمن في${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$) هو كاهلر. وهذا يوفر فئة كبيرة من الأمثلة.
6. كرة الوحدة المفتوحة${\displaystyle \mathbb {B} ^{n}}$في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$يمتلك فضاء الكرة مقياس كاهلر كاملاً يُسمى مقياس بيرغمان ، بانحناء مقطعي هولومورفي يساوي -1. ويُقدم تعميم طبيعي للكرة بواسطة الفضاءات المتناظرة الهرميتية من النوع غير المتراص، مثل فضاء سيجل النصفي العلوي . كل فضاء متناظر هرميتي${\displaystyle X}$يكون النوع غير المضغوط ثنائي الشكل بالنسبة لمجال محدود في بعض${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ومقياس بيرغمان لـ${\displaystyle X}$هو مقياس كاهلر كامل ذو انحناء مقطعي غير موجب.
7. كل سطح K3 هو سطح كاهلر (بحسب سيو). ^{[ 4 ]}

دالة حقيقية سلسة${\displaystyle \rho }$يُطلق على الشكل المغلق الحقيقي (1,1) اسم الشكل التوافقي الفرعي المتعدد تمامًا على مشعب معقد إذا كان الشكل المغلق الحقيقي (1,1)

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho }$

موجب، أي أنه شكل كاهلر. هنا${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$هي عوامل دولبو . الدالة${\displaystyle \rho }$يُطلق عليه اسم جهد كاهلر لـ${\displaystyle \omega }$.

وعلى النقيض من ذلك، من خلال النسخة المعقدة من معضلة بوانكاريه ، والمعروفة باسم المحلية${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-ليما ، يمكن وصف كل مقياس كاهلر محليًا بهذه الطريقة. أي، إذا${\displaystyle (X,\omega )}$إذا كان متعدد الشعب من نوع كاهلر، فلكل نقطة${\displaystyle p}$في${\displaystyle X}$يوجد حي${\displaystyle U}$ل${\displaystyle p}$ودالة حقيقية سلسة${\displaystyle \rho }$على${\displaystyle U}$بحيث${\displaystyle {\omega \vert }_{U}=(i/2)\partial {\bar {\partial }}\rho }$[ ^{5 ]} هنا^​${\displaystyle \rho }$يُطلق عليه اسم جهد كاهلر المحلي لـ${\displaystyle \omega }$لا توجد طريقة مماثلة لوصف مقياس ريماني عام من حيث دالة واحدة.

على مشعب كاهلر${\displaystyle (X,\omega )}$من الأبعاد${\displaystyle n}$، شكل الحجم${\displaystyle {\frac {\omega ^{n}}{n!}}}$مرتبط بالشكل التبسيطي${\displaystyle \omega }$وهو أيضًا شكل الحجم الريماني للمقياس${\displaystyle g=\mathrm {Re} (\omega )}$[ ^{6 ]​}

من السمات المميزة لمتشعبات كاهلر المدمجة حقيقة أن حجم الفضاء الفرعي العقدي المغلق لـ${\displaystyle Y}$يتم تحديده من خلال فئته الأساسية${\displaystyle [Y]}$تمت مشاهدته في${\displaystyle H_{*}(X,\mathbb {Z} )}$بمعنى ما، هذا يعني أن هندسة الفضاء الجزئي المركب محدودة من حيث طوبولوجيته. (وهذا لا ينطبق إطلاقًا على الفضاءات الجزئية الحقيقية). وبصراحة، تنص صيغة ويرتينجر على أن

${\displaystyle \mathrm {vol} (Y)={\frac {1}{r!}}\int _{Y}\omega ^{r}}$

أين${\displaystyle Y}$هو فضاء فرعي معقد مغلق ذو أبعاد r و${\displaystyle \omega }$هي صيغة كاهلر. ^{[ 7 ]} بما أن${\displaystyle \omega }$إذا كانت المجموعة مغلقة، فإن هذا التكامل يعتمد فقط على الفئة الأساسية لـ${\displaystyle Y}$في${\displaystyle H_{2r}(X,\mathbb {R} )}$ويمكن التعبير عنها على النحو التالي:

${\displaystyle \mathrm {vol} (Y)={\frac {1}{r!}}[\omega ]^{r}\cdot [Y],}$.

تتسم هذه المجلدات دائمًا بالإيجابية، مما يعكس إيجابية قوية لدى فئة كاهلر.${\displaystyle \omega }$في${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$فيما يتعلق بالفضاءات الفرعية المعقدة. على وجه الخصوص،${\displaystyle \omega ^{n}\neq 0}$لمشعب كاهلر صغير الحجم${\displaystyle X}$ذو أبعاد معقدة${\displaystyle n\geq 1}$.

