نظرية نقل القدرة القصوى

في الهندسة الكهربائية ، تنص نظرية نقل القدرة القصوى على أنه للحصول على أقصى قدرة خارجية من مصدر طاقة ذي مقاومة داخلية ، يجب أن تساوي مقاومة الحمل مقاومة المصدر كما يُنظر إليها من أطراف خرجه. نشر موريتز فون جاكوبي نظرية نقل القدرة القصوى حوالي عام 1840؛ ويشار إليها أيضًا باسم " قانون جاكوبي ". ^[1]

تؤدي النظرية إلى أقصى نقل للطاقة من مصدر الطاقة إلى الحمل، ولكن ليس أقصى كفاءة للطاقة المفيدة من إجمالي الطاقة المستهلكة. إذا تم جعل مقاومة الحمل أكبر من مقاومة المصدر، فإن الكفاءة تزداد (نظرًا لأن نسبة أعلى من طاقة المصدر تنتقل إلى الحمل)، ولكن حجم طاقة الحمل ينخفض ​​(نظرًا لأن مقاومة الدائرة الإجمالية تزداد). ^[2] إذا تم جعل مقاومة الحمل أصغر من مقاومة المصدر، فإن الكفاءة تنخفض (نظرًا لأن معظم الطاقة تنتهي بالتبدد في المصدر). على الرغم من زيادة إجمالي الطاقة المتبددة (بسبب انخفاض المقاومة الإجمالية)، فإن الكمية المتبددة في الحمل تقل.

تنص النظرية على كيفية اختيار (لتعظيم نقل الطاقة) مقاومة الحمل، بمجرد إعطاء مقاومة المصدر. ومن المفاهيم الخاطئة الشائعة تطبيق النظرية في السيناريو المعاكس. فهي لا تنص على كيفية اختيار مقاومة المصدر لمقاومة حمل معينة. في الواقع، تكون مقاومة المصدر التي تعظم نقل الطاقة من مصدر الجهد دائمًا صفرًا ( مصدر الجهد المثالي الافتراضي )، بغض النظر عن قيمة مقاومة الحمل.

يمكن توسيع النظرية لتشمل دوائر التيار المتناوب التي تتضمن مفاعلة ، وتنص على أن الحد الأقصى لنقل الطاقة يحدث عندما تكون معاوقة الحمل مساوية للمترافق المعقد لمقاومة المصدر.

تنطبق رياضيات النظرية أيضًا على التفاعلات الفيزيائية الأخرى، مثل: ^{[2] [3]}

• الاصطدامات الميكانيكية بين جسمين،
• تقاسم الشحنة بين مكثفين،
• تدفق السائل بين أسطوانتين،
• انتقال الضوء وانعكاسه على الحدود بين وسطين.

تم فهم النظرية بشكل خاطئ في الأصل (ولا سيما من قبل جول ^[4] ) لتعني أن النظام المكون من محرك كهربائي يعمل ببطارية لا يمكن أن تكون كفاءته أكثر من 50٪ ، حيث أن الطاقة المتبددة على شكل حرارة في البطارية ستكون دائمًا مساوية للطاقة المقدمة إلى المحرك عندما تتطابق المعاوقات.

وفي عام 1880، ثبت خطأ هذا الافتراض إما من قبل إديسون أو زميله فرانسيس روبينز أبتون ، الذي أدرك أن الحد الأقصى للكفاءة ليس هو نفسه الحد الأقصى لنقل الطاقة.

لتحقيق أقصى قدر من الكفاءة، يمكن (أو يجب) جعل مقاومة المصدر (سواء كانت بطارية أو دينامو ) قريبة من الصفر قدر الإمكان. وباستخدام هذا الفهم الجديد، حصلوا على كفاءة تبلغ حوالي 90%، وأثبتوا أن المحرك الكهربائي كان بديلاً عمليًا للمحرك الحراري .

