التماثل المحلي

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 111 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة الجبرية ، يُعدّ التماثل الموضعي نظيرًا جبريًا للتماثل النسبي . قدّمه ألكسندر غروتينديك في ندوات بجامعة هارفارد عام 1961، ودوّنه هارتشورن (1967) ، وفي الفترة 1961-1962 في معهد الدراسات العليا للعلوم (IHES) تحت عنوان SGA2 - غروتينديك (1968) ، وأُعيد نشره لاحقًا تحت عنوان غروتينديك (2005) . بالنظر إلى دالة (أو بشكل أعم، مقطع من حزمة شبه متماسكة ) مُعرّفة على مجموعة فرعية مفتوحة من صنف جبري (أو مخطط )، يقيس التماثل الموضعي مدى صعوبة توسيع تلك الدالة إلى نطاق أكبر .1/x{\displaystyle 1/x}على سبيل المثال، يتم تعريفها فقط على مكمل لـ0{\displaystyle 0}على الخط الأفينيأك1{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}فوق حقلك{\displaystyle K}ولا يمكن توسيعها لتشمل دالة على الفضاء بأكمله. وحدة التماثل المحليح(x)1(ك[x]){\displaystyle H_{(x)}^{1}(K[x])}(أينك[x]{\displaystyle K[x]}هي حلقة الإحداثيات لـأك1{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}) يكتشف ذلك في عدم تلاشي فئة التماثل المشترك[1/x]{\displaystyle [1/x]}وبالمثل،1/xy{\displaystyle 1/xy}يتم تعريفها بعيدًا عنx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}المحاور في المستوى الأفيني ، ولكن لا يمكن تمديدها إلى مكمل المحور.x{\displaystyle x}المحور - أو مكمل المحورy{\displaystyle y}المحور وحده (ولا يمكن التعبير عنه كمجموع لهذه الدوال)؛ هذا العائق يتوافق تمامًا مع فئة غير صفرية[1/xy]{\displaystyle [1/xy]}في وحدة علم التماثل المحليح(x،y)2(ك[x،y]){\displaystyle H_{(x,y)}^{2}(K[x,y])}[ 1 ]​

خارج نطاق الهندسة الجبرية، وجدت الكوهومولوجيا المحلية تطبيقات في الجبر التبادلي ، [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] والتوافقية ، [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] وأنواع معينة من المعادلات التفاضلية الجزئية . [ 8 ]

تعريف

في الشكل الهندسي الأكثر عمومية للنظرية، المقاطعΓY{\displaystyle \Gamma _{Y}}تُعتبر من حزمةF{\displaystyle F}من المجموعات الأبيلية ، على فضاء طوبولوجيX{\displaystyle X}، مع دعم في مجموعة فرعية مغلقةY{\displaystyle Y}، الدوال المشتقة لـΓY{\displaystyle \Gamma _{Y}}تشكل مجموعات التماثل المحلي

حYأنا(X،F){\displaystyle H_{Y}^{i}(X,F)}

في الصيغة الجبرية للنظرية، يُمثل الفضاء X طيف Spec( R ) لحلقة تبديلية R (يُفترض أنها نوثرية في جميع أنحاء هذه المقالة) ، والحزمة F هي الحزمة شبه المتماسكة المرتبطة بوحدة R- نمطية M ، ويُرمز لها بـم~{\displaystyle {\tilde {M}}}يُعرَّف المخطط الفرعي المغلق Y بواسطة مثالي I. في هذه الحالة ، يتوافق المؤثر ΓY ( F ) مع مؤثر الالتواء I ، وهو اتحاد للمُبيدات

Γأنا(م):=⋃ن≥0(0:مأنان)،{\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\bigcup _{n\geq 0}(0:_{M}I^{n}),}

أي، عناصر M التي تُفنى بواسطة قوة ما من I. وباعتبارها دالة مشتقة من اليمين ، فإن وحدة التماثل المحلي رقم i بالنسبة إلى I هي مجموعة التماثل رقم iحأنا(Γأنا(هـ∙)){\displaystyle H^{i}(\Gamma _{I}(E^{\bullet }))}من سلسلة معقدةΓأنا(هـ∙){\displaystyle \Gamma _{I}(E^{\bullet })}تم الحصول عليها من خلال أخذ جزء الالتواء IΓأنا(-){\displaystyle \Gamma _{I}(-)}من حل حقنيهـ∙{\displaystyle E^{\bullet }}الوحدةم{\displaystyle M}[ 9 ] لأن​هـ∙{\displaystyle E^{\bullet }}يتكون من وحدات R وتماثلات وحدات R ، ولكل مجموعة من مجموعات التماثل المحلي البنية الطبيعية لوحدة R.