ومن الحقائق ذات الصلة أن كل فضاء عقدي مغلق${\displaystyle Y}$من مشعب كاهلر صغير الحجم${\displaystyle X}$هي فضاء فرعي أدنى (خارج مجموعتها المفردة). بل وأكثر من ذلك: بحسب نظرية الهندسة المعايرة ،${\displaystyle Y}$يقلل الحجم بين جميع الدورات (الحقيقية) في نفس فئة التماثل.

نتيجةً للتفاعل القوي بين البنى الملساء والمعقدة والريمانية على مشعب كاهلر، توجد متطابقات طبيعية بين مختلف المؤثرات على الأشكال التفاضلية المعقدة لمشعبات كاهلر، وهي متطابقات لا تنطبق على المشعبات المعقدة الأخرى. تربط هذه المتطابقات المشتقة الخارجية${\displaystyle d}$، مشغلو دولبو${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$وأتباعهم، اللابلاسيون${\displaystyle \Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}}$، ومؤثر ليفشيتز${\displaystyle L:=\omega \wedge -}$ومرافقه، عامل الانقباض${\displaystyle \Lambda =L^{*}}$[ ^{٨ ]} تُشكّل المتطابقات أساس الأدوات التحليلية على مشعبات كاهلر، وبالاقتران مع نظرية هودج، تُعدّ أساسية في إثبات العديد من الخصائص المهمة لمشعبات كاهلر وتماثلها. وعلى وجه الخصوص، تُعدّ متطابقات كاهلر حاسمة في إثبات ^نظريتي كودايرا وناكاو للتلاشي ، ونظرية ليفشيتز للمستوى الفائق ، ونظرية هارد ليفشيتز ، وعلاقات هودج-ريمان الثنائية الخطية ، ونظرية مؤشر هودج .

على مشعب ريماني ذي بُعد${\displaystyle n}$، لابلاس على سطح أملس${\displaystyle r}$يتم تعريف -forms بواسطة ${\displaystyle \Delta _{d}=dd^{*}+d^{*}d}$ أين${\displaystyle d}$هو المشتق الخارجي و${\displaystyle d^{*}=-(-1)^{n(r+1)}\star d\,\star }$، أين${\displaystyle \star }$هو مشغل نجمة هودج . (بمعنى آخر،${\displaystyle d^{*}}$هو المرافق لـ${\displaystyle d}$فيما يتعلق بالضرب الداخلي L ² على${\displaystyle r}$(أشكال ذات دعم مضغوط.) بالنسبة لمتشعب هيرميتي${\displaystyle X}$،${\displaystyle d}$و${\displaystyle d^{*}}$تتحلل على النحو التالي

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }},\ \ \ \ d^{*}=\partial ^{*}+{\bar {\partial }}^{*},}$

وتم تعريف اثنين آخرين من اللابلاسيين:

${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\ \ \ \ \Delta _{\partial }=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial .}$

لو${\displaystyle X}$إذا كان كاهلر، فإن متطابقات كاهلر تعني أن هذه اللابلاسية كلها متشابهة حتى ثابت: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }}=2\Delta _{\partial }.}$

تشير هذه الهويات إلى أنه على مشعب كاهلر${\displaystyle X}$،

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}(X)=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {H}}^{p,q}(X),}$

أين${\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}}$هو فضاء التوافقيات${\displaystyle r}$- نماذج على${\displaystyle X}$(نماذج)${\displaystyle \alpha }$مع${\displaystyle \Delta \alpha =0}$) و${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p,q}}$هو فضاء التوافقيات${\displaystyle (p,q)}$-forms . أي، شكل تفاضلي${\displaystyle \alpha }$تكون متناغمة إذا وفقط إذا كان كل من${\displaystyle (p,q)}$المكونات متناغمة.

علاوة على ذلك، بالنسبة لمشعب كاهلر صغير الحجم${\displaystyle X}$تحتوي كل فئة من فئات التماثل في تماثل دي رام أو تماثل دولبو على ممثل توافقي فريد. وبالتالي، فإن تحليل الأشكال التوافقية إلى مكونات (p,q) يؤدي إلى تحليل هودج.

