ازدواجية بونترياجين

قبل عام 1938، ساهمت عدة تطورات فيما أصبح يُعرف باسم ثنائية بونترياجين .

قام بافيل ألكسندروف (أواخر عشرينيات القرن العشرين) بتطوير نظرية الأنظمة العكسية (الحدود الإسقاطية) في علم الطوبولوجيا، بما في ذلك ما يُسمى بأطياف الإسقاط. ورغم أنها ليست جزءًا مباشرًا من نظرية الازدواجية للمجموعات الطوبولوجية، إلا أن هذه الأساليب أدخلت استخدامًا منهجيًا للعمليات الحدية التي أصبحت فيما بعد مهمة في دراسة المجموعات غير المولدة نهائيًا وظواهر الازدواجية. ^{[ 1 ]}

قدّم ألفريد هار (1933) مقياس هار في كتابه "Der Maßbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen" ، موفراً نظرية تكامل ثابتة تحت الإزاحة على المجموعات المدمجة محلياً. وقد أصبح هذا المقياس أداة أساسية للتحليل التوافقي ولصياغة ثنائية بونترياجين بشكل عام لاحقاً. ^{[ 1 ]}

قام ريموند بالي ونوربرت وينر (1933-1934)، في عملٍ تُوِّج بكتاب " تحويلات فورييه في المجال المركب " (1934)، بدراسةٍ منهجيةٍ لتحويلات فورييه وخصائص الزمر الأبيلية (المنفصلة أو الإقليدية في المقام الأول). وقد أكدا على وجود ازدواجية بين الزمرة وزمرة خصائصها، على الرغم من أن إطار عملهما لم يكن قد امتد بعد إلى الزمر الأبيلية المتراصة محليًا بشكل عام. ^{[ 1 ]}

أوضح جيمس واديل ألكسندر الثاني (1934-1935) ظواهر الازدواجية في الطوبولوجيا الجبرية ، وقدم أفكارًا مبكرة في علم التماثل، لا سيما في كتابه " حول سلاسل المركب ونظائرها" . ورغم أن هذا العمل لا يُعد جزءًا مباشرًا من ازدواجية بونترياجين، إلا أنه أسهم في المفهوم الرياضي الأوسع للازدواجية. ^{[ 1 ]}

درس جون فون نيومان (1934) الدوال شبه الدورية على المجموعات ووسع التحليل التوافقي إلى ما هو أبعد من الإعدادات القابلة للعد، وأزال بعض افتراضات الفصل وتوقع الحاجة إلى إطار عمل عام مضغوط محليًا. ^{[ 1 ]}

قام إيغبرت فان كامبن (1935)، في كتابه " المجموعات الأبيلية ثنائية التراص المحلية ومجموعات خصائصها" ، بتحسين الطوبولوجيا المتعلقة بمجموعات الخصائص وإزالة قيود العد، مما جعل النظرية قريبة من صياغتها الحديثة. ^{[ 2 ]}

قام كلود شوفالي (1936) بتطبيق أفكار الازدواجية في نظرية حقل الفئات ، موضحاً أهميتها الحسابية. ^{[ 1 ]}

وأخيرًا، وضع ليف بونترياغين (1931-1934) النتائج الأساسية: تعريف المجموعة الثنائية بأنها مجموعة الخصائص المتصلة، والاقتران الطبيعي بين المجموعة الأبيلية المدمجة محليًا ومجموعتها الثنائية، ونظرية الازدواجية التي تُعرّف المجموعة بمجموعتها الثنائية المزدوجة في الحالتين المدمجة والمنفصلة. وسرعان ما تم تعميم هذه النتائج لتشمل جميع المجموعات الأبيلية المدمجة محليًا. ^{[ 3 ] [ 1 ]}

