طريقة الحصص المتساوية

طريقة الحصص المتساوية ( MES ) ^{[ 1 ]} هي خوارزمية للميزانية التشاركية مصممة خصيصًا لضمان تمثيل مُبرر موسع (شكل من أشكال التمثيل النسبي ). طُوّرت في الأصل لانتخابات اللجان (تحت اسم القاعدة X ). ^{[ 2 ]} ثم جرى تكييفها لاحقًا للميزانية التشاركية (PB) ^{[ 3 ] [ 4 ]} وللقرارات العامة المتزامنة. ^{[ 5 ] [ 6 ]} يمكن استخدامها مع أي صيغة اقتراع متاحة، بما في ذلك اقتراع الموافقة ، والاقتراع الترتيبي ، والاقتراع الأساسي . استُخدمت طريقة الحصص المتساوية في الميزانية التشاركية في العديد من المدن الأوروبية. ^{[ 7 ]}

يمكن وصف نظام التصويت متعدد المستويات (MES) بأنه أحد أساليب التصويت التي تُسمى قواعد الموافقة الموسعة، والتي قدمها عزيز ولي في وقت سابق من عام 2019 للتفضيلات الترتيبية (والتي تشمل بطاقات الاقتراع للموافقة). ^{[ 8 ]}

تستخدم معظم المدن التي تطبق الميزانية التشاركية خوارزمية حقيبة الظهر ، على الرغم من أنها طريقة غير متناسبة. فعلى سبيل المثال، إذا أيد 51% من السكان 10 مشاريع حمراء، وأيد 49% منهم 10 مشاريع زرقاء، ولم يتوفر تمويل إلا لـ 10 مشاريع، فإن ميزانية حقيبة الظهر ستختار المشاريع الحمراء العشرة التي يدعمها 51%، بينما لن يحصل الـ 49% على تمويل. ^{[ 9 ]}

في المقابل، يضمن نظام MES التمثيل النسبي . تحديدًا، يُحقق هذا النظام صيغةً مُوسّعةً من بديهية التمثيل المُبرَّر ، مُكيَّفةً مع الميزانية التشاركية. ^{[ 3 ]} ينص هذا على أن مجموعةً تُمثِّل نسبةً معينةً من السكان ستُخصَّص لها نسبةٌ معينةٌ من الميزانية للإنفاق على المشاريع التي تدعمها المجموعة (بافتراض أن جميع أعضاء المجموعة قد صوَّتوا بنفس الطريقة أو بطريقةٍ مُتقاربةٍ على الأقل). على وجه الخصوص، في المثال المذكور أعلاه، سيختار نظام MES ما لا يقل عن 5 مشاريع زرقاء وما لا يقل عن 4 مشاريع حمراء (يمكن أن يكون المشروع العاشر أحمر أو أزرق، اعتمادًا على طريقة الإنجاز المُستخدمة).

في سياق انتخابات اللجان، توجد قواعد أخرى تضمن تمثيلاً مبرراً مماثلاً، مثل التصويت النسبي بالموافقة . مع ذلك، يعمل نظام MES في وقت متعدد الحدود ، وبالتالي يمكن تطبيقه بسهولة حتى على الانتخابات الواقعية التي تضم عددًا كبيرًا من الناخبين.

يحتوي نظام إدارة الميزانية (MES) على عدة متغيرات، وكلها لها البنية التالية للميزانية التشاركية:

1. التهيئة - يتم تهيئة مجموعة "الفائزين" (المرشحين المختارين) لتكون مجموعة فارغة. يتم تخصيص b _i وحدة من المال الافتراضي لكل ناخب i ؛ عادةً ما يساوي b _i إجمالي الميزانية المتاحة مقسومًا على n (عدد الناخبين).

