رياضيات طي الورق

طي الخريطة لشبكة مربعات 2 × 2: هناك ثماني طرق مختلفة لطي هذه الخريطة على طول طياتها.

حظي فن طي الورق ( الأوريغامي ) باهتمام كبير في الدراسات الرياضية . وتشمل مجالات الاهتمام إمكانية طي نموذج ورقي معين بشكل مسطح (أي ما إذا كان من الممكن فرد النموذج دون إتلافه)، واستخدام طيات الورق لحل المعادلات الرياضية حتى الدرجة الثالثة. ^{[ 1 ]}

يُعدّ فن طي الورق الحاسوبي فرعًا حديثًا من علوم الحاسوب ، يهتم بدراسة الخوارزميات التي تحلّ مشاكل طي الورق. وقد شهد هذا المجال نموًا ملحوظًا منذ نشأته في تسعينيات القرن الماضي مع خوارزمية TreeMaker التي ابتكرها روبرت لانغ للمساعدة في الطي الدقيق للقواعد. ^{[ 2 ]} تتناول نتائج فن طي الورق الحاسوبي إما تصميم الأوريغامي أو قابلية طيّه. ^{[ 3 ]} في مشاكل تصميم الأوريغامي، يتمثل الهدف في تصميم جسم يمكن طيّه من الورق وفقًا لتكوين مُحدد. أما في مشاكل قابلية طي الأوريغامي، فيتمثل الهدف في طيّ شيء ما باستخدام طيّات التكوين الأولي. وقد كانت نتائج مشاكل تصميم الأوريغامي أسهل في الوصول إليها من نتائج مشاكل قابلية طيّه. ^{[ 3 ]}

تاريخ

في عام ١٨٩٣، نشر الموظف المدني الهندي تي. سوندارا رو كتاب "تمارين هندسية في طي الورق" ، الذي استخدم فيه طي الورق لإثبات صحة الإنشاءات الهندسية. استُلهم هذا العمل من استخدام فن الأوريغامي في رياض الأطفال . وقد برهن رو على إمكانية تقسيم الزوايا إلى ثلاثة أجزاء متساوية تقريبًا، وأشار ضمنيًا إلى استحالة إيجاد الجذر التكعيبي. ^{[ ٤ ]}

في عام 1922، نشر هاري هوديني كتاب "سحر الورق لهوديني"، الذي وصف تقنيات الأوريغامي التي استمدت بشكل غير رسمي من مناهج رياضية تم صياغتها لاحقًا بشكل رسمي. ^{[ 5 ]}

في عام 1936، أظهرت مارغريتا ب. بيلوش أن استخدام " طية بيلوش "، التي استخدمت لاحقًا في البديهية السادسة من بديهيات هوزيتا-هاتوري ، سمح بحل المعادلة التكعيبية العامة باستخدام فن الأوريغامي. ^{[ 1 ]}

في عام 1949، وصف كتاب آر سي ييتس "الأساليب الهندسية" ثلاثة إنشاءات مسموح بها تتوافق مع البديهيات الأولى والثانية والخامسة من بديهيات هوزيتا-هاتوري. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

تم تقديم نظام يوشيزاوا-راندليت للتدريس عن طريق الرسم التخطيطي في عام 1961. ^{[ 8 ]}

في عام 1980، تم الإبلاغ عن طريقة إنشائية مكّنت من تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية. ويُعدّ تقسيم الزوايا إلى ثلاثة أجزاء متساوية أمراً مستحيلاً وفقاً لقواعد الهندسة الإقليدية. ^{[ 9 ]}

في عام 1980 أيضًا، قدّم كوريو ميورا وماساموري ساكاماكي تقنيةً جديدةً لطي الخرائط، حيث تُطوى الخرائط وفق نمط متوازي أضلاع مُحدد، مما يسمح بتوسيع الخريطة دون الحاجة إلى طيات بزوايا قائمة بالطريقة التقليدية. يسمح هذا النمط بترابط خطوط الطي، وبالتالي يمكن فتح الخريطة بحركة واحدة عن طريق سحب طرفيها المتقابلين، وكذلك طيها بدفع الطرفين معًا. لا تتطلب هذه التقنية سلسلةً معقدةً من الحركات، ويمكن طي خريطة ميورا-أوري لتصبح صغيرة الحجم للغاية. ^{[ 10 ]} في عام 1985، أبلغ ميورا عن طريقة لتغليف ونشر أغشية كبيرة في الفضاء الخارجي، ^{[ 11 ]} وفي عام 2012، طُبقت هذه التقنية على الألواح الشمسية في المركبات الفضائية . ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

في عام 1986، أبلغ ميسر عن طريقة بناء يمكن من خلالها مضاعفة المكعب ، وهو أمر مستحيل باستخدام طرق البناء الإقليدية. ^{[ 14 ]}

كُتبت أول صياغة كاملة للمسلمات السبع لفن طي الورق (الأوريغامي) على يد عالم الرياضيات الفرنسي جاك جوستين عام 1986، لكنها ظلت طي الورق مهملة حتى أعاد هومياكي هوزيتا اكتشاف المسلمات الست الأولى عام 1989. ^{[ 15 ]} عُقد الاجتماع الدولي الأول لعلوم وتكنولوجيا الأوريغامي (المعروف الآن باسم المؤتمر الدولي للأوريغامي في العلوم والرياضيات والتعليم) عام 1989 في فيرارا، إيطاليا. وفي هذا الاجتماع، قدم سيميمي طريقةً لرسم الشكل السباعي المنتظم . ^{[ 16 ]}

في حوالي عام 1990، حاول روبرت ج. لانغ وآخرون لأول مرة كتابة برنامج حاسوبي لحل مشاكل الأوريغامي. ^{[ 17 ]}

في عام 1996، أظهر مارشال بيرن وباري هايز أن مشكلة تحديد نمط طيات الجبال والوديان من أجل إنتاج هيكل أوريغامي مسطح بدءًا من ورقة مسطحة هي مسألة NP-كاملة . ^{[ 18 ]}

في عام 1999، قدمت نظرية لهاغا طرقًا لتقسيم ضلع المربع إلى كسور نسبية. ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}

في عام 2002، أدخلت سارة ماري بيلكاسترو وتوم هول لغة التحويلات الأفينية إلى فن الأوريغامي النظري ، مع امتداد من $R$ ^{من 2} إلى $R$ ³ في حالة الإنشاء برأس واحد فقط. ^{[ 21 ]}

في عام ٢٠٠٢، حلّ ألبيرين مسألة ابن الهيثم في البصريات الكروية. ^{[ ٢٢ ]} وفي الورقة البحثية نفسها، عرض ألبيرين طريقةً لإنشاء شكل سباعي منتظم. ^{[ ٢٢ ]} وفي عام ٢٠٠٤، تم إثبات نمط الطي لهذا الشكل السباعي المنتظم باستخدام الخوارزمية. ^{[ ٢٣ ]} وفي عام ٢٠٠٥، استخدم ألبيرين التنصيف والتثليث لإنشاء الشكل نفسه. ^{[ ٢٤ ]}

