ازدواجية ماتليس

في الجبر ، تُعرف ثنائية ماتليس بأنها ثنائية بين وحدات أرتينية ووحدات نوثرية على حلقة نوثرية محلية كاملة . في الحالة الخاصة التي تحتوي فيها الحلقة المحلية على حقل يُسقط على حقل البقايا ، ترتبط هذه الثنائية ارتباطًا وثيقًا بأعمال فرانسيس سويربي ماكولي السابقة حول حلقات كثيرات الحدود ، وتُسمى أحيانًا ثنائية ماكولي . أما الحالة العامة فقد قدمها ماتليس ( 1958 ) . 

لنفترض أن R حلقة محلية كاملة نوثرية بحقل البقايا k ، ولنختر E غلافًا حقنيًا لـ k (يُسمى أحيانًا وحدة ماتليس ). يُعرَّف الثنائي D _{_R} ( M ) للوحدة M بأنه Hom_{_R} ( M , E ). تنص ثنائية ماتليس على أن دالة الثنائية D _{_R} تُعطي تكافؤًا عكسيًا بين فئتي الوحدات الأرتينية والنوثرية على R. على وجه الخصوص، تُعطي دالة الثنائية تكافؤًا عكسيًا من فئة الوحدات ذات الطول المحدود إلى نفسها.

لنفترض أن الحلقة المحلية الكاملة R، من نوع نوثر، تحتوي على حقل جزئي k يُسقط على حقل جزئي ذي دليل منتهٍ من حقل البقايا R / m . عندئذٍ، يكون ثنائي ماتليس لأي وحدة نمطية R هو ثنائيها كفضاء متجهي طوبولوجي فوق k ، إذا ما أُعطيت الوحدة النمطية طوبولوجيتها m -adic. على وجه الخصوص، يُعد ثنائي R كفضاء متجهي طوبولوجي فوق k وحدة نمطية ماتليس. ترتبط هذه الحالة ارتباطًا وثيقًا بعمل ماكولي على حلقات كثيرات الحدود المتدرجة، وتُسمى أحيانًا ثنائية ماكولي.

إذا كانت R حلقة تقييم منفصلة بحقل خارج قسمة K، فإن وحدة ماتليس هي K / R. في الحالة الخاصة عندما تكون R حلقة الأعداد p -adic ، فإن وحدة ماتليس الثنائية لوحدة مولدة نهائيًا هي وحدة بونترياجين الثنائية لها باعتبارها زمرة أبيلية متراصة محليًا .

إذا كانت R حلقة محلية من نوع كوهين-ماكولي ذات بُعد d ووحدة ثنائية Ω، فإن وحدة ماتليس تُعطى بواسطة مجموعة التماثل المحلية H ^d _R (Ω). وبالتحديد، إذا كانت R حلقة محلية من نوع أرتينيان، فإن وحدة ماتليس هي نفسها الوحدة الثنائية.

يمكن شرح ازدواجية ماتليس بشكل مفاهيمي باستخدام لغة الدوال المرافقة والفئات المشتقة : ^{[ 1 ]} الدالة بين الفئات المشتقة لـ R- و k -modules الناتجة عن اعتبار k -module كـ R- module، تقبل مرافقًا يمينًا ( Hom داخلي مشتق ).

${\displaystyle D(k)\gets D(R):R\operatorname {Hom} _{R}(k,-).}$

هذا المرافق الأيمن يرسل الهيكل الحقني${\displaystyle E(k)}$المذكور أعلاه إلى k ، وهو كائن ثنائي في${\displaystyle D(k)}$ومن ثم فإن هذه الحقيقة المجردة تؤدي إلى التكافؤ المذكور أعلاه.

• ازدواجية غروتينديك المحلية

• برونز، وينفريد؛ هيرتسوغ، يورغن (1993)، حلقات كوهين-ماكولي ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  39، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-41068-7MR 1251956​ 
• ماتليس، إيبن (1958)، "الوحدات الحقنية على الحلقات النويثرية" ، مجلة المحيط الهادئ للرياضيات ، 8 : 511-528 ، doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 ، ISSN 0030-8730 ، MR 0099360 ، مؤرشف من الأصل في 2014-05-03