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbb {R} )=\bigoplus _{p+q=r}H^{p,q}(X,\mathbb {C} ).}$

علاوة على ذلك، تقدم نظرية هودج تفسيراً لهذا الانقسام لا يعتمد على اختيار مقياس كاهلر. أي، علم التماثل.${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )}$ل${\displaystyle X}$مع معاملات معقدة تنقسم كمجموع مباشر لمجموعات تماثل حزم متماسكة معينة : ^{[ 10 ]}

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{p+q=r}H^{q}(X,\Omega ^{p}).}$

تعتمد المجموعة الموجودة على اليسار فقط على${\displaystyle X}$كمساحة طوبولوجية، بينما تعتمد المجموعات على اليمين على${\displaystyle X}$باعتبارها فضاءً متعدد الشعب معقدًا. لذا، تربط نظرية هودج للتحليل بين الطوبولوجيا والهندسة المعقدة للفضاءات متعددة الشعب المدمجة من نوع كاهلر.

بدلاً من ذلك، يمكن إثبات أن تحليل هودج مستقل عن مقياس كاهلر باستخدام علم التماثل بوت تشيرن ^{[ 11 ]} .

يترك${\displaystyle H^{p,q}(X)}$ليكن فضاء المتجهات المركب${\displaystyle H^{q}(X,\Omega ^{p})}$والذي يمكن تحديده بالفضاء${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p,q}(X)}$من الأشكال التوافقية بالنسبة لمقياس كاهلر معين. أعداد هودج لـ${\displaystyle X}$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle h^{p,q}(X)=\mathrm {dim} _{\mathbf {C} }H^{p,q}(X)}$يستلزم تحليل هودج تحليل أعداد بيتي لمتشعب كاهلر مضغوط${\displaystyle X}$من حيث أرقام هودج الخاصة بها:

${\displaystyle b_{r}=\sum _{p+q=r}h^{p,q}.}$

تحقق أعداد هودج لمتشعب كاهلر المضغوط عدة متطابقات. تناظر هودج${\displaystyle h^{p,q}=h^{q,p}}$يبقى صحيحًا لأن لابلاس${\displaystyle \Delta _{d}}$هو مشغل حقيقي، ولذا${\displaystyle H^{p,q}={\overline {H^{q,p}}}}$الهوية${\displaystyle h^{p,q}=h^{n-p,n-q}}$يمكن إثبات ذلك باستخدام حقيقة أن مؤثر نجمة هودج يعطي تماثلًا${\displaystyle H^{p,q}\cong {\overline {H^{n-p,n-q}}}}$ويترتب على ذلك أيضاً ثنائية سير .

من النتائج البسيطة لنظرية هودج أن كل عدد بيتي فردي${\displaystyle b_{2a+1}}$يكون عدد عناصر مشعب كاهلر المضغوط زوجيًا، وفقًا لتناظر هودج. وهذا لا ينطبق على المشعبات المركبة المضغوطة بشكل عام، كما يتضح من مثال سطح هوبف ، الذي له شكل متماثل مع${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{3}}$وبالتالي لديه${\displaystyle b_{1}=1}$.

تُعدّ "حزمة كاهلر" مجموعة من القيود الإضافية على تماثلية مشعبات كاهلر المدمجة، استنادًا إلى نظرية هودج. وتشمل النتائج نظرية ليفشيتز للمستويات الفائقة ، ونظرية ليفشيتز الصعبة ، وعلاقات هودج-ريمان الثنائية الخطية . ^{[ 12 ]} ومن النتائج ذات الصلة أن كل مشعب كاهلر مدمج هو مشعب شكلي بالمعنى المقصود في نظرية التماثل العقلاني. ^{[ 13 ]}

لا يزال السؤال مفتوحًا حول أي الزمر يمكن أن تكون زمرًا أساسية لمتشعبات كاهلر المدمجة، والتي تُسمى زمر كاهلر . تُقدم نظرية هودج العديد من القيود على زمر كاهلر الممكنة. ^{[ 14 ]} أبسط هذه القيود هو أن يكون للتحويل الأبلي لزمرة كاهلر رتبة زوجية، نظرًا لأن عدد بيتي${\displaystyle b_{1}}$عدد الأعداد الصحيحة في فضاء كاهلر المضغوط زوجي. (على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {Z} }$(ليست المجموعة الأساسية لمتشعب كاهلر مضغوط.) امتدادات النظرية مثل نظرية هودج غير الأبيلية تعطي قيودًا إضافية على المجموعات التي يمكن أن تكون مجموعات كاهلر.