في عام 2005، تم تطبيق مبادئ ومفاهيم من فن طي الورق الرياضي والحسابي لحل لعبة Countdown ، وهي لعبة شائعة في التلفزيون البريطاني حيث يستخدم المتنافسون قائمة من الأرقام المصدرية لبناء تعبير حسابي أقرب ما يكون إلى الرقم المستهدف. ^{[ 25 ]}

في عام ٢٠٠٩، وسّع ألبيرين ولانغ نطاق الأوريغامي النظري ليشمل المعادلات الكسرية ذات الدرجة العشوائية، وذلك باستخدام مفهوم طيات متعددة الأبعاد. ^{[ ٢٦ ]}^{[ ٢٧ ]} وكان هذا العمل امتدادًا رسميًا لعرض لانغ غير المنشور عام ٢٠٠٤ حول تقسيم الزاوية إلى خمسة أجزاء. ^{[ ٢٧ ]}^{[ ٢٨ ]}

فن الأوريغامي الخالص

الطي المسطح

يُصوَّر بناء نماذج الأوريغامي أحيانًا على شكل أنماط طي. والسؤال الرئيسي حول هذه الأنماط هو ما إذا كان بالإمكان طي نمط طي معين إلى نموذج مسطح، وإذا كان ذلك ممكنًا، فكيف يتم طيه؛ وهذه مسألة NP-كاملة . ^{[ 29 ]} تُسمى المسائل ذات الصلة عندما تكون الطيات متعامدة بمسائل طي الخرائط . توجد ثلاث قواعد رياضية لإنتاج أنماط طي الأوريغامي القابلة للطي بشكل مسطح : ^{[ 30 ]}

نظرية مايكاوا : عند أي رأس، يختلف عدد طيات الوادي والجبل دائمًا بمقدار اثنين.
ويترتب على ذلك أن كل رأس يحتوي على عدد زوجي من الطيات، وبالتالي يمكن تلوين المناطق الواقعة بين الطيات بلونين.
نظرية كاواساكي أو نظرية كاواساكي-جاستن: عند أي رأس، يكون مجموع جميع الزوايا الفردية (انظر الصورة) يساوي 180 درجة، وكذلك الزوايا الزوجية.
لا يمكن للغطاء أن يخترق الطية أبداً.

يُظهر الورق انحناءً غاوسيًا معدومًا في جميع نقاط سطحه، ولا ينطوي بشكل طبيعي إلا على طول خطوط الانحناء المعدوم. ويمكن إنتاج أسطح منحنية لا يمكن تسويتها باستخدام طية غير مطوية في الورق، كما هو الحال بسهولة مع الورق المبلل أو ظفر الإصبع.

أثبت مارشال بيرن وباري هايز أن تحديد نمط طيات جبلية ووديانية لإنتاج نموذج مسطح هو مسألة NP-كاملة. ^{[ 18 ]} وتُناقش مراجع ونتائج تقنية إضافية في الجزء الثاني من كتاب "خوارزميات الطي الهندسي" . ^{[ 31 ]}

بديهيات هوزيتا-جستين

أثبتت بعض مسائل البناء الكلاسيكية في الهندسة - مثل تقسيم زاوية عشوائية إلى ثلاثة أجزاء متساوية أو مضاعفة حجم المكعب - استحالة حلها باستخدام الفرجار والمسطرة ، ولكن يمكن حلها باستخدام بضع طيات ورقية فقط. ^{[ 32 ]} يمكن إنشاء شرائط مطوية من الورق لحل المعادلات حتى الدرجة الرابعة. تُعدّ بديهيات هوزيتا-جستن أو بديهيات هوزيتا-هاتوري إسهامًا هامًا في هذا المجال من الدراسة. تصف هذه البديهيات ما يمكن إنشاؤه باستخدام سلسلة من الطيات مع محاذاة نقطتين أو خطين على الأكثر في آن واحد. تُناقش بالتفصيل في كتاب " فن طي الورق الهندسي" طرق كاملة لحل جميع المعادلات حتى الدرجة الرابعة بتطبيق طرق تُحقق هذه البديهيات . ^{[ 33 ]}

الإنشاءات

نتيجةً لدراسة فن طي الورق (الأوريغامي) من خلال تطبيق المبادئ الهندسية، مكّنت طرقٌ مثل نظرية هاغا مُستخدمي هذه التقنية من طي ضلع المربع بدقة إلى أثلاث، وخمسات، وسبعات، وتسعات. كما مكّنت نظريات وطرق أخرى مُستخدمي هذه التقنية من الحصول على أشكال أخرى من المربع، مثل المثلثات متساوية الأضلاع ، والخماسيات ، والسداسيات ، ومستطيلات خاصة كالمستطيل الذهبي والمستطيل الفضي . وقد طُوّرت طرقٌ لطي معظم المضلعات المنتظمة حتى المضلع المنتظم ذي 19 ضلعًا . ^{[ 33 ]} يُمكن إنشاء مضلع منتظم ذي n ضلعًا عن طريق طي الورق إذا وفقط إذا كان n ناتج ضرب أعداد أولية مختلفة من نوع بيربونت ، وقوى العدد اثنين ، وقوى العدد ثلاثة .

نظريات هاغا

يمكن تقسيم ضلع المربع إلى كسر نسبي كيفي بطرق متنوعة. تنص نظريات هاغا على إمكانية استخدام مجموعة محددة من الإنشاءات لمثل هذه التقسيمات. ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]} ومن المثير للدهشة أن عددًا قليلًا من الطيات يكفي لتوليد كسور فردية كبيرة. على سبيل المثال، يمكن توليد 1/5 بثلاث طيات؛ أولًا ، يتم تقسيم الضلع إلى نصفين، ثم تُستخدم نظرية هاغا مرتين للحصول على 2/3 أولًا ، ثم 1/5 .

يوضح الرسم البياني المرفق نظرية هاغا الأولى:

BQ={\frac {2AP}{1+AP}}.

الدالة التي تحول الطول AP إلى QC هي دالة عكسية ذاتية . إذا كان x هو AP، فإن عددًا من الأطوال الأخرى هي أيضًا دوال كسرية لـ x . على سبيل المثال:

النظرية الأولى لهاغا
وكالة أسوشيتد برس	بي كيو	مراقبة الجودة	الواقع المعزز	PQ
$x$	${\frac {2x}{1+x}}$	${\frac {1-x}{1+x}}$	${\frac {1-x^{2}}{2}}$	${\frac {1+x^{2}}{1+x}}$
نصف	2/3	1/3	3/8	5/6
1/3	نصف	نصف	4/9	5/6
2/3	4/5	1/5	5/18	13 ⁄ 15
1/5	1/3	2/3	12 ⁄ 25	13 ⁄ 15

تعميم لنظريات هاغا

تُعمم نظريات هاغا على النحو التالي:

{\frac {BQ}{CQ}}={\frac {2AP}{BP}}.