الجزء الأول من الالتواءΓأنا(م){\displaystyle \Gamma _{I}(M)}ويمكن وصفها أيضاً بأنها

Γأنا(م):=ليم→ن∈شمال⁡هومR⁡(R/أنان،م)،{\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\varinjlim _{n\in N}\operatorname {Hom} _{R}(R/I^{n},M),}

ولهذا السبب، فإن التماثل المحلي لوحدة R - module M يتفق [ 10 ] مع حد مباشر لوحدات Ext ،

حأناأنا(م):=ليم→ن∈شمال⁡خارجيRأنا⁡(R/أنان،م).{\displaystyle H_{I}^{i}(M):=\varinjlim _{n\in N}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/I^{n},M).}

ويترتب على أي من هذين التعريفين أنحأناأنا(م){\displaystyle H_{I}^{i}(M)}سيبقى الوضع دون تغيير إذاأنا{\displaystyle I}تم استبدالها بمثالي آخر له نفس الجذر . [ 11 ] ويترتب على ذلك أيضًا أن علم التماثل المحلي لا يعتمد على أي اختيار للمولدات لـ I ، وهي حقيقة تصبح ذات صلة في التعريف التالي الذي يتضمن مجمع تشيك.

استخدام مجمعات Koszul و Čech

يتطلب تعريف الدالة المشتقة للتجانس المحلي حلاً حقنياً للوحدةم{\displaystyle M}مما قد يجعله غير قابل للاستخدام في الحسابات الصريحة. يُنظر إلى مُركّب تشيك على أنه أكثر عملية في سياقات مُعينة. على سبيل المثال، ذكر إيينغار وآخرون (2007) أنهم "يتجاهلون بشكل أساسي" "مشكلة إنتاج أي نوع من هذه الأنواع [الحقنية] من الحلول لوحدة نمطية مُعينة" [ 12 ] قبل تقديم تعريف مُركّب تشيك للتجانس المحلي، ويصف هارتشورن (1977) تجانس تشيك بأنه "يُقدم طريقة عملية لحساب تجانس الحزم شبه المتماسكة على مخطط" [ 13 ] وبأنه "مناسب تمامًا للحسابات" [ 14 ] .

يمكن تعريف مجمع تشيك بأنه حد مشترك لمجمعات كوزول.ك∙(و1،...،وم){\displaystyle K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{m})}أينو1،...،ون{\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}يولدأنا{\displaystyle I}يمكن وصف وحدات التماثل المحلي [ 15 ] على النحو التالي:

حأناأنا(م)≅ليم→م⁡حأنا(هومR⁡(ك∙(و1م،...،ونم)،م)){\displaystyle H_{I}^{i}(M)\cong \varinjlim _{m}H^{i}\left(\operatorname {Hom} _{R}\left(K^{\bullet }\left(f_{1}^{m},\dots ,f_{n}^{m}\right),M\right)\right)}

تتميز مركبات كوزول بخاصية أن الضرب فيوأنا{\displaystyle f_{i}}يحفز تشاكلًا معقدًا متسلسلًا⋅وأنا:ك∙(و1،...،ون)→ك∙(و1،...،ون){\displaystyle \cdot f_{i}:K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n})\to K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n})}أي أن المتماثل مع الصفر، [ 16 ] يعنيحأنا(ك∙(و1،...،ون)){\displaystyle H^{i}(K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n}))}يتم إبادتها بواسطةوأنا{\displaystyle f_{i}}. دالة غير صفرية في الحد المشترك لـهوم{\displaystyle \operatorname {Hom} }تحتوي المجموعات على خرائط من جميع مجمعات كوزول باستثناء عدد محدود منها، والتي لا يتم إفناؤها بواسطة عنصر ما في المثالي.