2. الحلقة الرئيسية – تتكون كل جولة من خطوتين:

• (أ) يتم اختيار أحد المرشحين المتبقين وإضافته إلى مجموعة الفائزين.
• (ب) يتم تمويل المرشح المختار من قبل مؤيديه؛ أي أن كل ناخب يدعمه "يدفع" مبلغًا معينًا من أمواله الافتراضية، بحيث يساوي مجموع جميع المدفوعات تكلفة المرشح.

مع انخفاض إجمالي الأموال الافتراضية في كل جولة، لن يكون بالإمكان تمويل المزيد من المشاريع في نهاية المطاف؛ وعند هذه النقطة، تنتهي الحلقة الرئيسية.

3. الإكمال – إذا لم يتم استنفاد الميزانية المتاحة (أي أن بعض الناخبين لا يزال لديهم أموال افتراضية، ولكنها غير كافية لتمويل أي مرشح متبقٍ)، فيمكن استخدام طريقة إكمال لإضافة بعض المرشحين، حتى لا يمكن إضافة المزيد من المرشحين وفقًا لقيود الميزانية.

يُستخدم الهيكل نفسه في انتخابات اللجان، باستثناء أن "تكلفة" كل مرشح تُفترض أن تكون 1، وأن إجمالي "الميزانية" المتاحة هو حجم اللجنة المطلوب (ويُرمز له عادةً بـ k ). لذا، يحصل كل ناخب في البداية على k / n وحدة نقدية افتراضية.

تختلف متغيرات MES في كيفية اختيارها للمرشح في كل جولة، وكيفية توزيع تكلفته بين العملاء.

إذا صوّت الناخبون عبر استفتاءات الموافقة ، فإنّ مؤسسة MES تهدف إلى توزيع تكلفة المشروع المختار (p) بالتساوي قدر الإمكان بين مؤيديها. تحديداً:

• إذا وافق بعض الناخبين (s) على (p) ، وكان لدى كل منهم على الأقل (cost( p )/ s) من الأموال الافتراضية، فإن كل منهم يدفع بالضبط (cost( p )/ s).
• وإلا، فإن المؤيدين الذين لا يملكون ما يكفي من المال سيدفعون كل ما تبقى لديهم من مال، ويتم تقسيم التكلفة المتبقية بالتساوي بينهم. وهذا يعني أن كل مؤيد متبقٍ سيدفع أكثر من التكلفة ( p )/ s.

رسميًا، لـ${\displaystyle \rho \geq 0}$نقول ذلك المشروع${\displaystyle p}$يكون${\displaystyle \rho }$-بأسعار معقولة إذا

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i\in N,i{\text{ approves }}p}\min \left(b_{i},\rho \right)=\mathrm {cost} (p){\text{.}}\end{aligned}}}$

هنا، يدفع كل داعم لديه رصيد افتراضي قليل جدًا مبلغ b _i ، بينما يدفع جميع الداعمين الآخرين${\displaystyle \rho }$إليكم بعض الأمثلة.

• مشروعٌ تكلفته 100 وحدة مدعومٌ من قِبَل 4 ناخبين، يمتلك كلٌّ منهم 25، 50، 75، و100 وحدة من العملة الافتراضية على التوالي. بما أن 100/4 = 25، وبما أن جميع الداعمين يمتلكون 25 وحدة على الأقل من العملة الافتراضية، فسيدفع كلٌّ منهم 25 وحدة - أي أن المشروع في متناول الجميع . سيبقى لدى كلٍّ من الداعمين 0، 25، 50، و75 وحدة من العملة الافتراضية على التوالي.
• مشروعٌ تكلفته 105 مدعومٌ من قِبل نفس الناخبين الأربعة، بمبالغ افتراضية قدرها 0، 25، 50، و75. لا يستطيع الناخب الأول المساهمة إطلاقًا. أما الناخب الثاني، فلا يستطيع المساهمة بـ 100/3، لذا يُساهم بكامل المبلغ المتبقي وقدره 25. التكلفة المتبقية هي 80. يمكن تقسيمها بالتساوي بين الناخب الثالث والرابع، حيث يدفع كلٌ منهما 40. إذن، المشروع في متناول اليد بتكلفة 40. سيبقى لدى كل ناخب 0، 0، 10، و35 من المال الافتراضي على التوالي.