لذلك، فإنّ BQ:CQ=k:1 يستلزم AP:BP=k:2 لعدد حقيقي موجب k. كذلك،

كل جانب يساوي 1 $PB=1-AP$ $AP=1/2$ بحسب تطابق المثلثات، AR~PB $BQ=(AP/AR)*(PB)$ $=(2*AP/(1-AP^{2}))*(1-AP)$ ^{[ 34 ]}

مضاعفة المكعب

يمكن حلّ مسألة مضاعفة المكعب الكلاسيكية باستخدام فن طي الورق (الأوريغامي). يعود هذا التصميم إلى بيتر ميسر: ^{[ 35 ]} تُطوى قطعة مربعة من الورق أولاً إلى ثلاثة شرائط متساوية كما هو موضح في الرسم التوضيحي. ثم يُوضع الحافة السفلية بحيث تكون نقطة الزاوية P على الحافة العلوية، ويلتقي خط الطي على الحافة مع خط الطي الآخر Q. عندئذٍ، يكون طول PB هو الجذر التكعيبي لضعف طول AP. ^{[ 14 ]}

تُعتبر الحافة التي تحمل علامة الطي مسطرة مُعلَّمة، وهو أمر غير مسموح به في الإنشاءات الهندسية باستخدام الفرجار والمسطرة . ويُطلق على استخدام مسطرة مُعلَّمة بهذه الطريقة اسم " الإنشاء الهندسي غير المكتمل".

تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية

يُعدّ تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء مسألة كلاسيكية أخرى لا يُمكن حلّها باستخدام الفرجار والمسطرة غير المُدرّجة، ولكن يُمكن حلّها باستخدام فنّ طيّ الورق (الأوريغامي). ^{[ 36 ]} يُنسب هذا الحلّ، الذي نُشر عام 1980، إلى هيساشي آبي. ^{[ 35 ]}^{[ 9 ]} يتمّ تقسيم الزاوية CAB إلى ثلاثة أجزاء عن طريق طيّ الضلع مرتين: PP'، الموازي للقاعدة، وQQ'، في منتصف المسافة بينهما. ثمّ تُطوى النقطة P لتقع على الخط AC، وفي الوقت نفسه تُطوى النقطة A لتقع على الخط QQ' عند النقطة A'. تُساوي الزاوية A'AB ثلث الزاوية الأصلية CAB. وذلك لأنّ PAQ وA'AQ وA'AR تُشكّل ثلاثة مثلثات متطابقة . يُعدّ محاذاة النقطتين على الخطّين طريقة أخرى لحلّ مسألة مضاعفة المكعب. ^{[ 37 ]}^{[ 9 ]}

مشاكل ذات صلة

تُعدّ مشكلة طي الورق الصلب ، التي تُعامل الطيات كمفصلات تربط سطحين مستويين وصلبين، مثل الصفائح المعدنية ، ذات أهمية عملية بالغة. فعلى سبيل المثال، تُعتبر طية خريطة ميورا طية صلبة استُخدمت لنشر مصفوفات ألواح شمسية كبيرة للأقمار الصناعية.

مشكلة طي المناديل هي مشكلة ما إذا كان من الممكن طي مربع أو مستطيل من الورق بحيث يكون محيط الشكل المسطح أكبر من محيط المربع الأصلي.

قد يتطلب تحديد موضع نقطة على طية منحنية في النموذج حل تكاملات إهليلجية. يسمح فن طي الورق المنحني بتشكيل أسطح قابلة للتطوير غير مستوية. ^{[ 38 ]} يُعدّ طي الورق الرطب تقنية طورها يوشيزاوا، تُمكّن الطيات المنحنية من ابتكار نطاق أوسع من الأشكال ذات التعقيد الأعلى.

تم تحديد الحد الأقصى لعدد مرات طي مادة غير قابلة للانضغاط. مع كل طية، تُفقد كمية معينة من الورق نتيجةً للطي المحتمل. وقد تم تحديد دالة الخسارة لطي الورق إلى نصفين في اتجاه واحد على النحو التالي: $L={\tfrac {\pi t}{6}}(2^{n}+4)(2^{n}-1)$ حيث L هو الحد الأدنى لطول الورقة (أو أي مادة أخرى)، وt هو سُمك المادة، و n هو عدد الطيات الممكنة. ^{[ 39 ]} يجب التعبير عن المسافتين L و t بنفس الوحدات، مثل البوصة. توصلت بريتني غاليفان، وهي طالبة في المرحلة الثانوية من كاليفورنيا ، إلى هذه النتيجة في ديسمبر 2001. وفي يناير 2002، طوت قطعة من ورق التواليت طولها 1200 متر (4000 قدم) اثنتي عشرة مرة في نفس الاتجاه، داحضةً بذلك خرافة قديمة مفادها أنه لا يمكن طي الورق إلى نصفين أكثر من ثماني مرات. ^[⁴⁰^]^[⁴¹^]

تُطرح مسألة الطي والقص لسؤال: ما هي الأشكال التي يمكن الحصول عليها بطي قطعة من الورق بشكل مسطح، ثم قصها بشكل مستقيم وكامل؟ وينص الحل، المعروف بنظرية الطي والقص، على أنه يمكن الحصول على أي شكل ذي جوانب مستقيمة.

تتمثل إحدى المشكلات العملية في كيفية طي الخريطة بحيث يمكن التعامل معها بأقل جهد أو حركات. يُعد طي ميورا حلاً لهذه المشكلة، وقد تم اقتراح العديد من الحلول الأخرى. ^{[ 42 ]}

فن طي الورق الحاسوبي

فن طي الورق الحاسوبي هو فرع من علوم الحاسوب يهتم بدراسة الخوارزميات لحل مشاكل طي الورق. في أوائل التسعينيات، شارك فنانو الأوريغامي في سلسلة من مسابقات الأوريغامي تُعرف باسم " حروب الحشرات"، حيث سعى الفنانون إلى التفوق على أقرانهم بإضافة المزيد من التعقيد إلى حشراتهم المصنوعة من الأوريغامي. كان معظم المتنافسين في المسابقة ينتمون إلى "محققو الأوريغامي"، وهي مجموعة من الفنانين اليابانيين المرموقين. ^{[ 43 ]} كما شارك روبرت لانغ ، الباحث العلمي من جامعة ستانفورد ومعهد كاليفورنيا للتكنولوجيا ، في المسابقة. ساهمت المسابقة في إطلاق اهتمام جماعي بتطوير نماذج وأدوات شاملة للمساعدة في تصميم الأوريغامي وقابليته للطي. ^{[ 43 ]}

