متوسط ​​المسافة بين الجسيمات

نريد حساب دالة توزيع الاحتمال للمسافة إلى أقرب جسيم مجاور (NN). (تم تناول هذه المسألة لأول مرة من قبل بول هيرتز ؛ ^{[ 1 ]} وللاطلاع على اشتقاق حديث، انظر، على سبيل المثال، ^{[ 2 ]} ). لنفترض${\displaystyle N}$جسيمات داخل كرة حجمها${\displaystyle V}$، لهذا السبب${\displaystyle n=N/V}$لاحظ أنه بما أن الجسيمات في الغاز المثالي لا تتفاعل، فإن احتمال وجود جسيم على مسافة معينة من جسيم آخر هو نفسه احتمال وجود جسيم على نفس المسافة من أي نقطة أخرى؛ سنستخدم مركز الكرة.

جسيم NN على مسافة${\displaystyle r}$يعني واحداً فقط من${\displaystyle N}$تتواجد الجسيمات على تلك المسافة بينما الباقي ${\displaystyle N-1}$توجد الجسيمات على مسافات أكبر، أي أنها تقع في مكان ما خارج الكرة ذات نصف القطر${\displaystyle r}$.

احتمالية العثور على جسيم على مسافة من نقطة الأصل بين${\displaystyle r}$و${\displaystyle r+dr}$يكون ${\displaystyle (4\pi r^{2}/V)dr}$بالإضافة إلى ذلك لدينا${\displaystyle N}$طرق لاختيار الجسيم، بينما احتمال العثور على جسيم خارج تلك الكرة هو${\displaystyle 1-4\pi r^{3}/3V}$ثم يكون التعبير المطلوب

${\displaystyle P_{N}(r)dr=4\pi r^{2}dr{\frac {N}{V}}\left(1-{\frac {4\pi }{3}}r^{3}/V\right)^{N-1}={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}dr\left(1-\left({\frac {r}{a}}\right)^{3}{\frac {1}{N}}\right)^{N-1}\,}$

حيث استبدلنا

${\displaystyle {\frac {1}{V}}={\frac {3}{4\pi Na^{3}}}.}$

لاحظ أن${\displaystyle a}$هو نصف قطر ويغنر-سيتز . وأخيرًا، بأخذ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$الحد واستخدام${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$، نحصل

${\displaystyle P(r)={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}e^{-(r/a)^{3}}\,.}$

يمكن للمرء أن يتحقق من ذلك على الفور

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }P(r)dr=1\,.}$

يبلغ التوزيع ذروته عند

${\displaystyle r_{\text{peak}}=\left(2/3\right)^{1/3}a\approx 0.874a\,.}$

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =\int _{0}^{\infty}P(r)r^{k}dr=3a^{k}\int _{0}^{\infty}x^{k+2}e^{-x^{3}}dx\,,}$

أو باستخدام${\displaystyle t=x^{3}}$الاستبدال،

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =a^{k}\int _{0}^{\infty }t^{k/3}e^{-t}dt=a^{k}\Gamma (1+{\frac {k}{3}})\,,}$

أين${\displaystyle \Gamma }$هي دالة غاما . وبالتالي،

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =a^{k}\Gamma (1+{\frac {k}{3}})\,.}$

بخاصة،

${\displaystyle \langle r\rangle =a\Gamma ({\frac {4}{3}})={\frac {a}{3}}\Gamma ({\frac {1}{3}})\approx 0.893a\,.}$