توزيع المصفوفة الطبيعي

في الإحصاء ، يعتبر التوزيع الطبيعي للمصفوفة أو التوزيع الغاوسي للمصفوفة توزيعًا احتماليًا وهو تعميم للتوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات للمتغيرات العشوائية ذات القيم المصفوفية.

دالة كثافة الاحتمال للمصفوفة العشوائية X ( n × p ) التي تتبع التوزيع الطبيعي للمصفوفات  ${\displaystyle {\mathcal {MN}} _ {n,p}(\mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} )}$له الشكل التالي:

${\displaystyle p(\mathbf {X} \mid \mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} )={\frac {\exp \left(-{\frac {1}{2}}\,\mathrm {tr} \left[\mathbf {V} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}\mathbf {U} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\right]\right)}{(2\pi )^{np/2}|\mathbf {V} |^{n/2}|\mathbf {U} |^{p/2}}}}$

أين${\displaystyle \mathrm {tr} }$يرمز إلى الأثر ، و M هي n × p ، وU هي n × n، و V هي p × p ، ويُفهم الكثافة على أنها دالة كثافة الاحتمال بالنسبة إلى مقياس ليبيغ القياسي في      ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times p}}$أي: المقياس المقابل للتكامل بالنسبة إلى${\displaystyle dx_{11}dx_{21}\dots dx_{n1}dx_{12}\dots dx_{n2}\dots dx_{np}}$.

يرتبط التوزيع الطبيعي المصفوفي بالتوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات بالطريقة التالية:

${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {MN}} _ {n\times p}(\mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} ),}$

إذا وفقط إذا

${\displaystyle \mathrm {vec} (\mathbf {X} )\sim {\mathcal {N}}_{np}(\mathrm {vec} (\mathbf {M} ),\mathbf {V} \otimes \mathbf {U} )}$

أين${\displaystyle \otimes }$يرمز إلى حاصل ضرب كرونكر و${\displaystyle \mathrm {vec} (\mathbf {M} )}$يشير إلى تحويل إلى متجه${\displaystyle \mathbf {M} }$.

لو${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {MN}}_{n\times p}(\mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} )}$إذن، لدينا الخصائص التالية: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

لنفترض عينة من n متغيرات عشوائية مستقلة ذات أبعاد p موزعة بشكل متطابق وفقًا للتوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات :

${\displaystyle \mathbf {Y} _{i}\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}){\text{ with }}i\in \{1,\ldots ,n\}}$.

عند تعريف المصفوفة n × p  ${\displaystyle \mathbf {X} }$الصف رقم i هو${\displaystyle \mathbf {Y} _{i}}$، فنحصل على:

${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {MN}}_{n\times p}(\mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} )}$

حيث كل صف من${\displaystyle \mathbf {M} }$يساوي${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$، إنه${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {1} _{n}\times {\boldsymbol {\mu }}^{T}}$،${\displaystyle \mathbf {U} }$هي مصفوفة الوحدة من الرتبة n × n ، أي أن صفوفها مستقلة، و  ${\displaystyle \mathbf {V} ={\boldsymbol {\Sigma }}}$.

بفرض وجود k مصفوفة، كل منها بحجم n  × p ، يُرمز لها بـ ${\displaystyle \mathbf {X} _{1},\mathbf {X} _{2},\ldots ,\mathbf {X} _{k}}$، والتي نفترض أنها تم أخذ عينات منها بشكل مستقل ومتطابق من توزيع طبيعي مصفوفي، يمكن الحصول على تقدير الاحتمال الأقصى للمعلمات عن طريق تعظيم:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{k}{\mathcal {MN}}_{n\times p}(\mathbf {X} _{i}\mid \mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} ).}$

للحل الخاص بالمتوسط ​​صيغة مغلقة، وهي:

${\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}\mathbf {X} _{i}}$

لكن معاملات التغاير لا تفعل ذلك. ومع ذلك، يمكن زيادة هذه المعاملات بشكل تكراري عن طريق تصفير تدرجاتها عند:

${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {1}{kp}}\sum _{i=1}^{k}(\mathbf {X} _{i}-\mathbf {M} )\mathbf {V} ^{-1}(\mathbf {X} _{i}-\mathbf {M} )^{T}}$

و

${\displaystyle \mathbf {V} ={\frac {1}{kn}}\sum _{i=1}^{k}(\mathbf {X} _{i}-\mathbf {M} )^{T}\mathbf {U} ^{-1}(\mathbf {X} _{i}-\mathbf {M} ),}$

انظر على سبيل المثال ^{[ 3 ]} والمراجع الواردة فيه. تكون معاملات التغاير غير قابلة للتحديد بمعنى أنه لأي عامل قياس، s > 0، لدينا:

${\displaystyle {\mathcal {MN}}_{n\times p}(\mathbf {X} \mid \mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} )={\mathcal {MN}}_{n\times p}(\mathbf {X} \mid \mathbf {M} ,s\mathbf {U} ,{\tfrac {1}{s}}\mathbf {V} ).}$

يُعد أخذ العينات من التوزيع الطبيعي المصفوفي حالة خاصة من إجراء أخذ العينات للتوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات .${\displaystyle \mathbf {X} }$لتكن مصفوفة من الرتبة n × p تحتوي على np عينة مستقلة من التوزيع الطبيعي القياسي، بحيث

${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {MN}}_{n\times p}(\mathbf {0} ,\mathbf {I} ,\mathbf {I} ).}$

ثم دع

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {M} +\mathbf {A} \mathbf {X} \mathbf {B} ,}$

لهذا السبب.

${\displaystyle \mathbf {Y} \sim {\mathcal {MN}}_{n\times p}(\mathbf {M} ,\mathbf {AA} ^{T},\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} ),}$

حيث يمكن اختيار A و B عن طريق تحليل Cholesky أو ​​عملية الجذر التربيعي للمصفوفة المماثلة.

يقدم داويد (1981) مناقشة حول علاقة التوزيع الطبيعي ذي القيم المصفوفية بالتوزيعات الأخرى، بما في ذلك توزيع ويشارت ، وتوزيع ويشارت العكسي، وتوزيع t المصفوفي ، ولكنه يستخدم رموزًا مختلفة عن تلك المستخدمة هنا.

• التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات

• داويد، أ.ب. (1981). "بعض نظريات توزيع المصفوفات والمتغيرات: اعتبارات رمزية وتطبيق بايزي". بيومتريكا . 68 (1): 265-274 . doi : 10.1093/biomet/68.1.265 . JSTOR 2335827. MR 0614963 .  
• دوتيلول، ب. (1999). "خوارزمية تقدير الاحتمال الأقصى لتوزيع المصفوفة الطبيعية". مجلة الحساب الإحصائي والمحاكاة . 64 (2): 105-123 . doi : 10.1080/00949659908811970 .
• أرنولد، إس إف (1981)، نظرية النماذج الخطية والتحليل متعدد المتغيرات ، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، رقم ISBN 0471050652