إحدى أبرز الحقائق المتعلقة بمجموعة محلية متماسكة${\displaystyle G}$يكمن الأمر في أنها تحمل مقياسًا طبيعيًا فريدًا أساسًا ، وهو مقياس هار ، الذي يسمح بقياس "حجم" المجموعات الفرعية المنتظمة بدرجة كافية من${\displaystyle G}$تعني عبارة "مجموعة جزئية منتظمة بما فيه الكفاية" هنا مجموعة بوريل ؛ أي عنصر من جبر سيجما المُوَلَّد بواسطة المجموعات المتراصة . وبشكل أدق، مقياس هار الأيمن على زمرة متراصة محليًا${\displaystyle G}$هو مقياس قابل للعد والجمع μ معرف على مجموعات بوريل لـ${\displaystyle G}$وهو ثابت من اليمين بمعنى أن${\displaystyle \mu (Ax)=\mu (A)}$ل${\displaystyle x}$عنصر من${\displaystyle G}$و${\displaystyle A}$مجموعة فرعية من بوريل${\displaystyle G}$كما أنه يستوفي بعض شروط الانتظام (الموضحة بالتفصيل في مقال مقياس هار ). باستثناء عوامل القياس الموجبة، فإن مقياس هار على${\displaystyle G}$فريد من نوعه.

مقياس هار${\displaystyle G}$يُتيح لنا ذلك تعريف مفهوم التكامل لدوال بوريل ( ذات القيم المركبة ) المعرفة على المجموعة. على وجه الخصوص، يمكن للمرء أن ينظر في فضاءات L ^p المختلفة المرتبطة بمقياس هار.${\displaystyle \mu }$. خاصة، $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mu }^{p}(G)=\left\{(f:G\to \mathbb {C} )\ {\Big |}\ \int _{G}|f(x)|^{p}\ d\mu (x)<\infty \right\}.}$$

لاحظ أنه، بما أن أي مقياسين من مقاييس هار على${\displaystyle G}$متساوية حتى عامل قياس، هذا${\displaystyle L^{p}}$لا يعتمد الفضاء على اختيار مقياس هار، وبالتالي ربما يمكن كتابته على النحو التالي${\displaystyle L^{p}(G)}$ومع ذلك، فإن${\displaystyle L^{p}}$يعتمد المعيار في هذه المساحة على اختيار مقياس هار، لذلك إذا أراد المرء التحدث عن التساويات، فمن المهم تتبع مقياس هار المستخدم.

تُستخدم المجموعة الثنائية لمجموعة أبيلية متراصة محليًا كفضاء أساسي لنسخة مجردة من تحويل فورييه . إذا${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$إذن، تحويل فورييه هو الدالة${\displaystyle {\widehat {f}}}$على${\displaystyle {\widehat {G}}}$محدد بواسطة $${\displaystyle {\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\ d\mu (x),}$$ حيث يكون التكامل نسبيًا إلى مقياس هار${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle G}$ويُشار إلى ذلك أيضًا بـ${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\chi )}$لاحظ أن تحويل فورييه يعتمد على اختيار مقياس هار. ليس من الصعب إثبات أن تحويل فورييه لـ${\displaystyle L^{1}}$الوظيفة قيد التشغيل${\displaystyle G}$هي دالة متصلة ومحدودة على${\displaystyle {\widehat {G}}}$والذي يتلاشى عند اللانهاية .

التحويل العكسي لفورييه لدالة قابلة للتكامل على${\displaystyle {\widehat {G}}}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle {\check {g}}(x)=\int _{\widehat {G}}g(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi ),}$$ حيث يكون التكامل مرتبطًا بمقياس هار${\displaystyle \nu }$في المجموعة المزدوجة${\displaystyle {\widehat {G}}}$المقياس${\displaystyle \nu }$على${\displaystyle {\widehat {G}}}$يُطلق على ما يظهر في صيغة عكس فورييه اسم المقياس المزدوج لـ${\displaystyle \mu }$ويمكن الإشارة إليه${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$.

يمكن تصنيف تحويلات فورييه المختلفة من حيث مجالها ومجال تحويلها (المجموعة والمجموعة الثنائية) على النحو التالي (لاحظ أن${\displaystyle \mathbb {T} }$مجموعة الدائرة ):

تحويل	النطاق الأصلي،${\displaystyle G}$	مجال التحويل،${\displaystyle {\hat {G}}}$	يقيس،${\displaystyle \mu }$
تحويل فورييه	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\text{Constant}}\times {\text{Lebesgue measure}}}$
متسلسلة فورييه	${\displaystyle \mathbb {T} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle {\text{Constant}}\times {\text{Lebesgue measure}}}$
تحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT)	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {T} }$	${\displaystyle {\text{Constant}}\times {\text{Counting measure}}}$
تحويل فورييه المنفصل (DFT)	${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$	${\displaystyle {\text{Constant}}\times {\text{Counting measure}}}$