الكفاءة η هي نسبة القدرة المبددة بواسطة مقاومة الحمل R _L إلى إجمالي القدرة المبددة بواسطة الدائرة (والتي تتضمن مقاومة مصدر الجهد R _S بالإضافة إلى R _L ):

$${\displaystyle \eta ={\frac {P_{\mathrm {L} }}{P_{\mathrm {Total} }}}={\frac {I^{2}\cdot R_{\mathrm {L} } {I^{2}\cdot (R_{\mathrm {L}}+R_{\mathrm {S} })}}={\frac {R_ {\ mathrm {L}}} {R_ {\ mathrm {L}} + R_ {\ mathrm {S} }}} = {\ frac {1}{1+R_ {\ mathrm {S} } / R_ {\mathrm {L} }}}\,.}$$

خذ في الاعتبار ثلاث حالات خاصة (لاحظ أن مصادر الجهد يجب أن يكون لها بعض المقاومة):

• إذا ، فإن الكفاءة تقترب من 0% إذا اقتربت مقاومة الحمل من الصفر ( قصر الدائرة )، حيث يتم استهلاك كل الطاقة في المصدر ولا يتم استهلاك أي طاقة في القصر.${\displaystyle R_{\mathrm {L} }/R_{\mathrm {S} }\to 0}$${\displaystyle \eta \to 0.}$
• إذا ، فإن الكفاءة تكون 50% فقط إذا كانت مقاومة الحمل تساوي مقاومة المصدر (وهو شرط نقل الحد الأقصى للطاقة).${\displaystyle R_{\mathrm {L} }/R_{\mathrm {S} }=1}$${\displaystyle \eta ={\tfrac {1}{2}}.}$
• إذا ، فإن الكفاءة تقترب من 100% إذا اقتربت مقاومة الحمل من اللانهاية (على الرغم من أن مستوى القدرة الإجمالي يميل نحو الصفر) أو إذا اقتربت مقاومة المصدر من الصفر. يُطلق على استخدام نسبة كبيرة اسم جسر المعاوقة .${\displaystyle R_{\mathrm {L} }/R_{\mathrm {S} }\to \infty }$${\displaystyle \eta \to 1.}$

المفهوم ذو الصلة هو مطابقة المعاوقة بدون انعكاس .

في خطوط نقل الترددات الراديوية ، وغيرها من الأجهزة الإلكترونية ، غالبًا ما يكون هناك متطلب لمطابقة معاوقة المصدر (عند المرسل) مع معاوقة الحمل (مثل الهوائي ) لتجنب الانعكاسات في خط النقل .

في النموذج المبسط لتشغيل حمل بمقاومة R _L بواسطة مصدر بجهد V ومقاومة مصدر R _S ، فوفقًا لقانون أوم فإن التيار الناتج I هو ببساطة جهد المصدر مقسومًا على مقاومة الدائرة الكلية: $${\displaystyle I={\frac {V}{R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}.}$$

القدرة P _L المبددة في الحمل هي مربع التيار مضروبًا في المقاومة: $${\displaystyle P_{\mathrm {L} }=I^{2}R_{\mathrm {L} }=\left({\frac {V}{R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}\right)^{2}R_{\mathrm {L} }={\frac {V^{2}}{R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}.}$$

يمكن حساب قيمة R _L التي يكون فيها هذا التعبير هو الحد الأقصى عن طريق مشتقته، ولكن من الأسهل حساب قيمة R _L التي يكون فيها المقام: هو الحد الأدنى. ستكون النتيجة هي نفسها في كلتا الحالتين. مشتقة المقام بالنسبة إلى R _L : $${\displaystyle R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dR_{\mathrm {L} }}}\left(R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }\right)=-R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }^{2}+1.}$$

بالنسبة للحد الأقصى أو الحد الأدنى، فإن المشتقة الأولى تساوي صفرًا، لذا أو $${\displaystyle R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }^{2}=1}$$$${\displaystyle R_{\mathrm {L} }=\pm R_{\mathrm {S} }.}$$

في الدوائر المقاومة العملية، يكون كل من R _S و R _L موجبين، وبالتالي فإن الإشارة الموجبة في الشكل أعلاه هي الحل الصحيح.