في كل جولة، يكون المشروع المختار مشروعًا من${\displaystyle \rho }$- بأسعار معقولة لأصغر الفئات${\displaystyle \rho }$أي أننا اخترنا مشروعًا يقلل من الحد الأقصى للمبلغ الذي يدفعه الداعم الواحد.

إذا صوّت الناخبون عبر أوراق اقتراع أساسية ، فإن نظام إدارة الطاقة (MES) يهدف إلى توزيع تكلفة المشروع المختار (p) بما يتناسب مع المنافع التي يحصل عليها الناخبون من المشروع. رسميًا، لدينا مجموعة من المشاريع${\displaystyle P=\{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{m}\}}$ومجموعة من الناخبين${\displaystyle N=\{1,2,\ldots ,n\}}$لكل مشروع${\displaystyle p\in P}$يترك${\displaystyle \mathrm {cost} (p)}$لنرمز إلى تكلفتها ولنفرض${\displaystyle b}$يشير إلى حجم الميزانية البلدية المتاحة.

لكل ناخب${\displaystyle i\in N}$وكل مشروع${\displaystyle p\in P}$يترك${\displaystyle u_{i}(p)}$يشير إلى${\displaystyle i}$ورقة الاقتراع الرئيسية لـ 's${\displaystyle p}$هذا هو الرقم الذي يحدد مستوى تقدير الناخبين${\displaystyle i}$نحو المشروع${\displaystyle p}$لأي${\displaystyle \rho \geq 0}$نقول ذلك المشروع${\displaystyle p}$يكون${\displaystyle \rho }$-بأسعار معقولة إذا

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i\in N}\min \left(b_{i},\rho \cdot u_{i}(p)\right)=\mathrm {cost} (p){\text{.}}\end{aligned}}}$

بشكل بديهي، إذا كان المشروع p${\displaystyle \rho }$إذا كانت التكلفة معقولة، فيمكن توزيعها على الناخبين بحيث يدفع كل ناخب سعرًا لكل خدمة لا يتجاوز${\displaystyle \rho }$(سيدفع الناخبون الذين يملكون المال الكافي)${\displaystyle \rho \cdot u_{i}(p)}$وسيدفع الناخبون الآخرون كامل أموالهم المتبقية (ب ₎ .

إذا كان هناك واحد على الأقل لم يتم اختياره بعد${\displaystyle \rho }$- مشروع ميسور التكلفة، يختار نظام إدارة المشاريع (MES) المشروع p الذي${\displaystyle \rho }$- بأسعار معقولة بأقل قيمة${\displaystyle \rho }$(المشروع الذي يقلل من سعر الخدمة الذي يتعين على الناخبين دفعه).

يمكن اعتبار الوصف أعلاه لنظام إدارة الموارد المتعددة مع بطاقات الاقتراع للموافقة حالة خاصة من نظام إدارة الموارد المتعددة مع بطاقات الاقتراع الأساسية حيث يكون للوكلاء منافع ثنائية . ${\displaystyle u_{i}(p)=1}$إذا كان المشروع${\displaystyle p}$تمت الموافقة عليه من قبل الناخب${\displaystyle i}$، و${\displaystyle u_{i}(p)=0}$وإلا. يفترض هذا أن منفعة الناخب تساوي عدد المشاريع المختارة التي تمت الموافقة عليها. ويؤدي هذا التعريف عادةً إلى اختيار مشاريع أكثر ولكن بتكلفة أقل، حيث أن المشروع الأقل تكلفة سيكون عادةً${\displaystyle \rho }$-بسعر معقول مقابل قيمة أقل${\displaystyle \rho }$.