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$لذلك يمكننا التفكير في${\displaystyle {\widehat {G}}}$مثل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$عن طريق الاقتران${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }.}$لو${\displaystyle \mu }$إذا كان مقياس ليبيغ على الفضاء الإقليدي ، فسنحصل على تحويل فورييه العادي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$والمقياس المزدوج اللازم لصيغة عكس فورييه هو${\displaystyle {\widehat {\mu }}=(2\pi )^{-n}\mu }$إذا أردنا الحصول على صيغة عكس فورييه بنفس القياس على كلا الجانبين (أي، بما أننا نستطيع التفكير في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$كمساحة مزدوجة خاصة بها، يمكننا أن نطلب${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$يساوي${\displaystyle \mu }$ثم نحتاج إلى استخدام $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\\{\widehat {\mu }}&=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\end{aligned}}}$$

لكن إذا غيرنا طريقة تحديد هويتنا${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$باستخدام مجموعتها الثنائية، من خلال الاقتران $${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} },}$$ ثم مقياس ليبيغ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يساوي قياسه الثنائي . يقلل هذا الاصطلاح عدد عوامل${\displaystyle 2\pi }$تظهر هذه الأخطاء في أماكن مختلفة عند حساب تحويلات فورييه أو تحويلات فورييه العكسية على الفضاء الإقليدي. (في الواقع، إنها تحد من${\displaystyle 2\pi }$(فقط إلى الأس وليس كعامل مسبق خارج علامة التكامل.) لاحظ أن اختيار كيفية تحديد${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يؤثر وجود المجموعة الثنائية على معنى مصطلح "الدالة الذاتية الثنائية"، وهي دالة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يساوي تحويل فورييه الخاص به: باستخدام الاقتران الكلاسيكي${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }}$الوظيفة${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$هو ثنائي ذاتي. ولكن باستخدام الاقتران، الذي يحافظ على العامل المسبق كوحدة،${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }}$اصنع${\displaystyle e^{-\pi x^{2}}}$بدلاً من ذلك، يكون التحويل ذاتيًا. يتميز هذا التعريف الثاني لتحويل فورييه بأنه يحوّل عنصر التطابق الضربي إلى عنصر التطابق التلفيفي، وهو أمر مفيد لأن${\displaystyle L^{1}}$هي جبر التفاف. انظر القسم التالي حول جبر الزمر . بالإضافة إلى ذلك، فإن هذا الشكل متساوي القياس بالضرورة على${\displaystyle L^{2}}$المساحات. انظر أدناه في نظريات بلانشيريل و L ² لانعكاس فورييه .

فضاء الدوال القابلة للتكامل على زمرة أبيلية متراصة محليًا${\displaystyle G}$هو جبر ، حيث الضرب هو التفاف: التفاف دالتين قابلتين للتكامل${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(x-y)g(y)\ d\mu (y).}$$

يُشار إلى هذا النوع من الجبر باسم جبر الزمر.${\displaystyle G}$بحسب نظرية فوبيني-تونيللي ، فإن عملية الالتفاف تكون شبه ضربية بالنسبة إلى${\displaystyle L^{1}}$المعيار، مما يجعل${\displaystyle L^{1}(G)}$جبر باناخ . جبر باناخ${\displaystyle L^{1}(G)}$يحتوي على عنصر محايد ضربي إذا وفقط إذا${\displaystyle G}$هي زمرة منفصلة، ​​أي دالة تساوي 1 عند العنصر المحايد وصفر في باقي العناصر. عمومًا، لها عنصر محايد تقريبي هو عبارة عن شبكة (أو متتالية معممة).${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$مفهرسة على مجموعة موجهة${\displaystyle I}$بحيث${\displaystyle f*e_{i}\to f.}$

يحوّل تحويل فورييه عملية الالتفاف إلى عملية ضرب، أي أنه تشاكل لجبر باناخ الأبلي${\displaystyle L^{1}(G)\to C_{0}\left({\widehat {G}}\right)}$(من معيار ≤ 1): $${\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)(\chi )={\mathcal {F}}(f)(\chi )\cdot {\mathcal {F}}(g)(\chi ).}$$

وبشكل خاص، لكل شخصية جماعية في${\displaystyle G}$يتوافق مع دالة خطية ضربية فريدة على جبر المجموعة المعرف بواسطة $${\displaystyle f\mapsto {\widehat {f}}(\chi ).}$$

من الخصائص المهمة لجبر الزمر أن هذه الدوال تستنفد مجموعة الدوال الخطية الضربية غير التافهة (أي غير الصفرية تمامًا) على جبر الزمر؛ انظر القسم 34 من لوميس (1953). ^{[ 7 ]} وهذا يعني أن تحويل فورييه هو حالة خاصة من تحويل جيلفاند .