بحث

تُصنّف مسائل طي الورق إلى مسائل تصميم الأوريغامي ومسائل قابلية طي الأوريغامي. توجد حاليًا ثلاث فئات رئيسية لأبحاث الأوريغامي الحاسوبية: نتائج الشمولية، وخوارزميات القرار الفعّالة ، ونتائج صعوبة الحساب . ^{[ 44 ]} تُحدد نتيجة الشمولية حدود الإمكانيات المتاحة لنموذج طي مُحدد. على سبيل المثال، يُمكن طي قطعة ورق كبيرة بما يكفي إلى أي قاعدة أوريغامي على شكل شجرة، أو شكل مُضلّع، أو سطح متعدد السطوح. ^{[ 45 ]} عندما لا يُمكن تحقيق نتائج الشمولية، يُمكن استخدام خوارزميات القرار الفعّالة لاختبار ما إذا كان الجسم قابلًا للطي في وقت متعدد الحدود. ^{[ 44 ]} لا توجد خوارزميات فعّالة لبعض مسائل طي الورق. تُظهر نتائج صعوبة الحساب أنه لا توجد حاليًا خوارزميات تعمل في وقت متعدد الحدود لحل بعض مسائل الطي. على سبيل المثال، تُعدّ مسألة تحديد ما إذا كان نمط طي محدود مُعطى يُطوى بشكل مُسطّح مسألةً كاملةً من نوع NP . ^{[ 46 ]} إنها مشكلة غير قابلة للحل لاختبار ما إذا كان نمط الطي الكسري المعرف بشكل متكرر ، على ورقة مربعة من ورق الأوريغامي، يطوى بشكل مسطح. ^[⁴⁷^]

في عام ٢٠١٧، نشر إريك ديمين من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا وتوموهيرو تاتشي من جامعة طوكيو خوارزمية عالمية جديدة تُولّد أنماط طي ورقية عملية لإنتاج أي هيكل ثلاثي الأبعاد. وقد بُنيت هذه الخوارزمية الجديدة على عملٍ قدّماه في بحثهما عام ١٩٩٩، والذي كان أول من طرح خوارزمية عالمية لطي أشكال الأوريغامي تضمن الحد الأدنى من عدد الوصلات. ستُدمج هذه الخوارزمية في برنامج Origamizer، وهو برنامج مجاني لتوليد أنماط طي الأوريغامي، والذي أصدره تاتشي لأول مرة عام ٢٠٠٨. ^{[ ٤٨ ]}

البرامج والأدوات

توجد العديد من أدوات تصميم البرمجيات المستخدمة في تصميم فن طي الورق (الأوريغامي). يحدد المستخدمون الشكل أو الوظيفة المطلوبة، وتقوم أداة البرمجيات بإنشاء نمط الطي و/أو نموذج ثنائي أو ثلاثي الأبعاد للنتيجة. وقد طوّر باحثون في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، ومعهد جورجيا للتكنولوجيا ، وجامعة كاليفورنيا في إرفاين ، وجامعة تسوكوبا ، وجامعة طوكيو، أدوات متاحة للعموم في مجال الأوريغامي الحاسوبي. ومن بين هذه الأدوات: TreeMaker وReferenceFinder وOrigamiDraw وOrigamizer. ^{[ 50 ]}

توجد حلول برمجية أخرى مرتبطة ببناء نماذج الأوريغامي الحاسوبية باستخدام مواد غير ورقية مثل Cadnano في أوريغامي الحمض النووي . ^{[ 51 ]}

التطبيقات

ساهمت تقنية طي الورق الحاسوبية في تطبيقات في مجالات الروبوتات والهندسة والتكنولوجيا الحيوية والطب والتصميم الصناعي. ^{[ 52 ]} كما طُوّرت تطبيقات لتقنية طي الورق في دراسة لغات البرمجة ونماذجها، لا سيما في مجال البرمجة الوظيفية. ^{[ 53 ]}

شارك روبرت لانغ في مشروع مع باحثين في شركة EASi Engineering في ألمانيا لتطوير تصاميم قابلة للطي للوسائد الهوائية في السيارات. ^{[ 54 ]} وفي منتصف العقد الأول من الألفية الثانية، عمل لانغ مع باحثين في مختبر لورانس ليفرمور الوطني لتطوير حل لتلسكوب جيمس ويب الفضائي ، ولا سيما مراياه الكبيرة، ليتناسب مع صاروخ باستخدام مبادئ وخوارزميات من فن طي الورق الحاسوبي. ^{[ 55 ]}

في عام 2014، نشر باحثون من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا وجامعة هارفارد ومعهد وايس للهندسة المستوحاة من علم الأحياء، طريقةً لبناء آلات ذاتية الطي، وعزوا نجاح المشروع إلى التطورات في فن طي الورق الحاسوبي. وقد ذُكر أن الروبوت المستوحى من فن طي الورق يطوي نفسه في غضون 4 دقائق ويبتعد دون تدخل بشري، مما أظهر إمكانية التجميع الذاتي المستقل في مجال الروبوتات. ^{[ 56 ]}

وتشمل التطبيقات الأخرى طي الحمض النووي (DNA origami) وطي الحمض النووي الريبي (RNA origami )، وطي أدوات التصنيع، والجراحة بواسطة روبوتات الأوريغامي الصغيرة. ^{[ 57 ]}

استُخدمت تطبيقات فن طي الورق الحاسوبي في العديد من شركات الإنتاج والإعلانات التجارية. ومن أشهر أعمال لانغ تعاونه مع تويوتا أفالون لعرض مشهد رسوم متحركة بتقنية طي الورق، ومع ميتسوبيشي إنديفور لإنشاء عالم كامل مصنوع من مجسمات طي الورق، ومع ماكدونالدز لتشكيل العديد من مجسمات طي الورق من أغلفة شطائر البرجر. ^{[ 58 ]}

انظر أيضاً

فليكساجون
طريقة ليل
طي الخرائط
مشكلة طي المناديل
تسلسل طي الورق المنتظم (على سبيل المثال، منحنى التنين )