أو بدلاً من ذلك، يمكن افتراض تكاليف المرافق ،${\displaystyle u_{i}(p)=\mathrm {cost} (p)}$إذا كان المشروع${\displaystyle p}$تمت الموافقة عليه من قبل الناخب${\displaystyle i}$و${\displaystyle u_{i}(p)=0}$وإلا، يفترض هذا أن منفعة الناخب تساوي إجمالي الأموال المنفقة على المشاريع التي يدعمها. ويُستخدم هذا الافتراض عادةً في طرق أخرى لحساب أصوات الموافقة في الميزانية التشاركية، كما في خوارزمية حقيبة الظهر ، ويؤدي عادةً إلى اختيار عدد أقل من المشاريع ذات التكلفة الأعلى.

لنفترض أن الناخبين يصوتون بترتيب المشاريع من الأكثر تفضيلاً إلى الأقل تفضيلاً. وبافتراض وجود تفضيلات معجمية ، يمكن استخدام الاصطلاح التالي:${\displaystyle u_{i}(p)}$يعتمد ذلك على موقع المشروع${\displaystyle p}$في الناخب${\displaystyle i}$التصنيف، وذلك${\displaystyle u_{i}(p)/u_{i}(p')\to \infty }$، حينما${\displaystyle i}$الرتب${\displaystyle p}$باعتباره أكثر تفضيلا من${\displaystyle p'}$في هذه الحالة، يتم تعريف نظام إدارة التصنيع (MES) على النحو التالي.

لكل ناخب${\displaystyle i\in N}$يترك${\displaystyle \succ _{i}}$يشير إلى ترتيب الناخبين${\displaystyle i}$على المشاريع. على سبيل المثال،${\displaystyle Y\succ _{i}X\succ _{i}Z}$هذا يعني أن${\displaystyle Y}$وهو المشروع الأكثر تفضيلاً من وجهة نظر الناخبين${\displaystyle i}$،${\displaystyle X}$وهو ثاني أكثر المشاريع تفضيلاً لدى الناخبين و${\displaystyle Z}$هو المشروع الأقل تفضيلاً. في هذا المثال نقول أن المشروع${\displaystyle Y}$يحتل المرتبة الأولى ويكتب${\displaystyle \mathrm {pos} _{i}(Y)=1}$، مشروع${\displaystyle X}$يحتل المرتبة الثانية (${\displaystyle \mathrm {pos} _{i}(X)=2}$)، و${\displaystyle Z}$في المركز الثالث (${\displaystyle \mathrm {pos} _{i}(Z)=3}$).

لكل مشروع لم يتم اختياره بعد${\displaystyle p\in P}$نقول ذلك${\displaystyle p}$يكون${\displaystyle \delta }$- ميسور التكلفة إذا كانت الميزانية المتبقية للناخبين الذين يصنفون${\displaystyle p}$في هذا المنصب${\displaystyle \delta }$أو أفضل تعني أكبر من أو يساوي${\displaystyle \mathrm {cost} (p)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i\in N\colon \mathrm {pos} _{i}(p)\leq \delta }b_{i}\geq \mathrm {cost} (p){\text{.}}\end{aligned}}}$

إذا كانت هناك مشاريع بأسعار معقولة، فإن القاعدة تختار المشروع الذي لم يتم اختياره بعد.${\displaystyle p}$إنه${\displaystyle \delta }$- بأسعار معقولة بأقل قيمة${\displaystyle \delta }$يتم تحديث ميزانيات الناخبين وفقًا لذلك. أولًا، يتم توزيع التكلفة بالتساوي بين الناخبين الذين يصنفون${\displaystyle p}$في المركز الأول. إذا لم تكن ميزانيات هؤلاء الناخبين كافية لتغطية تكلفة المشروع، يتم توزيع الجزء المتبقي من التكلفة بالتساوي بين الناخبين الذين يحتلون المرتبة الأولى.${\displaystyle p}$في المركز الثاني، إلخ. نبدأ رسميًا بـ${\displaystyle \delta$ :=1} و${\displaystyle \mathrm {cost}$ :=\mathrm {cost} (p)} ، ثم تابع في الحلقة:

تتيح طريقة الحصص المتساوية إمكانية الحصول على مجموعة من المشاريع لا تستنفد الميزانية بالكامل. وهناك عدة طرق لاستخدام الميزانية غير المنفقة:

في سياق انتخابات اللجان ، تُقارن هذه الطريقة غالبًا بالتصويت النسبي بالموافقة (PAV)، نظرًا لأن كلتا الطريقتين نسبيتان (تستوفيان بديهية التمثيل المبرر الموسع (EJR)). ^{[ 10 ] [ 2 ]} ويمكن وصف الفرق بين الطريقتين على النحو التالي.

1. طريقة الحصص المتساوية (MES) قابلة للحساب في وقت متعدد الحدود، بينما تُعدّ طريقة PAV من المسائل الصعبة حسابيًا (NP-hard). ويمكن حساب الصيغة التسلسلية لـ PAV في وقت متعدد الحدود، لكنها لا تُحقق شرط التمثيل المُبرَّر.
2. يُعد PAV مثاليًا وفقًا لمبدأ باريتو ، بينما لا يُعد MES كذلك.
3. نظام MES قابل للتسعير . وهذا يعني أنه ^{[ 2 ]} من الممكن تخصيص ميزانية ثابتة لكل ناخب، وتقسيم هذه الميزانية بين المرشحين الذين يوافقون عليهم، بحيث يكون كل مرشح منتخب "مُشترى" من قِبل المرشحين الذين وافقوا عليه، ولا يمكن شراء أي مرشح غير منتخب بالأموال المتبقية للناخبين الذين وافقوا عليه. يمكن اعتبار نظام MES تطبيقًا لتوازن ليندال في النموذج المنفصل، بافتراض أن العملاء الذين يتشاركون سلعة ما يجب أن يدفعوا السعر نفسه مقابلها. ^{[ 11 ]}
4. يمتد نظام MES ليشمل الميزانية التشاركية والاقتراع الرئيسي، بينما لا يفي نظام PAV بمبدأ التمثيل المبرر الموسع عند تطبيقه على الميزانية التشاركية أو الاقتراع الرئيسي. ^{[ 3 ]}

يُشبه نظام MES قاعدة فراغمن التسلسلية . ويكمن الاختلاف في أن الناخبين في نظام MES يحصلون على ميزانياتهم مُسبقًا، بينما في قاعدة فراغمن التسلسلية، يحصل الناخبون على الأموال بشكل مُستمر مع مرور الوقت. ^{[ 12 ] [ 13 ]} وتُقارن الطريقتان كما يلي:

1. كلا الطريقتين قابلتان للحساب في وقت متعدد الحدود، وكلاهما مكلف، ^{[ 2 ]} وقد تفشل كلتاهما في تحقيق مبدأ باريتو الأمثل. ^{[ 1 ]}
2. تُحقق قاعدة MES شرط EJR، بينما تُحقق قاعدة Phragmen التسلسلية شرط التمثيل المُبرر النسبي، وهو شكل أضعف من هذه الخاصية. ^{[ 3 ] [ 12 ]}
3. تُحقق قاعدة التسلسل في خوارزمية فراغمن خاصية رتابة اللجنة، بينما تفشل خوارزمية MES في تحقيق هذه الخاصية. ^{[ 1 ] : الملحق أ}
4. يمتد نظام MES ليشمل الميزانية التشاركية باستخدام بطاقات الاقتراع الرئيسية، وهو ما لا ينطبق على قاعدة فراغمن التسلسلية. ^{[ 3 ]}

يمكن اعتبار نظام التصويت التشاركي (MES) مع تعديل الميزانية الأولية، ونظام التصويت التشاركي القائم على القيمة (PAV)، وقواعد التصويت لـ Phragmen، امتدادًا لمنهج D'Hondt في سياق يسمح للناخبين بالتصويت لمرشحين أفراد بدلًا من الأحزاب السياسية. ^{[ 14 ] [ 2 ]} كما يمتد نظام التصويت التشاركي ليشمل الميزانية التشاركية. ^{[ 3 ]}

فيما يلي تطبيق بلغة بايثون للطريقة المطبقة على الميزانية التشاركية. أما بالنسبة لنموذج انتخابات اللجان، فقد تم تطبيق القواعد كجزء من حزمة بايثون المسماة abcvoting .