كما ذكرنا، فإن المجموعة الثنائية لمجموعة أبيلية متراصة محليًا هي مجموعة أبيلية متراصة محليًا في حد ذاتها، وبالتالي لها مقياس هار، أو بشكل أدق عائلة كاملة من مقاييس هار المتعلقة بالمقياس.

بما أن الدوال المتصلة ذات القيم المركبة ذات الدعم المدمج على${\displaystyle G}$نكون${\displaystyle L^{2}}$-كثيف، يوجد امتداد فريد لتحويل فورييه من ذلك الفضاء إلى مؤثر وحدوي$${\displaystyle {\mathcal {F}}:L_{\mu }^{2}(G)\to L_{\nu }^{2}\left({\widehat {G}}\right).}$$ ولدينا الصيغة $${\displaystyle \forall f\in L^{2}(G):\quad \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).}$$

لاحظ أنه بالنسبة للمجموعات غير المتراصة والمتراصة محليًا${\displaystyle G}$المساحة${\displaystyle L^{1}(G)}$لا يحتوي${\displaystyle L^{2}(G)}$لذا فإن تحويل فورييه العام${\displaystyle L^{2}}$-وظائف على${\displaystyle G}$لا يمكن تحديدها بأي صيغة تكامل (أو أي صيغة صريحة أخرى). لتعريف${\displaystyle L^{2}}$يتطلب تحويل فورييه اللجوء إلى بعض الحيل التقنية، كالبدء بفضاء جزئي كثيف كالدوال المتصلة ذات الدعم المحدود، ثم توسيع التماثل القياسي بالاستمرارية ليشمل الفضاء بأكمله. هذا التوسيع الوحدوي لتحويل فورييه هو ما نعنيه بتحويل فورييه على فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي.

تمتلك المجموعة الثنائية أيضًا تحويل فورييه عكسي خاص بها؛ ويمكن وصفها بأنها معكوس (أو مرافق، لأنها وحدوية) لـ${\displaystyle L^{2}}$تحويل فورييه. هذا هو محتوى${\displaystyle L^{2}}$صيغة تحويل فورييه التالية.

في هذه الحالة${\displaystyle G=\mathbb {T} }$المجموعة المزدوجة${\displaystyle {\widehat {G}}}$متماثل طبيعياً مع مجموعة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$وتتخصص عملية تحويل فورييه في حساب معاملات متسلسلات فورييه للدوال الدورية.

لو${\displaystyle G}$إذا كانت المجموعة منتهية، فإننا نستعيد تحويل فورييه المنفصل . لاحظ أن هذه الحالة سهلة الإثبات مباشرة.

متى${\displaystyle G}$هي مجموعة طوبولوجية أبيلية هاوسدورف، المجموعة${\displaystyle {\widehat {G}}}$مع الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة، تكون المجموعة الطوبولوجية الأبيلية هاوسدورف والتطبيق الطبيعي من${\displaystyle G}$إلى ازدواجيتها المزدوجة${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}}$ هذا منطقي. إذا كان هذا التطبيق تماثلاً، يُقال إن${\displaystyle G}$يفي بالازدواجية البونترياجينية (أو أن${\displaystyle G}$هي مجموعة انعكاسية ، ^{[ 9 ]} أو مجموعة عاكسة ^{[ 10 ]} ). وقد تم توسيع هذا في عدد من الاتجاهات يتجاوز الحالة التي${\displaystyle G}$^{[ 11 ]}​

على وجه الخصوص، أثبت صموئيل كابلان ^{[ 12 ] [ 13 ]} في عامي 1948 و1950 أن الضربات العشوائية والنهايات العكسية القابلة للعد للمجموعات الأبيلية المدمجة محليًا (هاوسدورف) تحقق ازدواجية بونترياجين. تجدر الإشارة إلى أن الضرب اللانهائي للفضاءات غير المدمجة المدمجة محليًا ليس مدمجًا محليًا.