ملاحظات ومراجع

1 2 هول، توماس سي. ( 2011). "حل المعادلات التكعيبية ذات الطيات: عمل بيلوش وليل" (ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 118 (4): 307-315 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.04.307 . MR 2800341. S2CID 2540978 .
↑ "فن طي الورق - تاريخ فن طي الورق | بريتانيكا" . موسوعة بريتانيكا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 مايو 2022 .
١ ٢ "محاضرة: نتائج حديثة في فن طي الورق الحاسوبي". جمعية أوريغامي الولايات المتحدة الأمريكية: نحن الجمعية الوطنية الأمريكية المكرسة لفن طي الورق، الأوريغامي . تم الاطلاع بتاريخ ٨ مايو ٢٠٢٢.
↑ تي. سوندارا رو (1917). بيمان، ووستر؛ سميث، ديفيد (محرران). تمارين هندسية في طي الورق . شركة أوبن كورت للنشر .
↑ هوديني، هاري . سحر الورق لهوديني .
↑ جورج إدوارد مارتن (1997). الإنشاءات الهندسية . سبرينغر. ص 145. ISBN 978-0-387-98276-2.
↑ روبرت كارل ييتس (1949). الأدوات الهندسية . جامعة ولاية لويزيانا.
↑ نيك روبنسون (2004). كتاب الأوريغامي المقدس . دار نشر كريسليس. ص 18. ISBN 978-1-84340-105-6.
1 2 3 هول، توم (1997). "مقارنة بين الإنشاءات باستخدام المسطرة والفرجار وفن الأوريغامي" . origametry.net .
↑ بين، إيان (1980). "خريطة ميورا-أوري" . مجلة نيو ساينتست .تمت إعادة إنتاجها في كتاب "British Origami" عام 1981، وعلى الإنترنت في موقع جمعية الأوريغامي البريطانية.
↑ ميورا، ك. (1985). طريقة تغليف ونشر الأغشية الكبيرة في الفضاء (تقرير). التقرير الفني 618. معهد علوم الفضاء والملاحة الفضائية.
↑ "مصفوفة ثنائية الأبعاد" . وكالة استكشاف الفضاء اليابانية. مؤرشفة من الأصل في 25 نوفمبر 2005.
↑ نيشياما، يوتاكا (2012). "طي ميورا: تطبيق فن الأوريغامي على استكشاف الفضاء" (ملف PDF) . المجلة الدولية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 79 (2): 269-279 .
1 2 بيتر ميسر (1986). "مشكلة 1054" (PDF) . الرياضيات الأساسية . 12 (10): 284– 285 – عن طريق الجمعية الرياضية الكندية.
↑ جاستن، جاك، "الحل عن طريق طي معادلة الدرجة الثالثة والتطبيقات الهندسية"، أعيد طبعه في وقائع الاجتماع الدولي الأول لعلوم وتكنولوجيا الأوريغامي ، تحرير هـ. هوزيتا (1989)، ص 251-261.
↑ بينيديتو سيميمي، سباعي الأضلاع منتظم عن طريق الطي، وقائع مؤتمر الأوريغامي والعلوم والتكنولوجيا، تحرير هـ. هوزيتا، فيرارا، إيطاليا، 1990
↑ نيوتن، ليز (1 ديسمبر 2009). "قوة فن طي الورق" . جامعة كامبريدج. + مجلة بلس.
1 2 بيرن، مارشال؛ هايز، باري (1996). "تعقيد فن طي الورق المسطح" . وقائع الندوة السنوية السابعة لجمعية آلات الحوسبة وجمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية حول الخوارزميات المنفصلة (أتلانتا، جورجيا، 1996) . جمعية آلات الحوسبة، نيويورك. الصفحات 175-183 . MR 1381938 .
1 2 هاتوري، كوشيرو. "كيفية تقسيم جانب الورقة المربعة" . الجمعية الأكاديمية اليابانية لفن طي الورق (الأوريغامي).
1 2 ك. هاجا، Origamics، الجزء الأول، نيبون هيورون شا، 1999 (باللغة اليابانية)
↑ بيلكاسترو، سارة ماري ؛ هول، توماس سي. (2002). "نمذجة طي الورق إلى ثلاثة أبعاد باستخدام التحويلات الأفينية" . الجبر الخطي وتطبيقاته . 348 ( 1-3 ): 273-282 . doi : 10.1016/S0024-3795(01)00608-5 .
1 2 ألبيرين، روجر سي. (2002). "الفصل 12". في هول، توماس (محرر). الأوريغامي الرياضي: منظور آخر لمسألة ابن الهيثم البصرية . ص 83-93 . doi : 10.1201/b15735 . ISBN 9780429064906.
↑ روبو، جوديت؛ إيدا، تيتسو؛ تيبينيو، دورين؛ تاكاهاشي، هيديكازو؛ بوخبيرغر، برونو (2006). "بناء سباعي منتظم باستخدام فن طي الورق الحاسوبي مع إثبات آلي لصحته". الاستدلال الآلي في الهندسة . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 3763. الصفحات 19-33 . doi : 10.1007/11615798_2 . ISBN 978-3-540-31332-8.
↑ ألبيرين، روجر سي. (2005). "التثليثات وفن طي الورق الحقيقي تمامًا". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 112 (3): 200-211 . arXiv : math/0408159 . doi : 10.2307/30037438 . JSTOR 30037438 .
↑ بيرد، ريتشارد؛ مو، شين-تشنغ (سبتمبر 2005). "العد التنازلي: دراسة حالة في برمجة الأوريغامي" . مجلة البرمجة الوظيفية . 15 (5): 679-702 . doi : 10.1017/S0956796805005642 . ISSN 1469-7653 . S2CID 46359986 .
↑ لانغ، روبرت جيه؛ ألبيرين، روجر سي. (2009). "مسلمات طي الورق أحادي الطي، وثنائي الطي، ومتعدد الطيات" (ملف PDF) . أوريغامي 4. أوريغامي 4 ^: الاجتماع الدولي الرابع لعلوم الأوريغامي والرياضيات والتعليم . الصفحات 383-406 . doi : 10.1201/b10653-38 . ISBN 9780429106613.
1 2 بيرتشينغر، توماس هـ.؛ سلوت، جوزيف؛ سبنسر، أوليفيا كلير؛ فينيتسكي، صموئيل. رياضيات الأوريغامي (ملف PDF) . كلية كارلتون.
↑ لانغ، روبرت ج. (2004). "تقسيم الزاوية إلى خمسة أجزاء" (ملف PDF) . langorigami.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 يناير 2021 .
↑ توماس سي. هول (2002). "توافقية الطيات المسطحة: دراسة استقصائية". وقائع الاجتماع الدولي الثالث لعلوم الأوريغامي والرياضيات والتعليم . إيه كيه بيترز. arXiv : 1307.1065 . ISBN 978-1-56881-181-9.
↑ "روبرت لانغ يطوي فن الأوريغامي الجديد تماماً" .
↑ ديمين، إريك د .؛ أورورك، جوزيف (2007). خوارزميات الطي الهندسي . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/CBO9780511735172 . ISBN 978-0-521-85757-4MR 2354878 .
↑ توم هول. "فن طي الورق والإنشاءات الهندسية" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 18-06-2019 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-12-2013 .
1 2 جيريتشلاجر، روبرت (2008). اوريغامي هندسية . المملكة المتحدة: اربيلوس. رقم ISBN 978-0-9555477-1-3.
↑ هيروشي أوكومورا (2014). "ملاحظة حول نظريات هاغا في طي الورق" (ملف PDF) . منتدى الهندسة . 14 : 241-242 .
1 2 لانغ، روبرت جيه (2008). "من الطيور التي ترفرف إلى التلسكوبات الفضائية: العلم الحديث لفن الأوريغامي" (ملف PDF) . مؤتمر Usenix، بوسطن، ماساتشوستس.
↑ مؤرشف في Ghostarchiveوآلة Waybackدانكسو ، زوزانا (12 ديسمبر 2014). "عاشق الأرقام: كيفية تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء باستخدام فن الأوريغامي" . يوتيوب . تم الاطلاع عليه في 2 أكتوبر 2021 .
↑ مايكل ج. وينكلر؛ كاثرين د. وولد؛ هانز جورج بوك (2011). "الهندسة العملية مع فن الأوريغامي". الأوريغامي 5. مطبعة سي آر سي. ص 225. ISBN 978-1-56881-714-9.
↑ "سيغراف: "فن طي الورق المنحني"تمت أرشفة هذا النص من المصدر الأصلي بتاريخ 2017-05-08 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2008-10-08 .
↑ كوربال، غوريش (25 نوفمبر 2015). "طي الورقة إلى نصفين" . بزوايا قائمة . 4 (3). معلمو الهند: 20-23 . مؤرشف من الأصل في 14 نوفمبر 2016. تم الاسترجاع في 28 نوفمبر 2015 .
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "الطي" . عالم الرياضيات .
↑ داغوستينو، سوزان (2020). كيف تُحرر عالم الرياضيات بداخلك . مطبعة جامعة أكسفورد . ص 22. ISBN 9780198843597.
↑ هول، توماس (2002). " بحثًا عن طي عملي للخريطة". آفاق الرياضيات . 9 (3): 22-24 . doi : 10.1080/10724117.2002.11975147 . JSTOR 25678354. S2CID 126397750 .
1 2 "مختبر الأوريغامي" . مجلة نيويوركر . 12 فبراير 2007. تاريخ الاسترجاع: 9 مايو 2022 .
1 2 ديمين، إريك (2001). "النتائج الحديثة في فن طي الورق الحاسوبي" (PDF).
↑ لانغ، روبرت. "خوارزمية حسابية لتصميم الأوريغامي" (PDF) .
^ أكيتايا، هوغو أ. تشيونغ، كينيث C .؛ ديمين، إريك د.؛ هورياما، تاكاشي؛ هال، توماس. كو، جايسون س؛ تاتشي، توموهيرو؛ اوهارا ، ريوهي (2016). "طي الصندوق أمر صعب". في أكياما، جين؛ إيتو، هيرو؛ ساكاي، توشينوري؛ أونو، يوشي (محرران). الهندسة والرسوم البيانية المنفصلة والحسابية - مؤتمر اليابان الثامن عشر، JCDCGG 2015، كيوتو، اليابان، 14-16 سبتمبر 2015، أوراق مختارة منقحة . ملاحظات المحاضرة في الحاسب. الخيال العلمي. المجلد. 9943. سبرينغر. ص 167 – 179. دوى : 10.1007 / 978-3-319-48532-4_15 . ، تصحيحًا لبرهان سابق على اكتمال NP من بيرن، مارشال؛ هايز، باري (1996). "تعقيد الأوريغامي المسطح" . وقائع الندوة السابعة لجمعية ACM-SIAM حول الخوارزميات المنفصلة (SODA '96) . فيلادلفيا، بنسلفانيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. الصفحات 175-183 .
↑ إبستين، ديفيد (2025). "التعقيدات الحسابية للطي" . مجلة معالجة المعلومات . 33 : 954-973 . doi : 10.2197/ipsjjip.33.954 .
↑ "أي شيء مصنوع من الأوريغامي" . أخبار معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا | معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . 22 يونيو 2017. تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 مايو 2022 .
↑ "جوليا والجبر الهندسي الإسقاطي" . كود جوليا لتحريك الكابوتو موجود في المثال 3.4. 31 مارس 2024.{{cite web}}: CS1 maint: location ( link )
↑ تاسون. "فن طي الورق الحاسوبي" . تم الاسترجاع في 2022-05-08 .
^ "كادنانو" . كادنانو . تم الاسترجاع بتاريخ 2022-05-08 .
↑ مجلة سميثسونيان؛ موريسون، جيم. "كيف يُحدث فن الأوريغامي ثورة في التصميم الصناعي" . مجلة سميثسونيان . تاريخ الاسترجاع: 8 مايو 2022 .
↑ جيبونز، جيريمي (2003). "برمجة الأوريغامي" (ملف PDF) .
↑ تاسون. "طي الوسادة الهوائية" . تم الاسترجاع في 2022-05-08 .
↑ "ويب والأوريغامي - تلسكوب ويب/ناسا" . webb.nasa.gov . تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 مايو 2022 .
↑ فيلتون، س.؛ تولي، م.؛ ديمين، إ.؛ روس، د.؛ وود، ر. (2014-08-08). " طريقة لبناء آلات ذاتية الطي" . مجلة ساينس . 345 (6197): 644-646 . رمز Bibcode : 2014Sci...345..644F . doi : 10.1126/science.1252610 . ISSN 0036-8075 . PMID 25104380. S2CID 18415193 .
↑ بروين، بوب (10 مايو 2004). "فن طي الورق الحاسوبي" . مجلة كمبيوتر وورلد . تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 مايو 2022 .
↑ "قرار الأوريغامي" . مثير للاهتمام للغاية . تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 مايو 2022 .

