التتبع (الجبر الخطي)

الأثر عبارة عن دالة خطية . أي، ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\end{aligned}}}$$ لجميع المصفوفات المربعة A و B ، وجميع القيم العددية c . ^{[ 3 ] : 34}

للمصفوفة ومنقولتها نفس الأثر: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] : 34}$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right).}$$

ويترتب على ذلك مباشرة حقيقة أن نقل المصفوفة المربعة لا يؤثر على العناصر الموجودة على طول القطر الرئيسي.

يمكن إعادة كتابة أثر مصفوفة مربعة ناتجة عن ضرب مصفوفتين على أنه مجموع حاصل ضرب عناصرهما، أي مجموع جميع عناصر حاصل ضربهما وفقًا لدالة هادامارد . بعبارة أخرى، إذا كانت A و B مصفوفتين من الرتبة m × n ، فإن: $${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}\;.}$$

إذا نظرنا إلى أي مصفوفة حقيقية من الرتبة m × n على أنها متجه طوله mn (وهي عملية تُسمى التحويل إلى متجه )، فإن العملية المذكورة أعلاه على A و B تتطابق مع الضرب القياسي . وفقًا للتعبير أعلاه، فإن tr( A ^⊤ A ) هو مجموع مربعات، وبالتالي فهو غير سالب، ويساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت A تساوي صفرًا. ^{[ 4 ] : ​​7} علاوة على ذلك، وكما هو موضح في الصيغة أعلاه، فإن tr( A ^⊤ B ) = tr( B ^⊤ A ) . يوضح هذا التحديد الموجب والتناظر المطلوبين للضرب الداخلي ؛ ومن الشائع تسمية tr( A ^⊤ B ) بالضرب الداخلي لفروبينيوس للمصفوفتين A و B. هذا ضرب داخلي طبيعي على فضاء المتجهات لجميع المصفوفات الحقيقية ذات الأبعاد الثابتة. يُسمى المعيار المشتق من هذا الضرب الداخلي معيار فروبينيوس ، وهو يحقق خاصية الضرب الجزئي، كما يمكن إثباته باستخدام متباينة كوشي-شفارتز . $${\displaystyle 0\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )\right]^{2}\leq \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right),}$$ إذا كانت A و B مصفوفتين حقيقيتين بحيث تكون AB مصفوفة مربعة. يظهر كل من الجداء الداخلي لمعيار فروبينيوس بشكل متكرر في حساب المصفوفات والإحصاء .

يمكن توسيع الضرب الداخلي لفروبينيوس إلى ضرب داخلي هيرميتي على الفضاء المتجهي المركب لجميع المصفوفات المركبة ذات الحجم الثابت، عن طريق استبدال B بمرافقها المركب .

يمكن صياغة تناظر الضرب الداخلي لفروبينيوس بشكل مباشر كما يلي: يمكن تبديل المصفوفات في أثر الضرب دون تغيير النتيجة. إذا كانت A و B مصفوفتين حقيقيتين أو مركبتين من الرتبة m × n و n × m على التوالي، فإن ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] : 34 [ ملاحظة 1 ]}

هذا جدير بالملاحظة لأن AB لا يساوي عادةً BA ، ولأن أثر أي منهما لا يساوي عادةً tr( A )tr( B ) . ^{[ ملاحظة 2 ]} إن ثبات الأثر تحت تأثير التشابه، أي أن tr( A ) = tr( P⁻¹AP ) لأي مصفوفة مربعة A وأي مصفوفة قابلة للعكس ^P من نفس الأبعاد، هو نتيجة أساسية. وقد تم إثبات ذلك بواسطة$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {P} )\right)=\operatorname {tr} \left((\mathbf {A} \mathbf {P} )\mathbf {P} ^{-1}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).}$$ إن خاصية التشابه الثابت هي الخاصية الأساسية للأثر من أجل مناقشة آثار التحويلات الخطية كما يلي.

بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة لمتجهات الأعمدة الحقيقية${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$و${\displaystyle \mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$، أثر الضرب الخارجي يساوي الضرب الداخلي:

وبشكل أعم، فإن الأثر يظل ثابتاً تحت التحولات الدائرية ، أي

هذا ما يُعرف بالخاصية الدورية .

لا يُسمح بالتباديل العشوائية: بشكل عام، $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ).}$$

ومع ذلك، إذا تم النظر في نواتج ثلاث مصفوفات متناظرة ، فإن أي تبديل مسموح به، لأن: $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )=\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \right)^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {B} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ),}$$ حيث أن المساواة الأولى ناتجة عن تساوي آثار المصفوفة ومنقولتها. لاحظ أن هذا لا ينطبق عمومًا على أكثر من ثلاثة عوامل.

