توزيع المصفوفة t

المتوسط، أو القيمة المتوقعة ، هو، إذا${\displaystyle \nu >1}$:

${\displaystyle E[\mathbf {X} ]=\mathbf {M} }$

ولدينا التوقعات من الدرجة الثانية التالية، إذا${\displaystyle \nu >2}$:

${\displaystyle E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}]={\frac {\mathbf {\Sigma } \operatorname {tr} (\mathbf {\Omega } )}{\nu -2}}}$

${\displaystyle E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )]={\frac {\mathbf {\Omega } \operatorname {tr} (\mathbf {\Sigma } )}{\nu -2}}}$

أين${\displaystyle \operatorname {tr} }$يشير إلى أثر .

وبشكل أعم، بالنسبة للمصفوفات ذات الأبعاد المناسبة A و B و C :

${\displaystyle {\begin{aligned}E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\mathbf {A} (\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}]&={\frac {\mathbf {\Sigma } \operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {\Omega } )}{\nu -2}}\\E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}\mathbf {B} (\mathbf {X} -\mathbf {M} )]&={\frac {\mathbf {\Omega } \operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{T}\mathbf {\Sigma } )}{\nu -2}}\\E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\mathbf {C} (\mathbf {X} -\mathbf {M} )]&={\frac {\mathbf {\Sigma } \mathbf {C} ^{T}\mathbf {\Omega } }{\nu -2}}\end{aligned}}}$

تحويل النقل :

${\displaystyle \mathbf {X} ^{T}\sim {\mathcal {T}}_{p\times n}(\nu ,\mathbf {M} ^{T},\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Sigma } )}$

التحويل الخطي: ليكن A ( r -by -n ) من الرتبة الكاملة r ≤ n و B ( p -by -s ) من الرتبة الكاملة s ≤ p ، إذن:

${\displaystyle \mathbf {AXB} \sim {\mathcal {T}}_{r\times s}(\nu ,\mathbf {AMB} ,\mathbf {A\Sigma A} ^{T},\mathbf {B} ^{T}\mathbf {\Omega B} )}$

يمكن اشتقاق الدالة المميزة والعديد من الخصائص الأخرى من الصيغة المعاد تحديدها (انظر أدناه).

لو${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})}$ثم ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\rm {T}}\sim {\rm {T}}_{p,n}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ^{\rm {T}},{\boldsymbol {\Omega }},{\boldsymbol {\Sigma }}).}$

الخاصية المذكورة أعلاه مستمدة من نظرية سيلفستر للمحددات :

${\displaystyle \det \left(\mathbf {I} _{n}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right)=}$

${\displaystyle \det \left(\mathbf {I} _{p}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}})^{\rm {T}}\right).}$

لو${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})}$و${\displaystyle \mathbf {A} (n\times n)}$و${\displaystyle \mathbf {B} (p\times p)}$إذا كانت المصفوفات غير منفردة ، فإن ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \mathbf {AXB} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {AMB} ,\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {A} ^{\rm {T}},\mathbf {B} ^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {B} ).}$

الدالة المميزة هي ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \phi _{T}(\mathbf {Z} )={\frac {\exp({\rm {tr}}(i\mathbf {Z} '\mathbf {M} ))|{\boldsymbol {\Omega }}|^{\alpha }}{\Gamma _{p}(\alpha )(2\beta )^{\alpha p}}}|\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} |^{\alpha }B_{\alpha }\left({\frac {1}{2\beta }}\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} {\boldsymbol {\Omega }}\right),}$

أين

${\displaystyle B_{\delta }(\mathbf {WZ} )=|\mathbf {W} |^{-\delta }\int _{\mathbf {S} >0}\exp \left({\rm {tr}}(-\mathbf {SW} -\mathbf {S^{-1}Z} )\right)|\mathbf {S} |^{-\delta -{\frac {1}{2}}(p+1)}d\mathbf {S} ,}$

وأين${\displaystyle B_{\delta }}$هي دالة بيسل من النوع الثاني لهيرتز ذات وسيط مصفوفي.