للمزيد من القراءة

ديمين، إريك د. ، "الطي والفتح" ، أطروحة دكتوراه، قسم علوم الحاسوب، جامعة واترلو، 2001.
فريدمان، مايكل (2018). تاريخ الطي في الرياضيات: إضفاء الطابع الرياضي على الهوامش . شبكات العلوم. دراسات تاريخية. المجلد 59. بيركهاوزر. doi : 10.1007/978-3-319-72487-4 . ISBN 978-3-319-72486-7.
جيريتشلاجر، روبرت (1995). "الإنشاءات الإقليدية وهندسة الأوريغامي". مجلة الرياضيات . 68 (5): 357-371 . doi : 10.2307/2690924 . JSTOR 2690924 .
هاغا، كازو (2008). فوناسير، جوزفينا سي؛ إيسودا، ماسامي (محررون). فن طي الورق: استكشافات رياضية من خلال طي الورق . جامعة تسوكوبا، اليابان: دار النشر العالمية العلمية. ISBN 978-981-283-490-4.
لانغ، روبرت ج. (2003). أسرار تصميم الأوريغامي: أساليب رياضية لفن قديم . إيه كيه بيترز. ISBN 978-1-56881-194-9.
دوريسيكس، ديفيد ، "طي المضلعات المثلى من المربعات" ، مجلة الرياضيات 79(4): 272-280، 2006. doi : 10.2307/27642951
دوريسيكس، ديفيد ، "نظرة عامة على الآليات والأنماط في فن الأوريغامي" ، المجلة الدولية لهياكل الفضاء 27(1): 1-14، 2012. doi : 10.1260/0266-3511.27.1.1

روابط خارجية

[hull11-1] 1 2 هول، توماس سي. ( 2011). "حل المعادلات التكعيبية ذات الطيات: عمل بيلوش وليل" (ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 118 (4): 307-315 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.04.307 . MR 2800341. S2CID 2540978 .