أثر حاصل ضرب كرونكر لمصفوفتين هو حاصل ضرب أثريهما: $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} ).}$$

الخصائص الثلاث التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} ),\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} ),\\\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ),\end{aligned}}}$$ صف الأثر حتى مضاعف عددي؛ بعبارة أخرى: إذا${\displaystyle f}$هي دالة خطية على فضاء المصفوفات المربعة تحقق الشرط التالي:${\displaystyle f(xy)=f(yx),}$ثم${\displaystyle f}$و${\displaystyle \operatorname {tr} }$متناسبة. ^{[ ملاحظة 3 ]}

ل${\displaystyle n\times n}$المصفوفات، وفرض التطبيع${\displaystyle f(\mathbf {I} )=n}$اصنع${\displaystyle f}$يساوي الأثر.

بفرض أي مصفوفة A من الرتبة n × n ، يوجد

حيث λ₁ _, ..., λₙ هي القيم الذاتية للمصفوفة A مع _مراعاة التعدد الجبري. ويصدق هذا حتى لو كانت A مصفوفة حقيقية وبعض (أو كل) القيم الذاتية أعدادًا مركبة، أو بشكل أعم على أي حقل ذي قيم ذاتية مأخوذة في إغلاق جبري . وتنتج هذه المتطابقة من حقيقة أن A دائمًا ما تكون مشابهة لصيغتها الجوردانية ، وهي مصفوفة مثلثية علوية _تحتوي على _λ₁ , ... , λₙ على القطر الرئيسي، بالإضافة إلى ثبات الأثر تحت التشابه المذكور أعلاه. في المقابل، فإن محدد A هو حاصل ضرب قيمها الذاتية؛ أي $${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\prod _{i}\lambda _{i}.}$$

عندما تكون كل من A و B مصفوفتين من الرتبة n × n ، فإن أثر المبدل (الحلقي) لـ A و B يساوي صفرًا: tr([ A , B ]) = 0 ، لأن tr( AB ) = tr( BA ) و tr دالة خطية. يمكن التعبير عن ذلك بأن "الأثر هو دالة من جبر لي gl _n → k من المؤثرات إلى الكميات القياسية"، حيث أن مبدل الكميات القياسية بديهي (فهو جبر لي أبلي ). على وجه الخصوص، باستخدام خاصية عدم التغير بالتشابه، يتبين أن مصفوفة الوحدة لا تشبه أبدًا مبدل أي زوج من المصفوفات.

على النقيض من ذلك، فإن أي مصفوفة مربعة ذات أثر صفري هي توليفة خطية من مبدلات أزواج من المصفوفات. ^{[ ملاحظة 4 ]} علاوة على ذلك، فإن أي مصفوفة مربعة ذات أثر صفري مكافئة وحدوياً لمصفوفة مربعة قطرها يتكون من أصفار فقط.

أثر${\displaystyle n\times n}$مصفوفة${\displaystyle A}$هو معامل${\displaystyle t^{n-1}}$في متعددة الحدود المميزة ، ربما تم تغيير الإشارة، وفقًا للاتفاقية في تعريف متعددة الحدود المميزة.

إذا كانت a مصفوفة مربعة ذات عناصر صغيرة و I ترمز إلى مصفوفة الوحدة ، فإننا نحصل تقريبًا على

$${\displaystyle \det(\mathbf {I} +\mathbf {a} )\approx 1+\operatorname {tr} (\mathbf {a} ).}$$

وهذا يعني تحديدًا أن الأثر هو مشتقة دالة المحدد عند مصفوفة الوحدة. صيغة جاكوبي

$${\displaystyle d\det(\mathbf {A} )=\operatorname {tr} {\big (}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\cdot d\mathbf {A} {\big )}}$$

وهو أكثر عمومية ويصف تفاضل المحدد عند مصفوفة مربعة عشوائية، من حيث أثر ومرافق المصفوفة .

ومن هذا (أو من العلاقة بين الأثر والقيم الذاتية)، يمكن للمرء أن يستنتج علاقة بين دالة الأثر، ودالة الأسية للمصفوفة ، والمحدد:$${\displaystyle \det(\exp(\mathbf {A} ))=\exp(\operatorname {tr} (\mathbf {A} )).}$$

ينطبق توصيف مشابه للأثر على حقول المتجهات الخطية . بفرض وجود مصفوفة A ، نُعرّف حقل متجه F على Rⁿ ^{بالعلاقة} F ( x ) = Ax . مكونات هذا الحقل المتجه هي دوال خطية (مُعطاة بصفوف A ). تباعده divF دالة ثابتة ، وقيمته تساوي tr( A ) .