استيراد الرياضياتdef method_of_equal_shares ( N , C , cost , u , b ): """طريقة الحصص المتساوية الوسائط:  N: قائمة الناخبين.  C: قائمة المشاريع (المرشحين).  cost: قاموس يحدد تكلفة كل مشروع.  b: إجمالي الميزانية المتاحة.  u: قاموس؛ u[c][i] هي القيمة التي يخصصها الناخب i للمرشح c.  المدخل الفارغ يعني أن القيمة المقابلة u[c][i] تساوي 0.  """ W = set () total_utility = { c : sum ( u [ c ] .values ()) for c in C } supports = { c : set ([ i for i in N if u [ c ][ i ] > 0 ]) for c in C } budget = { i : b / len ( N ) for i in N } while True : next_candidate = None lowest_rho = float ( "inf" ) for c in C.difference ( W ) : if _leq ( cost [ c ], sum ([ budget [ i ] for i in supports [ c ] ])): supports_sorted = sorted ( supporters [ c ], key = lambda i : budget [ i ] / u [ c ][ i ]) price = cost [ c ] util = total_utility [ c ] for i in supports_sorted : if _leq ( price * u [ c ][ i] ) ], الميزانية [ i ] *util ): break price -= budget [ i ] util -= u [ c ] [ i ] rho = price / util \ if not math.isclose ( util , 0 ) and not math.isclose ( price , 0 ) \ else budget [ supporters_sorted [ -1 ] ] / u [ c ] [ supporters_sorted [ -1 ] ] if rho < lowest_rho : next_candidate = c lowest_rho = rho if next_candidate is None : break W.add ( next_candidate ) for i in N : budget [ i ] - = min ( bedget [ i ] , lowest_rho * u [ next_candidate ][ i ] ) return _complete_utilitarian ( N , C , cost , u , b , W ) # أحد الحلول الممكنةدالة _complete_utilitarian ( N , C , cost , u , b , W ): util = { c : sum ([ u [ c ][ i ] for i in N ]) for c in C } committee_cost = sum ([ cost [ c ] for c in W ]) while True : next_candidate = None highest_util = float ( "-inf" ) for c in C . difference ( W ): if _leq ( committee_cost + cost [ c ], b ): if util [ c ] / cost [ c ] > highest_util : next_candidate = c highest_util = util [ c ] / cost [ c ] if next_candidate is None : break W . add ( next_candidate ) committee_cost += cost [ next_candidate ] return Wdef _leq ( a , b ): return a < b or math . isclose ( a , b )

يقارن فيرستين، وبيناد، وغال بين نظام التصويت متعدد الأهداف (MES) وطرق التجميع الجشعة. ^{[ 15 ]} وقد وجدوا أن التجميع الجشع يؤدي إلى نتائج شديدة الحساسية لصيغة الإدخال المستخدمة ونسبة السكان المشاركين. في المقابل، يؤدي نظام التصويت متعدد الأهداف إلى نتائج غير حساسة لنوع صيغة التصويت المستخدمة. وهذا يعني أنه يمكن استخدام نظام التصويت متعدد الأهداف مع أوراق الاقتراع الموافقة، أو أوراق الاقتراع الترتيبية، أو أوراق الاقتراع العددية دون اختلاف كبير في النتيجة. وتكون هذه النتائج مستقرة حتى عندما لا تتجاوز نسبة المشاركة في الانتخابات 25 إلى 50 بالمئة من السكان.