هذا الحد المشترك لمجمعات كوزول متماثل مع [ 17 ] مجمع تشيك ، المشار إليه بـجˇ∙(و1،...،ون؛م){\displaystyle {\check {C}}^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n};M)}، أقل.

0→م→⨁أنا0موأنا→⨁أنا0<أنا1موأنا0وأنا1→⋯→مو1⋯ون→0{\displaystyle 0\to M\to \bigoplus _{i_{0}}M_{f_{i}}\to \bigoplus _{i_{0}<i_{1}}M_{f_{i_{0}}f_{i_{1}}}\to \cdots \to M_{f_{1}\cdots f_{n}}\to 0}

حيث يمثل النموذج المحلي للتجانس رقم i منم{\displaystyle M}بالنسبة إلىأنا=(و1،...،ون){\displaystyle I=(f_{1},\ldots ,f_{n})}متماثل مع [ 18 ] مجموعة التماثل i للمركب السلسلي أعلاه ،

حأناأنا(م)≅حأنا(جˇ∙(و1،...،ون؛م)).{\displaystyle H_{I}^{i}(M)\cong H^{i}({\check {C}}^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n};M)).}

تمت مناقشة القضية الأوسع نطاقا لحساب وحدات التماثل المحلي (في الخاصية الصفرية ) في Leykin (2002) و Iyengar et al. (2007 ، المحاضرة 23) .

الخصائص الأساسية

بما أن علم التماثل المحلي يُعرَّف على أنه دالة مشتقة ، فإنه لأي متتالية دقيقة قصيرة من وحدات R0→م1→م2→م3→0{\displaystyle 0\to M_{1}\to M_{2}\to M_{3}\to 0}يوجد، بحكم التعريف، تسلسل تام طويل طبيعي في علم التماثل المحلي

⋯→حأناأنا(م1)→حأناأنا(م2)→حأناأنا(م3)→حأناأنا+1(م1)→⋯{\displaystyle \cdots \to H_{I}^{i}(M_{1})\to H_{I}^{i}(M_{2})\to H_{I}^{i}(M_{3})\to H_{I}^{i+1}(M_{1})\to \cdots }

يوجد أيضًا تسلسل دقيق طويل من تماثل الحزم يربط بين تماثل الحزم العادي لـ X والمجموعة المفتوحة U = X \ Y ، مع وحدات التماثل المحلية. بالنسبة لحزمة شبه متماسكة F معرفة على X ، يكون لهذا التسلسل الشكل التالي:

⋯→حYأنا(X،F)→حأنا(X،F)→حأنا(يو،F)→حYأنا+1(X،F)→⋯{\displaystyle \cdots \to H_{Y}^{i}(X,F)\to H^{i}(X,F)\to H^{i}(U,F)\to H_{Y}^{i+1}(X,F)\to \cdots }

في الحالة التي يكون فيها X مخططًا خطيًاالمواصفات(R){\displaystyle {\text{Spec}}(R)}و Y هي مجموعة التلاشي لمثالي I ، مجموعات التماثلحأنا(X،F){\displaystyle H^{i}(X,F)}يختفي من أجلأنا>0{\displaystyle i>0}[ 19 ] إذا​F=م~{\displaystyle F={\tilde {M}}}وهذا يؤدي إلى تسلسل دقيق

0→حأنا0(م)→م→resح0(يو،م~)→حأنا1(م)→0،{\displaystyle 0\to H_{I}^{0}(M)\to M{\stackrel {\text{res}}{\to }}H^{0}(U,{\tilde {M}})\to H_{I}^{1}(M)\to 0,}

حيث تمثل الخريطة الوسطى تقييدًا للمقاطع. ويُشار إلى هدف خريطة التقييد هذه أيضًا باسم التحويل المثالي . بالنسبة لـ n ≥ 1، توجد تماثلات.