بحسب نظرية التباعد ، يمكن تفسير ذلك من حيث التدفقات: إذا كان F ( x ) يمثل سرعة سائل عند الموقع x و U هي منطقة في R ⁿ ، فإن التدفق الصافي للسائل خارج U يُعطى بواسطة tr( A ) · vol( U ) ، حيث vol( U ) هو حجم U.

الأثر هو مؤثر خطي، وبالتالي فهو يتبادل مع المشتقة: $${\displaystyle d\operatorname {tr} (\mathbf {X} )=\operatorname {tr} (d\mathbf {X} ).}$$

بفرض وجود فضاء متجهي V على الحقل F ، توجد دالة ثنائية الخطية طبيعية V × V ^* → F تُعطى بإرسال ( v , φ ) إلى العدد القياسي φ ( v ) . وتستلزم الخاصية العامة للجداء الموتري V ⊗ V ^* تلقائيًا أن هذه الدالة الثنائية الخطية مُستحثة بواسطة دالة خطية على V ⊗ V ^* . ^{[ 5 ]}

وبالمثل، توجد دالة ثنائية الخطية طبيعية V × V ^∗ → Hom( V , V ) تُعطى بإرسال ( v , φ ) إلى الدالة الخطية w ↦ φ ( w ) v . تنص الخاصية العامة للجداء الموتري، كما استُخدمت سابقًا، على أن هذه الدالة الثنائية الخطية مُستحثة بواسطة دالة خطية V ⊗ V ^∗ → Hom( V , V ) . إذا كانت V ذات بُعد محدود، فإن هذه الدالة الخطية تُشكل تماثلًا خطيًا . ^{[ 5 ]} هذه الحقيقة الأساسية هي نتيجة مباشرة لوجود أساس (محدود) لـ V ، ويمكن صياغتها أيضًا بالقول إن أي دالة خطية V → V يُمكن كتابتها كمجموع (عدد محدود) من الدوال الخطية من الرتبة الأولى. يؤدي تركيب معكوس التماثل مع الدالة الخطية المُستنتجة أعلاه إلى دالة خطية على Hom( V , V ) . هذه الدالة الخطية هي نفسها الأثر تمامًا، مما يُوفر تعريفًا بمصطلحات لا تعتمد على الإحداثيات .

باستخدام تعريف الأثر كمجموع عناصر القطر الرئيسي، فإن صيغة المصفوفة tr ( AB ) = tr( BA ) سهلة الإثبات، وقد ذُكرت سابقًا. في هذا السياق، ندرس التحويلات الخطية S و T ، ونعتبرها مجموع تحويلات من الرتبة الأولى، بحيث توجد دوال خطية φᵢ و ψⱼ ومتجهات غير صفرية vᵢ و _wⱼ بحيث يكون S _{( u} ) = Σ φᵢ _{( u} ) vᵢ _و T ( u ) = Σ ψⱼ ( u ) wⱼ لأي _{u في} V.

${\displaystyle (S\circ T)(u)=\sum _{i}\varphi _{i}\left(\sum _{j}\psi _{j}(u)w_{j}\right)v_{i}=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(u)\varphi _{i}(w_{j})v_{i}}$

لأي u في V. التطبيق الخطي من الرتبة الأولى u ↦ ψ _j ( u ) φ _i ( w _j ) vi _له أثر ψ _j ( vi ₎ φ _i ( w _j ) وبالتالي

${\displaystyle \operatorname {tr} (S\circ T)=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(v_{i})\varphi _{i}(w_{j})=\sum _{j}\sum _{i}\varphi _{i}(w_{j})\psi _{j}(v_{i}).}$

باتباع نفس الإجراء مع عكس S و T ، نجد نفس الصيغة تمامًا، مما يثبت أن tr( S ∘ T ) يساوي tr( T ∘ S ) .

يمكن اعتبار البرهان أعلاه قائمًا على جداءات الموترات، نظرًا لأن الهوية الأساسية لـ End( V ) مع V ⊗ V ^* تُكافئ إمكانية التعبير عن أي دالة خطية كمجموع دوال خطية من الرتبة الأولى. وبناءً على ذلك، يمكن كتابة البرهان باستخدام ترميز جداءات الموترات. بعد ذلك، يمكن النظر في الدالة متعددة الخطية V × V ^* × V × V ^* → V ⊗ V ^* المُعطاة بإرسال ( v , φ , w , ψ ) إلى φ ( w ) v ⊗ ψ . يؤدي تركيبها مع دالة الأثر إلى φ ( w ) ψ ( v ) ، وهذا لا يتغير حتى لو بدأنا بـ ( w , ψ , v , φ ) بدلًا من ذلك. يمكن أيضًا النظر في التطبيق الثنائي الخطي End( V ) × End( V ) → End( V ) المُعطى بإرسال ( f , g ) إلى التركيب f ∘ g ، والذي يُستحث بدوره بواسطة تطبيق خطي End( V ) ⊗ End( V ) → End( V ) . يُلاحظ أن هذا يتطابق مع التطبيق الخطي V ⊗ V ^∗ ⊗ V ⊗ V ^∗ → V ⊗ V ^∗ . يُثبت التناظر المُتحقق عند التركيب مع تطبيق الأثر تساوي الأثرين. ^{[ 5 ]}