ولمعرفة ما إذا كان هذا الحل هو الحد الأدنى أو الحد الأقصى، يتم مشتقة تعبير المقام مرة أخرى:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dR_{\mathrm {L} }^{2}}}\left({R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}\right)={2R_{\mathrm {S} }^{2}}/{R_{\mathrm {L} }^{3}}.}$$

يكون هذا دائمًا موجبًا للقيم الموجبة لـ و ، مما يدل على أن المقام هو الحد الأدنى، وبالتالي فإن القوة هي الحد الأقصى، عندما: ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }}$${\displaystyle R_{\mathrm {L} }}$$${\displaystyle R_{\mathrm {S} }=R_{\mathrm {L} }.}$$

يفترض الدليل أعلاه وجود مقاومة ثابتة للمصدر . عندما يمكن تغيير مقاومة المصدر، يمكن زيادة الطاقة المنقولة إلى الحمل عن طريق تقليل . على سبيل المثال، مصدر 100 فولت مع 250 واط من الطاقة إلى الحمل؛ يؤدي تقليل إلى إلى زيادة الطاقة المقدمة إلى 1000 واط. ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }}$${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$${\displaystyle 10\,\Omega }$${\displaystyle 10\,\Omega }$${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$${\displaystyle 0\,\Omega }$

لاحظ أن هذا يوضح أن الحد الأقصى لنقل الطاقة يمكن تفسيره أيضًا على أنه جهد الحمل يساوي نصف ما يعادل جهد ثيفينين للمصدر. ^[5]

تنطبق نظرية نقل القدرة أيضًا عندما لا يكون المصدر و/أو الحمل مقاومين بحتًا.

يقول تحسين لنظرية القدرة القصوى أن أي مكونات تفاعلية للمصدر والحمل يجب أن تكون متساوية في المقدار ولكن بإشارة معاكسة. ( انظر أدناه للحصول على استنتاج. )

• وهذا يعني أن معاوقة المصدر والحمل يجب أن تكون مترافقة بشكل معقد مع بعضها البعض.
• في حالة الدوائر المقاومة البحتة، المفهومان متطابقان.

لا تكون المصادر والأحمال القابلة للتحقيق فعليًا مقاومة بحتة عادةً، حيث تحتوي على بعض المكونات الحثية أو السعوية، وبالتالي فإن التطبيقات العملية لهذه النظرية، تحت اسم مطابقة المعاوقة المترافقة المعقدة، موجودة بالفعل.

إذا كان المصدر حثيًا كليًا (سعويًا)، فإن الحمل السعوي كليًا (حثي)، في غياب الخسائر المقاومة، سوف يتلقى 100% من الطاقة من المصدر ولكنه يرسلها مرة أخرى بعد ربع دورة.

الدائرة الناتجة ليست سوى دائرة LC رنينية حيث تستمر الطاقة في التذبذب ذهابًا وإيابًا. يُطلق على هذا التذبذب القدرة التفاعلية .

تصحيح معامل القدرة (حيث يتم استخدام المفاعلة الحثية "لموازنة" المفاعلة السعوية)، هو في الأساس نفس فكرة مطابقة المعاوقة المترافقة المعقدة على الرغم من أنه يتم لأسباب مختلفة تمامًا.

بالنسبة لمصدر تفاعلي ثابت ، تعمل نظرية القدرة القصوى على تعظيم القدرة الحقيقية (P) المقدمة للحمل عن طريق مطابقة الحمل للمصدر عن طريق اقتران معقد.

بالنسبة للحمل التفاعلي الثابت ، يعمل تصحيح معامل القدرة على تقليل القدرة الظاهرية (S) (والتيار غير الضروري) التي تنتقل عبر خطوط النقل، مع الحفاظ على نفس كمية نقل الطاقة الحقيقية.

يتم ذلك عن طريق إضافة مفاعلة إلى الحمل لموازنة مفاعلة الحمل نفسها، مما يؤدي إلى تغيير معاوقة الحمل التفاعلية إلى معاوقة حمل مقاومة.