حن(يو،م~)→≅حأنان+1(م).{\displaystyle H^{n}(U,{\tilde {M}}){\stackrel {\cong }{\to }}H_{I}^{n+1}(M).}

بسبب التماثل المذكور أعلاه مع علم التماثل الحزمي ، يمكن استخدام علم التماثل المحلي للتعبير عن عدد من الإنشاءات الطوبولوجية ذات الدلالة على المخططX=المواصفات⁡(R){\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}بعبارات جبرية بحتة. على سبيل المثال، يوجد نظير طبيعي في علم التماثل المحلي لمتتالية ماير-فيتوريس بالنسبة لزوج من المجموعات المفتوحة U و V في X ، مُعطى بمكملات المخططات الفرعية المغلقة المقابلة لزوج من المثاليّات I و J ، على التوالي. [ 20 ] تأخذ هذه المتتالية الشكل التالي:

⋯حأنا+جأنا(م)→حأناأنا(م)⊕حجأنا(م)→حأنا∩جأنا(م)→حأنا+جأنا+1(م)→⋯{\displaystyle \cdots H_{I+J}^{i}(M)\to H_{I}^{i}(M)\oplus H_{J}^{i}(M)\to H_{I\cap J}^{i}(M)\to H_{I+J}^{i+1}(M)\to \cdots }

لأيR{\displaystyle R}-وحدةم{\displaystyle M}.

يمكن استخدام تلاشي التماثل المحلي لتقييد أقل عدد من المعادلات (يشار إليه بالرتبة الحسابية ) اللازمة لتعريف المجموعة الجبرية (نظريًا).V(أنا){\displaystyle V(I)}فيالمواصفات⁡(R){\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}. لوج{\displaystyle J}له نفس الجذر مثلأنا{\displaystyle I}ويتم توليدها بواسطةن{\displaystyle n}العناصر، ثم مجمع تشيك على مولداتج{\displaystyle J}لا توجد مصطلحات في الدرجةأنا>ن{\displaystyle i>n}أقل عدد من المولدات بين جميع المُثُلج{\displaystyle J}بحيثج=أنا{\displaystyle {\sqrt {J}}={\sqrt {I}}}الرتبة الحسابية لـأنا{\displaystyle I}، المشار إليهأرا⁡(أنا){\displaystyle \operatorname {ara} (I)}[ 21 ] بما أن التماثل المحلي بالنسبة إلىأنا{\displaystyle I}ويمكن حسابها باستخدام أي من هذه القيم المثالية، وبالتالي فإنحأناأنا(م)=0{\displaystyle H_{I}^{i}(M)=0}لأنا>أرا⁡(أنا){\displaystyle i>\operatorname {ara} (I)}[ 22 ]​

علم التماثل المحلي المتدرج والهندسة الإسقاطية

متىR{\displaystyle R}يتم التقييم بواسطةشمال{\displaystyle \mathbb {N} }،أنا{\displaystyle I}يتم توليدها بواسطة عناصر متجانسة، وم{\displaystyle M}هو وحدة دراسية مُصنَّفة، وهناك تصنيف طبيعي على وحدة التماثل المحليحأناأنا(م){\displaystyle H_{I}^{i}(M)}يتوافق مع تصنيفاتم{\displaystyle M}وR{\displaystyle R}[ 23 ] جميع الخصائص الأساسية للتجانس المحلي الموضحة في هذه المقالة متوافقة مع البنية المتدرجة. [ 24 ] إذام{\displaystyle M}يتم توليدها بشكل نهائي وأنا=م{\displaystyle I={\mathfrak {m}}}هو المثال الذي تولده عناصرR{\displaystyle R}إذا كانت المكونات ذات درجة موجبة، فإن المكونات المتدرجةحمأنا(م)ن{\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)_{n}}يتم توليدها بشكل محدود علىR{\displaystyle R}وتختفي عندما تكون كبيرة بما فيه الكفايةن{\displaystyle n}[ 25 ]​

