انحناء غاوسي

في الهندسة التفاضلية ، يكون الانحناء الغاوسي أو انحناء غاوس Κ لسطح أملس في فضاء ثلاثي الأبعاد عند نقطة ما هو حاصل ضرب الانحناءات الرئيسية ، κ ₁ و κ ₂ ، عند النقطة المعطاة: على سبيل المثال، كرة نصف قطرها r لها انحناء غاوسي$${\displaystyle K=\kappa _{1}\kappa _{2}.}$$1/ر ²في كل مكان، والمستوى المسطح والأسطوانة لهما انحناء غاوسي يساوي صفرًا في كل مكان. يمكن أن يكون الانحناء الغوسي سلبيًا أيضًا، كما في حالة القطع الزائد أو داخل الطارة .

الانحناء الغاوسي هو مقياس جوهري للانحناء ، ويعتمد فقط على المسافات التي يتم قياسها "داخل" أو على طول السطح، وليس على الطريقة التي يتم تضمينها بها بشكل متساوي القياس في الفضاء الإقليدي. هذا هو محتوى نظرية egregium .

تمت تسمية الانحناء الغاوسي نسبة إلى كارل فريدريش غاوس ، الذي نشر نظرية إجريجيوم في عام 1827.

في أي نقطة على السطح، يمكننا إيجاد متجه عمودي على السطح؛ وتسمى المستويات التي تحتوي على المتجه العمودي بالمستويات العمودية . سيشكل تقاطع المستوى العمودي والسطح منحنى يسمى المقطع العمودي وانحناء هذا المنحنى هو الانحناء العمودي . بالنسبة لمعظم النقاط على معظم الأسطح "الناعمة"، سيكون للمقاطع العمودية المختلفة انحناءات مختلفة؛ تسمى القيم القصوى والدنيا لهذه الانحناءات الرئيسية ، نسميها κ ₁ و κ _2. الانحناء الغاوسي هو حاصل ضرب الانحناءين الرئيسيين Κ = κ ₁ κ ₂ .

يمكن استخدام علامة الانحناء الغاوسي لتوصيف السطح.

• إذا كان كلا المنحنيين الرئيسيين لهما نفس الإشارة: κ ₁ κ ₂ > 0 ، فإن الانحناء الغاوسي يكون موجبًا ويقال إن السطح له نقطة إهليلجية. في مثل هذه النقاط، سيكون السطح على شكل قبة، حيث يقع محليًا على جانب واحد من المستوى المماس له. ستكون جميع الانحناءات المقطعية لها نفس الإشارة.
• إذا كانت الانحناءات الرئيسية لها علامات مختلفة: κ ₁ κ ₂ < 0 ، فإن الانحناء الغاوسي يكون سلبيًا ويقال إن السطح به نقطة زائدية أو نقطة سرج . في مثل هذه النقاط، سيكون السطح على شكل سرج. نظرًا لأن أحد الانحناءات الرئيسية سلبي، والآخر موجب، ويتغير الانحناء العمودي باستمرار إذا قمت بتدوير مستوٍ عمودي على السطح حول العمودي على السطح في اتجاهين، فإن الانحناءات العمودية ستكون صفرًا مما يعطي المنحنيات المقاربة لتلك النقطة.
• إذا كان أحد الانحناءات الرئيسية يساوي صفرًا: κ ₁ κ ₂ = 0 ، فإن الانحناء الغاوسي يساوي صفرًا ويقال إن السطح يحتوي على نقطة مكافئة.

ستحتوي معظم الأسطح على مناطق ذات انحناء غاوسي موجب (نقاط إهليلجية) ومناطق ذات انحناء غاوسي سلبي مفصولة بمنحنى من النقاط ذات انحناء غاوسي يساوي صفرًا يسمى خط مكافئ .

عندما يكون السطح ذو انحناء غاوسي ثابت يساوي صفرًا، فإنه يكون سطحًا قابلًا للتطوير وهندسة السطح هي هندسة إقليدية .