قام كل من فيرستين، ومير، وفيلينشيك، وغال بدراسة متغيرات نموذج MES على مجموعات بيانات حقيقية واصطناعية. ^{[ 16 ]} ووجدوا أن هذه المتغيرات تحقق نتائج جيدة للغاية في الممارسة العملية، سواء فيما يتعلق بالرفاه الاجتماعي أو فيما يتعلق بالتمثيل المبرر .

في عام 2023، تم استخدام نظام إدارة البيئة (MES) في برنامج الميزانية التشاركية في مدينة فيليتشكا البولندية . ^{[ 17 ]} كان من المقرر أن يقوم البرنامج، المعروف باسم المليون الأخضر ( Zielony Milion )، بتوزيع مليون زلوتي على المشاريع البيئية التي اقترحها سكان المدينة.

كما تم استخدام نظام إدارة الميزانية (MES ) في برنامج الميزانية التشاركية في مدينتي آراو السويسرية في عام 2023 ( Stadtidee ) ^{[ 18 ]} ووينترتور ، بالإضافة إلى مدينة آسن الهولندية . ^{[ 7 ]}

قدم كل من باباسوتيروبولوس، وبيشبين، وسكيبسكي، وسكوورون، وواس العديد من المشاكل المتعلقة بنظام إدارة عمليات التصنيع (MES)، ومتطلبات السجل الطبي الإلكتروني (EJR) بشكل عام. ^{[ 19 ]}

بعض الإصدارات الحديثة من نظام إدارة المشاريع (MES) لا تستطيع تمويل المشاريع بأكملها فحسب، بل يمكنها أيضًا تمويل أجزاء من المشاريع.

حصص متساوية جزئية

يصف باباسوتيروبولوس، وبيشبين، وسكيبسكي، وسكوورون، وواس صيغةً بديلةً أطلقوا عليها اسم FrES ( الأسهم المتساوية الجزئية ). ^{[ 19 ] : الملحق أ.} الفكرة هي أنه بدلاً من تمويل مشروع كامل، يُمكن تمويل جزء منه (f < 1) بتكلفة تُعادل جزءًا (f) من تكلفته، وبفائدة تُعادل جزءًا (f) من فائدته. وبصورة رسمية، لأي${\displaystyle \rho \geq 0}$وإذا كانت f تنتمي إلى الفترة (0,1]، نقول إن المشروع${\displaystyle p}$يكون${\displaystyle (f,\rho )}$-بأسعار معقولة إذا

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i\in N}\min \left(b_{i},\rho \cdot f\cdot u_{i}(p)\right)=f\cdot \mathrm {cost} (p){\text{.}}\end{aligned}}}$

في كل جولة، تختار مؤسسة FrES مشروعًا p يكون${\displaystyle (f,\rho )}$- بأسعار معقولة بأقل قيمة${\displaystyle \rho }$ثم يقوم بتمويل أكبر جزء ممكن f من p .

لاحظ أنه عندما تكون قيمة f صغيرة بما يكفي، فإن الحد الأدنى في التعبير أعلاه سيكون دائمًا${\displaystyle \rho \cdot f\cdot u_{i}(p)}$. لذلك،${\displaystyle \rho }$ستكون دائماً مساوية لـ${\displaystyle {\textrm {cost}}(p)/\sum _{i\in N,b_{i}>0}u_{i}(p)}$وستكون قيمة f دائمًا هي الحد الأدنى بين الجزء غير الممول من p ، و${\displaystyle \min _{i\in N,b_{i}>0}b_{i}/(\rho \cdot u_{i}(p))}$.

يثبتون أن FrES يفي بصيغة كسرية من EJR، والتي يسمونها EJR الكسري (انظر التمثيل المبرر#PB ).

• موقع "الحصص المتساوية" – موقع إلكتروني يشرح ويناقش طريقة الحصص المتساوية بعدة لغات