حلقة تقييم منفصلة

يترك${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$أن يكون توطين${\displaystyle \mathbb {Z} }$في المثال المثالي الناتج عن 2. رسميًا،

${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}=\{z/n:z,n\in \mathbb {Z} ,\,\,n{\text{ فردي}}\}.}$

مجال كسور${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$يكون${\displaystyle \mathbb {Q} }$. لأي عنصر غير صفري${\displaystyle r}$ل${\displaystyle \mathbb {Q} }$يمكننا تطبيق التحليل الفريد على بسط ومقام الكسر.${\displaystyle r}$للكتابة${\displaystyle r}$مثل${\displaystyle {\tfrac {2^{k}z}{n}}}$أين${\displaystyle z}$،${\displaystyle n}$، و${\displaystyle k}$هي أعداد صحيحة${\displaystyle z}$و${\displaystyle n}$غريب. في هذه الحالة، نُعرّف${\displaystyle \nu (r)=k}$.

ثم${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$هي حلقة التقييم المنفصلة المقابلة لـ${\displaystyle \nu }$. المثال الأقصى لـ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$هو المثال الرئيسي الناتج عن 2؛ أي${\displaystyle 2\mathbb {Z} _{(2)}}$، والعنصر غير القابل للاختزال "الفريد" (حتى الوحدات) هو 2 (المعروف أيضًا باسم معامل التوحيد).

بشكل أعم، أي توطين لمجال ديديكيند عند مثالي أولي غير صفري هو حلقة تقييم منفصلة؛ عمليًا، غالبًا ما تنشأ حلقات التقييم المنفصلة بهذه الطريقة. على وجه الخصوص، يمكننا تعريف الحلقات

${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}:=\{z/n:z,n\in \mathbb {Z} ,\,p\nmid n\}}$

لأي عدد أولي${\displaystyle p}$على سبيل التناظر التام.

الخاتم​${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$مجموعة الأعداد الصحيحة p -adic هي DVR، لأي عدد أولي${\displaystyle p}$. هنا${\displaystyle p}$هو عنصر غير قابل للاختزال ؛ التقييم الذي يُخصص لكل${\displaystyle p}$عدد صحيح -adic${\displaystyle x}$أكبر عدد صحيح${\displaystyle k}$بحيث${\displaystyle p^{k}}$يقسم${\displaystyle x}$.

ومن الأمثلة المهمة الأخرى على مسجل الفيديو الرقمي حلقة متسلسلات القوى الرسمية${\displaystyle R=k[[T]]}$في متغير واحد${\displaystyle T}$فوق حقل ما${\displaystyle k}$العنصر غير القابل للاختزال "الفريد" هو${\displaystyle T}$، المثال الأقصى لـ${\displaystyle R}$هو المثال الرئيسي الناتج عن${\displaystyle T}$والتقييم${\displaystyle \nu }$يُعيّن لكل سلسلة قوى فهرس (أي درجة) أول معامل غير صفري.

إذا اقتصرنا على المعاملات الحقيقية أو المركبة ، فيمكننا اعتبار حلقة متسلسلات القوى في متغير واحد التي تتقارب في جوار الصفر (حيث يعتمد هذا الجوار على متسلسلة القوى). هذه حلقة تقييم منفصلة. وهذا مفيد لبناء فهم بديهي لمعيار التقييم الخاص بالملاءمة .

كمثال ذي طبيعة هندسية، خذ الخاتم

${\displaystyle R=\{f/g:f,g\in \mathbb {R} [x],\,g(0)\neq 0\},}$

تُعتبر حلقة فرعية من حقل الدوال الكسرية${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$.${\displaystyle R}$يمكن تعريفها بحلقة جميع الدوال الكسرية ذات القيم الحقيقية المعرفة (أي المنتهية) في جوار الصفر على المحور الحقيقي (حيث يعتمد هذا الجوار على الدالة). إنها حلقة تقييم منفصلة؛ العنصر غير القابل للاختزال "الوحيد" فيها هو${\displaystyle x}$والتقييم الذي يُخصص لكل وظيفة${\displaystyle f}$رتبة (ربما صفر) الصفر من${\displaystyle f}$عند 0. يوفر هذا المثال نموذجًا لدراسة المنحنيات الجبرية العامة بالقرب من النقاط غير المنفردة ، حيث يكون المنحنى الجبري في هذه الحالة هو الخط الحقيقي.

لجهاز تسجيل الفيديو الرقمي (DVR)${\displaystyle R}$من الشائع كتابة حقل الكسر على النحو التالي:${\displaystyle K={\text{Frac}}(R)}$و${\displaystyle \kappa =R/{\mathfrak {m}}}$حقل البقايا . هذه تتوافق مع النقاط العامة والمغلقة لـ${\displaystyle S={\text{Spec}}(R).}$على سبيل المثال، النقطة المغلقة لـ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} _{p})}$يكون${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$والنقطة العامة هي${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$يُشار إلى ذلك أحيانًا بـ

${\displaystyle \eta \to S\leftarrow s}$

أين${\displaystyle \eta }$هي النقطة العامة و${\displaystyle s}$هي النقطة المغلقة .

بالنظر إلى منحنى جبري${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$الحلقة المحلية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,{\mathfrak {p}}}}$عند نقطة ملساء (مغلقة)${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$هي حلقة تقييم منفصلة، ​​لأنها حلقة تقييم رئيسية. لاحظ ذلك لأن النقطة${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$إذا كانت ناعمة، فإن إكمال الحلقة المحلية يكون متماثلاً مع إكمال تحديد موضع${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$في مرحلة ما${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$.

بالنسبة لأي صنف غير شاذ، يمكن النظر بالمثل في الحلقة المحلية عند نقطة ذات بُعد مشترك يساوي واحدًا. وبشكل أعم، في مخطط طبيعي (محليًا) نوثري ، تكون الحلقة المحلية عند النقطة العامة لقاسم ويل أولي حلقة تقييم منفصلة، ​​حيث يُعطي التقييم المنفصل رتبة تلاشي دالة منتظمة على طول القاسم. ^{[ 2 ]}