عندما يكون للسطح انحناء غاوسي موجب ثابت، فإن هندسة السطح تكون هندسة كروية . تتمتع الكرات وبقع الكرات بهذه الهندسة، ولكن توجد أمثلة أخرى أيضًا، مثل الليمون / كرة القدم الأمريكية .

عندما يكون السطح ذو انحناء غاوسي سلبي ثابت، فإنه يكون سطحًا شبه كروي وهندسة السطح هي هندسة زائدية .

المنحنيان الرئيسيان عند نقطة معينة من السطح هما القيم الذاتية لمشغل الشكل عند هذه النقطة. وهما يقيسان كيفية انحناء السطح بمقادير مختلفة في اتجاهات مختلفة من هذه النقطة. ونمثل السطح بنظرية الدالة الضمنية كرسم بياني لدالة، f ، لمتغيرين، بحيث تكون النقطة p نقطة حرجة، أي أن تدرج f يتلاشى (يمكن تحقيق ذلك دائمًا من خلال حركة صلبة مناسبة). ثم يكون الانحناء الغاوسي للسطح عند p هو محدد مصفوفة هيسيان لـ f (كونها حاصل ضرب القيم الذاتية لهيسيان). (تذكر أن هيسيان هي مصفوفة 2×2 للمشتقات الثانية). يسمح هذا التعريف للمرء بفهم التمييز بين الكأس/الغطاء مقابل نقطة السرج على الفور.

كما يمكن الحصول عليه من خلال حيث ∇ _i = ∇ _{e i} هو المشتق المتغير و g هو الموتر المتري . $${\displaystyle K={\frac {{\bigl \langle}(\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1 },\mathbf {e} _{2}{\bigr \rangle }}{\det g}},}$$

عند نقطة p على سطح منتظم في R ³ ، يتم أيضًا إعطاء الانحناء الغاوسي من خلال حيث S هو عامل الشكل . $${\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det S(\mathbf {p} ),}$$

الصيغة المفيدة للانحناء الغاوسي هي معادلة ليوفيل من حيث الانحناء اللابلاسي في الإحداثيات المتساوية الحرارة .

يُطلق على التكامل السطحي للانحناء الغاوسي على بعض مناطق السطح اسم الانحناء الكلي . الانحناء الكلي للمثلث الجيوديسي يساوي انحراف مجموع زواياه عن π . مجموع زوايا المثلث على سطح ذي انحناء موجب سيتجاوز π ، بينما مجموع زوايا المثلث على سطح ذي انحناء سالب سيكون أقل من π . على سطح ذي انحناء صفري، مثل المستوى الإقليدي ، سيكون مجموع الزوايا بالضبط π راديان. النتيجة الأكثر عمومية هي نظرية جاوس-بونيه . $${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\iint _{T}K\,dA.}$$

تنص نظرية جاوس إيجريجيوم (باللاتينية: "نظرية ملحوظة") على أنه يمكن تحديد الانحناء الغاوسي لسطح ما من قياسات الطول على السطح نفسه. في الواقع، يمكن إيجاده مع العلم الكامل بالشكل الأساسي الأول والتعبير عنه من خلال الشكل الأساسي الأول ومشتقاته الجزئية من الدرجة الأولى والثانية. وعلى نحو مكافئ، يمكن التعبير عن محدد الشكل الأساسي الثاني لسطح ما في R ³ على هذا النحو. والسمة "المدهشة" لهذه النظرية هي أنه على الرغم من أن تعريف الانحناء الغاوسي لسطح ما في R ³ يعتمد بالتأكيد على الطريقة التي يقع بها السطح في الفضاء، فإن النتيجة النهائية، الانحناء الغاوسي نفسه، يتم تحديده من خلال المقياس الجوهري للسطح دون أي إشارة أخرى إلى الفضاء المحيط: إنه ثابت جوهري . وعلى وجه الخصوص، يكون الانحناء الغاوسي ثابتًا في ظل التشوهات المتساوية القياس للسطح.