وفي وقت لاحق، في عام 1975، أظهر رانغاتشاري فينكاتارامان ^{[ 14 ]} ، من بين حقائق أخرى، أن كل مجموعة فرعية مفتوحة من مجموعة طوبولوجية أبيلية تحقق ازدواجية بونترياجين تحقق ازدواجية بونترياجين نفسها.

في الآونة الأخيرة، قام سيرجيو أردانزا-تريفجانو وماريا خيسوس تشاسكو ^{[ 15 ]} بتوسيع نتائج كابلان المذكورة أعلاه. وقد أظهرا أن النهايات المباشرة والمعكوسة لمتتاليات الزمر الأبيلية التي تحقق ازدواجية بونترياجين تحقق أيضًا ازدواجية بونترياجين إذا كانت الزمر قابلة للقياس أو${\displaystyle k_{\omega }}$-الفضاءات ولكن ليس بالضرورة مضغوطة محليًا، بشرط استيفاء بعض الشروط الإضافية بواسطة المتتاليات.

مع ذلك، ثمة جانب أساسي يتغير إذا أردنا دراسة ازدواجية بونترياجين خارج نطاق الحالة المدمجة محليًا. وقد أثبتت إيلينا مارتين-بينادور ^{[ 16 ]} في عام 1995 أنه إذا${\displaystyle G}$هي مجموعة طوبولوجية هاوسدورف أبيلية تحقق ازدواجية بونترياجين، واقتران التقييم الطبيعي $${\displaystyle {\begin{cases}G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} \\(x,\chi )\mapsto \chi (x)\end{cases}}}$$إذا كانت متصلة (بشكل مشترك)، ^{[ أ ]}${\displaystyle G}$تكون متراصة محليًا. وكنتيجة لذلك، فإن جميع الأمثلة غير المتراصة محليًا لثنائية بونترياجين هي مجموعات يكون فيها الاقتران${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$ليست متصلة (بشكل مشترك).

ثمة طريقة أخرى لتعميم ثنائية بونترياجين على فئات أوسع من الزمر الطوبولوجية التبادلية، وهي تزويد الزمرة الثنائية${\displaystyle {\widehat {G}}}$مع اختلاف طفيف في الطوبولوجيا، وتحديدًا طوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات المحدودة كليًا . المجموعات التي تحقق الهوية${\displaystyle G\cong {\widehat {\widehat {G}}}}$بناءً على هذا الافتراض، تُسمى ^{[ ب ]} مجموعات نمطية . ^{[ 10 ]} هذه الفئة واسعة جدًا أيضًا (وتحتوي على مجموعات أبيلية متراصة محليًا)، لكنها أضيق من فئة المجموعات الانعكاسية. ^{[ 10 ]}

في عام 1952، لاحظت ماريان ف. سميث ^{[ 17 ]} أن فضاءات باناخ والفضاءات الانعكاسية ، عند اعتبارها زمرًا طوبولوجية (مع عملية الجمع الزمرية)، تحقق ازدواجية بونترياجين. وفي وقت لاحق، أثبت كل من ب. س. برودوفسكي ^{[ 18 ]} ، وويليام س. ووترهاوس ^{[ 19 ]} ، وك. براونر ^{[ 20 ]} إمكانية تعميم هذه النتيجة على فئة جميع الفضاءات البرميلية شبه الكاملة (وتحديدًا، على جميع فضاءات فريشيه ). وفي تسعينيات القرن العشرين، قدم سيرجي أكبروف ^{[ 21 ]} وصفًا لفئة فضاءات المتجهات الطوبولوجية التي تحقق خاصية أقوى من انعكاسية بونترياجين الكلاسيكية، ألا وهي خاصية التطابق. $${\displaystyle (X^{\star })^{\star }\cong X}$$ أين${\displaystyle X^{\star }}$يعني فضاء جميع الدوال الخطية المتصلة${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$مزودة بطوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات المحدودة كليًا في${\displaystyle X}$(و${\displaystyle (X^{\star })^{\star }}$يعني المضاعف لـ${\displaystyle X^{\star }}$(بنفس المعنى). تسمى فضاءات هذه الفئة فضاءات النمطية ، وقد وجدت النظرية المقابلة سلسلة من التطبيقات في التحليل الوظيفي والهندسة، بما في ذلك تعميم ازدواجية بونترياجين للمجموعات الطوبولوجية غير التبادلية.