في هذا الرسم التخطيطي، يتم نقل طاقة التيار المتردد من المصدر، مع مقدار فازور للجهد (جهد الذروة الموجب) ومعاوقة مصدر ثابتة (S للمصدر)، إلى حمل بمعاوقة (L للحمل)، مما يؤدي إلى مقدار (موجب) لمقياس فازور التيار . ينتج هذا المقدار عن قسمة مقدار جهد المصدر على مقدار معاوقة الدائرة الكلية: ${\displaystyle |V_{\text{S}}|}$ ${\displaystyle Z_{\text{S}}}$${\displaystyle Z_{\text{L}}}$${\displaystyle |I|}$${\displaystyle I}$${\displaystyle |I|}$$${\displaystyle |I|={|V_{\text{S}}| \over |Z_{\text{S}}+Z_{\text{L}}|}.}$$

متوسط ​​القدرة المبددة في الحمل هو مربع التيار مضروبًا في الجزء المقاوم (الجزء الحقيقي) من معاوقة الحمل : حيث و تشير إلى المقاومات، أي الأجزاء الحقيقية، و و تشير إلى المفاعلات، أي الأجزاء التخيلية، لمعاوقات المصدر والحمل و على التوالي . ${\displaystyle P_{\text{L}}}$${\displaystyle R_{\text{L}}}$${\displaystyle Z_{\text{L}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{L}}&=I_{\text{rms}}^{2}R_{\text{L}}={1 \over 2}|I|^{2}R_{\text{L}}\\&={1 \over 2}\left({|V_{\text{S}}| \over |Z_{\text{S}}+Z_{\text{L}}|}\right)^{2}R_{\text{L}}={1 \over 2}{|V_{\text{S}}|^{2}R_{\text{L}} \over (R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}+(X_{\text{S}}+X_{\text{L}})^{2}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle R_{\text{S}}}$${\displaystyle R_{\text{L}}}$${\displaystyle X_{\text{S}}}$${\displaystyle X_{\text{L}}}$${\displaystyle Z_{\text{S}}}$${\displaystyle Z_{\text{L}}}$

لتحديد قيمة معاوقة الحمل التي يعطي لها هذا التعبير عن القدرة الحد الأقصى لمصدر معين ، يجب أولاً إيجاد قيمة الحد التفاعلي الذي يكون فيه المقام : هو الحد الأدنى لكل قيمة موجبة ثابتة لـ . ونظرًا لأن المفاعلات يمكن أن تكون سالبة، يتم تحقيق ذلك عن طريق تكييف مفاعلة الحمل مع: ${\displaystyle V_{\text{S}}}$${\displaystyle Z_{\text{S}},}$${\displaystyle Z_{\text{L}},}$${\displaystyle R_{\text{L}}}$${\displaystyle X_{\text{L}}}$$${\displaystyle (R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}+(X_{\text{S}}+X_{\text{L}})^{2}}$$$${\displaystyle X_{\text{L}}=-X_{\text{S}}.}$$

يؤدي هذا إلى تقليص المعادلة أعلاه إلى: ويبقى إيجاد القيمة التي تحقق أقصى قدر من هذا التعبير. تتخذ هذه المشكلة نفس الشكل كما في حالة المقاومة البحتة، وبالتالي فإن شرط تحقيق أقصى قدر من القيمة هو$${\displaystyle P_{\text{L}}={\frac {1}{2}}{\frac {|V_{\text{S}}|^{2}R_{\text{L}}}{(R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}}}}$$${\displaystyle R_{\text{L}}}$${\displaystyle R_{\text{L}}=R_{\text{S}}.}$

الشرطان الأقصى:

• ${\displaystyle R_{\text{L}}=R_{\text{S}}}$
• ${\displaystyle X_{\text{L}}=-X_{\text{S}}}$

وصف المركب المعقد لمقاومة المصدر، والذي يُشار إليه بواسطة وبالتالي يمكن دمجه بإيجاز إلى: ${\displaystyle ^{*},}$$${\displaystyle Z_{\text{L}}=Z_{\text{S}}^{*}.}$$

• تتبع نقطة الطاقة القصوى

• إتش دبليو جاكسون (1959) مقدمة إلى الدوائر الإلكترونية، برنتيس هول.

• المطابقة المترافقة مقابل المطابقة غير الانعكاسية ( PDF ) مأخوذة من الموجات الكهرومغناطيسية والهوائيات
• جهاز إرسال الشرارة. 2. تعظيم الطاقة، الجزء 1.