لأي فضاء متجهي V ذي أبعاد منتهية ، يوجد تطبيق خطي طبيعي F → V ⊗ V ' ؛ في لغة التطبيقات الخطية، يُسند هذا التطبيق إلى عدد قياسي c التطبيق الخطي c ⋅id _V. يُسمى هذا أحيانًا تطبيق التقييم المشترك ، ويُسمى أثر V ⊗ V ' → F تطبيق التقييم . ^{[ 5 ]} يمكن صياغة هذه البنى بديهيًا لتعريف الآثار الفئوية في الإطار المجرد لنظرية الفئات . على وجه الخصوص، يمكن تعريف الآثار للتشاكلات الداخلية لوحدة إسقاطية مولدة نهائيًا على حلقة، انظر حاصل الضرب الموتري للوحدات §  الأثر .

يمكن تقدير الأثر بشكل غير متحيز بواسطة "حيلة هاتشينسون": ^{[ 6 ]}

بالنظر إلى أي مصفوفة${\displaystyle {\boldsymbol {W}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$وأي عشوائي${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\in \mathbb {R} ^{n}}$مع${\displaystyle \mathbb {E} [{\boldsymbol {u}}{\boldsymbol {u}}^{\intercal }]=\mathbf {I} }$لدينا${\displaystyle \mathbb {E} [{\boldsymbol {u}}^{\intercal }{\boldsymbol {W}}{\boldsymbol {u}}]=\operatorname {tr} {\boldsymbol {W}}}$.

لإثبات ذلك، قم بتوسيع التوقع بشكل مباشر.

عادةً، يتم أخذ عينة من المتجه العشوائي من${\displaystyle \operatorname {N} (\mathbf {0} ,\mathbf {I} )}$(التوزيع الطبيعي)${\displaystyle \{\pm n^{-1/2}\}^{n}}$( توزيع رادماخر ).

تم تطوير مقدرات عشوائية أكثر تطوراً للأثر. ^{[ 7 ]}

الشكل الثنائي الخطي (حيث X و Y مصفوفتان مربعتان) $${\displaystyle B(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\operatorname {ad} (\mathbf {Y} ))}$$

أين${\displaystyle \operatorname {ad} (\mathbf {X} )\mathbf {Y} =[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\mathbf {X} \mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X} }$

وللتوجيه، إذا${\displaystyle \operatorname {det} \mathbf {Y} \neq 0}$

ثم${\displaystyle \operatorname {ad} (\mathbf {X} )=\mathbf {X} -\mathbf {Y} \mathbf {X} \mathbf {Y} ^{-1}~.}$

${\displaystyle B(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$يُطلق عليه اسم شكل كيلينج ؛ ويستخدم لتصنيف جبر لي .

يُحدد الأثر شكلاً ثنائي الخطية: $${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mapsto \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} )~.}$$

الشكل متناظر، وغير منحط ^{[ ملاحظة 5 ]} ، وتجميعي بالمعنى التالي: $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {X} [\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ])=\operatorname {tr} ([\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]\mathbf {Z} ).}$$

بالنسبة لجبر لي البسيط المعقد (مثل${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$_n ), كل شكل ثنائي الخطية من هذا القبيل يتناسب مع بعضها البعض؛ على وجه الخصوص، مع شكل كيلينج.

يُقال إن المصفوفتين X و Y متعامدتان أثرياً إذا $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} )=0.}$$

يوجد تعميم للتمثيل العام${\displaystyle (\rho ,{\mathfrak {g}},V)}$من جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$بحيث${\displaystyle \rho }$هو تشاكل لجبر لي${\displaystyle \rho$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V).} شكل الأثر${\displaystyle {\text{tr}}_{V}}$على${\displaystyle {\text{End}}(V)}$يُعرَّف كما سبق. الشكل الثنائي الخطي $${\displaystyle \phi (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )={\text{tr}}_{V}(\rho (\mathbf {X} )\rho (\mathbf {Y} ))}$$ متناظر وثابت بسبب الدورية.