الحالة التيأنا=م{\displaystyle I={\mathfrak {m}}}يُعدّ المثالي المُوَلَّد من جميع العناصر ذات الدرجة الموجبة (ويُسمى أحيانًا المثالي غير ذي الصلة ) مميزًا بشكل خاص، نظرًا لعلاقته بالهندسة الإسقاطية . [ 26 ] في هذه الحالة، يوجد تماثل

حمأنا+1(م)≅⨁ك∈Zحأنا(مشروع(R)،م~(ك)){\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{i+1}(M)\cong \bigoplus _{k\in \mathbf {Z} }H^{i}({\text{Proj}}(R),{\tilde {M}}(k))}

أينمشروع(R){\displaystyle {\text{Proj}}(R)}المخطط الإسقاطي المرتبط بـR{\displaystyle R}، و(ك){\displaystyle (k)}يشير إلى التواء سير . هذا التشاكل متدرج، مما يعطي

حمأنا+1(م)ن≅حأنا(مشروع(R)،م~(ن)){\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{i+1}(M)_{n}\cong H^{i}({\text{Proj}}(R),{\tilde {M}}(n))}

بجميع الدرجاتن{\displaystyle n}[ 27 ]​

يربط هذا التشاكل بين علم التماثل المحلي وعلم التماثل العالمي للمخططات الإسقاطية . على سبيل المثال، يمكن صياغة انتظام كاستلنووفو-مامفورد باستخدام علم التماثل المحلي [ 28 ] كما يلي:

reg(م)=رشفة{نهاية(حمأنا(م))+أنا|0≤أنا≤خافت(م)}{\displaystyle {\text{reg}}(M)={\text{sup}}\{{\text{end}}(H_{\mathfrak {m}}^{i}(M))+i\,|\,0\leq i\leq {\text{dim}}(M)\}}

أيننهاية(شمال){\displaystyle {\text{end}}(N)}يشير إلى أعلى درجةت{\displaystyle t}بحيثشمالت≠0{\displaystyle N_{t}\neq 0}يمكن استخدام علم التماثل المحلي لإثبات بعض نتائج الحد الأعلى المتعلقة بالانتظام. [ 29 ]

أمثلة

أعلى تجانس محلي

باستخدام مُركّب تشيك، إذاأنا=(و1،...،ون)R{\displaystyle I=(f_{1},\ldots ,f_{n})R}وحدة التماثل المحليحأنان(م){\displaystyle H_{I}^{n}(M)}يتم توليدها علىR{\displaystyle R}من خلال صور الكسور الرسمية

[مو1ت1⋯ونتن]{\displaystyle \left[{\frac {m}{f_{1}^{t_{1}}\cdots f_{n}^{t_{n}}}}\right]}

لم∈م{\displaystyle m\in M}وت1،...،تن≥1{\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\geq 1}[ 30 ] هذا الكسر يمثل عنصرًا غير صفري منحأنان(م){\displaystyle H_{I}^{n}(M)}إذا وفقط إذا لم يكن هناكك≥0{\displaystyle k\geq 0}بحيث(و1⋯وت)كم∈(و1ت1+ك،...،وتتن+ك)م{\displaystyle (f_{1}\cdots f_{t})^{k}m\in (f_{1}^{t_{1}+k},\ldots ,f_{t}^{t_{n}+k})M}[ 31 ] على سبيل المثال ، إذاتأنا=1{\displaystyle t_{i}=1}، ثم