بدون شرط كاهلر، يكون الوضع بسيطًا: أظهر كليفورد تاوبس أن كل مجموعة معروضة بشكل محدود تنشأ كمجموعة أساسية لبعض المشعبات المعقدة المدمجة ذات البعد 3. ^{[ 15 ]} (على العكس من ذلك، فإن المجموعة الأساسية لأي مشعب مغلق تكون معروضة بشكل محدود.)

تُحدد نظرية كودايرا للتضمين خصائص التنوعات الإسقاطية المركبة الملساء بين جميع مشعبات كاهلر المدمجة. أي أن مشعبًا مركبًا مدمجًا${\displaystyle X}$تكون إسقاطية إذا وفقط إذا كان هناك شكل كاهلر${\displaystyle \omega }$على${\displaystyle X}$صفه في${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$هي على صورة مجموعة التماثل التكاملي${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$(لأن المضاعف الموجب لشكل كاهلري هو شكل كاهلري، فإن القول بأن${\displaystyle X}$له شكل كاهلر الذي ينتمي إلى فئة${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$يأتي من${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Q} )}$.) أو بعبارة أخرى،${\displaystyle X}$تكون إسقاطية إذا وفقط إذا كانت هناك حزمة خطية هولومورفية${\displaystyle L}$على${\displaystyle X}$بمقياس هيرميتي يكون شكل انحنائه${\displaystyle \Theta }$موجب (لأن${\displaystyle {\frac {i}{2\pi }}\Theta }$ثم يكون شكل كاهلر الذي يمثل فئة تشيرن الأولى من${\displaystyle L}$في${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$أي شكل من أشكال كاهلر${\displaystyle \omega }$صفه في${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$ينتمي إلى${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$يُطلق عليه اسم نموذج هودج${\displaystyle X}$والمقياس الريماني المرتبط بـ${\displaystyle \omega }$يُطلق عليه اسم مقياس هودج. يُطلق على مشعب كاهلر المضغوط المزود بمقياس هودج اسم مشعب هودج. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

تسري العديد من خصائص مشعبات كاهلر في عمومية أكبر قليلاً لـ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-المتشعبات، أي المتشعبات المركبة المدمجة التي يكون فيها${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$تتحقق اللمة . على وجه الخصوص، يُعدّ علم التماثل بوت-تشيرن بديلاً لعلم التماثل دولبو للمشعبات المركبة المدمجة، وهما متماثلان إذا وفقط إذا حقق المشعب الشروط التالية:${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lemma، وتتفق بشكل خاص عندما يكون التشعب كاهلر. بشكل عام، تحتوي نواة الخريطة الطبيعية من تماثل بوت-تشيرن إلى تماثل دولبو على معلومات حول فشل التشعب في أن يكون كاهلر. ^{[ 18 ]}

كل منحنى معقد مضغوط هو إسقاطي، ولكن في بُعد معقد لا يقل عن 2، توجد العديد من مشعبات كاهلر المضغوطة غير الإسقاطية؛ على سبيل المثال، معظم الأسطح الحلقية المعقدة المضغوطة ليست إسقاطية. قد يتساءل المرء عما إذا كان من الممكن على الأقل تشويه كل مشعب كاهلر مضغوط (عن طريق تغيير البنية المعقدة باستمرار) إلى تنوع إسقاطي أملس. يشير عمل كونيهيكو كودايرا حول تصنيف الأسطح إلى أنه يمكن بالفعل تشويه كل مشعب كاهلر مضغوط ذي بُعد معقد 2 إلى تنوع إسقاطي أملس. ومع ذلك، وجدت كلير فوازين أن هذا يفشل في الأبعاد التي لا تقل عن 4. فقد أنشأت مشعب كاهلر مضغوطًا ذا بُعد معقد 4 لا يكافئ حتى تماثليًا أي تنوع إسقاطي معقد أملس. ^{[ 19 ]}

يمكن أيضًا طلب توصيف للمتشعبات الكاهلرية المدمجة من بين جميع المتشعبات المركبة المدمجة. في البعد المركب 2، أثبت كودايرا ويوم -تونغ سيو أن السطح المركب المدمج يمتلك مقياس كاهلر إذا وفقط إذا كان عدد بيتي الأول فيه زوجيًا. ^{[ 4 ]} وقدّم بوخدال ولاماري، بشكل مستقل، برهانًا بديلًا لهذه النتيجة لا يتطلب دراسة كل حالة على حدة باستخدام تصنيف الأسطح المركبة المدمجة. ^{[ 20 ] [ 21 ]} وبالتالي، فإن "الكاهلرية" خاصية طوبولوجية بحتة للأسطح المركبة المدمجة. ومع ذلك، يُظهر مثال هيروناكا أن هذا لا ينطبق في الأبعاد 3 على الأقل. بتفصيل أكثر، المثال عبارة عن عائلة ذات مُعامل واحد من المتشعبات المركبة المدمجة ثلاثية الأبعاد الملساء، بحيث تكون معظم الألياف كاهلرية (بل وإسقاطية)، لكن أحد الألياف ليس كاهلريًا. وبالتالي، يمكن أن يكون المتشعب الكاهلري المدمج متماثلًا مع متشعب مركب غير كاهلري.