[2] "فن طي الورق - تاريخ فن طي الورق | بريتانيكا" . موسوعة بريتانيكا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 مايو 2022 .

[:0-3] ١ ٢ "محاضرة: نتائج حديثة في فن طي الورق الحاسوبي". جمعية أوريغامي الولايات المتحدة الأمريكية: نحن الجمعية الوطنية الأمريكية المكرسة لفن طي الورق، الأوريغامي . تم الاطلاع بتاريخ ٨ مايو ٢٠٢٢.

[rao17-4] تي. سوندارا رو (1917). بيمان، ووستر؛ سميث، ديفيد (محرران). تمارين هندسية في طي الورق . شركة أوبن كورت للنشر .

[5] هوديني، هاري . سحر الورق لهوديني .

[6] جورج إدوارد مارتن (1997). الإنشاءات الهندسية . سبرينغر. ص 145. ISBN 978-0-387-98276-2.

[7] روبرت كارل ييتس (1949). الأدوات الهندسية . جامعة ولاية لويزيانا.

[obible-8] نيك روبنسون (2004). كتاب الأوريغامي المقدس . دار نشر كريسليس. ص 18. ISBN 978-1-84340-105-6.

[hullcomp-9] 1 2 3 هول، توم (1997). "مقارنة بين الإنشاءات باستخدام المسطرة والفرجار وفن الأوريغامي" . origametry.net .

[bain80-10] بين، إيان (1980). "خريطة ميورا-أوري" . مجلة نيو ساينتست .تمت إعادة إنتاجها في كتاب "British Origami" عام 1981، وعلى الإنترنت في موقع جمعية الأوريغامي البريطانية.

[miura85-11] ميورا، ك. (1985). طريقة تغليف ونشر الأغشية الكبيرة في الفضاء (تقرير). التقرير الفني 618. معهد علوم الفضاء والملاحة الفضائية.

[jaxa-12] "مصفوفة ثنائية الأبعاد" . وكالة استكشاف الفضاء اليابانية. مؤرشفة من الأصل في 25 نوفمبر 2005.

[yutaka12-13] نيشياما، يوتاكا (2012). "طي ميورا: تطبيق فن الأوريغامي على استكشاف الفضاء" (ملف PDF) . المجلة الدولية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 79 (2): 269-279 .

[messer86-14] 1 2 بيتر ميسر (1986). "مشكلة 1054" (PDF) . الرياضيات الأساسية . 12 (10): 284– 285 – عن طريق الجمعية الرياضية الكندية.

[jjhh89-15] جاستن، جاك، "الحل عن طريق طي معادلة الدرجة الثالثة والتطبيقات الهندسية"، أعيد طبعه في وقائع الاجتماع الدولي الأول لعلوم وتكنولوجيا الأوريغامي ، تحرير هـ. هوزيتا (1989)، ص 251-261.

[scimemi90-16] بينيديتو سيميمي، سباعي الأضلاع منتظم عن طريق الطي، وقائع مؤتمر الأوريغامي والعلوم والتكنولوجيا، تحرير هـ. هوزيتا، فيرارا، إيطاليا، 1990

[lnpow-17] نيوتن، ليز (1 ديسمبر 2009). "قوة فن طي الورق" . جامعة كامبريدج. + مجلة بلس.

[bern96-18] 1 2 بيرن، مارشال؛ هايز، باري (1996). "تعقيد فن طي الورق المسطح" . وقائع الندوة السنوية السابعة لجمعية آلات الحوسبة وجمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية حول الخوارزميات المنفصلة (أتلانتا، جورجيا، 1996) . جمعية آلات الحوسبة، نيويورك. الصفحات 175-183 . MR 1381938 .

[howto-19] 1 2 هاتوري، كوشيرو. "كيفية تقسيم جانب الورقة المربعة" . الجمعية الأكاديمية اليابانية لفن طي الورق (الأوريغامي).

[haga99-20] 1 2 ك. هاجا، Origamics، الجزء الأول، نيبون هيورون شا، 1999 (باللغة اليابانية)

[belcastro02-21] بيلكاسترو، سارة ماري ؛ هول، توماس سي. (2002). "نمذجة طي الورق إلى ثلاثة أبعاد باستخدام التحويلات الأفينية" . الجبر الخطي وتطبيقاته . 348 ( 1-3 ): 273-282 . doi : 10.1016/S0024-3795(01)00608-5 .

[alperin02-22] 1 2 ألبيرين، روجر سي. (2002). "الفصل 12". في هول، توماس (محرر). الأوريغامي الرياضي: منظور آخر لمسألة ابن الهيثم البصرية . ص 83-93 . doi : 10.1201/b15735 . ISBN 9780429064906.

[robu04-23] روبو، جوديت؛ إيدا، تيتسو؛ تيبينيو، دورين؛ تاكاهاشي، هيديكازو؛ بوخبيرغر، برونو (2006). "بناء سباعي منتظم باستخدام فن طي الورق الحاسوبي مع إثبات آلي لصحته". الاستدلال الآلي في الهندسة . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 3763. الصفحات 19-33 . doi : 10.1007/11615798_2 . ISBN 978-3-540-31332-8.

[alperin05-24] ألبيرين، روجر سي. (2005). "التثليثات وفن طي الورق الحقيقي تمامًا". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 112 (3): 200-211 . arXiv : math/0408159 . doi : 10.2307/30037438 . JSTOR 30037438 .

[25] بيرد، ريتشارد؛ مو، شين-تشنغ (سبتمبر 2005). "العد التنازلي: دراسة حالة في برمجة الأوريغامي" . مجلة البرمجة الوظيفية . 15 (5): 679-702 . doi : 10.1017/S0956796805005642 . ISSN 1469-7653 . S2CID 46359986 .

[alperin09-26] لانغ، روبرت جيه؛ ألبيرين، روجر سي. (2009). "مسلمات طي الورق أحادي الطي، وثنائي الطي، ومتعدد الطيات" (ملف PDF) . أوريغامي 4. أوريغامي 4 ^: الاجتماع الدولي الرابع لعلوم الأوريغامي والرياضيات والتعليم . الصفحات 383-406 . doi : 10.1201/b10653-38 . ISBN 9780429106613.

[ugmo-27] 1 2 بيرتشينغر، توماس هـ.؛ سلوت، جوزيف؛ سبنسر، أوليفيا كلير؛ فينيتسكي، صموئيل. رياضيات الأوريغامي (ملف PDF) . كلية كارلتون.

[quinti-28] لانغ، روبرت ج. (2004). "تقسيم الزاوية إلى خمسة أجزاء" (ملف PDF) . langorigami.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 يناير 2021 .