وأنا⋅[مو1ت1⋯وأنا⋯ونتن]=0.{\displaystyle f_{i}\cdot \left[{\frac {m}{f_{1}^{t_{1}}\cdots f_{i}\cdots f_{n}^{t_{n}}}}\right]=0.}
  • لوك{\displaystyle K}هو حقل وR=ك[x1،...،xن]{\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}هي حلقة متعددة الحدود فوقك{\displaystyle K}فين{\displaystyle n}المتغيرات، ثم وحدة التماثل المحليح(x1،...،xن)ن(ك[x1،...،xن]){\displaystyle H_{(x_{1},\ldots ,x_{n})}^{n}(K[x_{1},\ldots ,x_{n}])}يمكن اعتبارها فضاءً متجهيًا علىك{\displaystyle K}مع أساس مُعطى بواسطة ( فئات التماثل التشيكي لـ) أحاديات الحدود العكسية[x1-ت1⋯xن-تن]{\displaystyle \left[x_{1}^{-t_{1}}\cdots x_{n}^{-t_{n}}\right]}لت1،...،تن≥1{\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\geq 1}[ 32 ] كـ​R{\displaystyle R}-وحدة، الضرب بـxأنا{\displaystyle x_{i}}يخفضتأنا{\displaystyle t_{i}}بشرط واحدxأنا⋅[x1-ت1⋯xأنا-1⋯xن-تن]=0.{\displaystyle x_{i}\cdot \left[x_{1}^{-t_{1}}\cdots x_{i}^{-1}\cdots x_{n}^{-t_{n}}\right]=0.}لأن القوىتأنا{\displaystyle t_{i}}لا يمكن زيادتها بضربها في عناصر منR{\displaystyle R}، الوحدةح(x1،...،xن)ن(ك[x1،...،xن]){\displaystyle H_{(x_{1},\ldots ,x_{n})}^{n}(K[x_{1},\ldots ,x_{n}])}لا يتم توليدها بشكل نهائي .

أمثلة على H 1

لوح0(يو،R~){\displaystyle H^{0}(U,{\tilde {R}})}معروف (حيثيو=المواصفات⁡(R)-V(أنا){\displaystyle U=\operatorname {Spec} (R)-V(I)}), الوحدةحأنا1(R){\displaystyle H_{I}^{1}(R)}يمكن أحيانًا حسابها بشكل صريح باستخدام المتتالية

0→حأنا0(R)→R→ح0(يو،R~)→حأنا1(R)→0.{\displaystyle 0\to H_{I}^{0}(R)\to R\to H^{0}(U,{\tilde {R}})\to H_{I}^{1}(R)\to 0.}

في الأمثلة التالية،ك{\displaystyle K}أي مجال .

  • لوR=ك[X،Y2،XY،Y3]{\displaystyle R=K[X,Y^{2},XY,Y^{3}]}وأنا=(X،Y2)R{\displaystyle I=(X,Y^{2})R}، ثمح0(يو،R~)=ك[X،Y]{\displaystyle H^{0}(U,{\tilde {R}})=K[X,Y]}وكفضاء متجهي علىك{\displaystyle K}، أول وحدة تماثل محليةحأنا1(R){\displaystyle H_{I}^{1}(R)}يكونك[X،Y]/ك[X،Y2،XY،Y3]{\displaystyle K[X,Y]/K[X,Y^{2},XY,Y^{3}]}، أحادي البعدك{\displaystyle K}فضاء متجهي مُوَلَّد بواسطةY{\displaystyle Y}[ 33 ]​
  • لوR=ك[X،Y]/(X2،XY){\displaystyle R=K[X,Y]/(X^{2},XY)}وم=(X،Y)R{\displaystyle {\mathfrak {m}}=(X,Y)R}، ثمΓم(R)=xR{\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}(R)=xR}وح0(يو،R~)=ك[Y،Y-1]{\displaystyle H^{0}(U,{\tilde {R}})=K[Y,Y^{-1}]}، لذاحم1(R)=ك[Y،Y-1]/ك[Y]{\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{1}(R)=K[Y,Y^{-1}]/K[Y]}هو بُعد لانهائيك{\displaystyle K}فضاء متجهي ذو أساسY-1،Y-2،Y-3،...{\displaystyle Y^{-1},Y^{-2},Y^{-3},\ldots }[ 34 ]

العلاقة بثوابت الوحدات

يوفر البعد dim R (M) للوحدة النمطية (المعرف بأنه بعد كرول لدعمها) حدًا أعلى لوحدات التماثل المحلي: [ 35 ]

حأنان(م)=0 للجميع ن>خافتR⁡(م).{\displaystyle H_{I}^{n}(M)=0{\text{ for all }}n>\dim _{R}(M).}

إذا كانت R محلية و M مولدة نهائياً ، فإن هذا الحد يكون دقيقاً، أيحمن(م)≠0{\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)\neq 0}.