في الهندسة التفاضلية المعاصرة ، "السطح"، عند النظر إليه بشكل تجريدي، هو متعدد شعب قابل للاشتقاق ثنائي الأبعاد . ولربط وجهة النظر هذه بالنظرية الكلاسيكية للأسطح ، فإن مثل هذا السطح المجرد مُضمن في R ³ ومُزود بالمقياس الريماني المُعطى ^بواسطة الشكل الأساسي الأول. افترض أن صورة التضمين هي سطح S في R ^3. التماثل المحلي هو تماثل تفاضلي f  : U → V بين المناطق المفتوحة في R 3 التي يكون تقييدها بـ S ∩ U تماثلًا على صورتها. ثم يتم صياغة نظرية إجريجيوم على النحو التالي:

على سبيل المثال، يكون الانحناء الغاوسي لأنبوب أسطواني صفرًا، وهو نفس الانحناء للأنبوب "المطوي" (المسطح). ^{[1] [ الصفحة المطلوبة ]} من ناحية أخرى، نظرًا لأن الكرة التي يبلغ نصف قطرها R لها انحناء موجب ثابت R ⁻² والمستوى المسطح له انحناء ثابت 0، فإن هذين السطحين ليسا متساويين القياس، ولا حتى محليًا. وبالتالي فإن أي تمثيل مستوٍ حتى لجزء صغير من الكرة يجب أن يشوه المسافات. لذلك، لا يوجد إسقاط خرائطي مثالي.

تربط نظرية جاوس-بونيه الانحناء الكلي لسطح ما بخصائص أويلر الخاصة به ، كما توفر رابطًا مهمًا بين الخصائص الهندسية المحلية والخصائص الطوبولوجية العالمية.

${\displaystyle \int _{M}K\,dA+\int _{\partial M}k_{g}\,ds=2\pi \chi (M),\,}$

• تنص نظرية ميندنج (1839) على أن جميع الأسطح التي لها نفس الانحناء الثابت K تكون متساوية القياس محليًا. إحدى نتائج نظرية ميندنج هي أنه يمكن إنشاء أي سطح يكون انحناؤه مساويًا للصفر عن طريق ثني بعض المناطق المستوية. تسمى هذه الأسطح بالأسطح القابلة للتطوير . أثار ميندنج أيضًا مسألة ما إذا كان السطح المغلق ذو الانحناء الإيجابي الثابت صلبًا بالضرورة.
• أجابت نظرية ليبمان (1900) على سؤال ميندينج. الأسطح المغلقة المنتظمة الوحيدة (من الفئة C ² ) في R ³ ذات الانحناء الغاوسي الموجب الثابت هي الكرات . ^[2] إذا تشوهت الكرة، فإنها لا تظل كرة، مما يثبت أن الكرة صلبة. يستخدم أحد الأدلة القياسية مبرهنة هيلبرت التي تنص على أن النقاط غير السريّة ذات الانحناء الأساسي الشديد لها انحناء غاوسي غير موجب. ^[3]
• تنص نظرية هيلبرت (1901) على أنه لا يوجدسطح منتظم تحليلي كامل (الفئة C ^ω ) في R ³ ذي انحناء غاوسي سلبي ثابت. في الواقع، ينطبق الاستنتاج أيضًا على الأسطح من الفئة C ² المغمورة في R ³ ، لكنه ينهار بالنسبةللأسطح C ^1. تتمتع الكرة شبه الكروية بانحناء غاوسي سلبي ثابت باستثناء دائرة حدودها، حيث لا يتم تعريف الانحناء الغاوسي.