للمجموعات غير التبادلية المدمجة محليًا${\displaystyle G}$يتوقف بناء بونترياجين الكلاسيكي عن العمل لأسباب مختلفة، ولا سيما لأن الأحرف لا تفصل دائمًا بين النقاط${\displaystyle G}$والتمثيلات غير القابلة للاختزال لـ${\displaystyle G}$ليست دائمًا أحادية البعد. وفي الوقت نفسه، ليس من الواضح كيفية إدخال عملية الضرب على مجموعة التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال لـ${\displaystyle G}$بل إنه ليس من الواضح حتى ما إذا كانت هذه المجموعة خيارًا جيدًا لدور الكائن الثنائي لـ${\displaystyle G}$لذا فإن مشكلة بناء الازدواجية في هذا الموقف تتطلب إعادة تفكير كاملة.

تنقسم النظريات التي تم بناؤها حتى الآن إلى مجموعتين رئيسيتين: النظريات التي يكون فيها للكائن المزدوج نفس طبيعة الكائن الأصلي (كما هو الحال في ثنائية بونترياجين نفسها)، والنظريات التي يختلف فيها الكائن الأصلي ونظيره اختلافًا جذريًا لدرجة أنه من المستحيل اعتبارهما كائنات من فئة واحدة.

كانت نظريات النوع الثاني هي الأولى تاريخيًا: فبعد فترة وجيزة من عمل بونترياغين، قام تاداو تاناكا (1938) ومارك كرين (1949) ببناء نظرية ثنائية للمجموعات المدمجة العشوائية تُعرف الآن باسم ثنائية تاناكا-كرين . ^{[ 22 ] [ 23 ]} في هذه النظرية، الكائن الثنائي لمجموعة ما${\displaystyle G}$ليست مجموعة بل فئة من تمثيلاتها${\displaystyle \Pi (G)}$.

ظهرت نظريات النوع الأول لاحقًا، وكان المثال الرئيسي لها هو نظرية الازدواجية للمجموعات المنتهية. ^{[ 24 ] [ 25 ]} في هذه النظرية، يتم تضمين فئة المجموعات المنتهية بواسطة العملية${\displaystyle G\mapsto \mathbb {C} _{G}}$دراسة الجبر الجماعي${\displaystyle \mathbb {C} _{G}}$(زيادة${\displaystyle \mathbb {C} }$) إلى فئة جبر هوبف ذي الأبعاد المحدودة ، بحيث يكون مُعامل ازدواجية بونترياجين${\displaystyle G\mapsto {\widehat {G}}}$يتحول إلى عملية${\displaystyle H\mapsto H^{*}}$^{[ 25 ]} من أخذ الفضاء المتجهي المزدوج (وهو دالة ثنائية في فئة جبر هوبف ذي الأبعاد المحدودة).

في عام 1973، وضع ليونيد آي. فاينرمان ، وجورج آي. كاك ، وميشيل إينوك ، وجان ماري شوارتز نظرية عامة من هذا النوع لجميع الزمر المدمجة محليًا. ^{[ 26 ]} ومنذ ثمانينيات القرن العشرين، استؤنف البحث في هذا المجال بعد اكتشاف الزمر الكمومية ، التي بدأت النظريات المبنية عليها تُنقل إليها بنشاط. ^{[ 27 ]} تُصاغ هذه النظريات بلغة جبر C* ، أو جبر فون نيومان ، ومن بين متغيراتها النظرية الحديثة للزمر الكمومية المدمجة محليًا . ^{[ 28 ] [ 27 ]}

مع ذلك، يتمثل أحد عيوب هذه النظريات العامة في أن الكائنات التي تعمم مفهوم المجموعة فيها ليست جبر هوبف بالمعنى الجبري المعتاد. ^{[ 25 ]} ويمكن تدارك هذا القصور (لبعض فئات المجموعات) ضمن إطار نظريات الازدواجية المبنية على أساس مفهوم غلاف الجبر الطوبولوجي. ^{[ 29 ]}