يوفر العمق ( المعرف بأنه الطول الأقصى لتسلسل M منتظم ؛ ويشار إليه أيضًا باسم درجة M ) حدًا أدنى حادًا، أي أنه أصغر عدد صحيح n بحيث [ 36 ]

حأنان(م)≠0.{\displaystyle H_{I}^{n}(M)\neq 0.}

يُقدّم هذان الحدّان معًا توصيفًا لوحدات كوهين-ماكولي على الحلقات المحلية: وهي تحديدًا تلك الوحدات التيحمن(م){\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)}يختفي لجميع قيم n باستثناء قيمة واحدة .

الازدواجية المحلية

تُعدّ نظرية الازدواجية المحلية نظيرًا محليًا لازدواجية سير . بالنسبة لحلقة كوهين-ماكولي المحليةR{\displaystyle R}من الأبعادد{\displaystyle d}وهي صورة متماثلة لحلقة غورنشتاين المحلية [ 37 ] (على سبيل المثال، إذاR{\displaystyle R}(مكتمل [ 38 ] ) ، ينص على أن الاقتران الطبيعي

حمن(م)×خارجيRد-ن⁡(م،ωR)→حمد(ωR){\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)\times \operatorname {Ext} _{R}^{d-n}(M,\omega _{R})\to H_{\mathfrak {m}}^{d}(\omega _{R})}

إنه مزيج مثالي ، حيثωR{\displaystyle \omega _{R}}هي وحدة ثنائية لـR{\displaystyle R}[ 39 ] من حيث دالة الازدواجية ماتليسد(-){\displaystyle D(-)}ويمكن التعبير عن نظرية الازدواجية المحلية على النحو التالي: [ 40 ]

حمن(م)≅د(خارجيRد-ن⁡(م،ωR)){\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)\cong D(\operatorname {Ext} _{R}^{d-n}(M,\omega _{R}))}

يصبح البيان أبسط عندماωR≅R{\displaystyle \omega _{R}\cong R}، وهو ما يعادل [ 41 ] الفرضية التيR{\displaystyle R}هو غورنشتاين . هذا هو الحال، على سبيل المثال، إذاR{\displaystyle R}منتظم .​

التطبيقات

كانت التطبيقات الأولية على نظائر لنظريات ليفشيتز للمستويات الفائقة . وبشكل عام، تنص هذه النظريات على أن التماثل أو التماثل المشترك مدعوم على مقطع مستوى فائق لمتنوعة جبرية ، باستثناء بعض "الفقد" الذي يمكن التحكم فيه. وقد انطبقت هذه النتائج على المجموعة الأساسية الجبرية وعلى مجموعة بيكارد .

من التطبيقات الأخرى نظريات الاتصال، مثل نظرية غروتينديك للاتصال (وهي نظير محلي لنظرية بيرتيني ) أو نظرية فولتون-هانسن للاتصال التي وضعها فولتون وهانسن (1979) وفالتينغز (1979) . تنص الأخيرة على أنه بالنسبة لمتنوعتين إسقاطيتين V و W في P r على حقل مغلق جبريًا ، فإن بُعد الاتصال لـ Z = V ∩ W (أي البُعد الأدنى لمجموعة فرعية مغلقة T من Z يجب إزالتها من Z بحيث يكون المكمل Z \ T غير متصل ) يكون محدودًا بـ

c( Z ) ≥ dim V + dim W − r − 1.

على سبيل المثال، تكون Z متصلة إذا كان dim V + dim W > r . [ 42 ]