يُطلق على مشعب كاهلر اسم كاهلر-أينشتاين إذا كان له انحناء ريتشي ثابت . وبصورة مكافئة، يكون موتر انحناء ريتشي مساويًا لثابت.${\displaystyle \lambda }$مضروبًا في موتر القياس ،${\displaystyle \mathrm {Ric} =\lambda g}$يُستقى الاستشهاد بأينشتاين من النسبية العامة ، التي تنص على أنه في غياب الكتلة، يكون الزمكان متعدد الشعب لورنتزيًا رباعي الأبعاد ذو انحناء ريتشي صفري. راجع مقالة متعددات شعب أينشتاين لمزيد من التفاصيل.

على الرغم من أن انحناء ريتشي مُعرَّف لأي مشعب ريماني، إلا أنه يلعب دورًا خاصًا في هندسة كاهلر: انحناء ريتشي لمشعب كاهلر${\displaystyle X}$يمكن اعتبارها شكلاً مغلقاً حقيقياً (1,1) يمثل فئة تشيرن الأولى للحزمة المماسية لـ${\displaystyle X}$في${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$ويترتب على ذلك أن الحزمة الأساسية لمتشعب كاهلر-أينشتاين المضغوط${\displaystyle X}$إما أن يكون مضادًا للسعة، أو تافهًا من الناحية الهومولوجي، أو وفيرًا ، اعتمادًا على ما إذا كان الثابت${\displaystyle \lambda }$تكون قيمة موجبة أو صفرية أو سالبة. تُسمى مشعبات كاهلر المدمجة من هذه الأنواع الثلاثة على التوالي: مشعبات فانو ، ومشعبات كالابي-ياو ، ومشعبات ذات حزمة قانونية وافرة (مما يعني النوع العام ). وبحسب نظرية كودايرا للتضمين، فإن مشعبات فانو والمشعبات ذات الحزمة القانونية الوافرة هي تلقائيًا أصناف إسقاطية.

أثبت شينغ-تونغ ياو حدسية كالابي : كل تنوع إسقاطي أملس ذي حزمة قانونية وافرة يمتلك مقياس كاهلر-أينشتاين (مع انحناء ريتشي سالب ثابت)، وكل مشعب كالابي-ياو يمتلك مقياس كاهلر-أينشتاين (مع انحناء ريتشي صفري). تُعد هذه النتائج مهمة لتصنيف التنوعات الجبرية، مع تطبيقات مثل متباينة مياوكا-ياو للتنوعات ذات الحزمة القانونية الوافرة، وتحليل بوفيل-بوغومولوف لمشعبات كالابي-ياو. ^{[ 22 ]}

على النقيض من ذلك، لا تمتلك كل أصناف فانو الملساء مقياس كاهلر-أينشتاين (الذي يتميز بانحناء ريتشي موجب ثابت). ومع ذلك، أثبت كل من شيوكسيونغ تشين، وسيمون دونالدسون ، وسونغ صن حدسية ياو- تيان -دونالدسون: يمتلك صنف فانو الأملس مقياس كاهلر-أينشتاين إذا وفقط إذا كان مستقرًا من النوع K ، وهو شرط جبري-هندسي بحت.

في الحالات التي يتعذر فيها وجود مقياس كاهلر-أينشتاين، يمكن دراسة تعميمات معتدلة تشمل مقاييس كاهلر ذات الانحناء القياسي الثابت ومقاييس كاهلر المتطرفة . وعندما يكون مقياس كاهلر-أينشتاين موجودًا، فإن هذه التعميمات الأوسع نطاقًا تكون تلقائيًا مقياس كاهلر-أينشتاين.

• متعدد الأوجه شبه المعقد
• مشعب هايبركاهل
• مشعب كواتيرنيون-كاهلر
• دالة طاقة K

• "Kähler manifold" ، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• مورويانو، أندريه (2004)، محاضرات عن هندسة كالر (PDF)