هناك أسطح أخرى لها انحناء غاوسي موجب ثابت. يعتبر مانفريدو دو كارمو أسطح الدوران حيث و ( تكامل إهليلجي غير مكتمل من النوع الثاني ). تحتوي جميع هذه الأسطح على انحناء غاوسي ثابت بقيمة 1، ولكن، بالنسبة إلى أي منهما، يكون له حدود أو نقطة مفردة. يقدم دو كارمو أيضًا ثلاثة أمثلة مختلفة لسطح له انحناء غاوسي سالب ثابت، أحدها هو شبه الكرة . ^[4]${\displaystyle (\phi (v)\cos(u),\phi (v)\sin(u),\psi (v))}$${\displaystyle \phi (v)=C\cos v}$${\textstyle \psi (v)=\int _{0}^{v}{\sqrt {1-C^{2}\sin ^{2}v'}}\ dv'}$${\displaystyle C\neq 1}$

هناك العديد من الأسطح المحدودة الأخرى المحتملة ذات الانحناء الغاوسي الثابت. في حين أن الكرة صلبة ولا يمكن ثنيها باستخدام القياس المتساوي، إذا تمت إزالة منطقة صغيرة، أو حتى قطع على طول جزء صغير، فيمكن ثني السطح الناتج. يحافظ هذا الانحناء على الانحناء الغاوسي، وبالتالي فإن أي انحناء للكرة مع إزالة المنطقة سيكون له أيضًا انحناء غاوسي ثابت. ^[5]

• يمكن التعبير عن الانحناء الغاوسي لسطح في R ³ كنسبة محددات الشكلين الأساسيين الثاني والأول II و I :$${\displaystyle K={\frac {\det(\mathrm {I\!I} )}{\det(\mathrm {I} )}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}.}$$
• التعطي صيغة بريوشي (بعدفرانشيسكو بريوشي) انحناء غاوسي فقط من حيث الشكل الأساسي الأول:$${\displaystyle K={\frac {{\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{\left(EG-F^{2}\right)^{2}}}}$$
• بالنسبة للمعامل المتعامد ( F = 0 )، فإن الانحناء الغاوسي هو:$${\displaystyle K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {G_{u}}{\sqrt {EG}}}+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}{\sqrt {EG}}}\right).}$$
• بالنسبة للسطح الموصوف بأنه رسم بياني للدالة z = F ( x , y ) ، فإن الانحناء الغاوسي هو: ^[6] $${\displaystyle K={\frac {F_{xx}\cdot F_{yy}-F_{xy}^{2}}{\left(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{2}}}}$$
• بالنسبة لسطح محدد ضمناً، F ( x ، y ، z ) = 0 ، يمكن التعبير عن الانحناء الغاوسي من حيث التدرج ∇ F ومصفوفة هيسيان H ( F ) : ^{[7] [8]} $${\displaystyle K=-{\frac {\begin{vmatrix}H(F)&\nabla F^{\mathsf {T}}\\\nabla F&0\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}=-{\frac {\begin{vmatrix}F_{xx}&F_{xy}&F_{xz}&F_{x}\\F_{xy}&F_{yy}&F_{yz}&F_{y}\\F_{xz}&F_{yz}&F_{zz}&F_{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}&0\\\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}}$$
• بالنسبة لسطح ذي مقياس متري مطابق للمقياس الإقليدي، حيث F = 0 و E = G = e ^σ ، يتم إعطاء انحناء جاوس بواسطة ( Δ هو عامل لابلاس المعتاد ):$${\displaystyle K=-{\frac {1}{2e^{\sigma }}}\Delta \sigma .}$$
• الانحناء الغاوسي هو الفرق الحدي بين محيط الدائرة الجيوديسية ودائرة في المستوى: ^[9] $${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}}$$
• الانحناء الغاوسي هو الفرق الحدي بين مساحة القرص الجيوديسي والقرص في المستوى: ^[9] $${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}}$$
• يمكن التعبير عن الانحناء الغاوسي باستخدام رموز كريستوفيل : ^[10] $${\displaystyle K=-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)}$$

• نصف قطر انحناء الأرض الغاوسي
• انحناء مقطعي
• متوسط ​​الانحناء
• خريطة جاوس
• موتر انحناء ريمان
• الانحناء الرئيسي

• جرينفيلد، ب. (2014). مقدمة إلى تحليل الموتر وحساب الأسطح المتحركة . سبرينغر. رقم ISBN 978-1-4614-7866-9.
• روفيلي، كارلو (2021). النسبية العامة: الأساسيات . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-1-009-01369-7.

• "الانحناء الغاوسي"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]