في الهندسة متعددة السطوح، يتمثل أحد العناصر الأساسية لبرهان ستانلي عام 1975 على الشكل التبسيطي لنظرية الحد الأعلى لماكمولين في إثبات أن حلقة ستانلي-رايزنر للمركب التبسيطي المقابل هي حلقة كوهين-ماكولي ، ويُعد علم التماثل المحلي أداة مهمة في هذا الحساب، عبر صيغة هوخستر. [ 43 ] [ 6 ] [ 44 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ هارتشورن (1977 ، التمرين 4.3)
  2. ↑ إيزنبود (2005 ، الفصل 4، انتظام كاستلنووفو-مامفورد)
  3. ↑ برودمان وشارب (1998 ، الفصل 17، كثيرات حدود هيلبرت)
  4. ↑ برودمان وشارب (1998 ، الفصل 18، تطبيقات على اختزالات المُثُل)
  5. ↑ هوانغ (2002 ، الفصل 10، طرق البقايا في التحليل التوافقي)
  6. 1 2 ستانلي، ريتشارد (1996). التوافقية والجبر التبادلي . بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر بوسطن، ص  164. ISBN 0-8176-3836-9.
  7. ↑ إيينجار وآخرون (2007 ، المحاضرة 16، الهندسة متعددة السطوح)
  8. ↑ إيينجار وآخرون (2007 ، المحاضرة 24، الرتبة الهولونومية والأنظمة الهندسية الفائقة)
  9. ↑ برودمان وشارب (1998 ، 1.2.2)
  10. ↑ برودمان وشارب (1998 ، النظرية 1.3.8)
  11. ↑ برودمان وشارب (1998 ، ملاحظة 1.2.3)
  12. ↑ إيينجار وآخرون (2007)
  13. ↑ هارتشورن (1977 ، ص 218) 
  14. ↑ هارتشورن (1977 ، ص 219) 
  15. ↑ برودمان وشارب (1998 ، النظرية 5.2.9)
  16. ↑ "الفرضية 15.28.6 (0663) - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 مايو 2020 .
  17. ↑ "الفرضية 15.28.13 (0913) - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 مايو 2020 .
  18. ↑ برودمان وشارب (1998 ، النظرية 5.1.19)
  19. ↑ هارتشورن (1977 ، النظرية 3.7)
  20. ↑ برودمان وشارب (1998 ، النظرية 3.2.3)
  21. ↑ برودمان وشارب (1998 ، التعريف 3.3.2)
  22. ↑ برودمان وشارب (1998 ، ملاحظة 5.1.20)
  23. ↑ برودمان وشارب (1998 ، النتيجة 12.3.3)
  24. ↑ برودمان وشارب (1998 ، الفصل 13)
  25. ↑ برودمان وشارب (1998 ، الاقتراح 15.1.5)
  26. ↑ إيزنبود (1995 ، §أ.4)
  27. ↑ برودمان وشارب (1998 ، النظرية 20.4.4)
  28. ↑ برودمان وشارب (1998 ، التعريف 15.2.9)
  29. ↑ برودمان وشارب (1998 ، الفصل 16)
  30. ^ ينجار وآخرون. (2007 ، النتيجة الطبيعية 7.14)
  31. ↑ برودمان وشارب (1998 ، التمرين 5.1.21)
  32. ^ ينجار وآخرون. (2007 ، التمرين 7.16)
  33. ↑ برودمان وشارب (1998 ، التمرين 2.3.6(v))
  34. ↑ إيزنبود (2005 ، المثال A1.10)
  35. ↑ برودمان وشارب (1998 ، النظرية 6.1.2)
  36. ↑ هارتشورن (1967 ، النظرية 3.8) ، برودمان وشارب (1998 ، النظرية 6.2.7) ، M مولدة نهائيًا، IM ≠ M
  37. ↑ برونز وهرتسوغ (1998 ، النظرية 3.3.6)
  38. ↑ برونز وهرتسوغ (1998 ، النتيجة 3.3.8)
  39. ↑ هارتشورن (1967 ، النظرية 6.7)
  40. ↑ برودمان وشارب (1998 ، النظرية 11.2.8)
  41. ↑ برونز وهرتسوغ (1998 ، النظرية 3.3.7)
  42. ↑ برودمان وشارب (1998 ، §19.6)
  43. ↑ ستانلي، ريتشارد (2014). "كيف تم إثبات حدس الحد الأعلى". حوليات التوافقية . 18 (3): 533-539 . doi : 10.1007/s00026-014-0238-5 . hdl : 1721.1/93189 . S2CID 253585250 . 
  44. ^ ينجار وآخرون. (2007 ، المحاضرة 16)

مرجع تمهيدي

مراجع