[29] توماس سي. هول (2002). "توافقية الطيات المسطحة: دراسة استقصائية". وقائع الاجتماع الدولي الثالث لعلوم الأوريغامي والرياضيات والتعليم . إيه كيه بيترز. arXiv : 1307.1065 . ISBN 978-1-56881-181-9.

[30] "روبرت لانغ يطوي فن الأوريغامي الجديد تماماً" .

[GFALOP-31] ديمين، إريك د .؛ أورورك، جوزيف (2007). خوارزميات الطي الهندسي . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/CBO9780511735172 . ISBN 978-0-521-85757-4MR 2354878 .

[32] توم هول. "فن طي الورق والإنشاءات الهندسية" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 18-06-2019 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-12-2013 .

[GO-Geretsch-33] 1 2 جيريتشلاجر، روبرت (2008). اوريغامي هندسية . المملكة المتحدة: اربيلوس. رقم ISBN 978-0-9555477-1-3.

[okumura14-34] هيروشي أوكومورا (2014). "ملاحظة حول نظريات هاغا في طي الورق" (ملف PDF) . منتدى الهندسة . 14 : 241-242 .

[lang2008-35] 1 2 لانغ، روبرت جيه (2008). "من الطيور التي ترفرف إلى التلسكوبات الفضائية: العلم الحديث لفن الأوريغامي" (ملف PDF) . مؤتمر Usenix، بوسطن، ماساتشوستس.

[36] مؤرشف في Ghostarchiveوآلة Waybackدانكسو ، زوزانا (12 ديسمبر 2014). "عاشق الأرقام: كيفية تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء باستخدام فن الأوريغامي" . يوتيوب . تم الاطلاع عليه في 2 أكتوبر 2021 .

[37] مايكل ج. وينكلر؛ كاثرين د. وولد؛ هانز جورج بوك (2011). "الهندسة العملية مع فن الأوريغامي". الأوريغامي 5. مطبعة سي آر سي. ص 225. ISBN 978-1-56881-714-9.

[38] "سيغراف: "فن طي الورق المنحني"تمت أرشفة هذا النص من المصدر الأصلي بتاريخ 2017-05-08 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2008-10-08 .

[korpal15-39] كوربال، غوريش (25 نوفمبر 2015). "طي الورقة إلى نصفين" . بزوايا قائمة . 4 (3). معلمو الهند: 20-23 . مؤرشف من الأصل في 14 نوفمبر 2016. تم الاسترجاع في 28 نوفمبر 2015 .

[Mathworld-40] وايسشتاين، إريك دبليو. "الطي" . عالم الرياضيات .

[d'Agostino-41] داغوستينو، سوزان (2020). كيف تُحرر عالم الرياضيات بداخلك . مطبعة جامعة أكسفورد . ص 22. ISBN 9780198843597.

[hull02-42] هول، توماس (2002). " بحثًا عن طي عملي للخريطة". آفاق الرياضيات . 9 (3): 22-24 . doi : 10.1080/10724117.2002.11975147 . JSTOR 25678354. S2CID 126397750 .

[:2-43] 1 2 "مختبر الأوريغامي" . مجلة نيويوركر . 12 فبراير 2007. تاريخ الاسترجاع: 9 مايو 2022 .

[:1-44] 1 2 ديمين، إريك (2001). "النتائج الحديثة في فن طي الورق الحاسوبي" (PDF).

[45] لانغ، روبرت. "خوارزمية حسابية لتصميم الأوريغامي" (PDF) .

[46] أكيتايا، هوغو أ. تشيونغ، كينيث C .؛ ديمين، إريك د.؛ هورياما، تاكاشي؛ هال، توماس. كو، جايسون س؛ تاتشي، توموهيرو؛ اوهارا ، ريوهي (2016). "طي الصندوق أمر صعب". في أكياما، جين؛ إيتو، هيرو؛ ساكاي، توشينوري؛ أونو، يوشي (محرران). الهندسة والرسوم البيانية المنفصلة والحسابية - مؤتمر اليابان الثامن عشر، JCDCGG 2015، كيوتو، اليابان، 14-16 سبتمبر 2015، أوراق مختارة منقحة . ملاحظات المحاضرة في الحاسب. الخيال العلمي. المجلد. 9943. سبرينغر. ص 167 – 179. دوى : 10.1007 / 978-3-319-48532-4_15 . ، تصحيحًا لبرهان سابق على اكتمال NP من بيرن، مارشال؛ هايز، باري (1996). "تعقيد الأوريغامي المسطح" . وقائع الندوة السابعة لجمعية ACM-SIAM حول الخوارزميات المنفصلة (SODA '96) . فيلادلفيا، بنسلفانيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. الصفحات 175-183 .

[47] إبستين، ديفيد (2025). "التعقيدات الحسابية للطي" . مجلة معالجة المعلومات . 33 : 954-973 . doi : 10.2197/ipsjjip.33.954 .

[48] "أي شيء مصنوع من الأوريغامي" . أخبار معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا | معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . 22 يونيو 2017. تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 مايو 2022 .

[49] "جوليا والجبر الهندسي الإسقاطي" . كود جوليا لتحريك الكابوتو موجود في المثال 3.4. 31 مارس 2024.{{cite web}}: CS1 maint: location ( link )

[50] تاسون. "فن طي الورق الحاسوبي" . تم الاسترجاع في 2022-05-08 .

[51] "كادنانو" . كادنانو . تم الاسترجاع بتاريخ 2022-05-08 .

[52] مجلة سميثسونيان؛ موريسون، جيم. "كيف يُحدث فن الأوريغامي ثورة في التصميم الصناعي" . مجلة سميثسونيان . تاريخ الاسترجاع: 8 مايو 2022 .

[53] جيبونز، جيريمي (2003). "برمجة الأوريغامي" (ملف PDF) .

[54] تاسون. "طي الوسادة الهوائية" . تم الاسترجاع في 2022-05-08 .

[55] "ويب والأوريغامي - تلسكوب ويب/ناسا" . webb.nasa.gov . تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 مايو 2022 .

[56] فيلتون، س.؛ تولي، م.؛ ديمين، إ.؛ روس، د.؛ وود، ر. (2014-08-08). " طريقة لبناء آلات ذاتية الطي" . مجلة ساينس . 345 (6197): 644-646 . رمز Bibcode : 2014Sci...345..644F . doi : 10.1126/science.1252610 . ISSN 0036-8075 . PMID 25104380. S2CID 18415193 .

[57] بروين، بوب (10 مايو 2004). "فن طي الورق الحاسوبي" . مجلة كمبيوتر وورلد . تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 مايو 2022 .

[58] "قرار الأوريغامي" . مثير للاهتمام للغاية . تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 مايو 2022 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ ٤ ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ ٢٢ ]

[ ٢٣ ]

[ ٢٤ ]

[ 25 ]

[ ٢٦ ]

[ ٢٧ ]

[ ٢٨ ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[

[

[ 42 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[

[ ٤٨ ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